2019——2020 学年上期期中试卷
高三文科数学
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1.已知集合 M＝{x|x2＜1}，N＝{y|y＞1}，则下列结论正确的是（ ）
A. M∩N＝N B. M∩（∁UN）＝∅ C. M∪N＝U D. M⊆（∁UN）
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查集合间的基本关系，及集合基本运算.
【详解】 ， ，
排除 A
排除 B
,排除 C。
，D 正确。
故选:D.
【点睛】当集合中代表元素不同时，可取区间再进行比较。
2.已知复数 是纯虚数，则实数 a＝（ ）
A. ﹣2 B. 6 C. ﹣6 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查复数的除法运算，以及对复数分类的实部、虚部讨论.
【详解】
已知复数为纯虚数，则实部为零虚部不为零。则 ，
故选:B.
【点睛】复数的代数形式 ， 为实部， 为虚部.实部为零虚部不为零，则复数是纯虚
数.
{ }= 1 1 ( 1,1)M x x− < < = − { }1 =(1,+ )N y y= > ∞ ]( ,1U N = −∞
M N∴ ∩ = ∅
( 1,1)UM N M∩ = = −
( 11) (1 )M N U∪ = − ∪ + ∞ ≠， ，
M N⊆
3
1 2
a i
i
+
−
3 ( 3 )(1 2 ) ( 6) (3 2 ) 6 3 2
1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 5 5
a i a i i a a i a a ii i i
+ + + − + + − += = = +− − +
6 3 20, 05 5
a a− += ≠ 6a∴ =
a bi+ a b3.下列命题中正确的是（ ）
A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
B. 命题“若 ，则 或 ”的逆否命题是“若 或 ，则
”
C. 命题“ ”的否定是“ ”
D. 若 则 恒成立
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查充分不必要条件的判断，逆否命题的改写，特称命题的否定形式，以及恒成立问题.
综合性考察题目.
【 详 解 】 对 于 A ， ， ， 则 “ ” 是
“ ”的充要条件，则 A 错误.
对于 B ,逆否命题应该是“若 且 ，则 ”，则 B 错误.
对于 C，否定形式应该是 ，则 C 错误.
对于 D，令 ， ，当 时 恒成立，
即 ， 恒成立.则 D 正确。
故选:D.
【点睛】条件推结论为充分，结论推条件为必要，如果互相推出，则为充要条件；对“且”
命题否定应改为“或”，对“或”命题否定应改为“且”；特称命题改写否定形式注意 x 取值
范围不变；恒成立问题，导数求解更简单。
4.若 ，则 的大小关系是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
1x > ( )2log 1 1x+ >
2 2x = 2x = 2x = − 2x ≠ 2x ≠ −
2 2x ≠
( )0 0 00, ,ln 1x x x∃ ∈ +∞ = − ( )0, ,ln 1x x x∀ ∉ +∞ ≠ −
0x > sinx x>
2 2log ( 1) 1 log 2x + > = 1 2, 1x x+ > > 1x >
( )2log 1 1x+ >
2x ≠ 2x ≠ − 2 2x ≠
(0, ),ln 1x x x∀ ∈ +∞ ≠ −
( ) sinf x x x= − '( ) 1 cosf x x= − 0x > '( ) 0f x ≥
min( ) (0) 0f x f= = ( ) 0, sinf x x x∴ > >
0.5
0.5ln 2, log 1.2, 1.2a b c= = = , ,a b c
c b a< < a b c< < b a c< < b c a< 2
【答案】C
【解析】
试题分析：命题 p 为真时： ；命题 q 为真时： ，
因为 p 且 为真命题，所以命题 p 为真，命题 q 为假，即 ，选 C．
考点：命题真假
9.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹
组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆
( 为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：
①对于任意一个圆 ，其“优美函数”有无数个；
②函数 可以是某个圆的“优美函数”；
③正弦函数 可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数 是“优美函数”的充要条件为函数 的图象是中心对称图形．
(0, )2
π
2 1( ) ( 1)sin sin1 1
x
x x
ef x x xe e
−= − =+ +
1 1 1( ) sin( ) ( sin ) sin ( )1 1 1
x x x
x x x
e e ef x x x x f xe e e
−
−
− − −− = − = ⋅ − = =+ + +
(0, )2x
π∈ 1,sin 0xe x> > ( ) 0f x <
2( ) 2 1( 0)f x ax x a= − − ≠
2 ay x −= (0, )+∞ q¬
1a >
0, (1) 2 2 0 1a f a a> = − > ⇒ > 2 0, 2a a−
q¬ 1 2a< ≤
O
O
O
2 2( ) ln( 1)f x x x= + +
siny x=
( )y f x= ( )y f x=A. ①④ B. ①③④ C. ②③ D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】
根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.
【详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确
对②，函数 是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误
对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.
对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误
故选：D
【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数 含义，找到中心对称图形，即可判断
各项正误.
10.若 ，且 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将代数式 与 相乘，展开式利用基本不等式求出 的最小值 ，将问题转化
为解不等式 ，解出即可.
【详解】由基本不等式得 ，
的
2 2( ) ln( 1)f x x x= + +
0, 0x y> > 2 1 1x y
+ = 22 7x y m m+ > + m
( 8,1)− ( , 8) (1, )−∞ − ∪ +∞
( , 1) (8, )−∞ − ∪ +∞ ( 1,8)−
2 1
x y
+ 2x y+ 2x y+ 8
( )2
min7 2m m x y+ < +
( )2 1 4 42 2 4 2 4 8y x y xx y x yx y x y x y
+ = + + = + + ≥ ⋅ + = 当且仅当 ，即当 时，等号成立，所以， 的最小值为 .
由题意可得 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 ，故选：A.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，
对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题。
11.设定义在 上的函数 满足任意 都有 ，且 时，
，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
函数 f（x）满足 f（t+2）= ，可得 f（x）是周期为 4 的函数．6f（2017）=6f（1），3f
（2018）
=3f（2），2f（2019）=2f（3）．令 g（x）= ，x∈（0，4]，则g′（x）=
＞0，利
用其单调性即可得出．
【详解】函数 f（x）满足 f（t+2）= ，可得 f（t+4）= =f（t），∴f（x）
是周期为 4 的函数．
6f（2017）=6f（1），3f（2018）=3f（2），2f（2019）=2f（3）．
令 g（x）= ，x∈（0，4]，则 g′（x）= ，
( )4 , 0y x x yx y
= > 2x y= 2x y+ 8
( )2
min7 2 8m m x y+ < + = 2 7 8 0m m+ − < 8 1m− < <
m ( 8,1)−
R ( )y f x= t R∈ 1( 2) ( )
+ =f t f t (0,4]x∈
( )'( ) f xf x x
> 6 (2017)f 3 (2018)f 2 (2019)f
6 (2017) 3 (2018) 2 (2019)f f f< < 3 (2018) 6 (2017) 2 (2019)f f f< <
2 (2019) 3 (2018) 6 (2017)f f f< < 2 (2019) 6 (2017) 3 (2018)f f f< <
( )
1
f t
( )f x
x
( ) ( )
2
'xf x f x
x
−
( )
1
f t ( )
1
2f t +
( )f x
x
( ) ( )
2
'xf x f x
x
−∵x∈（0，4]时， ，
∴g′（x）＞0，g（x）在（0，4]递增，
∴f（1）＜ ＜ ，
可得：6f（1）＜3f（2）＜2f（3），即 6f（2017）＜3f（2018）＜2f（2019）．
故答案为：A
【点睛】本题考查了函数的周期性单调性、利用导数研究函数的单调性、构造法，考查了
推理能
力与计算能力，属于难题．(2)解答本题的关键有两点，其一是求出函数的周期是 4，其二是
构造函数 g（x）= ，x∈（0，4]，并求出函数的单调性.
12.已知函数 ，函数 g（x）＝x2，若函数 y＝f（x）﹣g（x）
有 4 个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A. （5，+∞） B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
因为 是分段函数，新函数 的零点问题也需要分段研究，每一段上的零点
个数加成总和即为函数的零点个数.
【详解】分段讨论：当 时， 与 有两个交点 ，两个零点.
要使 有 4 个零点,
则当 时 与 有两个交点即可（如图）.
【
( ) ( )
' f xf x x
＞
( )2
2
f ( )3
3
f
( )f x
x
2 , 0
( ) 1 15 , 02 4
x x
f x
a x x
>
= + −
a
155, 2
195, 2
195, 2
( )f x ( ) ( )y f x g x= −
0x > ( ) 2xf x = 2( )g x x= (2,4),(4,16)
( ) ( )y f x g x= −
0x ≤ 1 15( ) 2 4f x a x= + − 2( )g x x=过点 作 的切线，设切点为 ,
则 ，即切线方程为 ,
把点 代入切线方程，得 或 ,
又 ，则 ，
又 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是
故选：B.
【点睛】分段函数一定要分段研究，不同的取值范围对应不同的解析式。在二次函数与一次
函数相交的问题中，巧妙利用图像法可有效解决问题.
二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
13.设数列{an}是等差数列，a1+a2+a3＝﹣24，a19＝26，则此数列{an}前 20 项和等于_____．
【答案】180
【解析】
【分析】
利用等差数列性质先求解 ，再利用 ，及求和公式 。求
【详解】 ，
1 15( , )2 4
− − 2( ) ( 0)g x x x= < 2( , )( 0)m m m <
=2k m切
2 2 ( )y m m x m− = −
1 15( , )2 4
− − 5
2m = − 3
2m =
0m < 5
2m = − =2 = 5k m −切
1 150 02 4a⋅ + − < 15
2a <
a 15(5, )2
2a 2 19 1 20a a a a+ = + 1( )
2
n
n
n a aS
+= 20S
1 3 22a a a+ = 1 2 3 2 23 24, 8a a a a a∴ + + = = − ∴ = −故答案为：180.
【点睛】等差数列重要性质，若 ，则 .
14.已知向量 与向量 的夹角为 120°，若向量 且 ，则 的值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量垂直入手，利用数量积，转化 与 之间的关系式，求解 的值.
【详解】
，即
再由数量积公式，得 ， 。所以
故答案为：
【点睛】向量垂直 。数量积的乘法分配律。数量积定义 .
15.已知函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，π]）的部分图象如图所示，其中 f
（0）＝1，|MN|＝ ，则 f（x）在（0,3）上的单调递减区间为_________.
【答案】
【解析】
1 20 2 19
20
20 ( ) 20( ) 1802 2
a a a aS
× + += = =
m n s t+ = + m n s ta a a a+ = +
a b c a b= + a c⊥ | |
| |
a
b
1
2
a b | |
| |
a
b
a c⊥
( ) 0a c a a b∴ = ⋅ + =
2
0a a b+ ⋅ =
2
cos120 =0a a b+ ⋅ ⋅ 。 1 02a b∴ − = 1
2
a
b
=
1
2
0a b a b⊥ ⇔ =
cosa b a b θ⋅ = ⋅ ⋅
5
2
( )0,2【分析】
由函数图像判断 的各个系数：最高点为 A，周期 ，再代入 求
解 .求出函数解析式，进而可求其单调区间.
【 详 解 】 由 ， M 为 最 高 点 ， N 为 平 衡 位 置 ， 间 隔 , 根 据 勾 股 定 理 ， 有
即 ， ，
， ，再结合图像，得
则 ，求单调减区间为
解得 ,与 取交集，得 。
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数 ，由图像确定系数及单调区间，属于基础题.
16.在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 的等边三角形，其
中 ，则该三棱锥外接球的表面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可以通过题意画出图像，然后通过三棱锥的图像性质以及三棱锥的外接球的相关性
质来确定圆心的位置，最后根据各边所满足的几何关系列出算式，即可得出结果。
【详解】
如图所示，作 中点 ，连接 、 ，在 上作三角形 的中心 ，过点 作
平面 的垂线，在垂线上取一点 ，使得 。
因为三棱锥底面是一个边长为 的等边三角形， 为三角形的中心，
所以三棱锥的外接球的球心在过点 的平面 的垂线上，
sin( )y A xω ϕ= + 2T
π
ω= (0) 1f =
ϕ
5
2MN = 1
4T
2 2 212 ( )4MN T= +
6T = 2
3T
π πω∴ = = ( ) 2sin( )3f x x
π ϕ∴ = +
(0) 1f =
1(0) 2sin 1, sin 2f ϕ ϕ= = ∴ = 5
6
πϕ =
5( ) sin( )3 6f x x
π π= + 5 32 2 ,2 3 6 2k x k k Z
π π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈
1 6 2 6 ,k x k k Z− + < < + ∈ (0,3) ( )0,2
( )0,2
sin( )y A xω ϕ= +
P ABC− PAB ⊥ ABC ABC∆ 2 3
7PA PB= =
65
4
π
AB D PD CD CD ABC E E
ABC O PO OC=
2 3 E
E ABC因为 ， 、 两点在三棱锥的外接球的球面上，所以 点即为球心，
因为平面 平面 ， ， 为 中点，所以 平面
， ， ，
，
设球的半径为 ，则有 ， ，
，即 ，解得 ，
故表面积为 。
【点睛】本题考查三棱锥 相关性质，主要考查三棱锥的外接球的相关性质，考查如何通过
三棱锥的几何特征来确定三棱锥的外接球与半径，考查推理能力，考查化归与转化思想，是
难题。
三．解答题（满分 70 分）
17.设 是等比数列，若 ，且 2a2，a3， 成等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）当{an}的公比不为 1 时，设 ，求证：数列{bn}的前 n 项和 Tn＜1．
【答案】（1） 或 ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1） 等比，设公比为 q 再根据等差中项求 的通项公式。
（2）根据第一问中所求 通项，表达出 ，注意观察 求和为裂项相消法。
【详解】解: (1)设等比数列{an}的公比为 q, 。
成等差数列，
即
即 ,解得 q=2 或 q= 1.
的
PO OC= P C O
PAB ⊥ ABC PA PB= D AB PD ⊥ ABC
2 2 12 3 3CD CA AD= - = - = 2
3 2CE CD= = 1DE CD CE= - =
2 2 2PD PB BD= - =
r PO OC r= = 2 4OE r= -
( ) 2 2 2PD OE DE PO- + = ( ) 2
2 2 22 4 1r r- - + = 2 65
16r =
2 65
44S r pp= =
{ }na 1 2a = 3 6−S
{ }na
1
2
2
4 1
+
= −
n
n na b n
( )*2n
na n N= ∈ 2na =
{ }na { }na
{ }na nb nb
2 3 32 , , 6− a a S 1a 2=
3 2 32 2 6∴ = + −a a S 2 24 4 2 2 2 6= + + + −q q q q
2 3 2 0− + =q q所以{an}的通项为 或 an=2
(2)由(1)知
∴数列{bn}的前 n 项和为
【点睛】（1）求通项公式时，注意特殊情况，不可随意忽略。
（2）裂项相消法中，注意对通项公式进行分析，对分母因式分解，快速找到解题关键。
18.已知函数 f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f'（x）为 f（x）的导数．
（1）求曲线 在点 A（0，f（0））处的切线方程；
（2）设 ，求 在区间[0，π]上的最大值和最小值。
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）切线方程的求法：切点横坐标①代入原方程求切点纵坐标，②代入导函数求切线斜率.
（2）对 求导，得 。对 求导，判断 在区间 上的单调性与极
值，从而判断最大最小值.
【详解】(1) f (x) =cosx+xsinx-1, 所以 f (0) =0, f(0) =0，
从而曲线 y=f(x)在点 A (0, f(0))处的切线方程为 y=0.
(2) ∵'g (x) =cosx+xsinx-1，
当 时， ;当 时， .
( )1 *2 2 2r n
na n N−= ⋅ = ∈
1
2
22 4 1
+
= = −
n
n
n n na a b n
2
2 1 1
4 1 2 1 2 1
∴ = = −− − +nb n n n
1 2 3 nTn b b b b∴ = + + + +
1 1 1 1 1 11 13 3 5 2 1 2 1 2 1n n n
= − + − + + − = − − + +
11 02 1
∴ − = − ,2x
π π ∈ ( ) 0g x′ ( )h x ( )1,+∞
( ) ( )3 3 ln3 2 1 ln3 0, 4 4 ln4 2 2 2ln2 0h h= − − = − = − − = −
( )h x ( )1,+∞ 0x ( )0 3,4x ∈ ( )0 0 0ln 2 0h x x x= − − =
0 02 lnx x− =
( ) 0 0 0
0min
0
ln 2 1 11
x x xg x xx
+ −= = +−
0 1a x> + ( )0 3,4x ∈ a Z∈ a 5
xoy l
1{ 2
x t
y t
= −
= + t O x
C 2
3
1 2cos
ρ
θ
=
+
l C
C l d d
3 0x y− + = 2 23 3+ =x y 2 5 2
2 2
，试题分析：(Ⅰ)两式相加消去参数 ，即得直线的普通方程，利用二倍角公式和
进行求解；(Ⅱ)设出椭圆上点的参数坐标，再利用点到直线的距离公式和配角公式、三角函
数的性质进行求解．
试题解析：（Ⅰ）直线 的直角坐标方程为 ，
因为 ，所以 ，则 ，
即曲线 的直角坐标方程为 .
（Ⅱ）∵曲线 的直角坐标方程为 ，即 ，
∴曲线 上的点的坐标可表示为 .
∵ ，∴
，∴ 的最小值为
， 的最大值为 .∴ ，
即 的取值范围为 .
考点：1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的转化；2.点到直线的距离公式．
23.已知实数 a，b，c 满足 a2+b2+c2＝3．
（1）求证 ；
（2）求证 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）将结论式平方，可得到条件式，再运用重要不等式 即可求解.
l 3 0x y− + =
C 2 23 3+ =x y
C 2 23 3+ =x y
2
2 13
yx + =
C ( )cos , 3sinα α
2sin 3 1 06
π α − + ≥ >
2sin 3 2sin 3cos 3sin 3 6 6
2 2 2
d
π πα αα α
− + − + − + = = = d
1 2= 22
d 5 5 2= 22
2 5 2
2 2d≤ ≤
d 2 5 2
2 2
，
3a b c+ + ≤
2 2 2
1 1 1 3+ + ≥
a b c
2 2 2a b ab+ ≥（2）结合“1”的妙用方法，将结论式与条件式相乘，只需证
，即可证明不等式.
【详解】(1)
。
(2)
.当且仅当 时取等号.
【点睛】（1）将结论式跟条件联系在一起，只需将结论平方.
（2）不等式性质：
2 2 2
2 2 2
1 1 1( )( ) 9a b c a b c
+ + + + ≥
2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab bc ac+ + = + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 9+ + + + + + + + = + + =a b c a b b c a c a b c
3∴ + +a b c
( ) 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 + + + + = + + + + + + =
a a b b c ca b c a b c b c a c a b
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 23
+ + + + + +
a b a c b c
b a c a c b
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 23 2 2 2 9+ ⋅ + ⋅ + ⋅ =a b b c a c
b a c b c a
2 2 2 1a b c= = = 2 2 2
1 1 1 3∴ + +
a b c
, 0a b c ac bc> > ⇒ >
0 n na b a b> > ⇒ >
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