“、、龙泉中学三校联盟”高高三 11 月联考
理科数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.
3.填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）
1.已知全集 ，函数 定义域为 ，集合 ，则下列结
论正确的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求函数定义域得集合 M，N 后，再判断．
【详解】由题意 ， ，∴ ．
故选 A．
【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代
表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都
由代表元决定．
2.复数 满足： （ 为虚数单位）， 为复数 的共轭复数，则下列说法正确的是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
的U = R ( )ln 1y x= − M { }2| 0 N x x x= − <
M N N= ( )UM N = ∅
M N U= ( )UM N⊆
{ | 1}M x x= < { | 0 1}N x x= < < M N N=
z ( 2) iz z− ⋅ = i z z
2 2iz = 2z z⋅ = | | 2z = 0z z+ =【分析】
由已知求得 z，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】由（z﹣2）•i＝z，得 zi﹣2i＝z，
∴z ，
∴z2＝（1﹣i）2＝﹣2i， ， ， ．
故选：B．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.下列函数中，其定义域和值域与函数 的定义域和值域相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
函数 的定义域和值域均为 ， 定义域值域都是 ，不合题意；函数
的定义域为 ，值域为 ，不满足要求；函数 的定义域为 ，值域为
，不满足要求；函数 的定义域和值域均为 ，满足要求，故选 C.
4.三个数 的大小顺序是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由题意得， ，故选 D.
5.已知等比数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
( )
( )( )
2 12 11 1 1
i ii ii i i
− +−= = = −− − +
2| | 2z z z⋅ = = 2z = 2z z+ =
ln xy e=
y x= lny x= 1y
x
= 10xy =
ln xy e= ( )0,+¥ y x= R
lny x= ( )0,+¥ R 10xy = R
( )0,+¥ 1y
x
= ( )0,+¥
0.2 0.4
0.44 ,3 ,log 0.5
0.4 0.2
0.43 1 和 x 1 时，对应的函数的值域，结合最小值之间的关
系进行求解即可．
【详解】当 x>1 时，函数 f（x）为增函数，则 f（x）＝ex﹣a∈（e﹣a,+ ）
当 x≤1 时，f（x）＝ 则 f′（x）＝-3x2+6x＝-3x（x﹣2），
则由 f′（x）0
得 0＜x＜2，此时 0 20, 3
π
0
20, 3x
π ∈ ( )f x 0( , 0)x w
20, 3
30, 2
2 4,3 3
3 3,4 2
20 3x
π ∈ ，，即可得出结论．
详解】∵{an}为等差数列，公差为 d，且 0＜d＜1，a5 （k∈Z），
sin2a3+2sina5•cosa5＝sin2a7，
∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sin cos •2cos sin
2sina5cos2d•2cosa5sin2d，
∴sin4d＝1，
∴d ．
∴f（x） cosωx，
∵在 上单调
∴ ，
∴ω ；
又存在 ，
所以 f（x）在（0， ）上存在零点，
即 ，得到 ω ．
故答案为
故选：D
【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公
差是本题关键，考查推理能力，是中档题．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知 则 _______.
【答案】
【解析】
【
( ) ( )0 0
20 2 03x f x f x x
π ∈ + − = ， ，
2
kπ≠
3 7
2
a a+ 7 3
2
a a− 3 7
2
a a+ 7 3
2
a a− =
8
π=
8
π=
20 3x
π ∈ ，
2
3
π π
ω ≥
3
2
≤
( ) ( )0 0
20 2 03x f x f x x
π ∈ + − = ， ，
2
3
π
2
2 3
π π
ω ＜ 3
4
＞
3 3,4 2
1(0,π),sin cos ,5
α α α∈ + = tanα =
4
3
−因为 ，
所以
14.已知命题 ， ，命题 ， ，若 为假命题，
则实数 的取值范围为_______________．
【答案】
【解析】
【 详 解 】 若 为 假 命 题 ， 则 、 均 为 假 命 题 ， 则 ， 与
， 均为真命题．
根据 ， 为真命题可得 ，
根据 ， 为真命题可得 ，
解得 或 ．
综上， ．
15.在 中，角 的对边分别 ，满足
，则 的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求 B，进而可求 a，然后结合余
弦定理可求 c，代入 S△ABC acsinB，计算可得所求．
【详解】把 a2﹣2 a（sinB cosB）+4＝0 看成关于 a 的二次方程，
则△≥0，即 8（sinB cosB）2﹣16≥0，
即为 8（ sin（B ））2﹣16≥0，
化为 sin2（B ）≥1，而 sin2（B ）≤1，
则 sin2（B ）＝1，
1sin cos 5
α α+ =
12 4 3 4sin cos (0, ) sin ,cos tan25 5 5 3
α α α π α α α= − ∈ ∴ = = − ∴ = −
0:p x∃ ∈R 2
0 1 0mx + ≤ :q x∀ ∈R 2 1 0x mx+ + > p q∨
m
2m ≥
p q∨ p q :p x¬ ∀ ∈R 2 1 0mx + >
:q x¬ ∃ ∈R 2 1 0x mx+ + ≤
:p x¬ ∀ ∈R 2 1 0mx + > 0m ≥
:q x¬ ∃ ∈R 2 1 0x mx+ + ≤ 2 4 0m∆ = − ≥
2m ≥ 2m ≤ −
2m ≥
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
2 2 2 (sin cos ) 4 0, 2a a B B b− + + = = ABC∆
2
1
2
=
2 +
+
2 4
π+
4
π+
4
π+
4
π+由于 0＜B＜π，可得 B ，
可得 B ，即 B ，
代入方程可得，a2﹣4a+4＝0，
∴a＝2，
由余弦定理可得，cos ，
解可得，c＝2
∴S△ABC acsinB 2×2 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面
积公式的应用，属于中档题．
16.若两曲线 与 存在公切线，则正实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
设 两 个 切 点 分 别 为 , 两 个 切 线 方 程 分 别 为 ,
,化简得 两条切线为
同 一 条 . 可 得 , , , 令 ，
，所以 g(x)在 递增， 递减， 。
所以 ，填 。
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知 的三个内角 的对边分别为 ，若 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 边上的高.
4
π ＜ 5
4 4
π π+ ＜
4 2
π π+ =
4
π=
24 4 2
4 2 2 2
c
c
π + −= =×
2
1
2
= 1
2
= × 22 22
× =
2
2 1y x= − ln 1y a x= − a
(0,2 ]e
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2
1 1 1( 1) 2 ( )y x x x x− − = −
2 2
2
( ln 1) ( )ay a x x xx
− − = − 2
1 1 2
2
2 1 , ln 1ay x x x y x a x ax
= − − = + − −
1
2
2
2 1
2
{
ln
ax x
a x a x
=
− = −
2
2 24 (ln 1)a x x= − − 2 2( ) 4 4 ln ( 0)g x x x x x= − >
( ) 4 (1 2ln )g x x x= −′ (0, )e ( , )e +∞ max( ) ( ) 2g x g e e= =
a∈ ( ]0,2e ( ]0,2e
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cosb c b A= −
2A B=
5 3b c= 4 6a = BC【答案】（1）见解析;（2） .
【解析】
【试题分析】（１）先运用正弦定理建立关于三角形内角的方程，再运用诱导公式将其化为角
的关系进行求解；（２）依据题设借助余弦定理求出另外两边，再运用三角形面积相等
建立方程求解：
（1）因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以
所以
即 ，
即 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 或 ，
故 ；
（2）由 及 得， ，
由余弦定理： 得 ，
解得： ，
由 得， ，
设 边上的高为 ，则 ，
即 ，
所以 .
点睛：本题是解三角形问题的典型问题。求解第一问时，先运用正弦定理建立关于三角形内
角的方程，再运用三角函数的诱导公式将其化为角 的关系进行求解，从而使得问题获解；
10 33
,A B
2 cosb c b A= −
sin sin 2sin cosB C B A= −
( )C B Aπ= − +
( )( )sin sin 2sin sinB B A B Aπ= − + −
sin sin cos cos sin 2sin cosB B A B A B A= + −
sin cos sin sin cosB B A B A= −
( )sin sinB A B= −
0 B π< < 0 A π< < A Bπ π− < − <
B A B= − ( )B A Bπ= − −
2A B=
5 3b c= 2 cosb c b A= − 1cos 3A =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ( ) 22 2 5 5 14 6 23 3 3b b b b = + − × ×
6, 10b c= =
1cos 3A = 2sin 23A =
BC h 1 1sin2 2bc A ah× = ×
26 10 2 4 63 h× × =
10 33h =
,A B解答第二问时，先依据题设借助余弦定理求出另外两边： ，再运用三角形面积相
等建立方程 ，求出 解使得问题获解。
18.已知数列 中， ，其前 项的和为 ，且当 时，满足 ．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）证明： ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）当 n≥2 时，Sn﹣Sn﹣1 ⇒Sn﹣Sn﹣1＝Sn•Sn﹣1（n≥2），取倒数，可得
1，利用等差数列的定义即可证得：数列{ }是等差数列；
（2）利用 进行放缩并裂项求和即可证明
【详解】（1）当 时， ，
，即
从而 构成以 1 为首项，1 为公差的等差数列．
（2）由（1）可知， ， ．
则当 时 ．
故当 时
6, 10b c= =
26 10 2 4 63 h× × = 10 33h =
{ }na 1 1a = n nS 2n ≥
2
1
n
n
n
Sa S
= −
1
nS
2 2 2
1 2
7
4nS S S+ + +
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