宝安区 2019-2020 学年第一学期调研测试
高三数学（文科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.已知全集 2，3， ，集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D. 3，
【答案】B
【解析】
【分析】
由补集的定义求得得 ，进而由交集的定义可得结果．
【详解】因为全集 ，集合 ，
则 ，
又因为集合 ，
所以 ；
故选 B．
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键
是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且不属于集合 的元素
的集合.
2.已知复数 满足 ，其中 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
U {1,= 4} { }A 2,3= { }B 1,3= ( )UA B∩ =
{ }3 { }2 { }2,3 {2, 4}
U B
{ }1,2,3,4U = { }1,3B =
{ }2,4U B =
{ }2,3A =
( ) {2UA B∩ = }
A B
z (1 i) 2 iz − = − i z【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，从而得答案．
【详解】 ,
,
则在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
故选 A．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．复数是高
考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯
虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数
的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3.如图是一个边长为 3 的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随
机投掷 1089 个点，其中落入白色部分的有 484 个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出正方形的面积，根据几何概型的原理可求得结果.
【详解】正方形二维码的面积为： 黑色部分的面积为：
故选：
【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题.
4.已知双曲线 ，直线 与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，
z
( ) ( )1 2i z i− = −
( )( )
( )( )
22 12 2 3
1 1 1 2 2
i ii i i iz i i i
− +− + − +∴ = = = =− − +
3 1,2 2
3 3 9× = ∴ 1089 484 9 51089
− × =
B
2 2
2 2: 1 0, 0)x yC a ba b
− = > >（ y b=N，O 为坐标原点．若 为直角三角形，则 C 的离心率为（）．
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线的对称性可得渐近线方程，从而得到 关系，进而求得 关系，利用 求得
结果.
【详解】 为直角三角形，结合对称性可知，双曲线 的渐近线为：
即
本题正确选项：
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够根据双曲线的对称性得到渐近线方程.
5.已知数列 中， ， ．若数列 为等差数列，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果
【详解】依题意得： ，因为数列 为等差数列，
所以 ，所以 ，所以 ，故选 C．
【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较
基础
6.已知 ，且 ，则 ( )
为
OMN
2 3 5
,a b ,a c ce a
=
OMN∆ C y x= ±
1b
a
= 2 2 2c a b a∴ = + = 2ce a
∴ = =
A
{ }na 3 =2a 7 =1a 1{ }
na 9 =a
1
2
5
4
4
5
4
5
−
73 2, 1a a= = 1{ }
na
7 3
1 1 1 1 12
7 3 7 3 8
− −
= = =− −
a ad
( )
9 7
1 1 1 59 7 8 4a a
= + − × =
9
4
5
=a
1sin( )6 2
πθ − = 0 2
πθ ∈ ， cos( )3
πθ − =A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解法一：由题意求出 的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果
【详解】解法一：由 ，且 得， ，代入 得，
= ，故选 C．
解法二：由 ，且 得， ，
所以 ，故选 C．
【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础
7.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满
了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下缀 4 个小
灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯
球是大灯下缀 4 个小灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设大灯下缀 2 个小灯为 个，大灯下缀 4 个小灯有 个，根据题意求得 ，再
由古典概型及其概率的公式，即可求解．
【详解】设大灯下缀 2 个小灯为 个，大灯下缀 4 个小灯有 个，
根据题意可得 ，解得 ，
0 1
2 1 3
2
θ
π 1sin 6 2
θ − =
π0, 2
θ ∈
π
3
θ = πcos 3
θ −
πcos 3
θ − cos0 1=
π 1sin 6 2
θ − =
π0, 2
θ ∈
π 3cos 6 2
θ − =
π π π π π π πcos cos cos cos sin sin 13 6 6 6 6 6 6
θ θ θ θ − = − − = − + − =
1
3
2
3
1
4
3
4
x y 120, 240x y= =
x y
360
2 4 1200
x y
x y
+ =
+ = 120, 240x y= =则灯球的总数为 个，
故这个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为 ，故选 B．
【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意列出方程组，求得
两种灯球的数量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
8.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩 满
分 100 分 的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，
则 的值为
A. 8 B. 7 C. 9 D. 168
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平均数和中位数的定义和公式，分别进行计算即可得到结论．
【详解】 甲班学生成绩的平均分是 85，
，
即 ．
乙班学生成绩的中位数是 83，
若 ，则中位数为 81，不成立．
若 ，则中位数为 ，
解得 ．
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查茎叶图是应用，要求熟练掌握平均数和中位数的概念和计算公式，比
较基础．
360x y+ =
240 2
360 3
=
(
)
x y+ ( )
79 78 80 80 85 92 96 85 7x∴ + + + + + + + = ×
5x =
∴ 1y ≤
1y > 80 83y+ =
3y =
5 3 8x y∴ + = + =9.已知点 是 的重心， ，若 ，
，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解 的最小值即可.
【 详 解 】 如 图 所 示 ， 由 向 量 加 法 三 角 形 法 则 及 三 角 形 重 心 的 性 质 可 得
,
，
根据向量的数量积的定义可得 ,
设 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 ，△ABC 是等腰三角形时等号成立.
综上可得 的最小值是 .
本题选择 C 选项.
【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法
等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10.对于任意实数 x，y，把代数运算 的值叫做 x 与 y 的“加乘和谐数”，记作符
的
G ABC∆ ( , )AG AB AC Rλ µ λ µ= + ∈ 120A∠ =
2AB AC⋅ = − | |AG
3
3
2
2
2
3
3
4
AG
( )2 1
3 3AG AD AB AC= = +
120 , 2A AB AC∠ = ⋅ = −
cos120 2AB AC AB AC⋅ = × × = −
,AB x AC y= = 4AB AC xy× = =
2 21 1 23 3AG AB AC AB AC AB AC= + = + + ⋅
2 21 1 24 2 43 3 3x y xy= + − ≥ − =
x y= AB AC=
AG 2
3
ax by cxy+ +号“ ”，其中a，b，c 是常数，若已知 ， ，若 恒成立，则当且
仅当非零实数 m 的值为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
由新定义的运算 ，及 ， ，构造方程组，不难得到参数
a，b，c 之间的关系 又由有一个非零实数 m，使得对于任意实数 x，都有 ，可以得
到一个关于 m 的方程，解方程即可求出满足条件的 m 的值．
【详解】根据题意，若已知 ， ，
则有 ，
变形可得 ， ．
又由 对于任意实数 x 恒成立，
则有 ，
m 为非零实数，则 ，
又由 ，则有 ．
又由 ．
解可得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查合情推理的应用，关键是掌握“加乘和谐数”的定义，对于新定义的题目
主要是认真读题，明白题意，转化为数学问题.
11.设函数 的值域为 A，若 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】【
*x y 1*2 3= 2*3 4= *x m x=
( )
*x y ax by cxy= + + 1*2 3= 2*3 4=
. *x m x=
1*2 3= 2*3 4=
{ 2 2 3
2 3 6 4
a b c
a b c
+ + =
+ + =
2 2b c= + 1 6a c= − −
*x m ax bm cmx x= + + =
{ 1
0
a cm
bm
+ =
=
0b =
2 2b c= + 1c = −
( )1 6 5 1a cm c cm m+ = − − + = − =
4m =
1x
xy e ae
= + − [0, )A ⊆ +∞
2a > 2a ≥ 2a ≤ 3a >结合对号函数的性质可求得函数的值域 ，根据集合的包含关系可构造不等式
求得结果.
【详解】 （当且仅当 ，即 时取等号）
，即
，即
故选：
【点睛】本题考查函数值域的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；关键是能够
结合对号函数的性质准确求得函数的值域.
12.在所有棱长都相等的三棱锥 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下列四个
命题：
（1） 平面 PDF；（2） 平面 ；
（3）平面 平面 ；（4）平面 平面 ．
其中正确命题的序号为________．
A. （2）（3） B. （1）（3） C. （2）（4） D. （1）（4）
【答案】C
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中位线得 ，根据线面平行判定定理可知（1）正确；
（2）根据位置关系可知 与平面 相交，（2）错误；
（3）假设垂直关系成立，根据面面垂直的性质可证得 平面 ，由线面垂直性质得
到 ，根据等腰三角形三线合一可得 ，则 ，不成立可知假设错误，
故（3）错误；
（4）根据线面垂直的判定定理可证得 平面 ，由面面垂直判定定理可证得结论，
知（4）正确.
【详解】
[ )2 ,A a= − +∞
0xe >
1 2x
xe e
∴ + ≥ 1x
xe e
= 0x =
1 2x
xy e a ae
∴ = + − ≥ − [ )2 ,A a= − +∞
[ )0,A ⊆ +∞ 2 0a∴ − ≥ 2a ≤
C
P ABC−
/ /BC / /DF PAE
PDF ⊥ ABC PDF ⊥ PAE
/ /DF BC
DF PAE
AE ⊥ PDF
PF AE⊥ PF AC⊥ / /AE AC
DM ⊥ PAE（1） 分别为 中点
平面 ， 平面 平面 ，（1）正确；
（2） ， 平面 平面 ，（2）正确；
（3）假设平面 平面
， 为 中点 ，又
平面 平面 ， 平面 平面
平面
， 为 中点 ，显然不成立
故假设错误，（3）错误；
（4） 三棱锥所有棱长都相等
又 ， 为 中点 ，
平面 ， 平面
又 平面 平面 平面 ，（4）正确
【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面 位置关系的判定，涉及到线面平行
的判定、面面垂直的判定、线面垂直和面面垂直性质的应用等知识；考查学生对于立体几何
中平行与垂直的判定与性质定理的应用情况.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.曲线 在点 处的切线方程为___．
【答案】
【解析】
试题分析： ， 时， ，即切线斜率为 2．
考点：导数的几何意义．
14.在平面直角坐标系 xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组 表示的平面区
域内，则面积最大的圆 C 的标准方程为_______．
【答案】
【解析】
的
,D F ,AB AC / /DF BC∴
DF ⊂ PDF BC ⊄ PDF / /BC∴ PDF
DF AE M= AE ⊂ PAE DF∴ PAE M=
PDF ⊥ ABC
AC BC= E BC AE BC∴ ⊥ / /DF BC AE DF∴ ⊥
PDF ABC DF= AE ⊂ ABC AE∴ ⊥ PDF
PF ⊂ PDF PF AE∴ ⊥
PA PC= F AC PF AC∴ ⊥ / /AE AC∴
PF PD∴ =
/ /DM BC M DF DM PM∴ ⊥ DM AM⊥
,AM PM ⊂ PAE AM PM M= DM∴ ⊥ PAE
DM ⊂ PDF ∴ PDF ⊥ PAE
cosy x x= −
2 2
p p
，
2 02x y
π− − =
' 1 siny x= +
2x
π= ' 1 sin 22y
π= + =
3
3 3 0
3 3 0
x
x y
x y
≤
− + ≥
+ + ≥
2 2( 1) 4x y− + =如图：
可得不等式组表示的平面区域，围成的三角形为等边三角形，则面积最大的圆为三角形内切
圆，圆心为 ，半径为 ，所以圆 C 的标准方程为
15.将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到一个
偶函数图象，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平移后关于 轴对称可知 关于 对称，进而利用特殊值 构造方
程，从而求得结果.
【详解】 向左平移 个单位长度后得到偶函数图象，即关于 轴对称
关于 对称
即：
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称
轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.
16.已知数列 的前 项和为 ， ，且 （ 为常数）．若数列 满足
，且 ，则满足条件的 的取值集合为________．
【答案】
【解析】
( )1 0， 2 ( )2 21 4x y− + =
( ) sin cos ( , R, 0)f x a x b x a b a= + ∈ ≠
6
π
b
a
=
3
y ( )f x
6x
π= ( )03f f
π =
( )f x 6
π y
( )f x∴
6x
π= ( )03f f
π ∴ =
3 1sin cos3 3 2 2a b a b b
π π+ = + = 3b
a
∴ =
3
{ }na n nS 1 1a = 1n nS aλ= − λ { }nb
2
n na b n= − 9 20n+ − 1n nb b+ < n
{5,6}【分析】
利 用 可 求 得 ； 利 用 可 证 得 数 列 为 等 比 数 列 ， 从 而 得 到
，进而得到 ；利用 可得到关于 的不等式，解不等式求得 的取值
范围，根据 求得结果.
【详解】当 时， ，解得：
当 且 时，
，即：
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
，解得：
又 或
满足条件的 的取值集合为
本题正确结果：
【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用 与 的关系求解通项公式、等比数列
通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到 的通项公式，
进而根据单调性可构造出关于 的不等式，从而求得结果.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在 中， ，点 D，E 分别在边 AB，BC 上， ， ，且
的面积为 ．
（1）求边 DE 长；
（2）若 ，求 的值．
1 1a S= 2λ = 1n n na S S −= − { }na
12n
na -= nb 1 0n nb b+ - < n n
n ∗∈N
1n = 1 1 1 1a S aλ= = − 1 1λ∴ − = 2λ =
2 1n nS a∴ = −
2n ≥ n ∗∈N 1 12 1n nS a− −= −
1 12 2n n n n na S S a a- -\ = - = - 12n na a −=
∴ { }na 1 2 12n
na -\ =
2 9 20n na b n n= − + −
2
1
9 20
2n n
n nb −
− + −∴ =
( ) ( )2 2 2
1 1
1 9 1 20 9 20 11 28 02 2 2n n n n n
n n n n n nb b+ −
− + + + − − + − − +∴ − = − = <
2 0n > ( )( )2 11 28 4 7 0n n n n∴ − + = − − < 4 7n< <
n ∗∈N 5n∴ = 6
∴ n { }5,6
{ }5,6
na nS
nb
n
Rt ABC 90C∠ = ° 5CD = 3CE = ECD∆
3 6
3AD = sin A【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）由题, ,可得 ,进而通过余弦定理求出
；
（2） 中,由正弦定理可得 ,解出 即可
【详解】解：（1）如图,在 中,
,
所以 ，,
因为 ,所以 ,
由余弦定理得 ,
（2）因为 ,
所以 ,
在 ,由正弦定理得 ,
即 ,所以
【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查余弦定理求三角形边长,考查正弦定理的应用,
考查运算能力
18.如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ，
2 7DE = 1sin 3A =
1 sin2ECDS CE CD DCE∆ = ⋅ ∠ 2 6sin 5
∠ =DCE
DE
ADC sin sin
AD CD
ACD A
=∠ sin A
ECD
1 1sin 5 3 sin 3 62 2ECDS CE CD DCE DCE∆ = ⋅ ∠ = × × × ∠ =
2 6sin 5
∠ =DCE
0 90° < ∠ < °DCE
2
2 6 1cos 1 5 5DCE
∠ = − =
2 2 2 12 cos 25 9 2 5 3 285DE CE CD CE CD DCE= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = + − × × × =
∴ 2 7DE =
90ACB∠ = °
1sin sin 90 cos 5ACD DCE DCE∠ = ° − ∠ = ∠ =（ ）
ADC sin sin
AD CD
ACD A
=∠
3 5
1 sin
5
A
= 1sin 3A =
P ABCD− PD ⊥ ABCD / /AB CD 120ADC =∠ °， ，点 为棱 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求 点到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）取 的中点 ，连结 ， ，通过条件证明 ， ，得到
，从而证明 平面 .
（2）由（1）知 平面 ，所以 点到平面 的距离等于 点到平面 的距
离，取 中点 ，连结 ，则易证 ，从而得到 点到平面 的距
离.
【详解】证明：（1）取 的中点 ，连结 ， ，
是棱 的中点， ，且 ，
， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2）取 中点 ，连结 ，
，
在 中，由余弦定理得
，
2AD AB= = 4CD = M PC
/ /BM PAD
M PAD
3
PD E AE EM / /EM AB EM AB=
/ /BM AE / /BM PAD
/ /BM PAD M PAD B PAD
AD F BF BF PAD⊥ 平面 M PAD
PD E AE EM
M PC / /EM CD∴ 1
2EM CD=
/ /AB CD 2AB = 4CD =
/ /EM AB∴ EM AB=
∴ ABME / /BM AE∴
BM ⊂ PAD AE ⊂ PAD
/ /BM∴ PAD
AD F BF 1AF =
/ /AB CD 120ADC∠ = °
60DAB∴∠ = °
FAB 2 2 21 2 2 1 2 cos60 3BF = + − × × × ° =
3BF∴ = 2 2 2BF AF AB∴ + =，
又 底面 ， 面 ，
， 平面
平面 ．
由（1）知 平面 ， 点到平面 的距离等于 点到平面 的距离，
点到平面 的距离为 ．
【点睛】本题考查通过线线平行证明线面平行，通过线面平行将点到平面的距离进行转化，
属于中档题.
19.已知抛物线 ，直线 与 相交所得的长为 8．
求 的值；
过原点 O 直线 与抛物线 交于 点，与直线 交于 H 点，过点 H 作 轴的垂线交
抛物线 于 点，求证：直线 过定点．
【答案】（1） （2）见证明
【解析】
【分析】
直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理根据弦长公式列方程即可求出 的值； 由
可得 ，设 ，求出点 的坐标，利用两点式可表示出直线 的方程
，从而可求得直线过定点．
【详解】 由 ，消 x 可得 ，
∴ BF AD⊥
PD ⊥ ABCD BF ⊂ ABCD PD BF∴ ⊥
PD AD D∩ = ,PD AD ⊂ PAD
BF∴ ⊥ PAD
/ /BM PAD M∴ PAD B PAD
M∴ PAD 3
( )2: 2 0C y px p= > 1y x= − C
( )1 p
( )2 l C M 1x = − y
C N MN
2
( )1 p ( )2 ( )1
2 4y x= 2
0 0
1 ,4M y y
N MN
( )0
2
0
4 14
yy xy
= −−
( )1
2y 2px
y x 1
=
= −
2y 2py 2p 0− − =， ，
弦长为 ，
解得 或 舍去 ，
，
由 可得 ，
设 ，
直线 OM 的方程 ，
当 时，
，
代入抛物线方程 ，可得 ，
，
直线 MN 的斜率 ，
1 2y y 2p∴ + = 1 2y y 2p= −
∴ ( )22 2
1 1 21 1 y y 4y y 2 4p 8p 8+ ⋅ + − = ⋅ + =
p 2= p 4(= − )
p 2∴ =
( )2 ( )1 2y 4x=
2
0 0
1M y , y4
∴
0
4y xy
=
x 1= −
H
0
4y y
∴ = −
2y 4x= N 2
0
4x y
=
2
0 0
4 4N ,y y
∴ −
∴
0
0 0
2 2
0 0
2
0
8y y 4yk y 16 y 4
4 y
+
= = −−直线 MN 的方程为 ，整理可得 ，
故直线 MN 过点 ．
【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长公式，直线过定点，属于中档题．判断
直线过定点主要形式有：（1）斜截式， ，直线过定点 ；（2）点斜式
直线过定点 .
20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 （单位：万元）对年销
售量 （单位：吨）和年利润 （单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费 和年销售量
（ ）的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份
年宣传费 （万元）
年销售量 （吨）
经电脑模拟，发现年宣传费 （万元）与年销售量 （吨）之间近似满足关系式
（ ）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：
（1）根据所给数据，求 关于 的回归方程；
（2）已知这种产品的年利润 与 ， 的关系为 若想在 年达到年利润
最大，请预测 年的宣传费用是多少万元？
附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 中的斜率和截
20
0 02
0
4y 1y y x yy 4 4
− = − −
( )0
2
0
4 14
yy xy
= −−
( )1,0
0y kx y= + ( )00, y
( )0 ,y k x x= − ( )0 ,0x
x
y z ix iy
1,2,3,4,5,6i =
2013 2014 2015 2016 2017 2018
x 38 48 58 68 78 88
y 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5
x y by a x= ⋅
, 0a b >
( )6
1
ln lni i
i
x y
=
⋅∑ ( )6
1
ln i
i
x
=
∑ ( )6
1
ln i
i
y
=
∑ ( )6 2
1
ln i
i
x
=
∑
75.3 24.6 18.3 101.4
y x
z x y e2 14z y x= − 2019
2019
( )1,lu v ( )2 2,u v ( ),n nu v v u aβ= ⋅ +距的最小二乘估计分别为 ，
【答案】（1） （2）当 2018 年的宣传费用为 98 万元时，年利润有最大值.
【解析】
【分析】
（1）转化方程 ，结合线性回归方程参数计算公式，计算，即可。（2）将 z 函数转化
为二次函数，计算最值，即可。
详解】（1）对 ，（ ， ），两边取对数得 ，
令 ， ，得 ，
由题目中的数据，计算 ， ，
且 ，
；
则 ，
，
得出 ，
所以 关于 的回归方程是 ；
（2）由题意知这种产品的年利润 z 的预测值为
，
所以当 ，即 时， 取得最大值，
即当 2019 年的年宣传费用是 万元时，年利润有最大值.
【点睛】考查了线性回归方程求解，考查了二次函数计算最值问题，关键结合题意，得到回
归方程，第二问关键转化为二次函数问题，难度中等。
【
( )
1
2 2
1
( )
( )
n
i i
i
n
i
i
u v n uv
u n u
β =
=
−
=
−
∑
∑
v uα β= − ⋅
y e x= ⋅
by a x= ⋅
by a x= ⋅ 0a > 0b > ln ln lny a b x= +
lni iu x= lni iv y= lnv a b u= + ⋅
24.6 4.16u = = 18.3 3.056v = =
( ) ( )6 6
1 1
ln lni i i i
i i
u v x y
= =
= =∑ ∑ 75.3
( )6 6 22
1 1
1n 101.4i i
i i
u x
= =
= =∑ ∑
( )6
1
6 2 2
1 6
ˆ 6i ii
ii
u v u v
b
u u
=
=
− ⋅
=
− ⋅
∑
∑ 2
75.3 6 4.1 3.05
101.4 6 4.1
− × ×= − ×
0.27 1
0.54 2
= =
1ln ln 3.05 4.1 12a v u= − = − × =
ˆa e=
y x ˆy e x= ⋅
2 214
ˆ ez y x e x= − = ⋅
14 14
e ex− = − ( )14 2 14
ex x− = − ( )2
7 2 7x e− +
7 2x = 98x = ˆz
9821.已知函数 ， 是常数．
Ⅰ 证明：曲线 在 处的切线经过定点；
Ⅱ 证明：函数 有且仅有一个零点．
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】
Ⅰ 求出函数的导函数，求出切线的斜率，推出切线方程，然后求解直线经过的定点．
Ⅱ 讨论函数的单调性，结合零点存在定理，推出零点的个数．
【详解】 Ⅰ
曲线 在 处的切线为
即 ， 当 时， ，
即切线过定点
Ⅱ 当 时，
单调递增，根据对数函数与幂函数性质，
当 x 是充分小的正数时， ，
当 x 是充分大的正数时， ，所以， 有且仅有一个零点
当 时，解 得， ，
x
0 0
极 极
( ) 21f x lnx x ax2
= + − a R∈
( ) ( )y f x= x 1=
( ) ( )f x
30, 2
−
( )
( )
( ( ) 1)f x x a,x
= + −′
( )y f x= x 1= ( ) ( )( )y f 1 f 1 x 1 ,= ′− −
( )( )1y a 2 a x 12
− − = − −
( ) 3y 2 a x 2
= − − x 0= 3y 2
= −
30, .2
−
( ( )) 1 a 2≤ ( ) 1f' x x a 2 a 0,x
= + − ≥ − ≥
( )f x
( )f x 0<
( )f x 0> ( )f x ,
( )2 a 2> ( ) 1f' x x a 0x
= + − = 2
1
a a 4x 2
− −=
2
2
a a 4x 2
+ −=
( )10,x 1x ( )1 2x ,x 2x ( )2x , ∞+
( )f' x + - +
( )f x 大
值
小
值
，
其中 ，所以
所以，任意 ， ， 在区间 无零点
取 ，则 ， ，
所以， 在区间 有零点
由 的单调性知， 在区间 有且仅有一个零点
综上所述，函数 有且仅有一个零点
【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查转化思
想以及计算能力．
请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．
22.在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 为参数 ，
直线 与曲线 分别交于 两点.
（1）若点 的极坐标为 ，求 的值；
（2）求曲线 的内接矩形周长的最大值.
【答案】（1）4；（2）16.
( ) 2 2 2 2 2
2 2 2
1
a a 4 1 a a 4 a a a 4 a a 4 1f x ln ( ) ln (a a 4) 12 2 2 2 2 8
− − − − − − − −= + − = − − − −
2
2
a a 4 2 12 a a 4
− − = <
+ −
( )1f x 0,<
( ]2x 0,x∀ ∈ ( )f x 0< ( )f x ( ]20,x ,
0x 2a 1= + 0x e> ( ) ( )0 0 0 0
1f x lnx x x 2a 02
= + − >
( )f x ( )2 0x ,x ,
( )f x ( )f x ( )2x , ∞+
( )f x .
xOy O x C
2 2 2 2cos 3 sin 12ρ θ ρ θ+ = l
22 2 (
2
2
x t
t
y t
= − +
=
)
l C ,M N
P (2, )π PM PN⋅
C【解析】
【分析】
（1）根据题意，将曲线 C 的极坐标方程变形为标准方程，将直线的参数方程与曲线 C 的方程
联立，可得 ，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；
（2）写出曲线 C 的参数方程，分析可得以 P 为顶点的内接矩形周长 l
，由正弦函数的性质分析可得答案．
【详解】（1）由 ，将 x=ρcosθ，y=ρsinθ 代入得到 +3 =12,
所以曲线 C 的直角坐标方程为 +3 =12， 的极坐标为 ，化为直角坐标为（-2，0）
由直线 l 的参数方程为： （t 为参数），
知直线 l 是过点 P（-2，0），且倾斜角为 的直线，
把直线的参数方程代入曲线 C 得， ．
所以|PM|•|PN|＝|t1t2|＝4．
（2）由曲线 C 的方程为 ，
不妨设曲线 C 上的动点 ，
则以 P 为顶点的内接矩形周长 l ，
又由 sin（θ ）≤1，则 l≤16；
因此该内接矩形周长的最大值为 16．
【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程与普通方程的互化，考查了直线的参数方程的意义及椭
圆参数方程的应用，涉及三角函数的最值问题，属于中档题．
23.设函数 ， .
（1）当 时，求不等式 的解集；
2 2 4 0t t− − =
( )4 2 3 2 16 03 2cos sin sin
π πθ θ θ θ = × + = + ＜ ＜
2 2 2 2cos 3 sin 12ρ θ ρ θ+ = 2x 2y
2x 2y P ( )2,π
22 2
2
2
x t
y t
= − +
=
4
π
2 2 4 0t t− − =
2 2
112 4
x y+ =
( )2 3 2P cos sinθ θ，
( )4 2 3 2 16 03 2cos sin sin
π πθ θ θ θ = × + = + ＜ ＜
3
π+
( ) 1 ( 0)f x ax x a a= + + − > 2( )g x x x= −
1a = ( ) ( )g x f x≥（2）已知 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出即可；
（2）求出 f（x）的分段函数的形式，通过讨论 a 的范围，求出 f（x）的最小值即可．
【详解】（1）a＝1 时，f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，
若 g（x）≥f（x），
即 x2-x≥|x+1|+|x﹣1|，
故
或
或 ，
解得：x≥3 或 x≤-1，
故不等式的解集是{x|x≥3 或 x≤﹣1}；
（2）f（x）＝|ax+1|+|x﹣a| ，
若 0＜a≤1，则 f（x）min＝f（a）＝a2+1，
∴a2+1 ，解得：a 或 a ，
∴a=1，
若 a＞1，则 f（x）min＝f（ ）＝a 2，
∴a＞1，
综上，a ．
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及求函数最值问题，是一道
( ) 2f x ≥ a
{ | 1x x ≤ − }3x ≥ [ )1,a∈ +∞
2
1
1 1
x
x x x x
≥
− ≥ + + −
2
1 1
1 1
x
x x x x
−
− ≥ + + −
＜ ＜
2
1
1 1
x
x x x x
≤ −
− ≥ − − + −
( )
( )
( )
11 1
11 1
1 1
a x a x a
a x a x aa
a x a x a
， ＜
，
， ＞
− + + − −
= − + + − ≤ ≤
+ − +
2≥ 1≥ 1≤ −
1
a
− 1
a
+ ＞
1≥中档题．
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