2019-2020 学年度高三第一次阶段考
文科数学试题
命题人：高三文数备课组 审题人：
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若函数 与 的定义域分别为 和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3.给出下列三个命题
①命题 ，都有 ，则非 ，使得
②在 中，若 ，则角 与角 相等
③命题：“若 ，则 ”的逆否命题是假命题
以上正确的命题序号是（ ）
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
4．等差数列 中， ，，则数列 的前 20 项和等于（ ）
A. -10 B. -20 C. 10 D. 20
5．已知定义域为 的奇函数 在 是增函数．若 ，
， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6. 设函数 ， （ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
7.如图，点 为单位圆上—点， ，点 沿单位圆逆时针方向旋转角 到
点 ，则 （ ）
R ( )f x 2
1log 5a f
−
=
( )2log 4.1b f= ( )0.82c f= a b c
a b c> > b a c> > c b a> > c a b> >
A 3
π=∠xOA A α
B )2
2,2
2(− sinα =
z 1 2 1i iz
− = + z =
5
2
3 2
2
10
2 3
( ) 1
1
f x
x
=
−
( ) ( )ln 1g x x= + M N M N =
{ }1 1x x− < < { }1 1x x−
ABC∆ sin 2 sin 2A B= A B
tan 3x =
3x
π=
{ }na 15,9 74 == aa ( ){ }n
n a1-
[ )∞+，0
2
1
1 log (2 ) 1
( )
2 1x
x x
f x
x−
+ − F
60° ,A B A x | |
| |
AF
BF
3 2 3 4
2AC BC= = 2AB =
2
3
25
4
π 25
4
π 25
16
π二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知向量 ，若 ，则实数 ．
14.直线 与曲线 交于 A、B，且 ,则
的最小值为
15．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，且 b＝acosC
＋csinA，则 ＝__________．
16．已知函数 ，若 且 ，则 最大值为_
__．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17（12 分）若数列 的前 n 项和 满足 .
（1）证明数列 为等比数列，并求 ；
（2）若 ， ，求数列 的前 2n 项和 .
18 （12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB＝BC= ，CA＝3，且角 D 与角 B 互补，
（1）求△ACD 面积的最大值；
（2） ·．求△ACD 的周长
19.（12 分）如图，四面体 中， 是边长为 1 的正三角形， 是直角三角形，
( ) ln , 0
1, 0
x x x
x xf x
>= + ≤ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2f x f x= 1 2x x−
(1,1), (2, )a b y= = ( )a a b⊥ − y =
( )0,01 >>=+ babyax ， 014222 =+−−+ yxyx 4=AB
ba
11 +
sinb B
c
{ }na nS *2 ( 0, )n nS a n Nλ λ= − > ∈
{ }na na
4λ = *
2
, ( )
log ,
n
n
n
a nb n N
a n
= ∈
为奇数
为偶数
{ }nb 2nT
3
2
9=⋅ DCDA
ABCD ABC∆ ACD∆， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点 为 的中点，求点 到平面 的距离.
20.（12 分）从抛物线 上任意一点 向 轴作垂线段,垂足为 ，点 是线段
上的一点,且满足 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）设直线 与轨迹 交于 两点， 为 上异于 的任意一点，
直线 分别与直线 交于 两点，以 为直径的圆是否过 轴上的定点？若
过定点，求出符合条件的定点坐标;若不过定点,请说明理由.
21.（12 分）已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ，当 时，证明： .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
直线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为
（ 为参数）.
（1）求直线 和曲线 的直角坐标方程；
（2）设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离 的最大值.
23. [选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
设函数 .
ABD CBD∠ = ∠ AB BD=
ACD ⊥ ABC
E BD B ACE
2 36y x= P x Q M PQ
2PM MQ=
C
1( )x my m R= + ∈ C ,A B T C ,A B
,AT BT 1x = − ,D E DE x
2( ) ln ( 0, )a xf x x a a Rx a
= + + ≠ ∈
( )f x
1( ) 2a xg x x a a
= + − + 0a > ( ) ( )f x g x≥（1）当 时，解不等式 ；
（2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.
2019-2020 学年度高三第一次阶段考
文科数学参考答案
选填题
1-5 CACDA 6-10 BCBDA 11-12 CA 13、0，14、 ，15、 ，16、2
解答题
17.解：(1)∵ ，当 时，得 ，
当 时， ，∴ ，
即 ，∴ ，
∴数列 是以 λ 为首项，2 为公比的等比数列，
∴数列 为等比数列.
(2)∵ ，∴ ，
∴
∴
223+
2
2
2n nS a λ= − 1n = 1a λ=
2n ≥ 1 12n nS a λ− −= − 1 12( )n n n nS S a a− −− = −
12( )n n na a a −= −
12n na a −=
{ }na
12n
na λ −= ⋅
4λ = 1 14 2 2n n
na − += ⋅ =
1
*2 , ( )
1,
n
n
nb n N
n n
+= ∈ +
为奇数
为偶数
2 4 6 2
2
2 4 6 2
1
2 3 2 5 2 7 2 2 1
(2 2 2 2 ) (3 5 7 2 1)
4 4 4 (3 2 1)
1 4 2
4 4 ( 2)3
n
n
n
n
n
T n
n
n n
n n
+
= + + + + + +⋅⋅⋅+ + +
= + + +⋅⋅⋅+ + + + +⋅⋅⋅+ +
− ⋅ + += +−
−= + +∴ .
18 解：在△ABC 中 在△ADC 中,
(1)
19【解析】
(1)取 的中点 ，连接 ，由 ， ，
故 ，又 为 ，故 ，而 ，即
， ，又 是边长为 1 的正三角形，则 ，
，而 面 ，
故平面 平面
(2)在 中， ，则
故 ， 为等腰直角三角形，则 ，而
1
2
2
4 423 3
n
nT n n
+
= + + −
3
2
2
1cos
π=∠⇒−= ABCB 3
π=∠ADC
( )
9
3
18,92
9
2
1)2(
4
39
4
3
3,929)1(
9,,
22
22
22
周长为
又
==⇒
=+=⇒==⋅
≤=
==≤⇒≥+=+
=−+==
∆
yx
yxxyxyDCDA
xyS
yxxyxyxyyx
xyyxyCDxAD
ADC
AC O ,DO BO ABD CBD∠ = ∠ AB BC= BD BD=
ABD BCD AD CD∆ ≅ ∆ ⇒ = ACD∆ Rt∆ AD CD⊥ 1AC =
2
2AD CD= = 1
2DO = ABC∆ 3, 2BO AC BO⊥ =
2 2 2BO DO BD BO DO+ = ⇒ ⊥ BO AC BOBO DO
⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ACD
ACD ⊥ ABC
ABD∆
1 1 1 22
422 1 2
ADB
+ −
∠ = =
× ×
2 1 1 2 1 2 1 222 4 2 2 4 2 2AE AE= + − × × × = ⇒ =
2
2CE = AEC∆ 1 2 2 1
2 2 2 4ACES∆ = × × =，点 E 到面 ABC 的距离等于点 D 到面 ABC 的距离的一半，
设点 到平面 的距离为 ，由 可得
。
20.解：（1） ………………2 分
当 时， ，
当 时， ，
∴ 时， 在 上递减，在 递增
时， 在 上递增，在 递减………………6 分
（2）设
则
1 31 1 sin 602 4ABCS∆ = × × × =
B ACE d E ABC B ACEV V− −=
1 1 1 3 1 3
3 4 3 4 4 4d d× × = × × ⇒ =
2 2
1 2 1 ( 2 )( )( ) a x a x af x x x a ax
+ −′ = − + =
0a > ( ) 0f x x a′ > ⇒ > ( ) 0 0f x x a′ < ⇒ < <
0a < ( ) 0 0 2f x x a′ > ⇒ < < − ( ) 0 2f x x a′ < ⇒ > −
0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞
0a < ( )f x (0, 2 )a− ( 2 , )a− +∞
1( ) ( ) ( ) ln 2aF x f x g x x x a
= − = + + −
2 2
1( ) ( 0)a x aF x xx x x
−′ = − = > 时， ， 递减
， 递增 ……………8 分
设 ， ,则
时 时， 递增，
， 递减
，即 ………………12 分
【详解】（1）由 得 ，
直线的直角坐标方程为
由 消 得曲线的直角坐标方程
（2）设
【详解】解：（1） 可转化为
或 或 ，
解得 或 或无解.
0a > (0, )x a∴ ∈ ( ) 0F x′ < ( )F x
( , )x a∈ +∞ ( ) 0,F x′ > ( )F x 1( ) ( ) ln 1F x F a a a
∴ ≥ = + −
1( ) ln 1h x x x
= + − ( 0)x > 2 2
1 1 1( ) ( 0)xh x xx x x
−′ = − = >
1x > ( ) 0,h x′ > ( )h x
0 1x< < ( ) 0h x′ < ∴ ( )h x
( ) (1) 0h x h∴ ≥ = ( ) ( ) 0F a h a∴ = ≥
( ) 0F x∴ ≥ ( ) ( )f x g x≥所以不等式的解集为 .
（2）依题意，问题等价于关于 的不等式 有解，
即 ，
又 ，当 时取等号.
所以 ，解得 ，所以实数 a 的取值范围是 .
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