河南省2020届高三数学（文）上学期期中试卷（附解析Word版）

2019—2020 上学年期中考试 20 届 高三文科数学试题 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案 的序号填涂在答题卡上） 1.若 ，则 x+y 是 的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 在第一象限中，画出 和 的范围，根据两者的包含关系判断充分、必要条件. 【详解】在第一象限中，画出 和 的范围如下图所示，由图可知前者的范围 包含后者的范围，故前者是后者的必要不充分条件条件.故选 B. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查利用图像表示不等式，属于中档题. 2.若复数 是实数，则实数 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A x 0, y 0> > 1> 2 2x 1y+ > 1x y+ > 2 2 1x y+ > 1x y+ > 2 2 1x y+ > 2 1 m i mi + − m 1− 1 2− 2【解析】 【分析】 利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，利用虚部为零可求出实数 的值. 【详解】 ， 由题意可得 ，解得 . 故选：A. 【点睛】本题考查根据复数的类型求参数的值，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将 复数表示为一般形式，利用实部和虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题. 3.在平面直角坐标系 中，已知 ，点 在第二象限内， ，且 ，若 ，则 的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意可得 ,则 ,解之得 ,应选 C. 考点：向量的坐标形式的运算及待定系数法的运用. 4.具有相关关系的两个量 、 的一组数据如下表，回归方程是 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 m ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 32 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m i mi m m m im i m m m imi mi mi m m m + + − + ++ − += = = +− − + + + + 3 2 1 01 m m + =+ 1m = − xOy ( ) ( )1,0 , 0,1A B C 5 6AOC π∠ = 2OC = OC OA OBλ µ= +   ,λ µ 3,1 1, 3 3,1− 1, 3− x y  0.67 54.9y x= + m = x 10 20 30 40 50 y 62 m 75 81 89 65 67 68 70求出 、 的值，然后将点 的坐标代入方程 ，即可求出实数 的值. 【详解】 ， ， 将点 代入回归直线方程得 ，解得 . 故选：C. 【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要熟悉“回归直线过样本的中心点 ”这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题. 5.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ） A. 向左平移 个单位 B. 向左平移 个单位 C. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位 【答案】C 【解析】 【分析】 将初始函数的解析式化为 ，目标函数的解析式化为 ，然后利用 平移变换的基本原则可得出正确选项. 【 详 解 】 初 始 函 数 为 ， 目 标 函 数 为 ， 因此，将函数 的图象向右平移 个单位，可得到函数 的图象. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换，在处理这类问题要注意两个问题：一是两个函数的 名称相同，二是左右平移指的是自变量上变化了多少，考查分析问题和解决问题的能力，属 于中等题. 6.根据某地方的交通状况绘制了关于交通指数的频率分布直方图（如图）.若样本容量为 x y ( ),x y  0.67 54.9y x= + m 10 20 30 40 50 305x + + + += = 62 75 81 89 307 5 5 m my + + + + += = 30730, 5 m+     3070.67 30 54.9 5 m+× + = 68m = ( ),x y sin 2 3y x π = −   ( )cos 2y x π= − − 6 π 5 12 π 5 12 π 3 π cos2y x= 5cos 2 6y x π = −   ( )cos 2 cos2y x xπ= − − = 5 5sin 2 cos 2 cos 2 cos 23 3 2 6 12y x x x x π π π π π        = − = − − = − = −                 ( )cos 2y x π= − − 5 12 π sin 2 3y x π = −   500个，则交通指数在 之间的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 用 乘以 内的两个矩形面积之和，可得出所求结果. 【详解】由题意可知，交通指数在 之间的个数是 . 故选：D. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数，解题时要熟悉样本容量、频率和频数三者 之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 7.若 ， ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 将分式 平方，利用基本不等式可求出 的最小值，由此可得出 的最小值. 【详解】 ，即 ， 【 [ )5,7 223 222 200 220 500 [ )5,7 [ )5,7 ( )500 0.24 0.2 1 220× + × = 0x > 0y > x y x y + + 2 1 2 2 1 2 x y x y + + 2 x y x y  +  +  x y x y + + ( ) ( ) 2 1 22 x y x y x y x y x yx y x y xy  + + += ≥ =   + + ++ + +  2 2 x y x y + ≥ +当且仅当 时等号成立，因此， 的最小值为 . 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题时要注意“一正、二定、三相等” 条件的成立，考查计算能力，属于中等题. 8.已知椭圆的中心在原点，离心率 ，且它的一个焦点与抛物线 的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：抛物线 的焦点坐标为 ,所以椭圆的一个焦点坐标为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 ，故 选 A． 考点：1．椭圆 标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质． 9.如图， 是抛物线 的一条经过焦点 的弦， 与两坐标轴不垂直， 已知点 ， ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 的 x y= x y x y + + 2 2 1 2e = 2 4y x= − 2 2 14 3 x y+ = 2 2 18 6 x y+ = 2 2 12 x y+ = 2 2 14 x y+ = 2 4y x= − 2 2 14 3 x y+ = AB ( )2 2 0y px p= > F AB ( )1,0M − AMF BMF∠ = ∠ p 1 2 1 2 4【解析】 【分析】 设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线 的方程与抛物线 的方程联立，由 可得知，直线 的斜率和 的斜率互为相反数，然后 利用斜率公式以及韦达定理可求出实数 的值. 【详解】抛物线 的焦点为 ， 设直线 的方程为 ，设点 、 ，则 . 将直线 的方程与抛物线的方程联立 ，得 ， 由韦达定理得 ， . 由于 ，则直线 的斜率和 的斜率互为相反数. 即 ，即 ，整理得 ， ，因此 . 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，处理这种问题一般将直线方程与抛物线方程联 立，结合韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 10.执行如图的程序框图，则输出 的值是 (　　) AB 2 px my= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB AMF BMF∠ = ∠ AM BM m ( )2 2 0y px p= > ,02 pF      AB ( )02 px my m= + ≠ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2y y≠ − AB 2 2 2 px my y px  = +  = 2 22 0y mpy p− − = 1 2 2y y mp+ = 2 1 2y y p= − AMF BMF∠ = ∠ AM BM 1 2 1 21 1 y y x x = −+ + 1 2 2 2 1 21 12 2 y y y y p p = − + + 2 1 2 2y y p p= − = − 0p > 2p = xA. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x，y 的值，当 时，不满足条件退出 循环，输出 x 的值即可得解． 【详解】解：模拟执行程序框图，可得 . 满足条件 ，执行循环体， ； 满足条件 ，执行循环体， ； 满足条件 ，执行循环体， ； 满足条件 ，执行循环体， ； … 观察规律可知，x 的取值周期为 3，由于 ，可得： 满足条件 ，执行循环体， 当 ,不满足条件 ，退出循环，输出 x 的值为 2． 故选：D． 2018 2019 1 2 2 2019y = 2, 0x y= = 2019y< 1, 1x y= − = 2019y< 1 , 22x y= = 2019y< 2, 3x y= = 2019y< 1, 4x y= − = 2019 673 3×＝ 2019y< 2, 2019x y= = 2019y ln lna e< a e< - e∞（ ， ） 2 2 2 2 1x y a b − = 1 2, ,F F O P 1 2PF F∆ I I x A 2F PI B e OB OA= OB e OA= OA e OB= | |OB关系不确定 【答案】A 【解析】 F1（﹣c，0）、F2（c，0），内切圆与 x 轴的切点是点 A ∵|PF1|﹣|PF2|=2a，及圆的切线长定理知， |AF1|﹣|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为 x， 则|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a ∴x=a； |OA|=a， 在△PCF2 中，由题意得，F2B⊥PI 于 B，延长交 F1F2 于点 C，利用△PCB≌△PF2B，可知 PC=PF2， ∴在三角形 F1CF2 中，有： OB= CF1= （PF1﹣PC）= （PF1﹣PF2）= ×2a=a． ∴|OB|=|OA|． 故选：A． 点睛：这个题目考查了双曲线 几何意义和双曲线的第一定义；用到了焦三角形的的内切圆 的性质和结论。一般无论双曲线还是椭圆，和焦三角形的有关的可以想到，焦三角形的的周 长，余弦定理，定义的应用，面积公式等。 二、填空题（每题 5 分，共 20 分。把答案填在答题纸的横线上） 的 | |OA 1 2 1 2 1 2 1 213.数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，前 项的和是______. 【答案】 【解析】 【分析】 由数列规律可知 有 项，且和为 ，由 ，求出满足这个不等式的最大正整数 的值，可确定第 项的值，由此可得出该数列的前 项的和. 【详解】由题意可知，该数列中， 有 项，且这 项的和为 ， 令 ， ，则 最大值为 ， 所以，该数列第 项为 ，且 的项数为 ， 因此，该数列的前 项的和是 . 故答案为： . 【点睛】本题考查数列项的和的计算，解题关键就是找出数列的规律，考查推理能力与计算 能力，属于中等题. 14.在棱长都相等的三棱锥中，已知相对两棱中点的连线长为 ，则这个三棱锥的棱长等于 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 作出正四面体 ，设该正四面体的棱长为 ，分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，利用勾股定理计算出 、 、 ，即可求出 的值，从而求出该正 四面体的棱长. 【详解】如下图所示： 的 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 4 1 4 1 4 1 4 1 5  100 91314 1 n n 1 ( )1 1002 n n + ≤ n 100 100 1 n n n 1 ( )11 2 3 1002 n nn ++ + + + = ≤ n N ∗∈ n 13 100 1 14 1 14 13 14100 92 ×− = 100 1 913 9 1314 14 + × = 91314 2 2 ABCD 2a AB CD E F AF BF EF AF BF EF a设正四面体 的棱长为 ，分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，则 . 是边长为 的等边三角形， 为 的中点， ， ，同理可得 ， 为 的中点， ， ， ， ，因此，正四面体 的棱长为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查正四面体棱长的计算，在解题时应充分分析三角形的形状，结合勾股定理 进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 15.设 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ， 分别 是双曲线的左、右焦点，若 ，则 的值为　　　　　． 【答案】 【解析】 试题分析：双曲线的渐近线方程 ，得 ，由于 ，由双曲线定义知 ，得 . 考点：双曲线的性质. 16.已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是 ______. ABCD ( )2 0a a > AB CD E F AF BF EF 2EF = ACD∆ 2a F CD AF CD∴ ⊥ 2 2 3AF AC CF a∴ = − = 3BF a= E AB EF AB∴ ⊥ 2AB a= 2 2 2 2EF AF AE a∴ = − = = 1a\ = ABCD 2 2 P 2 2 2 19 x y a − = 3 2 0x y− = 1 2F F， 1 3PF = 2PF 7 ( ) ( )sin 14f x x πω ω = + >   5, 4 π π     ω【答案】 【解析】 【分析】 由 可计算出 ，由函数 的单调递减区间 为 ，可得出 ，从而可得 出 的所满足的不等式组，由此可求出实数 的取值范围. 【详解】对于函数 ， 由 ，可得 . 由于函数 的单调递减区间为 ， 由题意可得 ， ，解得 ， 则 ，解得 ， 且 ，则 ，因此， . 因此，实数 的取值范围是 . 故答案为： . 【点睛】本题考查利用三角函数的单调性求参数的取值范围，解题的关键在于将问题转化为 两个区间的包含关系，考查化归与转化思想，属于中等题. 三、解答题（本大题共 7 题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答 题纸的相应位置） 5 7,4 5      5, 4x ππ ∈   5,4 4 4 4x π π π πω πω ω + ∈ + +   siny x= ( ),2 k k k Z π π π π + + ∈   5, ,4 4 4 2 k k π π π ππω ω π π π   + + ⊆ + +       ω ω ( ) ( )sin 14f x x πω ω = + >   5, 4x ππ ∈   5,4 4 4 4x π π π πω πω ω + ∈ + +   siny x= ( ),2 k k k Z π π π π + + ∈   ( )5, ,4 4 4 2 k k k Z π π π ππω ω π π π   + + ⊆ + + ∈       4 2 5 4 4 k k π ππω π πω π π π  + ≥ +∴  + ≤ + ( )1 4 3 4 5 kk k Zω ++ ≤ ≤ ∈ 4 3 1 5 4 k k + > + 7 4k < 1ω > k Z∈ 1k = 5 7 4 5 ω≤ ≤ ω 5 7,4 5      5 7,4 5     17.已知 是等差数列， ，且 .若 . （1）求数列 通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）设等差数列 的公差为 ，根据题中条件列出关于 和 的方程组，解出这两个量， 然后利用等差数列的通项公式可求出数列 的通项公式； （2）由（1）可得 ，然后利用裂项法可求出数 列 的前 项和 . 【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由题意可得 ，解得 . 因此，数列 的通项公式为 ； （2）由（1）得 . 因此， . 【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属 于中等题. 18.已知点 ， ， ，设 ， ，其中 为坐标原 点. . { }na 3 7a = 2 6 18a a+ = 1 1 n n n b a a + = + { }na { }nb n nT 2 1na n= + ( )1 2 3 32nT n= + − { }na d 1a d { }na 22 1 2 3 1 2 1 2 3 n n nb n n − + + += = ++ + { }nb n nT { }na d 3 1 2 6 1 2 7 2 6 18 a a d a a a d = + =  + = + = 1 3 2 a d =  = { }na ( ) ( )1 1 3 2 1 2 1na a n d n n= + − = + − = + 1 1 1 2 1 2 3n n n b a a n n+ = = + + + + ( )( )2 1 2 3 2 1 2 3 22 1 2 3 2 1 2 3 n n n n n n n n + − + − + + += = + − + + + + ( )3 5 5 7 2 1 2 3 1 2 3 32 2 2 2n n nT n − + − + − + + += + + + = + − ( )2,0A ( )0, 2B − ( )2,0F − AOC α∠ = [ )0,2α π∈ O（1）设点 在 轴上方，到线段 所在直线的距离为 ，且 ，求 和线段 的大小； （2）设点 为线段 的中点，若 ，且点 在第二象限内,求 的取值范围. 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）过点 作 的垂线，垂足为点 ，可得出 ，由锐角三角函数的定义求出 ，可得出 为等边三角形，可求出 的值，然后在 中利用余弦定理求出 ； （2）由题中条件求出 、 、 的坐标，化简 的解 析式为 ，再根据 的取值范围，结合余弦函数的定义域与基本性质可 求出 的取值范围. 【详解】（1）过 作 的垂线，垂足为 ，则 ， 在直角三角形 中， ， 又 ， ，所以 为正三角形. 所以 ，从而 . 在 中， ； （2） ，点 为线段 的中点， ， C x AF 3 3AFC π∠ = α AC D OA 2OC = C ( )3 cosy DC OB BC OA α= ⋅ + ⋅    2 3 πα = 2 3AC = ( ]0,6 C AF E 3CE = 2CF = OCF∆ α ACF∆ AC DC OB OA ( )3 cosy DC OB BC OA α= ⋅ + ⋅    4cos 2 23y πα = + +   α y C AF E 3CE = FCE 2sin CEFC CFE = =∠ 2OF = 3OFC π∠ = OFC∆ 3FOC π∠ = 2 3FOC πα π= − ∠ = AFC∆ 2 2 2 cosAC AF CF AF CF AFC= + − ⋅ ∠ 2 2 14 2 2 2 4 2 = + − × × × 2 3= ( )2,0A D OA ( )1,0D∴且点 在第二象限内， ， ， 从而 ， ， ， ， 则 ， 因为 ，所以 ，从而 ， ， 因此， 的取值范围为 . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与三角恒等变换的综合问题，同时也考查了三角函数 的值域问题，在解题时应充分利用三角恒等变换思想将三角函数式化简，考查分析问题和解 决问题的能力，属于中等题. 19.如图，四面体 ， ， ， ， . （1）若 中点是 ，求证： 面 ； （2）若 是线段 上的动点， 是面 上的动点，且线段 ， 的中点是 ， 求动点 的轨迹与四面体 围成的较小的几何体的体积. 【答案】（1）见解析；（2）动点 的轨迹是以 为球心，半径为 的球面，体积 . 【解析】 2OC =  C ( )2cos ,2sinC α α∴ ,2 πα π ∈   ( )2cos 1,2sinDC α α= − ( )2cos ,2sin 2BC α α= + ( )2,0OA = ( )0, 2OB = − ( ) 23 cos 4 3sin cos 4cosy DC OB BC OA α α α α= ⋅ + ⋅ = − +    ( )2 3sin 2 2 1 cos2 4cos 2 23 πα α α = − + + = + +   ,2 πα π ∈   4 72 ,3 3 3 π π πα  + ∈   1 cos 2 12 3 πα − < + ≤   0 4cos 2 2 63 πα ∴ < + + ≤   ( )3 cosy DC OB BC OA α= ⋅ + ⋅    ( ]0,6 ABCD 4AB BC= = 4 2AC BD= = AB CD⊥ 90BCD∠ = ° AC M BM ⊥ ACD P AB Q BCD 2PQ = PQ N N ABCD N B 1 12V π=【分析】 （1）证明出 平面 可得出 ，再由三线合一得出 ，利用直线 与平面垂直的判定定理可得出 平面 ； （2）证明 平面 ，可得出 ，由直角三角形的性质可得出 ，可知动点 的轨迹是以 为球心，半径 的球面，计算出 的大小， 可得出所求几何体占球的比例，由此可得出所求几何体的体积. 【详解】（1） ， ， ， ， 平 面 ， 平面 ， . ， 为 的中点， . ，因此， 平面 ； （2）如下图所示： ， ， ， ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， ， ，则 . 在 中， 为斜边 的中点，则 . 由（1）知， 平面 ，且 ， . 所以，点 的轨迹是以 为球心，半径为 的球面. 在 中， ， ， ，则 ， CD ⊥ ABC BM CD⊥ BM AC⊥ BM ⊥ ACD AB ⊥ BCD PB BQ⊥ 1 12BN PQ= = N B 1 CBD∠ 90BCD∠ =  CD BC∴ ⊥ AB CD⊥ AB BC B∩ = CD\ ^ ABC BM ⊂ ABC BM CD∴ ⊥ AB BC= M AC BM AC∴ ⊥ AC CD C=  BM ⊥ ACD 4AB BC= = 4 2AC = 2 2 2AB BC AC∴ + = AB BC∴ ⊥ AB CD⊥ BC CD C∩ = AB∴ ⊥ BCD BQ ⊂ BCD AB BQ∴ ⊥ P AB∈ PB BQ⊥ Rt PBQ∆ N PQ 1 12BN PQ= = BM ⊥ ACD 1 2 22BM AC= = BN BM∴ < N B 1 Rt BCD∆ 90BCD∠ =  4 2BD = 4BC = 2cos 2 BCCBD BD ∠ = =，所以，动点 的轨迹与四面体 围成的较小的几何体为球体的 . 因此，所求几何体的体积为 . 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，同时也考查了空间中动点的轨迹以及球体体积的 相关计算，解题时要熟悉球的定义，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20.设 是椭圆 上的点， ， 是焦点，离心率 . （1）求椭圆的方程； （2）设 ， 是椭圆上的两点，且 ，（ 是定数），问线段 的 垂直平分线是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） ；（2）过定点 ，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由椭圆的离心率可得出 ，可将椭圆方程化为 ，再将点 的坐标 代入椭圆的方程，求出 的值，可得出椭圆的标准方程； （2）分 和 两种情况讨论，在 时，分直线 的斜率存在与不存在两种情况 讨论，在直线 的斜率存在的情况下，设直线 的方程为 ，将该直线方程与椭 圆方程联立，利用韦达定理得出 ，并求出线段 的垂直平分线方程，可求出线 段 的垂直平分线所过定点坐标，在直线 垂直于 轴时，检验定点是否在线段 的垂 直平分线 轴上；在 时，直接根据对称性得出结论. 【详解】（1）由于椭圆的离心率为 ， ， 所以，椭圆的标准方程为 ， 将点 的坐标代入椭圆的标准方程得 ，得 ， 4CBD π∴∠ = N ABCD 1 16 31 4 116 3 12V ππ= × × = ( )2,1M 2 2 2 2 1x y a b + = 1F 2F 2 2e = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2x x r+ = r AB 2 2 16 3 x y+ = 1 ,02 r     2a b= 2 2 2 2 12 x y b b + = M 2b 0r ≠ 0r = 0r ≠ AB AB AB y kx m= + 2 2 2 1 kmr k = − + AB AB AB x AB x 0r = 2 2 2 2 21 2 a b be a a −= = − = 2a b∴ = 2 2 2 2 12 x y b b + = M 2 2 2 2 2 1 3 12b b b + = = 2 3b =因此，椭圆的方程为 ； （2）当 时，若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，则 . 将直线 的方程与椭圆方程联立 ，得 . 由韦达定理可得 ， ①， 所以， ，则线段 的中点坐标为 . 则线段 的垂直平分线方程为 ，即 ， 即 ，此时，线段 的垂直平分线过定点 ； 若直线 垂直于 轴，则点 、 两点关于 轴对称，线段 的垂直平分线为 轴，过点 ； 当 时，若直线 关于坐标轴对称，则线段 的垂直平分线为坐标轴，过原点； 若直线 、 关于原点对称，则线段 的中点为原点，其垂直平分线过原点. 综上所述，线段 的垂直平分线过定点 . 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及直线过定点问题，一般设出直线方程，将直线方程 与椭圆方程联立，得出直线方程中参数之间的关系，从而得出定点坐标，考查运算求解能力， 属于中等题. 21.已知函数 . （1）若 ，求 在 时的最值； （2）若 ， 时，都有 ，求实数 的范围. 【答案】（1）最小值为 ，最大值为 ；（2） . 2 2 16 3 x y+ = 0r ≠ AB AB y kx m= + 0k ≠ AB 2 2 16 3 y kx m x y = + + = ( )2 2 22 1 4 2 6 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2 4 22 1 kmx x rk + = − =+ 2 2 2 1 kmr k ∴ = − + 1 2 1 2 22 2 2 1 y y x x mk m k + += ⋅ + = + AB 2 2 2 ,2 1 2 1 km m k k  − + +  AB 2 2 1 2 2 1 2 1 m kmy xk k k  − = − + + +  2 1 2 1 my xk k = − − + 2 1 1 2 1 2 km ry x xk k k    = − + = − −   +    AB ,02 r     AB x A B x AB x ,02 r     0r = AB AB A B AB AB ,02 r     ( ) 2lnf x a x x= + 4a = − ( )f x [ ]1,x e∈ 0a > [ ]1 2, 1,x x e∀ ∈ ( ) ( )1 2 1 2 2020 2020f x f x x x − ≤ − a 2 ln 4− 2 4e − 220200, 2ee  −  【解析】 【分析】 （1）将 代入函数 的解析式，求出函数 的导数 ，利用导数 分析函数 在区间 上的单调性，可得出函数 在 时的最小值和 最大值； （2）由 可知函数 在 上单调递增，函数 在 上是减函数， 设 ，由 可得出 ，构造函数 ，可得出 在区间 上为减函数，转化为 在区间 上恒成立，利用参变量分离法可求出实数 的取值范围. 【详解】（1）当 时， ，则 . 当 时，令 ，得 . 当 时， ，此时，函数 单调递减； 当 时， ，此时，函数 单调递增. 所以，函数 在区间 上的最小值为 ， 又 ， ， 则函数 在区间 上的最大值为 ； （2）若 ， 在区间 上是增函数，函数 是减函数. 不妨设 ，由已知： ， ， 4a = − ( )y f x= ( )y f x= ( )f x′ ( )y f x= [ ]1,e ( )y f x= [ ]1,x e∈ 0a > ( )y f x= [ ]1,e 2020y x = [ ]1,e 1 21 x x e≤ ≤ ≤ ( ) ( )1 2 1 2 2020 2020f x f x x x − ≤ − ( ) ( )2 1 2 1 2020 2020f x f xx x + ≤ + ( ) ( ) 2020g x f x x = + ( )y g x= [ ]1,e ( ) 0g x′ ≤ [ ]1,e a 4a = − ( ) 2 4lnf x x x= − ( ) 24 2 42 xf x x x x −′ = − = [ ]1,x e∈ ( ) 0f x′ = 2x = 1 2x≤ < ( ) 0f x′ < ( )y f x= 2 x e< ≤ ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( )y f x= [ ]1,e ( ) ( )min 2 2 2ln 2f x f= = − ( )1 1f = ( ) 2 4 1f e e= − > ( )y f x= [ ]1,e ( ) ( ) 2 max 4f x f e e= = − 0a > ( )y f x= [ ]1,e 2020y x = 1 21 x x e≤ ≤ ≤ ( ) ( )2 1 1 2 2020 2020f x f x x x − ≤ − ( ) ( )2 1 2 1 2020 2020f x f xx x ∴ + ≤ +记 ， ， 则 在区间 是减函数， 在 上恒成立. ，记 ， 在 上恒成立， 函数 在区间 上单调递减，则 ， ， 又 ， 因此，实数 取值范围是 . 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，以及利用导数研究双变量不等式问题，解题的关 键就是将问题转化为函数的单调性问题，结合导数不等式在区间上恒成立来求解，考查化归 与转化思想，属于中等题. 选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为： （ 为参数）， . 以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 的极坐标方程为： . （1）在直角坐标系 中，求圆 的圆心的直角坐标； （2）设点 ，若直线 与圆 交于 ， 两点，求证： 为定值，并求出该 定值. 【答案】（1） （2）证明见解析，该定值为 12. 【解析】 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果． 【详解】解：（1）∵圆 的极坐标方程为 ， ∴ ， ( ) ( ) 22020 2020lng x f x a x xx x = + = + + [ ]1,x e∈ ( )y g x= [ ]1,e ( ) 2 20202 0ag x xx x ′ = + − ≤ [ ]1,e 22020 2a xx ∴ ≤ − ( ) 22020 2h x xx = − ( ) 2 2020 4 0h x xx ′ = − − < [ ]1,e ( )y h x= [ ]1,e ( ) ( ) 2 min 2020 2h x h e ee = = − 22020 2a ee ∴ ≤ − 0a > 220200 2a ee ∴ < ≤ − a 220200, 2ee  −   xOy l 1 cos 3 sin x t y t θ θ = + = + t [ )0,θ π∈ x C 8sin 6 πρ θ = +   xOy C ( )1, 3P l C A B PA PB⋅ ( )2,2 3 C 8sin 4 3sin 4cos6 πρ θ θ θ = + = +   2 4 3 sin 4 cosρ ρ θ ρ θ= +∵ ， ， ， ∴ . 所以，圆 的方程为 ， 所以圆 的圆心的直角坐标为 . （2）将直线 的参数方程代入 ， 得 ， 设点 ， 对应的参数分别为 ， ， 则 ， ∴ ， 故 为定值，该定值为 12. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次 方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 23.设函数 ． (1)当 时，求不等式 的解集； (2)对任意实数 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）解集为 ；（2）实数 的取值范围为 或 . 【解析】 分析：（1）利用 ，化简不等式，通过分类讨论求解即可； （2）利用函数恒成立，转化求解即可. 详解：(1)∵ ， ∴当 时， ， 又 ，∴ 或 或 ， 2 2 2x yρ = + cos xρ θ = sin yρ θ = 2 2 4 4 3 0x y x y+ − − = C ( ) ( )222 2 3 16x y− + − = C ( )2,2 3 l ( ) ( )222 2 3 16x y− + − = ( )2 2 3sin 2cos 12 0t tθ θ− + − = A B 1t 2t 1 2 12t t = − 1 2 12PA PB t t⋅ = = PA PB⋅ ( ) 1f x x x a= + + − 2a = ( ) 5f x > x ( ) 3f x ≥ a ( , 2) (3, )−∞ − ∪ +∞ a 2a ≥ 4a ≤ − 2a = ( ) 1f x x x a= + + − 2a = ( ) 2 1, 1 1 2 3, 1 2 2 1, 2 x x f x x x x x x − + < − = + + − = − ≤ ≤  − > ( ) 5f x > 1 2 1 5 x x < − − + > 1 2 3 5 x− ≤ ≤  > 2 2 1 5 x x >  − >∴ 或 或 ， ∴ 或 ， ∴ 的解集为 . (2) ∵ （当且仅当 时，等号成立）， ∴ ， 又对任意实数 ，都有 恒成立，∴ ， ∴ ，∴ 或 ，∴ 或 ． 故实数 的取值范围为 或 ． 点睛：本题考查函数恒成立绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用， 考查计算能力. 1 2 x x < −  < − x∈∅ 2 3 x x >  > 2x < − 3x > ( ) 5f x > ( ) ( ), 2 3,−∞ − ∪ +∞ ( ) 1 1f x x x a a= + + − ≥ + ( )( )1 0x x a+ − ≤ ( )min 1f x a= + x ( ) 3f x ≥ ( )min 3f x ≥ 1 3a + ≥ 1 3a + ≥ 1 3a + ≤ − 2a ≥ 4a ≤ − a 2a ≥ 4a ≤ −