2019—2020 学年上期中考
高三理科数学试题
说明：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解： ，
所以复数 对应的点的坐标为： ，位于第一象限，
故选 A．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础
题．
2.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可以求出集合 ，然后进行交集的运算即可．
2
1
i
i
+
−
( )( )
( )( )
2 1+2 1+3i= =1 1 1+ 2
i ii
i i i
++
− −
2
1
i
i
+
−
1 3,2 2
{ }2| 3 0A x x x= − > { }| 1 1B x x= − < < A B =
{ }| 1 3x x− < < { }| 1 0x x− < <
{ }1| 0x x< < { }3|1x x< <
A【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
故选 C．
【点睛】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，
属于基础题．
3.下列说法正确的是（ ）
A. “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”
B ，使
C. “若 ，则 ”是真命题
D. 命题“若 ，则方程 有实根” 逆命题是真命题
【答案】C
【解析】
【分析】
根据命题与它的否命题之间关系判断 A 错误；
根据指数函数的图象与性质判断 B 错误；
根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断 C 正确；
根据方程有实根求出 的范围， 断 D 错误．
【详解】解：对于 A，命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”，所以 A
错误；
对于 B，由指数函数的图象与性质知， ，都有 ，即 ，使
是假命题，所以 B 错误；
对于 C，命题“若 ，则 ”是真命题，则它的逆否命题“若 ，则
”也是真命题，因此 C 正确；
对于 D，逆命题是“若方程 有实根，则 ”，方程 ，
， ，所以 D 错误．
.
的
{ }| 0 3A x x= < < { }| 1 1B x x= − < <
A B = { }1| 0x x< <
1a > 2 1a > 1a > 2 1a ≤
( )0 0,x∃ ∈ +∞ 0 03 4x x>
1sin 2
α ≠
6
πα ≠
0m > 2 0x x m+ − =
m 1 4 0m∆ = + ≥
1a > 2 1a > 1a ≤ 2 1a ≤
(0" , )x∀ ∈ +∞ 0 03 4x x< ( )0 0,x∃ ∈ +∞
0 03 4x x>
6
πα = 1sin 2
α = 1sin 2
α ≠
6
πα ≠
2 0x x m+ − = 0m > 2 0x x m+ − =
1 4 0m∆ = + ≥ 1
4m ≥ −故选 C．
【点睛】本题考查了四种命题之间的关系应用问题，也考查了充分必要条件的应用问题，是
基础题．
4.已知双曲线 ： 的离心率为 ，则 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用离心率公式，令 ，则 ，再由渐近线方程，即可得到结
论．
【详解】解：双曲线的离心率为 ，
则 ，令 ，
则 ，
则双曲线的渐近线方程为 ，
即为 ，
故选 B．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程，考查运算能力，属
于基础题．
5.曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意先求出函数的导数，再把 代入求出切线的斜率，代入点斜式后，整理成一般式即
C ( )2 2
2 2 1 0y x a ba b
− = > > 5
2
C
y x= ± 2y x= ± 3y x= ± 4y x= ±
5 , 2c t a t= = 2 2b c a t= − =
5
2
5
2
c
a
= 5 , 2c t a t= =
2 2b c a t= − =
ay xb
= ±
2y x= ±
xy e−= ( )0,1
1 0x y+ + = 1 0x y− − =
1 0x y− + = 1 0x y+ − =
0x =可．
【详解】解：由题意得 ，
∴在点 处的切线的斜率 ，
∴所求的切线方程为 ，
即 ，
故选 D．
【点睛】本题考查了导数的几何意义，即切点处的切线的斜率是该点处的导数值，以及直线
方程点斜式的应用．
6.如果执行下边的程序框图，且输入 ， ，则输出的 （ ）
A. 240 B. 120 C. 720 D. 360
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题中的程序框图，模拟运行，依次计算 和 的值，利用条件 进行判断是否继续
运行，直到 则结束运行，输出 的值即为答案．
【详解】解：根据题中的程序框图，模拟运行如下：
输入 ，
1
xy e
′ = −
( )0,1 1k = −
1y x− = −
1 0x y+ − =
6n = 4m = p =
k p k m<
k m≥ p
6, 4, 1, 1n m k p= = = =，符合条件，
，符合条件，
，符合条件，
，不符合条件，
故结束运行，
输出 ．
故选 D．
【点睛】本题考查了程序框图，主要考查了循环语句和条件语句的应用．其中正确理解各变
量的含义并根据程序功能的需要合理的分析是解答的关键．属于基础题．
7.若 时，函数 取得最小值，则 是（ ）
A. 奇函数且图像关于点 对称
B. 偶函数且图像关于直线 对称
C. 奇函数且图像关于直线 对称
D. 偶函数且图像关于点 对称
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析： 时，函数 取得最小值,∴ + = -
, = - ,
∴f（x）=Asin（ ）=Asin（x- ）,y=f（ -x）=Asin（-x- ）=-Acosx,选
D.
考点：y=Asin（ωx+φ） 性质
点评：本题主要考查由函数 y=Asin（ωx+ϕ）的性质求解析式，同时考查了 y=Asin（ωx+ϕ）
的性质．
的
1 (6 4 1) 3, 1 4p k∴ = × − + = = <
1 1 2, 3 (6 4 2) 12, 2 4k p k∴ = + = = × − + = = <
2 1 3, 12 (6 4 3) 60, 3 4k p k∴ = + = = × − + = = <
3 1 4, 60 (6 4 4) 360, 4 4k p k∴ = + = = × − + = = =
360p =
4x
π= ( ) sin( )( 0)f x A x Aϕ= + > ( )4y f x
π= −
( ,0)2
π
2x
π=
2x
π=
( ,0)2
π
4x
π= ( ) sin( )( 0)f x A x Aϕ= + >
4
π ϕ 2kπ
2
π ϕ 2kπ 3
4
π
32 4x k
ππ+ − 3
4
π
4
π
2
π8.3 男 2 女共 5 名同学站成一排合影，则 2 名女生相邻且不站两端的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
算出基本事件总数，算出 2 名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数，由此能求出 2 名女
生相邻且不站两端的概率．
【详解】解：3 男 2 女共 5 名同学站成一排合影，
基本事件总数 ，
2 名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数 ，
∴2 名女生相邻且不站两端的概率为 ．
故选 B．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
9.已知 ， ， ，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数与对数函数的单调性即可得出．
【详解】解： ，
．
．
故选 A．
【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
1
6
1
5
1
4
1
3
5
5 120n A= =
2 3 2
2 3 2 24m A A A= =
24 1
120 5
mp n
= = =
5log 2x =
2log 5y = 1
23z
−=
x z y< < x y z< < z x y< < z y x< <
5 5 2
1log 2 log 5 , log 5 12x y= < = = >
1
2 1 13 ,123
z
− = = ∈
x z y∴ <
( )y f x= k ( ) 2xf x e x= + k k
( )1,e + +∞ ( )2,e + +∞ 1 ,e e
+ +∞
,e e
2 + +∞ 【分析】
可看出 在定义域 内单调递增，可得出 是方程 的两个不同根，从
而得出 ，通过求导，求出 的值域，进而可得到 的范围．
【详解】解： 在定义域 内单调递增，
，
即 ，
即 是方程 的两个不同根，
∴ ，
设 ，
∴ 时， ； 时， ，
∴ 是 的极小值点，
的极小值为： ，
又 趋向 0 时， 趋向 ； 趋向 时， 趋向 ，
时， 和 的图象有两个交点，方程 有两个解，
∴实数 的取值范围是 ．
故选 B．
【点睛】本题考查了对 倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理
能力和计算能力，属于难题．
12.已知双曲线 的左右焦点为 为它的中心， 为双曲线右支上的一点，
的内切圆圆心为 ，且圆 与 轴相切于 点，过 作直线 的垂线，垂足为 ，
若双曲线的离心率为 ，则（ ）
( )y f x= R ,a b 2xe x kx+ =
2
xek x
= + 2
xe
x
+ k
( )y f x= R
( ) , ( )f a ka f b kb∴ = =
2 , 2a be a ka e b kb+ = + =
,a b 2xe x kx+ =
2
xek x
= +
2
( 1)( ) 2, ( )
x xe e xg x g xx x
′ −= + =
0 1x< < ( ) 0g x′ < 1x > ( ) 0g x′ >
1x = ( )g x
( )g x∴ (1) 2g e= +
x ( )g x +∞ x +∞ ( )g x +∞
2k e∴ > + y k= ( )y g x= 2
xek x
= +
k ( )2,e + +∞
k
2 2
2 2 1x y
a b
− = 1 2, ,F F O P
1 2PF F∆ I I x A 2F PI B
eA. B. C. D. 与
关系不确定
【答案】A
【解析】
F1（﹣c，0）、F2（c，0），内切圆与 x 轴的切点是点 A
∵|PF1|﹣|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，
|AF1|﹣|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为 x，
则|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a
∴x=a；
|OA|=a，
在△PCF2 中，由题意得，F2B⊥PI 于 B，延长交 F1F2 于点 C，利用△PCB≌△PF2B，可知
PC=PF2，
∴在三角形 F1CF2 中，有：
OB= CF1= （PF1﹣PC）= （PF1﹣PF2）= ×2a=a．
∴|OB|=|OA|．
故选 A．
点睛：这个题目考查了双曲线的几何意义和双曲线的第一定义；用到了焦三角形的的内切圆
的性质和结论．一般无论双曲线还是椭圆，和焦三角形的有关的可以想到，焦三角形的的周
长，余弦定理，定义的应用，面积公式等．
OB OA= OB e OA= OA e OB= | |OB
| |OA
1
2
1
2
1
2
1
2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.根据某地方的交通状况绘制了交通指数的频率分布直方图（如图），若样本容量为 500 个，
则交通指数在 之间的个数是______.
【答案】220
【解析】
【分析】
由频率分布直方图得交通排指数在 之间的频率，由此能求出交通排指数在 之间的
个数．
【详解】解：由频率分布直方图得：
交通排指数在 之间的频率为：
，
∴交通排指数在 之间的个数为：
．
故答案为 220．
【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
14.已知 ， ， 分别为 的三个内角 ， ， 的对边， ，且
，则 面积的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知结合正弦定理及两角和的正弦公式化简可求 ，进而可求 ，然后由余弦定理可
[ )5,7
[ )5,7 [ )5,7
[ )5,7
0.24 0.2 0.44+ =
[ )5,7
0.44 500 220× =
a b c ABC∆ A B C 2c =
2 cos 2c B a b= − ABC∆
3
cosC C得 ， ， 由 基 本 不 等 式 可 求 的 范 围 ， 代 入 三 角 形 的 面 积 公 式
可求．
【详解】解： ，
由正弦定理可得， ，
，
，
，
，
，
，
，
由余弦定理可得， ，当且仅当
时取等号，
，
面积 ，即面积的最大值为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和角正弦公式，基本不等式及三角形的面积
公式等知识的综合应用，属于中档试题．
15.若数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，对数列的递推公式 变形，可得 ，将 2 个式子相减，
2 2 2 2 cosc a b ab C= + − ab
in1
2 sS ab C=
2 cos 2c B a b= −
2sin cos 2sin sinC B A B= −
2sin cos 2sin( ) sinC B B C B∴ = + −
2sin cos 2sin cos 2sin cos sinC B B C C B B∴ = + −
2sin cos sin 0B C B∴ − =
sin 0B ≠
1cos 2C∴ =
(0, )C π∈
1
3C π∴ =
2 2 2 24 2 cos60 2a b ab a b ab ab ab ab°= + − × = + − ≥ − =
a b=
4ab∴ ≤
ABC∆∴ 1 3sin 32 4
abS ab C= = ≤ 3
3
{ }na n nS 1 1a = 1
1
1
n n
n
S S a+
+
+ =
25a =
5 2 6−
1
1
1
n n
n
S S a+
+
+ = 1
1
n n
n
S S a−+ =可得 之间的递推关系，变形，令 ，求出数列的 ，归纳可得
的通项公式，将 代入计算即可得答案．
【详解】解：根据题意，数列 中 ，①
则有 ，②
①−②可得： ，
即 ，
则 ，
当 时，有 ，解可得 ，
当 时，有 ，解可得 ，
当 时，有 ，解可得 ，
…
归纳可得： ，
则 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查数列的递推公式，关键是依据数列的递推公式，求出数列的前 项，分析其
变化的规律，得出通项公式．
16.已知四棱锥 的底面是边长为 的正方形，其外接球的表面积为 ，
是等边三角形，平面 平面 ，则 ______ .
【答案】
【解析】
1,n na a+ 1,2,3,n = … 2 3 4, , ,a a a { }na
25n =
{ }na 1
1
1
n n
n
S S a+
+
+ =
1
1
n n
n
S S a−+ =
1 1
1 1
1n nn
n
n
n
SS aS S a+ −+ − − = −+
1
1
1 1
n n
n n
a a a a+
+
+ = −
1
1
1 1
n n
n n
a aa a+
+
− = − +
1n = 2 1
2 1
1 1 2a aa a
− = − + = −
2 2 1a = −
2n = 3 2
3 2
1 1 2 2a aa a
− = − + = −
3 3 2a = −
3n = 4 3
4 3
1 1 2 3a aa a
− = − + = −
4 4 3a = −
1= − −na n n
25 25 24 5 2 6a = − = −
5 2 6−
n
P ABCD− a 56π PAB∆
PAB ⊥ ABCD a =
2 6【分析】
利用外接球的表面积 ，求出四棱锥的外接球半径，进而利用勾股定理求解；
【详解】解：根据题意，画出示意图如图所示，
为四棱锥 的外接球的球心， 为 与 交点，过 作 交 与
点 ，过 作 交 与点 ，
则 ，
设 ，
∵ 外接球的表面积是 ，
得 ，
在 中，
，
在 中，
，
联立以上两式解得 ，
故答案为 ．
【点睛】考查四棱锥外接球的理解，勾股定理的应用，正确画出示意图是解决本题的关键．
56π
O P ABCD− M AC BD P PE AB⊥ AB
E O ON PA⊥ PA N
| | | |OA OP R= =
| |OM h=
56π
24 56Rπ π∴ =
14R =
Rt OAM∆ 2 2
2 2AM AB a= =
2
2 142
ah∴ + =
Rt ONP∆
22 3 144 2
a a h
+ − =
2 6a =
2 6三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
17.已知等差数列 的公差 ，其前 项和为 ，若 ，且 成等比
数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【 详 解 】 分 析 ： （ 1 ） 由 题 意 可 求 得 等 差 数 列 的 公 差 ， 从 而 可 得
．（2）由（1）可得 ，然后根据裂项相消法得到
，由此可得结论成立．
详解：（Ⅰ）∵数列 为等差数列，且 ，
．
∵ 成等比数列，
∴ ，
即 ，
又
∴ ，
∴ ，
∴ .
（2）证明：由（1）得 ，
{ }na 0d ≠ n nS 2 8 22a a+ = 4 7 12, ,a a a
{ }na
1 2
1 1 1
n
n
T S S S
= + + +
3
4nT <
2 1na n= +
{ }na 12 3d a= =，
2 1na n= + ( )
1 1 1 1 1
2 2 2nS n n n n
= = − + +
3 1 1 1
4 2 1 2nT n n
= − + + +
{ }na 2 8 22a a+ =
( )5 2 8
1 112a a a∴ = + =
4 7 12, ,a a a
2
7 4 12a a a= ⋅
( ) ( ) ( )211 2 11 11 7d d d+ = − ⋅ +
0,d ≠
2d =
1 11 4 2 3a = − × =
( ) ( )3 2 1 2 1 *na n n n N= + − = + ∈
( ) ( )1 22
n
n
n a aS n n
+= = +∴ ．
∴
．
∴ ．
点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点：
（1）裂项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项
的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩
余的项具有对称性．
18.如图，在四棱锥 中，平面 底面 ，其中底面 为等腰梯形，
， ， ， ， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
( )
1 1 1 1 1
2 2 2nS n n n n
= = − + +
1 2
1 1 1
n
n
T S S S
= + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 4 3 5 1 1 2n n n n
= − + − + − + + − + − − + +
1 1 1 112 2 1 2n n
= + − − + +
3 1 1 1 3
4 2 1 2 4n n
= − + = =
⋅
P AQ C− −
P AQ C− − 3 37
37
−
ABC∆ D AB DA DC= 2BD = 45B∠ = °（1）若 的面积为 3，求 ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1） （2） 或
【解析】
【分析】
（1）由 的面积求出 BC，再利用余弦定理求出 ；
（2）在 中，由正弦定理将 用 表示，再在 中，利用正弦定理建立关
于角 的方程，然后求出 即可．
【详解】解：（1）∵ 的面积为 3，
∴ ，
解得 ，
中，由余弦定理得，
，
∴ ；
（2）在 中，由正弦定理得
即 ，
∴ ，
中，由正弦定理得， ，
即 ，
BCD∆ CD
2 2AC = A
10CD =
4A
π=
12A
π=
BCD∆ CD
ACD∆ CD cos A BCD∆
A A
BCD∆
1 2 sin 45 32 BC× × × ° =
3 2BC =
BCD∆
2 2 2 2 cosCD BD BC BD BC B= + − × × ( )222 3 2 2 2 3 2 cos45 10= + − × × × ° =
10CD =
ACD∆
sin sin
CD AC
A CDA
= ∠
2 2 2 2
sin sin 2 2sin cos
CD
A A A A
= =
2
cosCD A
=
BCD∆
sin sin
BD CD
BCD B
=∠
( )
2
2 cos
sin 135 2 sin 45
A
A
=°− °∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ 或 ，
解得 或 ．
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用和三角形的面积公式，考查了
转化思想和计算能力，属中档题．
20.已知椭圆 ： 的焦点分别为 ， ，椭圆 的离心率为 ，且
经过点 ，经过 ， 作平行直线 ， ，交椭圆 于两点 ， 和两点 ， .
（1）求 的方程；
（2）求四边形 面积的最大值.
【答案】（1） （2）四边形 面积最大值为 6
【解析】
【分析】
（1）利用离心率求得 关系，再将点坐标代入椭圆方程求得 即可；
（2） 斜率存在时，设出方程 ，与椭圆方程联立，利用根与系数关系表示出
，又因为 之间的距离就是 到直线 ： 的距离，可得关系式，
表示出 ，求出 S 的范围； 斜率不存在时，求出四边形 的面积，综合可
得面积最大值．
( )
1 1
sin 135 2 cosA A
=°−
( ) ( )
1 1
sin 135 2 sin 90A A
=°− °−
30, 8A
π ∈
,2 8 2A
π π π − ∈
3 32 0,4 4A
π π − ∈
3 22 4A A
π π− = − 3 22 4A A
π π π − + − =
4A
π=
12A
π=
E ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1F 2F E 1
2
31, 2
1F 2F m n E A B C D
E
ABCD
2 2
14 3
x y+ = ABCD
,a b ,a b
m y kx k= +
| AB| ,m n 2 (1,0)F m 0kx y k− + =
| |S AB d= ⋅ m ABCD【详解】解：（1）由 ， 得 ，又 ，
解得： ， ，
所以 的方程为： .
（2）当直线 斜率存在时，
设斜率为 ，设 ， ，又 ，
所以直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
∴ ， ，
∴
.
又 ， 之间的距离即为 到直线 ： 的距离： ，
∴四边形 面积为： ，
设 ，
则四边形 面积为： ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
当直线 的斜率不存在时，四边形 面积为： ，
所以四边形 面积 ，
的
1
2
c
a
= 2 2 2c a b= − 2 23
4b a= 2 2
1 9 14a b
+ =
2 4a = 2 3b =
E
2 2
14 3
x y+ =
m
k ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )1 1,0F −
m y kx k= + ( 0)k ≠
2 2
14 3
y kx k
x y
= + + =
( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ + + − =
2
1 2 2
8
3 4
kx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 12
3 4
kx x k
−⋅ = +
( )22 2
1 2 1 2 1 21 1 4AB k x x k x x x x= + − = + ⋅ + −
22 2
2
2 2
8 4 121 43 4 3 4
k kk k k
−= + ⋅ − − + +
( )2
2
12 1
3 4
k
k
+
= +
m n ( )2 1,0F m 0kx y k− + =
2
2
1
kd
k
=
+
ABCD
( )2
2 2
12 1 2
3 4 1
k kS AB d k k
+
= ⋅ = ×+ +
2
2
24 1
3 4
k k
k
⋅ += +
23 4k t+ =
ABCD
226 2 3 1 16 3 2 1t tS t t t
− − = = − − +
3t >
1 10 3t
< <
0 6S< <
m ABCD
222 2 3 6bS c a
= × = × =
ABCD 0 6S< ≤因此四边形 面积最大值为 6.
【点睛】本题是直线与椭圆的综合问题，判断出 之间的距离就是 到直线 的距离是一
个关键，属于中档题．
21.已知函数 .
（1）求 的最大值；
（2）已知 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1）最大值 （2）
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大
值；
（2）求出 在 为正， 时，符合题意， 时，通过讨论① ，②
时的情况，结合函数的单调性求出 的具体范围即可．
【详解】解：（1） ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得最大值 .
（2）由（1）得 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，
∴ ，又 ，
所以当 时， .
当 时，令 ，
则 ，
， ， 在 上单调递增.
ABCD
,m n 2F m
( ) 2 1xf x x e= − +
( )f x
( )0,1x∈ ( ) tanaf x x< a
2ln 2 1− 1a ≤
( )f x ( )0,1x∈ 0a ≤ 0a > 0 1a< ≤
1a > a
( )' 2 xf x e= −
ln 2x < ( )' 0f x > ln 2x > ( )' 0f x <
( )f x ( ],ln 2−∞ [ )ln 2,∞
( )f x ln 2x = 2ln 2 1−
( )f x ( ]0,ln 2 [ )ln 2,1
( )0 0f = ( )1 3 0f e= − >
( ) 0f x > tan 0x >
0a ≤ ( ) 0 tanaf x x≤ <
0a > ( ) ( )tang x x af x= −
( ) ( )2
1' 2cos
xg x a ex
= + −
( )0 0g = ( )' 0 1g a= − ( )'g x ( )0,1①当 时， ， ，
所以 在 上单调递增，又 ，
∴ ，即 .
②当 时， ， ，
，使得 ，
所以 时， ，
所以函数 在 单调递减，
此时， ，与 矛盾，
综上， 的取值范围是 .
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道
中档题．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分.
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为： （ 为参数）， .
以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 的极坐标方程为：
.
（1）在直角坐标系 中，求圆 的圆心的直角坐标；
（2）设点 ，若直线 与圆 交于 ， 两点，求证： 为定值，并求出该
定值.
【答案】（1） （2）证明见解析，该定值为 12.
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．
0 1a< ≤ ( )' 0 0g ≥ ( )' 0g x ≥
( )g x ( )0,1 ( )0 0g =
( ) 0g x > ( ) tanaf x x<
1a > ( )' 0 0g < ( )' 1 0g >
( )0 0,1x∃ ∈ ( )0' 0g x =
( )00,x x∈ ( )' 0g x <
( )g x ( )00, x
( ) ( )0 0g x g< = ( ) tanaf x x<
a 1a ≤
xOy l
1 cos
3 sin
x t
y t
θ
θ
= + = +
t [ )0,θ π∈
x C
8sin 6
πρ θ = +
xOy C
( )1, 3P l C A B PA PB⋅
( )2,2 3【详解】解：（1）∵圆 的极坐标方程为 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ .
所以，圆 的方程为 ，
所以圆 的圆心的直角坐标为 .
（2）将直线 的参数方程代入 ，
得 ，
设点 ， 对应的参数分别为 ， ，
则 ，
∴ ，
故 为定值，该定值为 12.
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次
方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23.已知函数
（1）求不等式 的解集
（2）设 ，证明： .
【答案】(1) 或 ；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分
析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明 ，再两边平方，因
式分解转化为证明 ，最后根据条件 确定
C 8sin 4 3sin 4cos6
πρ θ θ θ = + = +
2 4 3 sin 4 cosρ ρ θ ρ θ= +
2 2 2x yρ = + cos xρ θ = sin yρ θ =
2 2 4 4 3 0x y x y+ − − =
C ( ) ( )222 2 3 16x y− + − =
C ( )2,2 3
l ( ) ( )222 2 3 16x y− + − =
( )2 2 3sin 2cos 12 0t tθ θ− + − =
A B 1t 2t
1 2 12t t = −
1 2 12PA PB t t⋅ = =
PA PB⋅
( ) | 1|f x x= +
( ) | 2 1| 1f x x< + − M
,a b M∈ ( ) ( ) ( )f ab f a f b> − −
{ 1M x x= < − }1x >
1ab a b+ > +
( )( )2 21 1 0a b− − > 2 21, 1a b> > ( )( )2 21 1 0a b− − >成立.
【详解】（1）∵ ，∴ .
当 时，不等式可化为 ，
解得 ，∴ ；
当 ,不等式可化为 ，解得 ， 无解；
当 时，不等式可化为 ，解得 ，∴ .
综上所述， 或 .
（2）∵ ，
要证 成立，
只需证 ，
即证 ，
即证 ,
即证 .
由（1）知， 或 ，
∵ ，∴ ，
∴ 成立.
综上所述，对于任意的 都有 成立.
点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、
基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，
使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.
( ) 2 1 1f x x< + − 1 2 1 1 0x x+ − + + <
1x < − ( )1 2 1 1 0x x− − + + + <
1x < − 1x < −
11 2x− ≤ ≤ − ( )1 2 1 1 0x x+ + + + < 1x < −
1
2x > − ( )1 2 1 1 0x x+ − + + < 1x > 1x >
{ 1M x x= < − }1x >
( ) ( ) ( )1 1 1 1f a f b a b a b a b− − = + − − + + − − + = +≤
( ) ( ) ( )f ab f a f b> − −
1ab a b+ > +
2 21ab a b+ > +
2 2 2 2 1 0a b a b− − + >
( )( )2 21 1 0a b− − >
{ 1M x x= < − }1x >
a b M∈、 2 21, 1a b> >
( )( )2 21 1 0a b− − >
a b M∈、 ( ) ( ) ( )f ab f a f b> − −
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