辽宁省朝阳市凌源市联合校2020届高三数学（理）上学期期中试卷（附解析Word版）

辽宁省凌源市联合校 2020 届高三上学期期中考试数学（理）试题 一、选择题（本大题共 12 小题） 1.已知集合 A＝{x｜x＜1}，B＝{x｜ ＜1}，则 A∩B＝（　　） A. {x｜x＜0} B. （x｜x＞0} C. {x｜x＞1} D. {x｜x＜1} 【答案】A 【解析】 【分析】 分别求出集合 A，B，由此能求出 A∩B． 【详解】∵集合 A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}， ∴A∩B＝{x|x＜0}． 故选：A． 【点睛】本题考查交集的求法及指数不等式的解法，考查运算求解能力，是基础题． 2.已知 为虚数单位,复数 满足： ，则在复平面上复数 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出 并化简，从而确定复数 对应的点的坐标为 ，进而判断其位于第四象限. 【详解】因为 ， 所以复平面上复数 对应的点为 ，位于第四象限， 故选 . 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题. 3.命题 p： x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命题 q：指数函数 f（x）＝ax（a＞0 且 a≠1）为减函数， 则 P 是 q 的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 3x i z ( )z 1 2i i+ = − z z z 1 3( , )2 2 − 2 (2 )(1 ) 1 3 1 3 1 2 2 2 2 i i i iz ii − − − −= = = = −+ z 1 3( , )2 2 − D ∀【分析】 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】命题 p：∀x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，解命题 p：①当 a≠0 时，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜ 0，且 a>0， ∴解得：0＜a＜1， ②当 a＝0 时，不等式 ax2﹣2ax+1＞0 在 R 上恒成立， ∴不等式 ax2﹣2ax+1＞0 在 R 上恒成立，有：0≤a＜1； 命题 q：指数函数 f（x）＝ax（a＞0 且 a≠1）为减函数，则 0＜a＜1； 所以当 0≤a＜1；推不出 0＜a＜1；当 0＜a＜1；能推出 0≤a＜1； 故 P 是 q 的必要不充分条件． 故选：B． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了二次型函数恒成立的问题，考查 了指数函数的单调性，属于基础题． 4.函数 的图象大致为 　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数 是奇函数，且函数过点 ，从而得出结论． 【详解】由于函数 是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除 B 和 D； 又函数过点 ，可以排除 A，所以只有 C 符合． ( ) 2sinf x x x= ( ) ( ) 2sinf x x x= [ ],0π ( ) 2sinf x x x= ( ),0π故选：C． 【点睛】本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与 x 轴的交点，属于基础题． 5.已知 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若 m，n 没有公共点，则 B. 若 ， ，则 C 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】 由空间中点、线、面位置关系的判定与性质依次对选项进行判断，由此得到答案。 【详解】两条直线没有公共点有平行和异面两种情形，故 A，B 错；对于 C，还存在 的 情形：由线面垂直的性质可得 D 对，故选 D． 【点睛】本题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握，重点考查学生的空间 想象能力，属于中档题。 6.已知非零向量 的夹角为 ，且 ，则 （ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 试题分析：由 得， ，解得 ，故 选 A． 考点：向量的数量积． 7.已知正项等比数列 满足 ，若 ，则 为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 . ,α β //m n ,m n⊂ α ⊂ β / /α β //m n , / /m m n⊂ α / /n α / /m n⊥ α α， m n⊥ n ⊂ α a b ， 60° 1 2 1b a b= − = ， a = 1 2 2 { }na 1 2 3 48, 2a a a a− = − = 1 2 3 1na a a a = n 5 6 9 10利用已知条件求出等比数列的首项和公比，通过等比数列的性质将 进行转化， 利用首项和公比表示，得到关于 的表达式，解出答案． 【详解】解：正项等比数列 满足 ，可知其公比 ，且 可得 ， ，解得 ， 代入 ，可得 ， ，可得 ， 而 所以 ，即 ，解得 ． 故选：C． 【点睛】本题考查利用等比数列的基本量进行计算以及等比数列的性质的应用，考查转化思 想以及计算能力，属于中档题． 8.将函数 的图象上各点沿 轴向右平移 个单位长度，所得函数图象的一个对称中 心为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得图象变换后的解析式，再根据正弦函数对称中心，求出正确选项. 【详解】 向右平移 的单位长度，得到 ，由 1 2 3 n 1a aa a = n { }na 1 2 8,a a− = 3 4 2a a− = 0q > 1q ≠ 3 4 1 2 1 4 a a a a − =− 2 3 1 1 1 1 1 4 a q a q a a q − =− 2 1 4q∴ = 1 2q = 1 2 8a a− = 1 16a = 1 2 3 n 1a aa a = ( )1 1n na a = 1 0na a > 1 n 1a a = 2 n 1 1 1qa − = 1 2 116 12 n− ∴ =   9n = 2y sin x＝ x 12 π 7 ,012 π     ,06 π     5 ,08 π     2 , 33 π −   sin 2y x= π 12 π πsin 2 sin 212 6y x x     = − = −        解得 ，当 时，对称中心为 ，故选 A. 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数对称中心的求法，属于基础题. 9. ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用诱导公式求解 ，再利用二倍角公式求解即可 【详解】因为 ，所以 ，所以 . 故选 . 【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是基础题 10.已知 的三个内角 所对的边分别为 ，满足 ，且 ，则 的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 顶角为 的等腰三角形 D. 顶角为 的等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用同角三角函数基本关系得 ，结合正余弦定理得 进而得 B,再利用 化简得 ,得 A 值 进而得 C,则形状可求 【详解】由题 π2 π6x k− = π π 2 12 kx = + 1k = 7 ,012 π     7cos( )2 4 πθ + = − cos2θ 1 8 7 16 1 8 ± 13 16 7sin 4 θ = 7cos 2 4 πθ + = −   7sin 4 θ = 2 1cos2 1 2sin 8 θ θ= − = A ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 2cos cos cosA B C− + 1 sin sinA C= + sin sin 1A C+ = ABC∆ 150 120 2 2 2sin sin sin sin sinA C B A C+ − = − 2 2 2 1 2 2 a c b ac + − = − sin sin 13A A π + − =   sin 13A π + =   ( )2 2 21 sin 1 sin 1 sin 1 sin sinA B C A C− − − + − = +即 ，由正弦定理及余弦定理得 即 故 整理得 ，故 故 为顶角为 的等腰三角形 故选：D 【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用， 是中档题 11.设函数 f（x）＝xlnx 的图象与直线 y＝2x+m 相切，则实数 m 的值为（　　） A. e B. ﹣e C. ﹣2e D. 2e 【答案】B 【解析】 【分析】 设切点为（s，t），求得 f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得 s，t，进而求得 m． 【详解】设切点为（s，t），f（x）＝xlnx 的导数为 f′（x）＝1+lnx， 可得切线的斜率为 1+lns＝2，解得 s＝e， 则 t＝elne＝e＝2e+m，即 m＝﹣e． 故选：B． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题． 12.已知函数 f（x）的导函数为 f'（x），且满足 f（x）=x2+f'（2）lnx，则 f'（2）的值为 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】 2 2 2sin sin sin sin sinA C B A C+ − = − 2 2 2 1 2 2 a c b ac + − = − ( )1 2cos , 0,2 3B B Bπ π= − ∈ ∴ = sin sin 13A A π + − =   sin 13A π + =   ,6 6A B π π= ∴ = ABC∆ 120求出导函数 ，从而得出 ，解出 即可． 【详解】由题得 ， ∴ ， 解得 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属 于基础题． 二、填空题（本大题共 4 小题） 13.命题：“ ， ”的否定是________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据含量词命题的否定直接写出结果. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在 量词，二是否定结论，所以原命题的否定为： ， 本题正确结果： ， 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题. 14.已知函数 一个周期的图象（如下图），则这个函数的解 析式为__________． ( )2( ) 2 ff x x x ′′ = + ( ) ( )22 4 2 ff ′′ = + (2)f ′ ( )2( ) 2 ff x x x ′′ = + ( ) ( )22 4 2 ff ′′ = + (2) 8f ′ = x R∀ ∈ xe x≤ , xx R e x∃ ∈ > x R∃ ∈ xe x> x R∃ ∈ xe x> ( ) sin( )f x xω ϕ= + π0 2,ω ϕ > sin 3cosA A= tan 3A = 0 A π< − 1x = 1 2x = ( ) 01f ′ = 1( ) 02f ′ = 1 3a b= = − ( )f x 1 ,14x  ∈   max 1 7( ) ( ) ln 44 6f x f= = − c 2 1( ) 2 bf x a x x ′ = + + ( )f x 1x = 1 2x = (1) 0f ′∴ = 1( ) 02f ′ = 2 1 0 2 4 2 0 a b a b + + =∴ + + = 1 3a b= = − 2 1( ) ln3 3f x x xx = − + + 2 2 1 1( ) 03 3f x x x = − − + >′ (2 1)( 1) 0x x∴− − − > (2 1)( 1 ) 0x x− − max 1 7( ) ( ) ln 44 6f x f∴ = = − ∴ 1 ,14x  ∈   ( )f x c< 7 ln 46c > −