2019～2020 学年第一学期期中素质调研测试
高三数学（Ⅰ）试题
参考公式：柱体的体积公式 V＝Sh，其中 S 为底面面积，h 为高；
锥体的体积公式 V＝ Sh，其中 S 为底面面积，h 为高.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合 ， ，则 ____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集的定义可得出集合 .
【详解】 ， ，因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查集合交集的计算，主要考查对集合交集定义的理解，考查计算能力，属于
基础题.
2.函数 的最小正周期为____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的周期公式可求出函数 的最小正周期.
【详解】由题意可知，函数 的最小正周期为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，解题时要熟悉正弦型函数周期公式的应用，考查
计算能力，属于基础题.
1
3
{ }2 1A x x= − < < { }2, 1,0,1,2B = − − A B =
{ }1,0−
A B
{ }2 1A x x= − < 2 3 2 0x x− + >
2 3 2 0x x− + >
2 3 2 0x x− + > 1x < 2x >
3x > 2 3 2 0x x− + >
ABC∆ A B C a b c cos 2 sina B b A= cos B =
2 5
5
cos 2sinB B= cos 0B > 2 2cos sin 1B B+ =
cos B
cos 2 sina B b A= sin cos 2sin sinA B B A=
sin 0A > cos 2sinB B∴ = sin 0B > cos 0B∴ >
2 2
cos 2sin
cos sin 1
cos 0
B B
B B
B
=
+ =
>
2 5cos 5B =
2 5
5
nS { }na n 1 2 2a a+ = 4 5 4a a+ = 9
6
S
S
=【答案】
【解析】
【分析】
设等比数列 的公比为 ，利用已知条件求出 的值，再利用等比数列的求和公式可求出
的值.
【详解】设等比数列 的公比为 ，由题意可得 ，
上述两个等式相除得 ，所以， .
故答案为： .
【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出关于首项和公比的方程组，
利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.
6.如图所示，长方体 的体积为 ， 为线段 上的一点，则棱锥
的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先证明出 平面 ，可得出三棱锥 的高等于 ，然后利用锥体的体积
公式可求出三棱锥 的体积.
【 详 解 】 设 矩 形 的 面 积 为 ， ， 则 长 方 体 的 体 积 为
7
3
{ }na q 3q
9
6
S
S
{ }na q ( )
( )1 2 1
3
4 5 1
1 2
1 4
a a a q
a a a q q
+ = + = + = + =
3 2q =
( )
( )
( )
( )
9
1 339 3
9
26 26 36 1
1
11 1 2 71
1 1 2 31 1
1
a q
qS qq
S qa q q
q
−
−− −−= = = = =− −− −
−
7
3
1 1 1 1ABCD A B C D− 24 E 1B C
1A DED−
4
1 //B C 1 1AA D D 1E ADD− CD
1E ADD−
1 1AA D D S CD h= 1 1 1 1ABCD A B C D−.
在长方体 中，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，所以，三棱锥 的高等于 .
的面积为 ，
所以，三棱锥 的体积为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，在解题时一般要找出合适的底面，并利用等体积法进
行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7.已知函数 的最小值为 ，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数求出函数 的最小值，结合题中条件可求出实数 的值.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
令 ，得 .
当 时， ；当 时， .
所以，函数 在 取得极小值，亦即最小值，即
，因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，要熟悉函数的最值与导数的关系，考查计算能力，
属于中等题.
8.已知 是定义在 上的奇函数，满足 ．若当 时，
，则 _____.
【答案】
【解析】
24Sh =
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 //BB C C 1 1AA D D 1B C ⊂ 1 1BB C C
1 //B C∴ 1 1AA D D 1E B C∈ 1E ADD− CD
1ADD∆ 1
2 S
1E ADD−
1
1 1 1 1 24 43 2 6 6E ADDV S h Sh− = ⋅ ⋅ = = × =
4
( ) 1 ln2f x x x m= − + 1 m =
ln 2
( )y f x= m
( ) 1 ln2f x x x m= − + ( )0, ∞+ ( ) 1 1 2
2 2
xf x x x
−′ = − =
( ) 0f x′ = 2x =
0 2x< < ( ) 0f x′ < 2x > ( ) 0f x′ >
( )y f x= 2x =
( ) ( )min 2 1 ln 2 1f x f m= = − + = ln 2m =
ln 2
( )f x R ( ) ( )2f x f x− = 0 1x≤ ≤
( ) 2 cos 2
x xf x
π= − ( )2019f =
2−【分析】
利用题中定义推导出函数 的周期为 ，然后利用周期性和奇函数的性质求出
的值.
【详解】 函数 是定义在 上的奇函数，则 ，
， .
所以，函数 是以 为周期的周期函数，
则 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，解题的关键就是利用题中定义推导
出函数的周期，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9.若 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出 的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出 ，然后利用二倍角的
正弦公式可计算出 的值.
【详解】 ， ， ，
则 ，
因此， .
( )y f x= 4
( )2019f
( )y f x= R ( ) ( )f x f x− = −
( ) ( ) ( )2 2f x f x f x= − = − − ( ) ( ) ( ) ( )4 2f x f x f x f x∴ + = − + = − − =
( )y f x= 4
( ) ( ) ( ) ( ) 12019 4 505 1 1 1 2 cos 22f f f f
π = × − = − = − = − − = −
2−
02
π α− < < 1cos 4 3
π α − = − cos2 =α
4 2
9
−
4
π α− sin 4
π α −
cos2 sin 22
πα α = −
02
π α− <
( ) ( )2f x f x+ >
( ) ( ),0 3,−∞ +∞分 ， 、 三种情况分类讨论，结合函数 的解析
式解不等式 ，可得出该不等式的解集.
【详解】 .
①当 时，即当 时，由 ，得 ，整理得
，该不等式恒成立，此时， ；
②当 时，即当 时，由 ，得
，整理得 ，解得 或 ，此时 ；
③当 时，由 ，得 ，即
，整理得 ，解得 ，此时 .
综上所述，不等式 的解集是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，解题时要对自变量所满足的范围选择合适的解析
式进行计算，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
13.若函数 有两个不同的零点，则 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
令 ，得出 ，可得出 ，在等式两边取自然对数得 ，可得出
，将问题转化为直线 与函数 的图象有两个交点，利用数形
结合思想可得出 的取值范围，可解出实数 的取值范围.
【 详 解 】 令 ， 得 出 ， 则 ， 在 等 式 两 边 取 自 然 对 数
，可得出 ，构造函数 ，
2 1x x< + ≤ 1 2x x≤ < + 2 1x x+ > > ( )y f x=
( ) ( )2f x f x+ >
( ) 2
5 4, 1
8 8, 1
x xf x x x x
− ≤= − + >
2 1x + ≤ 1x ≤ − ( ) ( )2f x f x+ > ( )5 2 4 5 4x x+ − > −
10 0> 1x ≤ −
1
2 1
x
x
≤
+ > 1 1x− < ≤ ( ) ( )2f x f x+ >
( ) ( )22 8 2 8 5 4x x x+ − + + > − 2 9 0x x− > 0x < 9x > 1 0x− < <
1x > ( ) ( )2f x f x+ > ( ) ( )2f x f x+ >
( ) ( )2 22 8 2 8 8 8x x x x+ − + + > − + 4 12 0x − > 3x > 3x >
( ) ( )2f x f x+ > ( ) ( ),0 3,−∞ ∪ +∞
( ) ( ),0 3,−∞ ∪ +∞
( ) ( )3 0, 1xf x a x a a= − > ≠ a
3
e1,e
( ) 0f x = 3xa x= 0x > ln 3lnx a x=
3lnln xa x
= lny a= ( ) 3ln xg x x
=
ln a a
( ) 0f x = 3 0xa x= > 0x > 3xa x=
ln 3lnx a x= 3lnln xa x
= ( ) 3ln xg x x
=则问题转化为直线 与函数 图象有两个交点.
，令 ，得 .
当 时， ；当 时， .
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
所以，函数 在 处取得极大值，亦即最大值，即 .
如下图所示，当 时，即当 时，直线 与函数 的图
象有两个交点，即函数 有两个不同的零点，
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用导数求解函数的零点个数问题，在含单参数的函数零点个数问题，一
般利用参变量分离法转化为两个函数图象的交点个数问题，考查化归与转化思想与数形结合
思想的应用，属于难题.
14.如图，在 中， 、 是 上的两个三等分点， ，则 的
最小值为_________．
的lny a= ( ) 3ln xg x x
=
( ) ( )
2
3 1 ln xg x x
−′ = ( ) 0g x′ = x e=
0 x e< < ( ) 0g x′ > x e> ( ) 0g x′ <
( )y g x= ( )0,e ( ),e +∞
( )y g x= x e= ( ) ( )max
3g x g e e
= =
30 ln a e
< < 3
1 ea e< < lny a= ( ) 3ln xg x x
=
( ) 3xf x a x= −
a
3
1, ee
3
1, ee
ABC∆ D E BC 2AB AD AC AE⋅ = ⋅ cos B【答案】
【解析】
分析】
用 、 表示 、 、 ，然后利用 ，利用平面向量的数量积
的运算律以及数量积的定义得出 的表达式，然后利用基本不等式可求出 的最小值.
【 详 解 】 、 是 上 的 两 个 三 等 分 点 ， ，
， ，
，
，
，即 ，
，可得 ，
由基本不等式得 .
因此， 最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算夹角余弦值的最值，考查了利用基本不等式求
最值，解题的关键就是找出合适的基底表示向量，并根据题中条件建立代数式求解，考查运
算求解能力，属于中等题.
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
【
的
4 3
9
BA BD AC AD AE 2AB AD AC AE⋅ = ⋅
cos B cos B
D E BC 3AC BC BA BD BA∴ = − = −
AD BD BA= − 2AE BE BA BD BA= − = −
( ) 2
AB AD BA BD BA BA BA BD⋅ = − ⋅ − = − ⋅
( ) ( ) 2 2
3 2 6 5AC AE BD BA BD BA BD BD BA BA⋅ = − ⋅ − = − ⋅ +
2AB AD AC AE⋅ = ⋅
2 2 2
12 10 2BA BA BD BD BD BA BA− ⋅ = − ⋅ +
2 2
12 9 9 cosBA BD BD BA BD BA B∴ + = ⋅ = ⋅ ⋅
2 2
12
cos
9
BA BD
B
BA BD
+
=
⋅
12 121 1 4 3cos 29 9 9
BA BD BA BD
B
BD BA BD BA
= + ≥ × ⋅ =
cos B 4 3
9
4 3
915.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为棱 的中点，平面
底面 ， ．
求证：（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接 交 于点 ，可得出点 为 的中点，由中位线的性质得出 ，然
后利用直线与平面平行的判定定理可证明出 平面 ；
（2）由 ，可得出 ，由平面与平面垂直的性质定理可得出 平面
，再利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平面 平面 ．
【详解】证明：（1）连 ，交 于点 ，连 .
因为底面 是平行四边形，所以 为 的中点，
因为 为棱 的中点，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2） ， ，
因为平面 底面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 .
【点睛】本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的证明，在遇到平面与平面垂直时，一
P ABCD− ABCD E PD
PAB ⊥ ABCD 90PAB∠ =
//PB AEC
PAC ⊥ ABCD
BD AC O O BD //OE PB
//PB AEC
90PAB∠ = PA AB⊥ PA ⊥
ABCD PAC ⊥ ABCD
BD AC O OE
ABCD O BD
E PD //OE PB
OE ⊂ AEC PB ⊄ AEC //PB AEC
90PAB∠ = PA AB∴ ⊥
PAB ⊥ ABCD PAB ∩ ABCD AB= PA ⊂ PAB
PA ⊥ ABCD PA ⊂ PAC PAC ⊥ ABCD般利用平面与平面垂直的性质定理转化为直线与平面垂直，考查推理能力，属于中等题.
16.已知 ， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）求函数 的单调区间和值域．
【 答 案 】（ 1 ） （ 2 ） 单 调 增 区 间 ， 单 调 减 区 间 ． 值 域 为
．
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量的模长公式以及二倍角余弦公式可求出 的值，并求出
的值，利用同角三角函数的基本关系求出 的值，然后利用两角差的余
弦公式可求出 的值；
（2）利用两角和余弦公式以及两角和的正弦公式将函数 的解析式化简为
，由 计算出 ，由 、
可分别求出函数 在区间 上的单调递减区间和递增区
间，利用正弦函数的性质可得出函数 的值域.
【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
3,cos 3a x
π = +
( )sin ,1b x= 5 ,6 6x
π π ∈ − −
30
3a = cos2x
( )f x a b= ⋅
1 2 6
6
− 2π π,3 6
− −
5π 2π,6 3
− −
[ 1,0]−
2cos 2 3x
π +
22 3x
π+ 2sin 2 3x
π +
cos2x
( )y f x=
( ) sin 6f x x
π = +
5 ,6 6x
π π ∈ − −
2 ,06 3x
π π + ∈ −
2 ,6 3 2x
π π π + ∈ − −
,06 2x
π π + ∈ −
( )y f x= 5 ,6 6
π π − −
( )y f x=
30
3a = 2 103 cos 3 3x
π + + =
2 1cos 3 3x
π + =
22 1cos 2 2cos 13 3 3x x
π π + = + − = −
5 ,6 6x
π π ∈ − −
22 ,3 3x
π ππ + ∈ − 因为 ，所以 ，
所以 ．
所以
；
（2）因为
，
因为 ，所以 ，
当 ，即 时，函数 单调递减；
当 ，即 时，函数 单调递增；
故函数 的单调增区间 ，单调减区间 ．
由于 ，所以函数 的值域为 ．
【点睛】本题考查利用两角差 余弦公式求值，同时也考查了三角函数在定区间上的单调区
间和值域问题，一般利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查分析问题和解决问
题的能力，属于中等题.
17.已知函数 是偶函数．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的取值范围．
的
2cos 2 03x
π + ≠ > ≠
ab
( ) ( )lg 1f x f< x【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由函数 为偶函数，结合定义 ，得出 对任意的
恒成立，由此可得出 的值；
（2）设 ，利用函数单调性的定义证明出函数 在 上为增函数，再由偶函
数的性质，由 可得出 ，利用函数 在 上为增
函数，得出 ，解出该不等式即可.
【详解】（1）因为 是偶函数，所以对任意实数 ，有 ，
即
，所以 对任意实数 成立，
因为 ， ，所以 ，即 对任意实数 成立，所以 ；
（2）由（1）知 ，此时 ，
因为 ， ， ， ，故不妨设 ，任取 ，
则
.
因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，则 ，
所以 ，即 ，
所以，函数 在 上单调递增，
1 1 ,1010
( )y f x= ( ) ( ) 0f x f x− − = 1 0x xa b − =
x∈R ab
1a > ( )y f x= [ )0,+∞
( ) ( )lg 1f x f< ( ) ( )lg 1f x f< ( )y f x= [ )0,+∞
lg 1x <
( )y f x= x ( ) ( ) 0f x f x− − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 x x
x x x x x x x x
xx x
a bf x f x a b a b a b a ba b ab
− − +− − = + − + = + − − = + −
( ) ( )
( )
1
0
x x x
x
ab a b
ab
− + = = ( ) ( )1 0x x xab a b − + = x
0xa > 0xb > ( ) 1 0xab − = ( ) 1xab = x 1ab =
1b a
= ( ) 1x
xf x a a
= +
0a > 1a ≠ 0b > 1b ≠ 1a > 1 20 x x≤ <
( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 2 1 21 2
1 1 1 1x x x x
x x x xf x f x a a a aa a a a
− = + − − = − + −
( ) ( )( )1 2 1 22 1
1 2
1 2 1 2
1x x x xx x
x x
x x x x
a a aa aa a a a
+
+ +
− −−= − + =
1 20 x x≤ < 1a > 1 21 x xa a
( ) ( )1 2 0f x f x− < ( ) ( )1 2f x f x<
( )y f x= [ )0,+∞又因为函数 是 上的偶函数， ，则 ，
，即 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .
【点睛】本题考查利用偶函数的定义求参数、同时也考查了利用函数的单调性解不等式，解
题时可充分利用偶函数的性质 ，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，
属于中等题.
18.如图，某登山队在山脚 处测得山顶 的仰角为 ，沿倾斜角为 （其中 ）
的斜坡前进 后到达 处，休息后继续行驶 到达山顶 ．
（1）求山的高度 ；
（2）现山顶处有一塔 ．从 到 的登山途中，队员在点 处测得塔的视角为
．若点 处高度 为 ，则 为何值时，视角 最大？
【答案】（1） ；（2）当 时，视角 最大.
【解析】
【分析】
（1）解法一：计算出 的值，然后在 中，过 作 ，垂足为 ，
利用锐角三角函数的定义求出 ，然后在 中利用锐角三角函数可求出 ；
解法二：过 作 于点 ，过 作 于点 ，计算出 、 ，设
( )y f x= R ( ) ( )lg 1f x f 3h = 3km
P PM BE⊥ M PF x= 2AF x=
P AD 1DG = [ ]0,1x∈
3tan 3 2
BM xBPM PM x
−∠ = = −
3 273 8 8tan 3 2 3 2
x xCMCPM PM x x
+ − −
∠ = = =− −
( ) tan tantan tan 1 tan tan
CPM BPMCPM BPM CPM BPM
θ ∠ − ∠= ∠ − ∠ = + ∠ ∠
( )
( )
27
3 38
3 2 3 2 8
27 27 338 81 3 23 2 3 2 3 2
x x
x x
x x xx
xx x x
− −−− −= = − − − − + ⋅ − +− − −
[ ]0,1x∈
[ ]3 2 1,3t x= − ∈ 3 2
2
tx
−=则 .
当且仅当 ，即 时，即 时 取得最大值 .
所以，当 时，视角 最大.
【点睛】本题考查解三角形中测量高度问题，同时也考查了利用基本不等式来求角的最值，
解题的关键在于建立关系式，并对代数式进行化简变形，考查运算求解能力，属于中等题.
19.已知函数 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）若 在区间 内有两个极值点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）极小值 ，无极大值；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 代入函数 的解析式，求出导数 ，解导数方程 ，然后
列表分析函数 的单调性，可得出函数 的极值；
（2）求出导数 ，构造函数 ，问题转化为函数
在区间 上有两个零点，对参数 进行分类讨论，利用导数分析 在区
间 上的单调性与极值，根据题意得出关于 的不等式组，解出即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，令 得 ．列表如下：
3
6 6 28tan 15 3 9 2995 4 27 5 2 4 278 2 2 2
t t t tt tt t
θ = = ≤ = + + + + × ⋅ + +
94t t
= [ ]3 1,32t = ∈ 3
4x = tanθ 2
29
3
4x km= θ
( ) ( )2
2ln
xaef x x a Rx x
= + − ∈
0a = ( )f x
( )f x ( )0,2 a
ln 2 1+ 2
2 1,e e
0a = ( )y f x= ( )f x′ ( ) 0f x′ =
( )y f x= ( )y f x=
( ) ( )( )2xx ae x
f x x
=′
− − ( ) xg x x ae= −
( )y g x= ( )0,2 a ( )y g x=
( )0,2 a
0a = ( ) 2lnf x x x
= +
( ) 2 2
1 2 2xf x x x x
=′ −= − ( ) 0f x′ = 2x =
x ( )0,2 2 ( )2,+∞极小值
因此，当 时， 有极小值 ，无极大值；
（2）因为
由 ，得 ，记 ， ，
因为 在区间 内有两个极值点，
所以 在区间 内有两个零点，所以 且 ，
令 ，则 .
①当 ，即 时， ，所以 在 上单调递减，至多与 轴有
一个交点，不满足题意；
②当 ，即 时， ，所以 在 上单调递增，至多与
轴一个交点，不满足题意；；
③当 时，即 时， 在 上单调递增，在 上
单调递减.
由 ，要使 在区间 内有两个零点，
必须满足 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，解题
关键就是将极值点转化为函数的零点来处理，在求解时可以利用分类讨论思想以及参变量分
离法求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
20.数列 的各项均为正数，其前 项和为 ．已知对任意的 ，存在实数 、 满
( )f x′ − 0 +
( )f x ( )2f
2x = ( )y f x= ( )2 ln 2 1f = +
( ) ( ) ( )( )
2 3 3
221 2 xx x ae xae xf x x x x x
− −− =′ = − −
0 2x< < 3
2 0x
x
− < ( ) xg x x ae= − ( )0,2x∈
( )y f x= ( )0,2
( )y g x= ( )0,2 ( ) 1 xg x ae=′ − 0a >
( ) 0g x′ = lnx a= −
ln 0a− ≤ 1a ≥ ( ) 0g x′ < ( )y g x= ( )0,2 x
ln 2a− ≥ 2
10 a e
< ≤ ( ) 0g x′ > ( )y g x= ( )0,2 x
0 ln 2a< − < 2
1 1ae
< < ( )y g x= ( )0, ln a− ( )ln ,2a−
( )0 0g a= − < ( )y g x= ( )0,2
( ) ( )
( )
max
2
ln ln 1 0
2 2 0
g x g a a
g ae
= − = − − > = − ( )iv ( )i 1
2p d
=
2
dq =
21
2 2n n
dS a nd
= + ( )2
1 1
1 12 2n n
dS a nd+ += + + 2 2 2
1 12 n n nda a a d+ += − +
( )2 2
1 0n na d a+∴ − − = ( )( )1 1 0n n n na a d a a d+ ++ − − − =
1n na a d+ + = 1n na a d+ − =
1 0a d= > 1a 2a 3a
2 2a d= 3 3a d= 1n na a d+ − = Nn ∗∈
1n na a d+ + = n k 1k ka a d+ + = 3k ≥
1k ka a d−− = 1 1 0k ka a+ −+ = 0na > Nn ∗∈
1n na a d+ − = Nn ∗∈ { }na d d
{ }na
n nS na
O xyz− ( )0,0,0O ( )1,0,0A ( )1,2,0B ( )0,1,2C P
AP ACλ=
P λ
OP BC⊥ λ
(1 , , 2 )λ λ λ− 1
4
λ =
AC AP ACλ= AP
OP OA AP= + P
BC OP BC⊥ 0OP BC⋅ = 可得出关于实数 的等式，解出即可得出实数 的值.
【详解】（1）因为 ， ， 所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以点 的坐标为 ；
（2）因为 ， ，所以 ，
即 ，解得 ．
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了利用空间向量处理直线与直线的垂直
关系，考查计算能力，属于基础题.
22.确定函数 ， 的单调区间．
【答案】单调增区间为 ，单调减区间为 ．
【解析】
【分析】
求 出 函 数 的 导 数 ， 在 上 分 别 解 不 等 式
和 ，可得出函数 在区间 上的单调递增区间和单调递减
区间.
【详解】 ， ，
，则 ，则 .
令 ，则 ，又 ，所以 ；
令 ，则 ，又 ，所以 ．
因此，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ．
【点睛】本题考查利用求导数函数的单调区间，同时也考查了简单复合函数的导数，解题时
要熟悉导数符号与单调区间之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.
23.在直四棱柱 中， ， ， ， ．
λ λ
( )1,0,0A ( )0,1,2C ( )1,1,2AC = −
( ), ,2AP ACλ λ λ λ= = −
( ) ( ) ( )1,0,0 , ,2 1 , ,2OP OA AP λ λ λ λ λ λ= + = + − = −
P ( )1 , ,2λ λ λ−
( )1, 1,2BC = − − OP BC⊥ 0OP BC⋅ =
( )1 1 1 2 2 4 1 0λ λ λ λ− × − − × + × = − = 1
4
λ =
( ) cos2 4cosf x x x= + ( )0,2x π∈
( ),2π π ( )0,π
( )y f x= ( ) ( )4sin cos 1f x x x= − +′ ( )0,2x π∈
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( )y f x= ( )0,2π
( ) cos2 4cosf x x x= + ( ) ( )2sin 2 4sin 4sin cos 1f x x x x x∴ = − − = − +′
( )0,2x π∈ 1 cos 1x− ≤ < 0 cos 1 2x≤ + <
( ) 0f x′ > sin 0x < ( )0,2x π∈ 2xπ π< <
( ) 0f x′ < sin 0x > ( )0,2x π∈ 0 πx< <
( )y f x= ( ),2π π ( )0,π
1 1 1 1ABCD A B C D− AB AC⊥ 1AB = 1 2AC AA= = 5AD CD= =（1）求二面角 余弦值；
（2）试问线段 上是否存在点 ，使得直线 平面 ？若存在，求线段 的长；
若不存在，说明理由．
【答案】（1） （2）线段 上不存在点 ，使直线 平面 ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）以 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空
间向量法计算出二面角 的余弦值；
（2）设 ，求出点 的坐标，由 平面 ，可得出 与平面
的法向量垂直，转化为两向量数量积为零求出 的值，即可判断出点 是否存在.
【详解】（1）在直四棱柱 中， 平面 ，因为 平面
， 平面 ，所以 ， ，因为 ，所以，以
为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如图所示.
的1 1D AC B− −
1 1A B E //DE 1ACB 1A E
10
10 1 1A B E / /DE 1ACB
A AC AB 1AA x y z
1 1D AC B− −
( )1 0 1A E a a= ≤ ≤ E //DE 1ACB DE
1ACB
a E
1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA ⊥ ABCD AB Ì
ABCD AC ⊂ ABCD 1AA AB⊥ 1AA AC⊥ AB AC⊥ A
AC AB 1AA x y z依题意可得 ， ， ， ， ， ，
， ．
设 为平面 的法向量，则 .
因为 ， ，所以 .
不妨设 ，可得 ．
设 为平面 的法向量，则 .
因为 ， ，所以 ，
不妨设 ，可得 ．
所以 ．
由图知，二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 ；
（2）假设线段 上是否存在点 ，使得直线 平面 ，则 ，
设 ，则 ， ．
所以 ，所以 ，不合题意，故舍去
所以，线段 上不存在点 ，使直线 平面 .
【点睛】本题考查利用空间向量法求二面角的余弦值，同时也考查了利用空间向量法处理线
面平行的存在性问题，一般转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，考查计算能力，属
于中等题.
24.已知 ， ， ， ．
（1）比较 与 的大小；
( )0,0,0A ( )0,1,0B ( )2,0,0C ( )1, 2,0D − ( )1 0,0,2A ( )1 0,1,2B
( )1 2,0,2C ( )1 1, 2,2D −
( ), ,m x y z= 1ACB 1 0
0
m AB
m AC
⋅ =
⋅ =
( )1 0,1,2AB = ( )2,0,0AC = 2 0
2 0
y z
x
+ =
=
1z = ( )0, 2,1m = −
( )1 1 1, ,n x y z= 1ACD 1 0
0
n AD
n AC
⋅ =
⋅ =
( )1 1, 2,2AD = − ( )2,0,0AC = 1 1 1
1
2 2 0
2 0
x y z
x
− + =
=
1 1z = ( )0,1,1n =
1 10cos , 105 2
m nm n m n
⋅ −= = = −⋅ ×
1 1D AC B− − 1 1D AC B− − 10
10
1 1A B E //DE 1ACB 0DE m⋅ =
( )1 0 1A E a a= ≤ ≤ ( )0, ,2E a ( )1, 2,2DE a= − +
( )2 2 2 0DE m a⋅ = − + + = 1a = −
1 1A B E //DE 1ACB
1x > ( ) 1 1
1
n
n n
xS x x
+ −= + ( ) ( )( )1 1
2n
n xT x
+ −= Nn ∗∈
( )2S x ( )2T x（2）比较 与 大小，并加以证明．
【答案】（1） ；（2） ， ，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用作差法可得出 与 的大小关系；
（2）猜想 ， ，利用分析法可得知要证
， ，然后利用数学归纳法证明出即可，即可证
明 .
【详解】（1）
.
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ；
（2）结论： ， ，证明如下：
要证 ， ，只要证 ， .
只要证 ， .
因为 ，所以只要证 ， （i）.
下面用数学归纳法证明：
①当 时，（i）式成立；
②假设当 时，（i）式成立，即有 ，
则当 时，（i）式左边 ，
( )nS x ( ) ( )nT x n N ∗∈
( ) ( )2 2S x T x< ( ) ( )n nS x T x≤ Nn ∗∈
( )2S x ( )2T x
( ) ( )n nS x T x≤ Nn ∗∈
( )( )1 1 1
1 2
n
n n n x
x x x−
+ +
+ + + + ≤ Nn ∗∈
( ) ( )( ), 1n nS x T x n N x∗≤ ∈ >
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
3 23
2 2 2 2
2 1 3 1 13 11
1 2 2 1
x x xxxS x T x x x
− − − +−−− = − =+ +
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
2 2 32
2 2 2
1 2 1 3 1 1 2 1 1
2 1 2 1 2 1
x x x x x x x x
x x x
− + + − + − − + − − = = = −
+ + +
1x > ( )
( )
3
2
1 0
2 1
x
x
−− <
+
( ) ( )2 2 0S x T x− < ( ) ( )2 2S x T x<
( ) ( )n nS x T x≤ Nn ∗∈
( ) ( )n nS x T x≤ Nn ∗∈ ( )( )1 1 11
1 2
n
n
n xx
x
+ + −− ≤+ Nn ∗∈
( )( ) ( )( )11 1 1 1
1 2
n n
n
x x x x n x
x
−− + + + + + −≤+
Nn ∗∈
1x > ( )( )1 1 1
1 2
n
n n n x
x x x−
+ +
+ + + + ≤ Nn ∗∈
1n =
n k= ( )( )1 1 1
1 2
k
k k k x
x x x−
+ +
+ + + + ≤
1n k= + ( )( )1 11 1
1 2
k
k k kk x
x x x x+ +
+ +
= + + + + ≤ +而此时（i）式右边 ，
所以只要证 ，
只要证 （ii），
令 ， ， ，
因为 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
故（ii）式成立.这就是说，当 时，（i）式也成立，
综合①②可知（i）式成立，所以 ， 成立，得证.
【点睛】本题考查数列不等式的证明，一般利用数学归纳法来证明，在证明时也可以结合分
析法与导数来证明，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
( )( )12 1
2
kk x ++ +
=
( )( ) ( )( )1
11 1 2 1
2 2
k k
kk x k x
x
+
+
+ + + +
+ ≤
( )1 1 1 0k kkx k x+ − + + ≥
( ) ( )1 1 1k kf x kx k x+= − + + 1x > k ∗∈N
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 0k k kf x k k x k k x k k x x− −′ = + − + = + − >
( )y f x= ( )1,+∞ ( ) ( )1 0f x f> =
1n k= +
( ) ( )n nS x T x≤ Nn ∗∈
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