2019-2020 学年度上学期期中考试
高三文科数学
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.若集合 ，且 ，则集合 可能是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由子集 概念易知只有选项 A 中集合可能为集合 的子集．故选 A．
2.复数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：由 的幂的结果进行化简
详解：
故选
点睛：本题考查了复数的化简，由 的幂的结果进行化简，然后进行除法运算即可。
3.若向量 ， ，则 与 的夹角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用坐标表示出 和 ，根据向量夹角公式直接求解即可得到结果.
的
{ }| 0A x x= ≥ B A⊆ B
{ }1,2 { }| 1x x ≤
{ }1,0,1− R
A
2 4 3
1
i i i
i
+ + =−
1 1
2 2 i− − 1 1
2 2
− + i 1 1
2 2 i− 1 1
2 2 i+
i
( )
( )( )
2 4 3 11 1 1 1 1
1 1 1 1 1 2 2 2
i ii i i i i i ii i i i i
− ++ + − − + − −= = = = = −− − − + −
C
i
( )1,2a = ( )1, 1b = − 2a b+ a b−
4
π−
6
π
4
π 3
4
π
2a b+ a b− 【详解】由题意得： ，
又
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用向量数量积和模长求解向量夹角的问题，关键是能够熟练掌握向量数
量积和模长的坐标运算.
4.若 α∈ ，且 ，则 的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析： ， .
考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．
5.若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点 ，则椭圆方程是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由椭圆性质可知 椭圆上的点 到两焦点（－2，0）和（2，0）的距离
之和为
( )2 3,3a b+ = ( )0,3a b− =
( ) ( )2 3 0 3 3 2cos 2 , 29 9 0 92
a b a b
a b a b
a b a b
+ ⋅ − × + ×∴ < + − >= = =
+ × ++ ⋅ −
[ ]2 , 0,a b a b π< + − >∈ 2 , 4a b a b
π∴< + − >=
C
0, 2
π
2 1sin cos2 4
α α+ = tanα
2
2
3
3 2 3
2
2
2 2 2
cos 1 1sin cos2 sin cos 1 tan 4
αα α α α α+ = = =+ + tan 3α =
2 2
18 4
y x+ = 2 2
110 6
x y+ =
2 2
14 8
y x+ =
2 2
110 6
y x+ =
2,c =
2 2 10a =，方程为
考点：椭圆方程及性质
6.在等差数列{an}中，若 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则 2a10－a12 的值为( )
A. 20 B. 22
C. 24 D. 28
【答案】C
【解析】
由 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120，
解得 a8＝24，且 a8＋a12＝2a10，则 2a10－a12＝a8＝24.故选 C.
7.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由三视图可知,上面是半径为 的半球,体积为 ,下
面是底面积为 1,高为 1 的四棱锥,体积 ,故选 C.
【考点】根据三视图求几何体的体积
【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，
综合性较强，较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能力等.
2 210, 10 4 6a b∴ = = − = 2 2
110 6
x y+ =
1 2
3 3
π+ 1 2
3 3
π+
1 2
3 6
π+ 21 6
π+
2
2
3
1
1 4 2 2
2 3 2 6V π π= × × =（ ）
2
1 11 13 3V = × × =8.将函数 的图象按向量 平移，平移后的图象如图所示，则平
移后的图象所对应函数的解析式是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
将函数 的图象按向量 平移，平移后的图象所对应的解析式为
，由图象知， ，所以 ，因此选 C。
9.圆 的圆心到直线 的距离为 1，则 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
试题分析：由 配方得 ，所以圆心为 ，因
为圆 的圆心到直线 的距离为 1，所以 ，
sin ( 0)y xω ω= > ,06a
π = −
sin( )6y x
π= +
sin( )6y x
π= −
sin(2 )3y x
π= +
sin(2 )3y x
π= −
sin ( 0)y xω ω= > ,06a
π = −
sin ( )6y x
πω= + 7 3( )12 6 2
π π πω + = 2ω =
2 2 2 8 13 0+ − − + =x y x y 1 0ax y+ − = a =
4
3
− 3
4
− 3
2 2 2 8 13 0x y x y+ − − + = 2 2( 1) ( 4) 4x y− + − = (1,4)
2 2 2 8 13 0x y x y+ − − + = 1 0ax y+ − =
2 2
4 1 1
1
a
a
+ − =
+解得 ，故选 A.
【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离.已知直线与圆的位置关系
时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系，以此来确定参
数的值或取值范围．
10.已知定义在 R 上的函数 满足：对任意 ，则
A. B. 0 C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
试题分析： ，且 ，又 ，
，由此可得 ， ， 是周期
为 的函数， ， ，故选 B.
考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.
【易错点晴】函数 满足 则函数关于 中心对称， ,
则函数关于 轴对称，常用结论：若在 上的函数 满足
，则函数 以 为周期.本题中，利用
此结论可得周期为 ，进而 ， 需要回到本题利用题干条件
赋值即可.
11.已知 、 、 是球 球面上三点，三棱锥 的高为 ,且 =60º ，
=2， =4，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
的
4
3a = −
( )f x ( ) ( ) ( ) ( ), , 3x R f x f x f x f x∈ − = − − =
( )2019f =
3−
(3 ) ( )f x f x− =
( ) ( 3)f x f x∴ = − −
( )f x (3 ) ( )f x f x− =
R ( )f x
( )f x
(2019) (3)f f=
A B C O O ABC− 2 2 ABC∠
AB BC O
24π 32π 48π 192π【解析】
试题分析：过点 O 作 平面 ，垂足是 ，由球和性质知，E 是 的外心，在
中 ， 由 题 设 ， 根 据 余 弦 定 理 得 ：
所以， ，所以 是直角三角形， ,E 在 BC 上，且是 BC
的中点，
于是，在直角三角形 中， ,
所以， ,即球的半径
球 的表面积为 ,故选 C．
考点：1、空间几何体的结构特征；2、余弦定理．
12.已如函数 ，若 ，且 ，则 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可根据题意及画出的分段函数的图象确定出 ，然后可将 和 代入
OE ⊥ ABC E ABC∆ ABC∆
2 2 2 12 cos60 4 16 2 2 4 122AC AB BC AB BC= + − ⋅ ⋅ = + − × × × =
2 2 2AC AB BC+ = ABC∆ 90BAC∠ =
OAE 12 2, 22OE AE BC= = =
( )22 2 22 2 2 2 3OA OE AE= + = + = 2 3R =
O 24 48S Rπ π= =
( ) 1 ln , 1
3 2, 1
x xf x x x
+ ≥= −
( ) 11 ln3g x x x= + − ( )1x >
( ) 11 3g x x
=′ −
1x >
3 3x >
1 10 3 3x
<
( )g x ( )1,+∞
( ) ( )min 1 2g x g= =
( ) 2g x >
1 2 2x x+ >
32 3 5y x x= − + 1x = −
1x = −
32 3 5y x x= − +
26 3y x′∴ = −
( )2
1| 6 1 3 3xy =−′∴ = − − =
32 3 5y x x= − + 1x = − 3k =
3
,α β ,m n
, ,m n m nα β⊥ ⊥ α β⊥ ,m nα α⊥ ∥ m n⊥ ,mα β α⊂∥那么 ；④如果 ，那么 与 所成的角和 与 所成的角相等．其中正确
的命题有__________．(填写所有正确命题的编号）
【答案】②③④
【解析】
【分析】
依次判断每个选项得到答案.
【详解】①如果 ，那么可以得到 ， 或相交，所以①错误.
②如果 ，那么 内所有直线， ，那么 至少平行于 内一条直线，故
，所以②正确.
③如果 ，根据两平面平行性质可以得到 ，故③正确.
④如果 ，那么 与 所成的角和 与 所成的角相等，平移不影响线面夹角，
故④正确.故答案为②③④.
【点睛】本题考查了面面垂直，面面平行，线面夹角，线面平行，线线垂直，是立体几何里
面的基础概念，需要同学把握概念和性质，综合运用.
15.若圆 的半径为 1，其圆心与点 关于直线 对称，则圆 的标准方程为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用点 关于直线 对称点为 ，求出圆心，再根据半径求得圆的方程。
【详解】解：由题意圆心与点 关于直线 对称，故圆心坐标为 ，已知其半径为
，所以圆的标准方程为
故答案为：
【点睛】本题考查点关于直线对称的点的坐标计算，属于基础题。
16.在数列 中， ， ，记 是数列 的前 项和，则
= ．
【答案】480.
m β ,m n α β∥ ∥ m α n β
, ,m n m nα β⊥ ⊥ α β⊥ α β∥
m α⊥ m α⊥ n α n α
m n⊥
,mα β α⊂∥ m β
,m n α β∥ ∥ m α n β
C ( )1,0 y x= C
( )22 1 1x y+ − =
( ),a b y x= ( ),b a
( )1,0 y x= ( )0,1
1 ( )22 1 1x y+ − =
( )22 1 1x y+ − =
{ }na 1 1a = ( )2 1 1n
n na a+ + − = nS { }na n 60S【解析】
试题分析：当 是奇数时， ，数列 中奇数项构成等差数列，当 是偶数时，
，
.
考点：数列求和.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，试判断 的形状并给出证明.
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)由题意结合余弦定理求解角 A 的大小即可；
(2)结合两角和差正余弦公式和(1)中的结论确定 ABC 的形状即可.
【详解】 根据题意，由 可知，
根据余弦定理可知， ，
又角 A 为 的内角，所以 ；
为等边三角形
由三角形内角和公式得， ，
故
根据已知条件，可得 ，
整理得
所以 ，
ABC△ A B C a b c 2 2 2b c a bc+ = +
A
sin 2sin cosA B C= ABC△
3
π
( )1 2 2 2b c a bc+ = +
2 2 2 1
2 2
b c a
bc
+ − =
1
2cosA =
ABC 3A
π=
( )2 ABC .
( )A B Cπ= − +
( ).sinA sin B C= +
( ) 2sin B C sinBcosC+ =
0sinBcosC cosBsinC− =
( ) 0sin B C− =又 ，
所以 ，
又由 知 ，
所以 为等边三角形
【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦
定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.将正方形 沿对角线 折叠，使平面 平面 .若直线 平面 ，
.
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）取 中点为 ，连结 ， ，则 ，从而 平面 ，进而直
线 直线 ，由此能证明直线 平面 ．
（2）推导出 ， 平面 ，点 到平面 的距离等于点 到平面
的距离，从而 ．由此能求出三棱锥 的体积．
【详解】（1）证明：取 中点 ，连结 ， ，
， ，
又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
( ),B C π π− ∈ −
B C=
( )1
3A
π=
ABC .
BCED CD ECD ⊥ BCD AB ⊥ BCD
2BC =
/ /AB ECD
E ACD−
2 2
3
CD M EM BM EM CD⊥ EM ⊥ BCD
/ /AB EM / /AB ECD
BM CD⊥ BM ⊥ ECD A ECD B ECD
E ACD A ECD B ECDV V V− − −= = E ACD−
CD M EM BM
CE ED= EM CD∴ ⊥
ECD ⊥ BCD ECD BCD CD= EM ⊂ ECD
EM∴ ⊥ BCD
AB ⊥ BCD ∴ / /AB EM又 平面 ， 平面 ，
直线 平面 ．
（2）解： 原四边形 为正方形， 为 中点， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ．
由于 为等腰直角三角形，所以 ，
又 ， ，
由（1）可知，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
．
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面
面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【详解】（Ⅰ）设数列 的公差为 ，
EM ⊂ ECD AB ⊂/ ECD
∴ / /AB ECD
BCED M CD BM CD∴ ⊥
ECD ⊥ BCD ECD BCD CD= BM ⊂ ECD
BM∴ ⊥ ECD
ECD 2ECDS∆ =
2BM = 1 1 2 22 23 3 3B ECD ECDV BM S− ∆∴ = × × = × × =
A ECD B ECD
2 2
3E ACD A ECD B ECDV V V− − −∴ = = =
{ }na
1
1
n na a +
⋅
n
2 1
n
n +
{ }na
( )1 2 na
n nb a= + ⋅ { }nb n nT
2 1na n= − ( ) 14 3 1 4
9
n
n
nT
++ − ⋅=
{ }na d令 得 ，所以 .
令 得 ，所以 .
解得 ，所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 所以
所以
两式相减，得
所以
考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.
20.如图，在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 :
及其上一点 A(2，4).
（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程；
（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 相交于 B，C 两点，且 BC=OA，求直线 l 的方程；
（3）设点 T（t，0）满足：存在圆 上的两点 P 和 Q，使得 求实数 t 的取值
范围.
【答案】(1) ；(2)2x−y+5=0 或 2x−y−15=0 (3) .
【解析】
.
1,n =
1 2
1 1
3a a
=
1 2 3a a =
2,n =
1 2 2 3
1 1 2
5a a a a
+ =
2 3 15a a =
1a 1,d 2= = 2 1.na n= −
2 12 2 4 ,n n
nb n n−= ⋅ = ⋅ 1 21 4 2 4 ...... 4 ,n
nT n= ⋅ + ⋅ + + ⋅
2 3 14 1 4 2 4 ...... ( 1) 4 4 ,n n
nT n n += ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + ⋅
1 2 13 4 4 ...... 4 4n n
nT n +− = + + + − ⋅
1 14(1 4 ) 1 3 44 4 ,1 4 3 3
n
n nnn + +− −= − ⋅ = × −−
1
13 1 4 4 (3 1) 44 .9 9 9
n
n
n
n nT
+
+− + − ⋅= × + =
xOy M M 2 2 12 14 60 0x y x y+ − − + =
M
M
M ,TA TP TQ+ =
2 2( 6) ( 1) 1x y− + − = [2 2 21,2 2 21]− +【详解】试题分析：（1）根据直线与 x 轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系
求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等
量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.
试题解析：解：圆 M 的标准方程为 ，所以圆心 M（6，7），半径为
5，.
（1）由圆心 N 在直线 x=6 上，可设 .因为 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，
所以 ，于是圆 N 的半径为 ，从而 ，解得 .
因此，圆 N 的标准方程为 .
（2）因为直线 l∥OA，所以直线 l 的斜率为 .
设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2x-y+m=0，
则圆心 M 到直线 l 的距离
因为
而
所以 ，解得 m=5 或 m=-15.
故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0.
（3）设
因为 ，所以 ……①
因为点 Q 在圆 M 上，所以 …….②
将①代入②，得 .
于是点 既在圆 M 上，又在圆 上，
从而圆 与圆 有公共点，
( ) ( )2 26 7 25x y− + − =
( )06,N y
00 7y< < 0y 0 07 5y y− = + 0 1y =
( ) ( )2 26 1 1x y− + − =
4 0 22 0
− =−
2 6 7 5 .
5 5
m md
× − + += =
2 22 4 2 5,BC OA= = + =
2 2 2 ,2
BCMC d= +（ ）
( )2525 55
m += +
( ) ( )1 1 2 2, , , .P x y Q x y
( ) ( )2,4 , ,0 ,A T t TA TP TQ+ =
( ) ( )2 2
2 26 7 25.x y− + − =
( ) ( )2 2
1 14 3 25x t y− − + − =
( )1 1,P x y ( ) ( )2 24 3 25x t y− + + − =
( ) ( )2 26 7 25x y− + − = ( ) ( )2 24 3 25x t y− + + − = 所以 解得 .
因此，实数 t 的取值范围是 .
【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运
算
【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：
点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与
圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以 为主元，揭示 在两个圆上运动，
从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转
化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.
21.设 f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，a R.
（Ⅰ）令 g(x)=f'(x)，求 g(x)的单调区间；
（Ⅱ）已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当 时，函数 单调递增区间为 ，当 时，函数 单调
递增区间为 ，单调递减区间为 ； （Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求出 ，然后讨论当 时，当 时的两种情况即得.
（Ⅱ）分以下情况讨论：①当 时，②当 时，③当 时，④当 时，综
合即得.
试题解析：（Ⅰ）由
可得 ，
则 ，
当 时，
时， ，函数 单调递增；
当 时，
( ) ( )2 25 5 4 6 3 7 5 5,t− ≤ + − + − ≤ + 2 2 21 2 2 21t− ≤ ≤ +
2 2 21,2 2 21 − +
P P
∈
0a ≤ ( )g x ( )0,+∞ 0a > ( )g x
10, 2a
（ ） 1 ,2a
+∞（ ） 1
2a >
( )g x′ 0a ≤ 0a >
0a ≤ 10 2a< < 1
2a = 1
2a >
( ) ln 2 2 ,f x x ax a= − +′
( ) ( )ln 2 2 , 0,g x x ax a x= − + ∈ +∞
( ) 1 1 22 axg x ax x
=′ −= −
0a ≤
( )0,x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
0a >时， ，函数 单调递增，
时， ，函数 单调递减.
所以当 时， 单调递增区间为 ；
当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， .
①当 时， ， 单调递减
所以当 时， ， 单调递减.
当 时， ， 单调递增.
所以 在 x=1 处取得极小值，不合题意.
②当 时， ，由(Ⅰ)知 在 内单调递增，
可得当当 时， ， 时， ，
所以 在(0,1)内单调递减，在 内单调递增，
所以 在 x=1 处取得极小值，不合题意.
③当 时，即 时， 在(0,1)内单调递增，在 内单调递减，
所以当 时， ， 单调递减，不合题意.
④当 时，即 ，当 时， ， 单调递增,
当 时， ， 单调递减，
所以 f(x)在 x=1 处取得极大值，合题意.
综上可知，实数 a 的取值范围为 .
【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.
本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分
类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思
维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.
.
10, 2x a
∈（ ） ( ) 0g x′ > ( )g x
1 ,2x a
∈ +∞（ ） ( ) 0g x′ < ( )g x
0a ≤ ( )g x ( )0,+∞
0a > ( )g x 10, 2a
（ ） 1 ,2a
+∞（ ）
( )1 0f ′ =
0a ≤ ( ) 0f x′ < ( )f x
( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x
10 2a< < 1 12a
> ( )f x′ 10, 2a
（ ）
( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < 11, 2x a
∈（ ） ( ) 0f x′ >
( )f x 11, 2a
（ ）
( )f x
1
2a = 1 12a
= ( )f x′ ( )1,+∞
( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x
1
2a > 10 12a
< < 1 ,12x a
∈（ ） ( ) 0f x′ > ( )f x
( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
1
2a >请考生在 22、23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.在直角坐标系 中,以原点 为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 的
极坐标方程为 ,直线的极坐标方程为 .
(1)写出曲线 与直线的直角坐标方程;
(2)设 为曲线 上一动点，求 点到直线距离的最小值.
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用 化简即可．
（2）先把直线的极坐标方程变化为直角方程，再利用椭圆的参数方程设 ，
计算点 到直线的距离后可得距离的最小值．
【详解】（1）曲线 的极坐标方程为 可化为 ，
可得直角坐标方程： 即 .
直线的极坐标方程为 可化为 ，
化为直角坐标方程： .
（2）设 ，则点 到直线的距离
当且仅当 时，点到直线距离的最小值为 .
xoy O 1C
2
2
3
1 2cos
ρ θ= +
4
sin cos
ρ θ θ= +
1C
Q 1C Q
2 23 3+ =x y 4 0x y+ − = 2
22 2 , cosx y xρ ρ θ== +
(cos , 3sin )Q θ θ
Q
1C 2
2
3
1 2cos
ρ θ= + ( )22 2 cos 3ρ ρ θ+ =
2 2 22 3x y x+ + = 2 23 3+ =x y
4
sin cos
ρ θ θ= + cos sin 4ρ θ ρ θ+ =
4 0x y+ − =
( )cos , 3sinQ θ θ Q
2sin 4cos 3sin 4 6
2 2
d
πθθ θ
+ − + − = =
4 2sin 6 2
2
πθ − + = ≥
2 ,3k k Z
πθ π= + ∈ 2【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是 ，必要时须在给定方程中构造
．当动点圆锥曲线变化时，我们可用圆锥曲线的参数方程来表示动点，这样把
二元函数的最值问题转化一元函数的最值问题．
23.选修 4—5：不等式选讲
已知函数 ．
（Ⅰ）若不等式 恒成立，求实数 的最大值 ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数 ， ， 满足 ，求证：
．
【答案】（1）M=4（2）见解析
【解析】
【试题分析】(I)利用绝对值三角不等式求得 的最小值,再由单个绝对值的解法求得
的取值范围,进而求得 的值.(II) ，得 ,对原不等式左边,
乘以 ,转化为基本不等式来证明最小值为 .
【试题解析】
（Ⅰ）若 恒成立，即
由绝对值的三角不等式 ，得
即 ，解得 ，所以 M=4
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 ，得
所以有
即
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
cos , sinρ θ ρ θ
( ) | 3 | | 2 |f x x x= − + +
( ) | 1|f x m +≥ m M
a b c 2a b c M+ + =
1 1 1a b b c
+ ≥+ +
( )f x m
M 2 4a b c+ + = ( ) ( ) 4a b b c+ + + =
( ) ( )1
4 a b b c + + + 1
( ) 1f x m≥ + ( )min 1f x m≥ +
3 2 3 2 5x x x x− + + ≥ − − − = ( )min 5f x =
1 5m + ≤ 6 4m− ≤ ≤
2 4a b c+ + = ( ) ( ) 4a b b c+ + + =
( ) ( )1 1 1 1 1
4 a b b ca b b c a b b c
+ = + + + + + + + +
( )1 12 2 2 14 4
b c a b
a b b c
+ + = + + ≥ + = + +
1 1 1a b b c
+ ≥+ +
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