2019-2020 学年度上学期期中考试
高三理科数学试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的．
1.已知集合 ，集合 ，则集合 中元素的个数为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】
直接带值求出 z 可能的取值，即得 B 集合元素的个数．
【详解】集合 A＝{1，2，4，8}，集合 B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A}＝{1，2，4，8，16，32，
64}，
集合 B 中元素的个数为 7．
故选：A．
【点睛】本题考查集合的基本概念，考查集合的互异性,是基础题
2.已知复数 ，则复数 对应的点在复平面内位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案．
【详解】∵
＝2﹣i﹣i＝2﹣2i，
∴复数 z 对应的点的坐标为（2，﹣2），在复平面内位于第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础
题．
{ }1,2,4,8A = { }| , ,B z z xy x A y A= = ∈ ∈ B
5 1
2 1
iz i i
−= ++ + z
( )
( )( ) ( )( )
25 25 1 (1 )
2 1 2 2 1 1
ii iz i i i i i i
−− −= + = ++ + + − + −3.设 ， 满足 ， ，且 ，则实数 的值为（ ）
A. 3 B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 ，根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即
可求出 x 的值．
【详解】 ，
∵ ，
∴ ，
∴x＝﹣3．
故选：B．
【点睛】本题考查向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件，是基础题．
4.若实数 ， 满足不等式组 ，则 最大值为（ ）
A. -2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程
组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】由实数 x，y 满足不等式组 作出可行域如图，
联立 ，解得 A（2，2），
化目标函数 z＝2x+y 为 y＝﹣2x+z，
的
a b ( )1,2a = ( ), 1b x= − ( )a b a+ ⊥ x
- 1
2
− 1
2
( )11a b x+ = + ， ( )a b a+ ⊥ ( ) 0a b a+ ⋅ =
( )11a b x+ = + ，
( )a b a+ ⊥
( ) 1 2 0a b a x+ ⋅ = + + =
x y
4 0
2 3 2 0
4 4 0
x y
x y
y x
+ − ≤
− + ≤
− − ≤
2z x y= +
4 0
2 3 2 0
4 4 0
x y
x y
y x
+ − ≤
− + ≤
− − ≤
4
2 3 2 0
x y
x y
+ =
− + =由图可知，当直线 y＝﹣2x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 2×2+2＝
6．
故选：C．
【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，确定最优解是关键，
是中档题．
5. 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用二倍角的公式化简求值．
【详解】
．
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，熟记公式与诱导公式是关键
是基础题．
6.设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若 ， ，则 ， 为异面直线； ②若 ， ， ，则 ；
③若 ， ，则 ； ④若 ， ， ，则 .
22cos 5 1
sin 40 cos40
°−
° °
- -
22 5 1 10 2 10
40 40 40 40 2 40 40
cos cos cos
sin cos sin cos sin cos
°− ° °= =° ° ° ° ° °
2 10 2 10 280 10
cos cos
sin cos
° °= = =° °
m n α β γ
m α⊂ / /n α m n m β⊥ α β⊥ m γ⊥ α γ⊥
/ /m β α β⊥ m α⊥ m α⊥ n β⊥ //m n α β⊥则上述命题中真命题的序号为（ ）
A. ①② B. ③④ C. ② D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】
对于①，若 m⊂α，n∥α，则 m，n 可能平行；
对于②，利用面面垂直的判定判定；
对于③，若 m∥β，α⊥β，则 m 与 α 位置关系不定；
对于④，若 m⊥α，n⊥β，m∥n，则 α∥β．
【详解】设 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，
对于①，若 m⊂α，n∥α，则 m，n 可能平行，故错；
对于②，若 m⊥β，α⊥β则在平面 α 内一定可以找到一条直线与 m 平行且垂直 β，又 m⊥γ，
则 α⊥γ；故正确．
对于③，若 m∥β，α⊥β，则 m 与 α 位置关系不定，故错；
对于④，若 m⊥α，n⊥β，m∥n，则 α∥β，故错．
故选：C．
【点睛】本题考查了空间线面、面面位置关系的判定，熟记定理是关键，属于中档题．
7.设 为正项等比数列 的前 项和， ， ， 成等差数列，则 的值为（ ）
A. B. C. 16 D. 17
【答案】D
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为 q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得
公比 q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值．
【详解】正项等比数列{an}的公比设为 q，q＞0，a5，3a3，a4 成等差数列，
可得 6a3＝a5+a4，即 6a1q2＝a1q4+a1q3，
化为 q2+q﹣6＝0，解得 q＝2（﹣3 舍去），
nS { }na n 5a 33a 4a 8
4
S
S
1
16
1
17则 1+q4＝1+16＝17．
故选：D．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查方程思想和
化简运算能力，属于基础题．
8.已知曲线 在 处的切线与 ， 轴分别交于 ， 两点，若
的面积为 ，则正数 的值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义，求出曲线在在 x＝1 处的切线方程，进而可知点 A，B 的坐标，因此由
△OAB 的面积为 ，列出方程，即可解出 a．
【详解】因为 ，所以 k＝ ＝a+2，而 f（1）＝﹣2，
故切线方程为：y+2＝（a+2）（x﹣1），由此可得点 A（ ，0），B（0，﹣4﹣a）．由于 a＞
0，
S△OAB |﹣4﹣a|×| | ，化简得，3a2﹣a﹣2＝0，解得 a＝1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，求出切线方程即可表示出△OAB 的面积．
9.如图，在几何体 中， 为正三角形， ， 平面
，若 是棱 的中点，且 ，则异面直线 与 所成角
的余弦值为（ ）
( )
( )
81
8
8
4
414
1 11
111
a qS qq
aS qqq
− −−= = =−−−
( ) 2lnf x a x x
= − 1x = x y A B OAB∆
25
6
a
2
25
6
( )'f x 2
2a
x x
= + ( )' 1f
4
2
a
a
+
+
1
2
= × 4
2
a
a
+
+
25
6
=
1 1 1ABC A B C− ABC∆ 1 1 1/ / / /AA BB CC 1AA ⊥
ABC E 1 1B C 1 1 12AB AA CC BB= = = 1A E 1ACA. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
以 C 为原点，在平面 ABC 内过 C 作 BC 的垂线为 x 轴，CB 为 y 轴，CC1 为 z 轴，建立空间直角
坐标系，利用向量法能求出异面直线 A1E 与 AC1 所成角的余弦值
【详解】以 C 为原点，在平面 ABC 内过 C 作 BC 的垂线为 x 轴，
CB 为 y 轴，CC1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
设 AB＝AA1＝CC1＝2BB1＝2，
则 A1（ ，1，2），A（ ），C1（0，0，2），B1（0，2，1），E（0，1， ），
（ ，0， ）， （ ，﹣1，2），
设异面直线 A1E 与 AC1 所成角为 θ，
则 cosθ ．
∴异面直线 A1E 与 AC1 所成角的余弦值为 ．
故选：C．
13
13
2 13
13
26
13
2 26
13
3 31 0，， 3
2
1A E = 3− 1
2
− 1AC = 3−
1 1
1 1
2 26
1313 84
A E AC
A E AC
⋅
= = =
⋅ ⋅
26
13【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置
关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.已知 是定义在 上的偶函数，满足 ，当 时，
，若 ， ， ，则 ， ， 的大小
关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
根据题意，分析可得函数 f（x）是周期为 2 的周期函数，据此可得 c＝f（2019）＝ f
（1+2×1007）＝f（1），b＝f（log24.1）＝f（log24.1﹣2）＝f（log2 ），结合函数的奇
偶性可得 a=f（log2 ）＝f（﹣log2 ）＝f（log2 ），结合函数解析式可得 f（x）在[0，1]
上为增函数，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，f（x）满足 f（x+2）＝f（x），即函数 f（x）是周期为 2 的周期函数，
则 c＝f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1），b＝f（log24.1）＝f（log24.1﹣2）＝f
（log2 ），
又由 f（x）为偶函数，则 a=f（log2 ）＝f（﹣log2 ）＝f（log2 ），
当 x∈[0，1]时，f（x）＝x3+x，易得 f（x）在[0，1]上为增函数，又由 0＜log2 log2
1，
【
( )f x R ( ) ( )2f x f x+ = [ ]0,1x∈
( ) 3f x x x= + 2
4log 5a f =
( )2log 4.1b f= ( )2019c f= a b c
a b c< < b a c< < c a b< < c a b< <
4.1
4
4
5
4
5
5
4
4.1
4
4
5
4
5
5
4
4.1
4
＜ 5
4
＜则有 b＜a＜c；
故选：B．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．
11.已知数列 满足 ，则 中的最小项的值为（ ）
A. -20 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ， ，两式作差得 ，构造函数求导
得数列最小项的值
【详解】 ①,则
当 ， ②
① ②作差得： , 满足上式，故
令
当 ，故 在 单调递增，在 单调递
减，又 ，则 为函数最小值，即 中的最小项的值
为
故选：C
【点睛】本题考查数列递推关系求通项公式，考查利用导数求函数最值，注意函数与数列的
区别对最值影响，是中档题
12.已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则
（ ）
A. 在定义域上单调递减 B. 在定义域上单调递增
{ }na 232
1 2 2 2
1 19
2 3 2 4
na aaa n nn
+ + +⋅⋅⋅+ = − { }na
85
4
− 81
4
− 343
16
−
2n ≥ ( ) ( ) ( )23 +12
1 22 2
1 19+1 +12 3 2 4+1
na aaa n n
n
+ + +⋅⋅⋅+ = −
na
232
1 2 2 2
1 19
2 3 2 4
na aaa n nn
+ + +⋅⋅⋅+ = − 1
17
4a = −
2n ≥ ( ) ( ) ( )23 12
1 22 2
1 191 12 3 2 41
na aaa n n
n
−+ + +⋅⋅⋅+ = − − −
−
- 2
2
4 21 4 21=4 4
n
n
a n na nn
− −= ∴ 1
17
4a = − 24 21= 4n
na n
−
( ) ( )( ) ( ) ( )2
' 34 21 1 2 74 2
xf x x x f x x x= − ≥ ∴ = −
( ) ( )' '7 7, 0;1 , 02 2x f x x f x≥ ≥ ≤ < < ( )f x 7 +2
∞ ， 71 2
，
( ) ( )81 803 44 4f f= − < = − ( ) 813 4f = − { }na
81
4
−
( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( )2 2' xxf x x f x e+ = 1 22f e =
( )f xC. 在定义域上有极大值 D. 在定义域上有极小值
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件构造 g（x）＝xf（x），则 ，求导讨论 f（x）的单调性；在这个过程中将
分子看成一个整体，求导讨论其单调性，分析其符号．
【详解】由条件有 f（x）+xf′（x） ；
设 g（x）＝xf（x），则 g′（x）＝f（x）+xf′（x） ；
∴ ，则 ；
设 h（x）＝e2x﹣g（x），则 h′（x）＝2e2x﹣g′（x） ；
所以 h（x）在（0， ）上单调递减，在 上单调递增；
所以 ；即 f′（x）＞0；
所以 f（x）在定义域上单调递增；
故选：B．
【点睛】本题构造抽象函数求导讨论单调性，变形技巧要求较高，难度较大，准确构造 g（x）＝
xf（x）是关键，是难题
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为_______.
( ) ( )g xf x x
=
2xe
x
=
2xe
x
=
( ) ( )g xf x x
= ( ) ( ) ( ) ( )2
2 2
''
xxg x g x e g xf x x x
− −= =
2
2 2 12 2
x
x xee ex x
= − = −
1
2
1
2
+ ∞ ，
( ) 1 02h x h = ＞【答案】
【解析】
【分析】
将三视图还原，补成长方体求得外接球半径求解即可
【详解】由题三视图还原为如图所示的三棱锥 A-BCD，将三棱锥补成长方体，三棱锥的外接球
即为长方体的外接球，则 ，故该几何体的外接球的表面积为
故答案为：
【点睛】本题考查三视图及外接球，考查空间想象能力，将三棱锥补成长方体是求外接球
常用方法，是基础题
14.设 ， 为正实数，且 ，则 的最小值为____.
【答案】4
【解析】
【分析】
由 ，展开可解得 ，进而可得 ，
利用基本不等式解出即可．
【详解】因为 ，所以 ；
的
9π
2 2 2 32 1 +2 +2 =3 2R R= ∴ =，
24 9Rπ π=
9π
a b
21 4b aa b a b
+ = +
2
2
1 ba b a
+ +
21 4( ) b aa b a b
+ = + 2
2
1 2 4a b aa b b a b
+ + = + 2
2
1 2 2b a ba b a b a
+ + = +
21 4( ) b aa b a b
+ = + 2
2
1 2 4a b aa b b a b
+ + = +所以 ，当且仅当 a=b 成立
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，配凑定值是关键，属于中档题．
15.已知某圆锥的母线与其底面所成角的大小为 ，若此圆锥的侧面积为 ，则该圆锥的
体积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形设圆锥的底面半径为 r，表示出底面半径和母线长，利用圆锥的
侧面积求出 r，再计算圆锥的体积．
【详解】如图所示，∵圆锥的母线与其底面所成角的大小为 60°，∴∠SAO＝60°，
由题意设圆锥的底面半径为 r，则母线长为 l＝2r，高为 h r
∵圆锥的侧面积为 8π，∴S 侧面积＝πrl＝π•r•2r＝2πr2＝8π，
解得 r＝2，h＝2 ，
∴圆锥的体积为 V 圆锥 π•r2•h π×22 ．
故答案为： π．
【点睛】本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是
中档题．
16.在 中，设边 ， ， 所对的角分别为 ， ， ，若角 为锐角， 边上的高
为 ，且 ，则实数 的取值范围为________.
2
2
1 2 2 2 22 4b a b a ba b a b a b a
+ + = + ≥ × =
60° 8π
8 3
3
π
3=
3
1
3
= 1
3
= 8 32 3 3
π× =
8 3
3
ABC∆ a b c A B C A BC
5
8 a b c pa+ = p【答案】
【解析】
【分析】
根据已知利用余弦定理，三角函数恒等变换的应用得出 p2 关于 的表达式，根据 的范围即
可得 p 的范围．
【详解】∵BC 边上的高为 ，
∴ bcsinA ，可得：bc ，
∵b+c＝pa，两边平方可得（b+c）2＝p2a2，
∴由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA＝p2a2﹣2 2
cosA，
可得：p2＝1 1 1 ，
∵角 A 为锐角， ∈（0， ），tan ∈（0，1）， ∈（ ，+∞），
∴p2＝1 ∈（ ，+∞），
由题意知 p＞0，
∴p∈（ ，+∞）．
故答案为：（ ，+∞）．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，
属于中档题．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
17.在 中，设边 ， ， 所对的角分别为 ， ， ，已知
3 ,2
+∞
2
A
2
A
5
8 a
1
2
1 5
2 8
aa= × × 25
8
a
sinA
=
25
8
a
sinA
× −
25
8
a
sinA
× ×
( )5 1
4
cosA
sinA
++ =
210 2
8 2 2
Acos
A Asin cos
+ =
5
4 2
Atan
+
2
A
4
π
2
A 5
4 2
Atan
5
4
5
4 2
Atan
+ 9
4
3
2
3
2
ABC∆ a b c A B C.
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理可将原式化简为 cosA sinA ，整理得 sinC﹣cosC＝1，
即 sin（C ） ，进而可得 C 的大小；
（2）利用余弦定理可将 cosB 化成 ，即 8sinAcosB＝5sinC＝5sin
，进而求出 sinAcosB 的值．
【详解】（1）△ABC 中， ，即 cosA sinA ，
∴sinCcosA sinAsinC＝sinB+sinA，
∵sinB+sinA＝sin（A+C）+sinA＝sinAcosC+sinCcosA+sinA，
∴sinCcosA sinAsinC＝sinAcosC+sinCcosA+sinA，可得 sinAsinC＝sinAcosC+sinA，
∵sinA≠0，
∴ sinC﹣cosC＝1，即 sin（C ） ，
∵C∈（0，π），C ∈（ ， ），
∴C ，可得 C ．
（2）若 ，则 cosB ，即 8sinAcosB＝5sinC＝5sin
，
所以 sinAcosB ．
cos 3sin b aA A c
++ =
C
2 2 21
4a b c− = sin cosA B
3C
π= 5 3
16
3+ sinB sinA
sinC
+= 3
6
π− 1
2
=
2 2 2
2
a c b
ac
+ −= 5 5
8 8
c sinC
a sinA
=
3
π
3 b acosA sinA c
++ = 3+ sinB sinA
sinC
+=
3+
3+ 3
3 6
π− 1
2
=
6
π−
6
π− 5
6
π
6 6
π π− =
3
π=
2 2 21
4a b c− = 2 2 2 5 5
2 8 8
a c b c sinC
ac a sinA
+ −= = =
3
π
35 5 32
8 16
×
= =【点睛】本题考查正、余弦定理的综合运用，考查辅助角公式，考查计算能力，熟练运用内
角和定理和两角和的正弦定理求得 sinC﹣cosC＝1 是关键，属于中档题．
18.已知递增的等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等比数列，且 .
（1）求数列 的通项公式及前 项和 ；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为 d，d＞0，运用等差数列的通项公式和求和公式，结合等比数列的
中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式、求和公式；
（2）求得 2 ，再由数列的分组求和、裂项
相消求和，化简计算可得所求和．
【详解】（1）递增的等差数列{an}的公差设为 d，（d＞0），前 n 项和为 Sn，
若 a1，a2，a4 成等比数列，可得 a22＝a1a4，即（a1+d）2＝a1（a1+3d），
化为 a1＝d，
S5＝30，可得 5a1+10d＝30，解得 a1＝d＝2，
可得 an＝2+2（n﹣1）＝2n，Sn n（2+2n）＝n2+n：
（2） 2 ，
可得前 n 项和 Tn＝2n+1
＝2n+1 ．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查等比数列的中项性质，以及数列的
裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题．
3
{ }na n nS 1a 2a 4a 5 30S =
{ }na n nS
1
1
n n
n
n n
a ab a a
+
+
= + { }nb n nT
2na n= 2
nS n n= +
22 3
1n
n nT n
+= +
( )
( )1
1
2 12
2 1 2
n n
n
n n
na a nb a a n n
+
+
+= + = + =+
1 1
1n n
+ − +
1
2
=
( )
( )1
1
2 12
2 1 2
n n
n
n n
na a nb a a n n
+
+
+= + = + =+
1 1
1n n
+ − +
1 1 1 1 1
2 2 3 1n n
− + − + + − +
21 2 3
1 1
n n
n n
+− =+ +19.已知函数 的最小正周期为 ，将 的图像向
右平移 个单位长度后得到函数 ， 的图像关于 轴对称，且 .
（1）求函数 的解析式；
（2）设函数 ，若函数 的图像在 上恰有 2 个最
高点，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据给出的周期，可求出 ω 的值；由 f（x）的图象向右平移 个单位长度，函数的图
象关于 y 轴对称，求出 φ 的值；由 ，得 A 的值即可；
（2）由（1）可得 F（x）的解析式，由辅助角公式进行化简，利用函数图象分析即可得出结
果．
【详解】（1）∵函数 的最小正周期为 π，
∴π ，解得 ω＝2，
∵g（x）＝f（x ）＝Acos[2（x ）+φ]＝Acos（2x φ），且 g（x）的图象关于 y
轴对称，
∴ φ＝kπ，k∈Z，即 φ＝kπ ，k∈Z，
∴由|φ| ，可得 φ ，可得 f（x）＝Acos（2x ），
∵ ，即 f（ ）＝Acos[2×（ ） ]＝Acos0＝A＝2，
∴函数 f（x）的解析式为 ．
( ) ( )cos 0, 2f x A x
πω ϕ ω ϕ = + >
a
( ) 2cos 2 3f x x
π = +
23 35,12 12
6
π
26f
π − =
( ) ( ) 0 2f x Acos x
πω ϕ ω ϕ = + ＞ ， ＜
2π
ω=
6
π−
6
π−
3
π− +
3
π− +
3
π+
2
π＜
3
π=
3
π+
26f
π − = 6
π−
6
π−
3
π+
( ) 2 2 3f x cos x
π = + （2）由（1）知 g（x）＝2cos2x；
F（x）＝2cos（2x ）+2cos2x＝2（cos2xcos sin2xsin ）+2cos2x＝3cos2x
sin2x，
＝2 cos（2x ）；
∵x∈[0，aπ]（a＞0）；
∴2x ∈[ ，2aπ ]；
∵函数 F（x）的图象在 x∈[0，aπ]（a＞0）上恰有 2 个最高点；
∴结合余弦函数的图象（如图示）知，4π≤2πa 6π；
故解得 a∈
故实数 a 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，利用整体法思想，数形结合的思想方法解决问
题，属于中档题．
20.如图，底面为正方形的四棱锥 中， 平面 ， 为棱 上一动点，
.
（1）当 为 中点时，求证： 平面 ；
（2）当 平面 时，求 的值；
（3）在（2）的条件下，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）
【解析】
【分析】
3
π+
3
π −
3
π
3−
3 6
π+
6
π+
6
π
6
π+
6
π+ <
23 35,12 12
23 35,12 12
P ABCD− PA ⊥ ABCD E PC
PA AC=
E PC / /PA BDE
AE ⊥ PBD PE
CE
P BD C− −
5
5
−（1）连接 AC,BD 设其交点为 O,连接 OE,证明 OE∥PA，即可证明
（2）建立空间直角坐标系，求得平面 法向量，由线面垂直求解
【详解】（1）连接 AC,BD 设其交点为 O,连接 OE,则 为中点，故 OE∥PA
又 平面 ，OE 平面 ，故 平面 ；
（2）以 O 为原点，OA，OB 分别为 x，y 轴，过 O 做 的平行线为 轴，建立如图所示空间
坐标系，如图示：
设 AB=2，则 ，B（0， ，0），D（0，- ，0），
，
设 ， ，
平面 ，所以 ， 则 ，故 ；
（3）因为 平面 ，所以 AE 是平面 的一个法向量，
故取平面 的一个法向量为 ，平面 的法向量为
设二面角 为 θ，
则 ，由图知，二面角为钝角，故二面角 的余弦值为
的PBD
O
PA ⊄ BDE ⊂ BDE / /PA BDE
AP z
( ,0,0), ( ,0,0)2 2A C − 2 2
( ,02 ,2 )2P
0PE
PC
λ= > ( )2 2 2 2 2 2( 2 ,0,2 2 ), 2 ,0,2 2 2E AEλ λ λ λ− − = − −
AE ⊥ PBD 0AE PD⋅ = 0AE PB⋅ = 2
3
λ = 2PE
CE
=
AE ⊥ PBD PBD
PBD ( 2,0,1)m = − ABCD ( )0,0,1n =
P BD C− −
| 5cos 5| | | |
m n
m n
θ ⋅= =
⋅
P BD C− − 5
5
−【点睛】本题考查线面平行，考查二面角的向量求法，考查线面垂直的向量求解，是中档题
21.已知函数 .
（1）证明：当 时， ；
（2）若斜率为 的直线与曲线 交于 ， 两点，求证：
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）原不等式等价为 ，构造函数 ，求导证明
即可；
（2）由斜率表示 k,利用导函数证明 为增函数即可证明
【详解】（1）当 时， 即
令 ，故 单调递增，则
，故
（2） 故 ，
故 单调递增，图像为下凸函数，故
得证
【点睛】本题考查利用导数证明不等式，考查函数图像及性质，准确判断函数
的特征是关键，是中档题
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．
22.已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），点 是曲线 上一动点，过点
作 轴于点 ，设点 为 的中点（ 为坐标原点）.
（1）求动点 的轨迹 的参数方程；
( ) xf x xe=
0x > ( ) 22xf x xe x−> +
k ( )f x ( )1 1,A x y ( )( )2 2 2 1, 0B x y x x> >
( ) ( )1 2
1 21 1x xx e k x e+ < < +
2 0x xe e x− − >- ( ) 2x xg x e e x−= −- ( )min 0g x >
( ) ( )' 1xf x e x= +
0x > ( ) 22xf x xe x−> + 2 0x xe e x− − >-
( ) ( );2 2 2 2 0x x x x x xg x e e x g x e e e e− − −= − = + − ≥ − =- ， ( )g x
( ) ( )0 0g x g> = ( ) 22xf x xe x−> +
( ) ( )' 1xf x e x= + ( ) ( ) ( ) ( )1 2' '
1 1 2 21 , 1x xf x x e f x x e= + = +
( ) ( )'' 2 0xf x e x= + > ( ) ( )' 1xf x e x= + ( ) 1
1 1 xx e+ <
2 1
2 1
2 1
x xx e x ek x x
−= − ( ) 2
2 1 xx e< +
( ) ( )' 1xf x e x= +
C
2 2 cos
2 sin
x
y
θ
θ
=
=
θ P C P
PN y⊥ N Q NP O
Q 1C（2）过 的直线交曲线 于不同两点 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1） ： （ 为参数）；（2）
【解析】
【分析】
（1）化曲线 的参数方程为普通方程，设 ，利用中点坐标得 P 坐标代入曲线 C 的方
程，再化为参数方程即可
（2）设过 的直线的参数方程，与圆联立，由韦达定理及距离公式求解即可
【详解】（1）化曲线 的参数方程为 为普通方程
设 则 ，故
故动点 的轨迹 的参数方程 （ 为参数）
（2）设直线的参数方程为 ( 为参数）
代入方程 ，得
设 ，则
则
【点睛】本题考查相关点法求轨迹方程，考查普通方程与参数方程互化，考查直线参数方程
的几何意义，注意判别式求范围是关键，是中档题
( )1, 3M 1C A B 2 2
1 1
MA MB
+
1C 2 cos
2 sin
x
y
θ
θ
=
=
θ ( ]1,3
C ( ),Q x y
( )1, 3M
C
2 2 cos
2 sin
x
y
θ
θ
=
=
2 2
18 2
x y+ =
( ),Q x y ( ) ( )0, , 2 ,N y P x y ( )2 2
2 22 1 28 2
x y x y+ = ⇒ + =
Q 1C ( )2 cos [0,2 )
2 sin
x
y
θ θ π
θ
= ∈
=
θ
1 cos
3 sin
x t
y t
α
α
= + = +
α
2 2 2x y+ = ( )2 2cos 2 3sin 2 0t tα α+ + + =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
( )
( )
2
2
1 2
1 2
= 2cos 2 3sin 8 0
2cos 2 3sin 8 2cos 2 3sin 16
2
t t
t t
α α
α α α α
∆ + − >
+ = + ⇒ < + ≤
=
( )
( )
( )2
2
1 2 1 2
2 2 2
1 2
2cos 2 3sin21 1 = 1 (1,3]4
t t t t
t tMA MB
α α++ −+ = − ∈23.已知 ， ， 为正实数，且 .
（1）解关于 不等式 ；
（2）证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将 变形为 代入不等式求解
（2） 利用柯西不等式证明即可
【详解】（1）则 则
故 等价为 ，即 ，解得
故解集为
（2）由柯西不等式 当且仅当 等号成
立，则
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，是中档题
的
a b c 1 1 1 3a b c
+ + =
c 2 5 a b
c ab
+− ≤
2 2 2 3c a b
a b c
+ + ≥
3 1,8 2
1 1 1 3a b c
+ + = 13a b
ab c
+ = −
1 1 1 3a b c
+ + = 13a b
ab c
+ = −
2 5 a b
c ab
+− ≤ 2 15 3c c
− ≤ − 1 2 13 5 3c c c
− ≤ − ≤ − 3 1
8 2c≤ ≤
3 1
8 2
，
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1+ + + +c a b
a b c c a b a b c
+ + ≥ 1a b c= = =
2 2 2 3c a b
a b c
+ + ≥
微信/支付宝扫码支付