宝安区 2019-2020 学年第一学期调研测试
高三数学（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.已知全集 2，3， ，集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D. 3，
【答案】B
【解析】
【分析】
由补集的定义求得得 ，进而由交集的定义可得结果．
【详解】因为全集 ，集合 ，
则 ，
又因为集合 ，
所以 ；
故选 B．
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键
是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且不属于集合 的元素
的集合.
2.已知复数 满足 ，其中 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
U {1,= 4} { }A 2,3= { }B 1,3= ( )UA B∩ =
{ }3 { }2 { }2,3 {2, 4}
U B
{ }1,2,3,4U = { }1,3B =
{ }2,4U B =
{ }2,3A =
( ) {2UA B∩ = }
A B
z (1 i) 2 iz − = − i z【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，从而得答案．
详解】 ,
,
则在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
故选 A．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．复数是高
考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯
虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数
的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3.如图是一个边长为 3 的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随
机投掷 1089 个点，其中落入白色部分的有 484 个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出正方形的面积，根据几何概型的原理可求得结果.
【详解】正方形二维码的面积为： 黑色部分的面积为：
故选：
【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题.
4.已知双曲线 ，直线 与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，
【
z
( ) ( )1 2i z i− = −
( )( )
( )( )
22 12 2 3
1 1 1 2 2
i ii i i iz i i i
− +− + − +∴ = = = =− − +
3 1,2 2
3 3 9× = ∴ 1089 484 9 51089
− × =
B
2 2
2 2: 1 0, 0)x yC a ba b
− = > >（ y b=N，O 为坐标原点．若 为直角三角形，则 C 的离心率为（）．
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线的对称性可得渐近线方程，从而得到 关系，进而求得 关系，利用 求得
结果.
【详解】 为直角三角形，结合对称性可知，双曲线 的渐近线为：
即
本题正确选项：
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够根据双曲线的对称性得到渐近线方程.
5.已知数列 中， ， ．若数列 为等差数列，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果
【详解】依题意得： ，因为数列 为等差数列，
所以 ，所以 ，所以 ，故选 C．
【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较
基础
6.已知 ，且 ，则 ( )
为
OMN
2 3 5
,a b ,a c ce a
=
OMN∆ C y x= ±
1b
a
= 2 2 2c a b a∴ = + = 2ce a
∴ = =
A
{ }na 3 =2a 7 =1a 1{ }
na 9 =a
1
2
5
4
4
5
4
5
−
73 2, 1a a= = 1{ }
na
7 3
1 1 1 1 12
7 3 7 3 8
− −
= = =− −
a ad
( )
9 7
1 1 1 59 7 8 4a a
= + − × =
9
4
5
=a
1sin( )6 2
πθ − = 0 2
πθ ∈ ， cos( )3
πθ − =A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解法一：由题意求出 的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果
【详解】解法一：由 ，且 得， ，代入 得，
= ，故选 C．
解法二：由 ，且 得， ，
所以 ，故选 C．
【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础
7.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满
了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下缀 4 个小
灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯
球是大灯下缀 4 个小灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设大灯下缀 2 个小灯为 个，大灯下缀 4 个小灯有 个，根据题意求得 ，再
由古典概型及其概率的公式，即可求解．
【详解】设大灯下缀 2 个小灯为 个，大灯下缀 4 个小灯有 个，
根据题意可得 ，解得 ，
0 1
2 1 3
2
θ
π 1sin 6 2
θ − =
π0, 2
θ ∈
π
3
θ = πcos 3
θ −
πcos 3
θ − cos0 1=
π 1sin 6 2
θ − =
π0, 2
θ ∈
π 3cos 6 2
θ − =
π π π π π π πcos cos cos cos sin sin 13 6 6 6 6 6 6
θ θ θ θ − = − − = − + − =
1
3
2
3
1
4
3
4
x y 120, 240x y= =
x y
360
2 4 1200
x y
x y
+ =
+ = 120, 240x y= =则灯球的总数为 个，
故这个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为 ，故选 B．
【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意列出方程组，求得
两种灯球的数量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
8.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩 满
分 100 分 的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，
则 的值为
A. 8 B. 7 C. 9 D. 168
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平均数和中位数的定义和公式，分别进行计算即可得到结论．
【详解】 甲班学生成绩的平均分是 85，
，
即 ．
乙班学生成绩的中位数是 83，
若 ，则中位数为 81，不成立．
若 ，则中位数为 ，
解得 ．
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查茎叶图是应用，要求熟练掌握平均数和中位数的概念和计算公式，比
较基础．
360x y+ =
240 2
360 3
=
(
)
x y+ ( )
79 78 80 80 85 92 96 85 7x∴ + + + + + + + = ×
5x =
∴ 1y ≤
1y > 80 83y+ =
3y =
5 3 8x y∴ + = + =9.已知点 是 的重心， ，若 ，
，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解 的最小值即可.
【 详 解 】 如 图 所 示 ， 由 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 及 三 角 形 重 心 的 性 质 可 得
,
，
根据向量的数量积的定义可得 ,
设 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 ，△ABC 是等腰三角形时等号成立.
综上可得 的最小值是 .
本题选择 C 选项.
【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法
等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10.对于任意实数 x，y，把代数运算 的值叫做 x 与 y 的“加乘和谐数”，记作符
G ABC∆ ( , )AG AB AC Rλ µ λ µ= + ∈ 120A∠ =
2AB AC⋅ = − | |AG
3
3
2
2
2
3
3
4
AG
( )2 1
3 3AG AD AB AC= = +
120 , 2A AB AC∠ = ⋅ = −
cos120 2AB AC AB AC⋅ = × × = −
,AB x AC y= = 4AB AC xy× = =
2 21 1 23 3AG AB AC AB AC AB AC= + = + + ⋅
2 21 1 24 2 43 3 3x y xy= + − ≥ − =
x y= AB AC=
AG 2
3
ax by cxy+ +号“ ”，其中a，b，c 是常数，若已知 ， ，若 恒成立，则当且
仅当非零实数 m 的值为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
分析】
由新定义的运算 ，及 ， ，构造方程组，不难得到参数
a，b，c 之间的关系 又由有一个非零实数 m，使得对于任意实数 x，都有 ，可以得
到一个关于 m 的方程，解方程即可求出满足条件的 m 的值．
【详解】根据题意，若已知 ， ，
则有 ，
变形可得 ， ．
又由 对于任意实数 x 恒成立，
则有 ，
m 为非零实数，则 ，
又由 ，则有 ．
又由 ．
解可得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查合情推理的应用，关键是掌握“加乘和谐数”的定义，对于新定义的题目
主要是认真读题，明白题意，转化为数学问题.
11.设函数 的值域为 A，若 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【
*x y 1*2 3= 2*3 4= *x m x=
( )
*x y ax by cxy= + + 1*2 3= 2*3 4=
. *x m x=
1*2 3= 2*3 4=
{ 2 2 3
2 3 6 4
a b c
a b c
+ + =
+ + =
2 2b c= + 1 6a c= − −
*x m ax bm cmx x= + + =
{ 1
0
a cm
bm
+ =
=
0b =
2 2b c= + 1c = −
( )1 6 5 1a cm c cm m+ = − − + = − =
4m =
1x
xy e ae
= + − [0, )A ⊆ +∞
2a > 2a ≥ 2a ≤ 3a >结合对号函数的性质可求得函数的值域 ，根据集合的包含关系可构造不等式
求得结果.
【详解】 （当且仅当 ，即 时取等号）
，即
，即
故选：
【点睛】本题考查函数值域的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；关键是能够
结合对号函数的性质准确求得函数的值域.
12.在所有棱长都相等的三棱锥 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下列四个
命题：
（1） 平面 PDF；（2） 平面 ；
（3）平面 平面 ；（4）平面 平面 ．
其中正确命题的序号为________．
A. （2）（3） B. （1）（3） C. （2）（4） D. （1）（4）
【答案】C
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中位线得 ，根据线面平行判定定理可知（1）正确；
（2）根据位置关系可知 与平面 相交，（2）错误；
（3）假设垂直关系成立，根据面面垂直的性质可证得 平面 ，由线面垂直性质得
到 ，根据等腰三角形三线合一可得 ，则 ，不成立可知假设错误，
故（3）错误；
（4）根据线面垂直的判定定理可证得 平面 ，由面面垂直判定定理可证得结论，
知（4）正确.
【详解】
[ )2 ,A a= − +∞
0xe >
1 2x
xe e
∴ + ≥ 1x
xe e
= 0x =
1 2x
xy e a ae
∴ = + − ≥ − [ )2 ,A a= − +∞
[ )0,A ⊆ +∞ 2 0a∴ − ≥ 2a ≤
C
P ABC−
/ /BC / /DF PAE
PDF ⊥ ABC PDF ⊥ PAE
/ /DF BC
DF PAE
AE ⊥ PDF
PF AE⊥ PF AC⊥ / /AE AC
DM ⊥ PAE（1） 分别为 中点
平面 ， 平面 平面 ，（1）正确；
（2） ， 平面 平面 ，（2）正确；
（3）假设平面 平面
， 为 中点 ，又
平面 平面 ， 平面 平面
平面
， 为 中点 ，显然不成立
故假设错误，（3）错误；
（4） 三棱锥所有棱长都相等
又 ， 为 中点 ，
平面 ， 平面
又 平面 平面 平面 ，（4）正确
【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，涉及到线面平行
的判定、面面垂直的判定、线面垂直和面面垂直性质的应用等知识；考查学生对于立体几何
中平行与垂直的判定与性质定理的应用情况.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.曲线 在点 处的切线方程为___．
【答案】
【解析】
试题分析： ， 时， ，即切线斜率为 2．
考点：导数的几何意义．
14.在平面直角坐标系 xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组 表示的平面区
域内，则面积最大的圆 C 的标准方程为_______．
【答案】
【解析】
,D F ,AB AC / /DF BC∴
DF ⊂ PDF BC ⊄ PDF / /BC∴ PDF
DF AE M= AE ⊂ PAE DF∴ PAE M=
PDF ⊥ ABC
AC BC= E BC AE BC∴ ⊥ / /DF BC AE DF∴ ⊥
PDF ABC DF= AE ⊂ ABC AE∴ ⊥ PDF
PF ⊂ PDF PF AE∴ ⊥
PA PC= F AC PF AC∴ ⊥ / /AE AC∴
PF PD∴ =
/ /DM BC M DF DM PM∴ ⊥ DM AM⊥
,AM PM ⊂ PAE AM PM M= DM∴ ⊥ PAE
DM ⊂ PDF ∴ PDF ⊥ PAE
cosy x x= −
2 2
p p
，
2 02x y
π− − =
' 1 siny x= +
2x
π= ' 1 sin 22y
π= + =
3
3 3 0
3 3 0
x
x y
x y
≤
− + ≥
+ + ≥
2 2( 1) 4x y− + =如图：
可得不等式组表示的平面区域，围成的三角形为等边三角形，则面积最大的圆为三角形内切
圆，圆心为 ，半径为 ，所以圆 C 的标准方程为
15.将函数 图象向左平移 个单位长度，得到一个
偶函数图象，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平移后关于 轴对称可知 关于 对称，进而利用特殊值 构造方
程，从而求得结果.
详解】 向左平移 个单位长度后得到偶函数图象，即关于 轴对称
关于 对称
即：
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称
轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.
16.已知数列 的前 项和为 ， ，且 （ 为常数）．若数列 满足
，且 ，则满足条件的 的取值集合为________．
【答案】
【解析】
的
【
( )1 0， 2 ( )2 21 4x y− + =
( ) sin cos ( , R, 0)f x a x b x a b a= + ∈ ≠
6
π
b
a
=
3
y ( )f x
6x
π= ( )03f f
π =
( )f x 6
π y
( )f x∴
6x
π= ( )03f f
π ∴ =
3 1sin cos3 3 2 2a b a b b
π π+ = + = 3b
a
∴ =
3
{ }na n nS 1 1a = 1n nS aλ= − λ { }nb
2
n na b n= − 9 20n+ − 1n nb b+ < n
{5,6}【分析】
利 用 可 求 得 ； 利 用 可 证 得 数 列 为 等 比 数 列 ， 从 而 得 到
，进而得到 ；利用 可得到关于 的不等式，解不等式求得 的取值
范围，根据 求得结果.
【详解】当 时， ，解得：
当 且 时，
，即：
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
，解得：
又 或
满足条件的 的取值集合为
本题正确结果：
【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用 与 的关系求解通项公式、等比数列
通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到 的通项公式，
进而根据单调性可构造出关于 的不等式，从而求得结果.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.若数列 的前 项和 满足 （ , ）.
（1）证明：数列 为等比数列，并求 ；
1 1a S= 2λ = 1n n na S S −= − { }na
12n
na -= nb 1 0n nb b+ - < n n
n ∗∈N
1n = 1 1 1 1a S aλ= = − 1 1λ∴ − = 2λ =
2 1n nS a∴ = −
2n ≥ n ∗∈N 1 12 1n nS a− −= −
1 12 2n n n n na S S a a- -\ = - = - 12n na a −=
∴ { }na 1 2 12n
na -\ =
2 9 20n na b n n= − + −
2
1
9 20
2n n
n nb −
− + −∴ =
( ) ( )2 2 2
1 1
1 9 1 20 9 20 11 28 02 2 2n n n n n
n n n n n nb b+ −
− + + + − − + − − +∴ − = − = <
2 0n > ( )( )2 11 28 4 7 0n n n n∴ − + = − − < 4 7n< <
n ∗∈N 5n∴ = 6
∴ n { }5,6
{ }5,6
na nS
nb
n
{ }na n nS 2n nS a λ= − 0λ > *n N∈
{ }na na（2）若 ， （ ），求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ．（2） ．
【解析】
试题分析：（1）已知 ，写出当 时， ，两
式 子 做 差 ， 得 到 数 列 . 从 而 得 到 数 列 是 等 比 数 列 ； （ 2 ） 根 据 第 一 问 得 到
，分组求和即可。
解析：
（1）∵ ，
当 时，得 ，
当 时， ，
故 ，
即 ，
∴ ，
∴ 是以 为首项，2 为公比的等比数列，
∴ ．
（2）∵ ，得 ，
∴
∴
4λ =
2
,
log ,
n
n
n
a nb a n
=
是奇，
是偶 *n N∈ { }nb 2n 2nT
12n
na λ −= ⋅
1
2
2
4 423 3
n
nT n n
+
= + + −
2n nS a λ= − ( )*0, Nnλ > ∈ 2n ≥ 1 12n nS a λ− −= −
12n na a −=
12
1
n
n
nb
n n
+= +
为奇数
为偶数
2n nS a λ= −
1n = 1a λ=
2n ≥ 1 12n nS a λ− −= −
1 12 2n n n nS S a a− −− = −
12 2n n na a a −= −
12n na a −=
{ }na λ
12n
na λ −= ⋅
4λ = 1 14 2 2n n
na − += ⋅ =
12 ,
1, .
n
n
nb
n n
+= +
是奇，
是偶
2 4 6 2
2 2 3 2 5 2 7 2 2 1n
nT n= + + + + + +…+ + +
( ) ( )2 4 6 22 2 2 2 3 5 2 1n n= + + +…+ + + +…+ +
( )2 3 2 14 2 4
1 4 2
n n n+ +− ⋅= +−，
∴ ．
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有
常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要
检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
18.如图，四棱柱 的底面 是菱形， ， 底面
， ， .
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
试题分析：（1）证明平行可先证线面平行， 平面 ，在此之前先证线线平行；
（2）建立空间坐标系，求两个面的法向量，求两个法向量的夹角即可。
解析：
（Ⅰ）证明：∵ 平面 ， 平面 ，∴ .
∵ 是菱形，∴ .∵ ，∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
( )14 4 23
n
n n
+ −= + +
1
2
2
4 423 3
n
nT n n
+
= + + −
nS na na 1nS −
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD AC BD O= 1AO ⊥
ABCD 2AB = 1 3AA =
1ACO ⊥ 1 1BB D D
60BAD∠ = ° 1B OB C− −
21
21
BD ⊥ 1ACO
1AO ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD 1AO BD⊥
ABCD CO BD⊥ 1AO CO O∩ = BD ⊥ 1ACO
BD ⊂ 1 1BB D D 1ACO ⊥ 1 1BB D D（Ⅱ）∵ 平面 ， ，以 为原点， ， ， 方向为 轴
正方向建立如图所示空间直角坐标系.
∵ ， ， ，
∴ ， ， .
则 ， ， ， ，
∴ ， .
设平面 的法向量为 ，
∵ ， ，
∴ .
令 ，得 .
同理可求得平面 的法向量为 .
∴ .
19.P 是圆 上的动点，P 点在 x 轴上的射影是 D，点 M 满足 ．
（1）求动点 M 的轨迹 C 的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点 的直线 l 与动点 M 的轨迹 C 交于不同的两点 A，B，求以 OA，OB 为邻边的平
1AO ⊥ ABCD CO BD⊥ O OB OC
1OA , ,x y z
2AB = 1 3AA = 60BAD∠ = °
1OB OD= = 3OA OC= = 2 2
1 1 6OA AA OA= − =
( )1,0,0B ( )0, 3,0C ( )0, 3,0A − ( )1 0,0, 6A
( )1 1 0, 3, 6BB AA= = ( )1 1 1, 3, 6OB OB BB+ + =
1OBB ( ), ,n x y z=
( )1,0,0OB = ( )1 1, 3, 6OB =
0
3 6 0
x
x y z
= + + =
2y = ( )0, 2, 1n = −
1OCB ( )6,0, 1m = −
1 21cos , 217 3
n m =
×
2 2 4x y+ = 1
2DM DP=
(3,0)N行四边形 OAEB 的顶点 E 的轨迹方程．
【答案】（1）点 M 的轨迹 C 的方程为 ，轨迹 C 是以 ， 为焦点，长
轴长为 4 的椭圆（2）
【解析】
【分析】
（1）设 ，根据 可求得 ，代入圆的方程可得所求轨迹方程；
根据轨迹方程可知轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆；
（2）设 ，与椭圆方程联立，利用 求得 ；利用韦达定理表示出
与 ，根据平行四边形和向量的坐标运算求得 ，消去 后得到轨迹方程；根
据 求得 的取值范围，进而得到最终结果.
【详解】（1）设 ，则
由 知：
点 在圆 上
点 的轨迹 的方程为：
轨迹 是以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆
（2）设 ，由题意知 的斜率存在
设 ，代入 得：
则 ，解得：
设 ， ，则
2
2 14
x y+ = ( 3,0)− ( 3,0)
2 2 84 6 0 0 3x y x x + − = < 0∆ 2 1
5k <
1 2x x+ 1 2y y+ OE k
2 1
5k < x
( ),M x y ( ),0D x
1
2DM DP= ( ),2P x y
P 2 2 4x y+ = 2 24 4x y∴ + =
∴ M C
2
2 14
x y+ =
C ( )3,0− ( )3,0 4
( ),E x y l
( ): 3l y k x= − 2
2 14
x y+ = ( )2 2 2 21 4 24 36 4 0k x k x k+ − + − =
( ) ( )( )22 2 224 4 1 4 36 4 0k k k∆ = − − + − > 2 1
5k <
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
1 2 2
24
1 4
kx x k
+ = +
∴ ( ) ( ) ( ) 3
1 2 1 2 1 2 2 2
24 63 3 6 61 4 1 4
k ky y k x k x k x x k kk k
−+ = − + − = + − = − =+ +四边形 为平行四边形
又 ∴ ，消去 得：
顶点 的轨迹方程为
【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关
系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程
后，忽略 的取值范围.
20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 （单位：万元）对年销
售量 （单位：吨）和年利润 （单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费 和年销售量
（ ）的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份
年宣传费 （万元）
年销售量 （吨）
经电脑模拟，发现年宣传费 （万元）与年销售量 （吨）之间近似满足关系式
（ ）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：
OAEB
∴ ( ) 2
1 2 1 2 2 2
24 6, , ,1 4 1 4
k kOE OA OB x x y y k k
−= + = + + = + +
( ),OE x y=
2
2
2
24
1 4
6
1 4
kx k
ky k
= + − = +
k 2 24 6 0x y x+ − =
2 1
5k 0b > ln ln lny a b x= +
lni iu x= lni iv y= lnv a b u= + ⋅
24.6 4.16u = = 18.3 3.056v = =
( ) ( )6 6
1 1
ln lni i i i
i i
u v x y
= =
= =∑ ∑ 75.3
( )6 6 22
1 1
1n 101.4i i
i i
u x
= =
= =∑ ∑
( )6
1
6 2 2
1 6
ˆ 6i ii
ii
u v u v
b
u u
=
=
− ⋅
=
− ⋅
∑
∑ 2
75.3 6 4.1 3.05
101.4 6 4.1
− × ×= − ×
0.27 1
0.54 2
= =
1ln ln 3.05 4.1 12a v u= − = − × =
ˆa e=
y x ˆy e x= ⋅
2 214
ˆ ez y x e x= − = ⋅
14 14
e ex− = − ( )14 2 14
ex x− = − ( )2
7 2 7x e− +所以当 ，即 时， 取得最大值，
即当 2019 年的年宣传费用是 万元时，年利润有最大值.
【点睛】考查了线性回归方程求解，考查了二次函数计算最值问题，关键结合题意，得到回
归方程，第二问关键转化为二次函数问题，难度中等。
21.设 ．
（1）求证：当 时， 恒成立；
（2）讨论关于 x 的 方程根的个数．
【答案】（1）证明见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）求导后可知 且不恒等于 ，得到 的单调性，从而知 ，
结论可证得；
（2）将方程整理为 ，将问题转化为 与
交点个数的讨论；结合导数可得到 的单调性，从而得到
的图象，利用二次函数 平移可确定临界状态，结合图象得到不同情况下交点的个数，进
而得到结果.
【详解】（1）由题意得： 的定义域为
当 时， 且不恒等于 在 上单调递增
当 时， 恒成立
（2）化简方程得： ，即
令 ，
则方程根的个数等价于 与 图象交点个数
7 2x = 98x = ˆz
98
1( ) 2lnf x x xx
= − −
1x ≥ ( ) 0f x ≥
3 21 ( ) 2x f x x ex txx
− − = − +
( ) 0f x′ ≥ 0 ( )f x ( ) ( )1 0f x f≥ =
( )22ln 2 0x x ex t xx
= − + > ( ) ( )2ln 0xg x xx
= >
( ) ( )2 2 0h x x ex t x= − + > ( )g x ( )g x
( )h x
( ) 1 2lnf x x xx
= − − ( )0, ∞+
( ) ( ) ( )
22
2 2 2
11 2 2 11 0xx xf x xx x x x
−− +′ = + − = = >
1x ≥ ( ) 0f x′ ≥ 0 ( )f x∴ [ )1,+∞
( ) ( )1 0f x f∴ ≥ =
∴ 1x ≥ ( ) 0f x ≥
( )3 22ln 2 0x x ex tx x= − + > ( )22ln 2 0x x ex t xx
= − + >
( ) ( )2ln 0xg x xx
= > ( ) ( )2 2 0h x x ex t x= − + >
( )g x ( )h x当 时， ，则 在 上单调递增
当 时， ，则 在 上单调递减
； 时， ； 时，
又
与 在同一坐标系内的大致图像如图所示：
由图象可知：当 时，即 时，方程无实根；当 时，即
时，方程有一个实根；当 时，即 时，方程有两个不等实根
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数证明不等式、讨论方程根的个
数的问题；讨论根的个数的问题常转化为两个函数的交点个数问题，利用导数求得函数的单
调性，从而得到函数图象，利用数形结合的方式来进行求解.
请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．
22.在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 为参数 ，
直线 与曲线 分别交于 两点.
（1）若点 的极坐标为 ，求 的值；
（2）求曲线 的内接矩形周长的最大值.
( ) ( )
2 2
2 1 ln2 2ln xxg x x x
−−′ = =
( )0,x e∈ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0,e
( ),x e∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ),e +∞
( ) ( )max
2g x g e e
∴ = = 0x → ( )g x → −∞ x → +∞ ( ) 0g x →
( ) ( )22 22h x x ex t x e t e= − + = − + −
( )g x∴ ( )h x
2 2t e e
− > 2 2t e e
> + 2 2t e e
− = 2 2t e e
= +
2 2t e e
− = 2 2t e e
< +
xOy O x C
2 2 2 2cos 3 sin 12ρ θ ρ θ+ = l
22 2 (
2
2
x t
t
y t
= − +
=
)
l C ,M N
P (2, )π PM PN⋅
C【答案】（1）4；（2）16.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，将曲线 C 的极坐标方程变形为标准方程，将直线的参数方程与曲线 C 的方程
联立，可得 ，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；
（2）写出曲线 C 的参数方程，分析可得以 P 为顶点的内接矩形周长 l
，由正弦函数的性质分析可得答案．
【详解】（1）由 ，将 x=ρcosθ，y=ρsinθ 代入得到 +3 =12,
所以曲线 C 的直角坐标方程为 +3 =12， 的极坐标为 ，化为直角坐标为（-2，0）
由直线 l 的参数方程为： （t 为参数），
知直线 l 是过点 P（-2，0），且倾斜角为 的直线，
把直线的参数方程代入曲线 C 得， ．
所以|PM|•|PN|＝|t1t2|＝4．
（2）由曲线 C 的方程为 ，
不妨设曲线 C 上的动点 ，
则以 P 为顶点的内接矩形周长 l ，
又由 sin（θ ）≤1，则 l≤16；
因此该内接矩形周长的最大值为 16．
【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程与普通方程的互化，考查了直线的参数方程的意义及椭
圆参数方程的应用，涉及三角函数的最值问题，属于中档题．
23.设函数 ， .
2 2 4 0t t− − =
( )4 2 3 2 16 03 2cos sin sin
π πθ θ θ θ = × + = + ＜ ＜
2 2 2 2cos 3 sin 12ρ θ ρ θ+ = 2x 2y
2x 2y P ( )2,π
22 2
2
2
x t
y t
= − +
=
4
π
2 2 4 0t t− − =
2 2
112 4
x y+ =
( )2 3 2P cos sinθ θ，
( )4 2 3 2 16 03 2cos sin sin
π πθ θ θ θ = × + = + ＜ ＜
3
π+
( ) 1 ( 0)f x ax x a a= + + − > 2( )g x x x= −（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）已知 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出即可；
（2）求出 f（x）的分段函数的形式，通过讨论 a 的范围，求出 f（x）的最小值即可．
【详解】（1）a＝1 时，f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，
若 g（x）≥f（x），
即 x2-x≥|x+1|+|x﹣1|，
故
或
或 ，
解得：x≥3 或 x≤-1，
故不等式的解集是{x|x≥3 或 x≤﹣1}；
（2）f（x）＝|ax+1|+|x﹣a| ，
若 0＜a≤1，则 f（x）min＝f（a）＝a2+1，
∴a2+1 ，解得：a 或 a ，
∴a=1，
若 a＞1，则 f（x）min＝f（ ）＝a 2，
∴a＞1，
综上，a ．
1a = ( ) ( )g x f x≥
( ) 2f x ≥ a
{ | 1x x ≤ − }3x ≥ [ )1,a∈ +∞
2
1
1 1
x
x x x x
≥
− ≥ + + −
2
1 1
1 1
x
x x x x
−
− ≥ + + −
＜ ＜
2
1
1 1
x
x x x x
≤ −
− ≥ − − + −
( )
( )
( )
11 1
11 1
1 1
a x a x a
a x a x aa
a x a x a
， ＜
，
， ＞
− + + − −
= − + + − ≤ ≤
+ − +
2≥ 1≥ 1≤ −
1
a
− 1
a
+ ＞
1≥【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及求函数最值问题，是一道
中档题．
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