新都区 2020 届高三毕业班摸底测试
数学试题（理）
注意事项：
1．答题前，务必将姓名、考场号、座位号填写在答题卡规定的位置上，并将考生条形码粘贴
在规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用 0．5 毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置
上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题有且只有一个正确选项．）
1.已知全集 U＝R，集合 ，则图中的阴影部分表示的集合
为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
B={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1 或 x＜0}，
由题意可知阴影部分对应的集合为∁U（A∩B）∩（A∪B），
∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B=R，
即∁U（A∩B）={x|x≤1 或 x＞2}，
∴∁U（A∩B）∩（A∪B）={x|x≤1 或 x＞2}，
即（﹣∞，1]U（2，+∞）
故选：A
2.设 ，则 （ ）
{ } 20 2 , { 0}A x x B x x x= ≤ ≤ = − >
( 1] (2, )−∞ ∪ +∞， ( 0) (1 2)−∞ ∪， ， [1 )2， (1 2]，
1 21
iz ii
−= ++ z z+ =—A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对复数 进行运算得 ，从而求得 .
【详解】因 ，
所以 ，所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数和模的概念，考查基本运算求解能力.
3.已知数列 为等差数列， 为其前 n 项和， ，则 （ ）
A. 2 B. 7 C. 14 D. 28
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列通项公式，将等式 化成 ，再由等差数列的前 项和公式
得 .
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查等差数列通项公式、前 项和公式，考查基本运算求解能力.
4.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
为
1 i− − 1 i+ 1 i− 1 i− +
z z i= | | 1z z i+ = +
21 (1 ) 22 2 21 (1 )(1 ) 2
i i iz i i i ii i i
− − −= + = + = + =+ + −
| | 1z = | | 1z z i+ = +
{ }na nS 5 6 32 a a a+ = + 72S =
5 6 32 a a a+ = + 4 2a = n
7 42S 2 7 28a= ⋅ =
5 6 32 a a a+ = +
1 1 1 1 42 4 5 2 3 2 2a d a d a d a d a+ + = + + + ⇒ + = ⇒ =
7 42S 2 7 28a= ⋅ =
n
2sin cos 3
α α+ = sin 2α =
7
9
− 2
9
− 2
9
7
9【分析】
直接对等式两边平方，利用倍角公式得 的值.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、倍角公式，考查基本运算求解能力.
5.已知函数 满足：①对任意 、 且 ，都有 ；②
对定义域内的任意 ，都有 ，则符合上述条件的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设条件判断增减性和奇偶性，再结合所给具体函数判断即可
【详解】由题可知， 为定义域在 的减函数，且函数具有偶函数特征；
对 A，当 ， ， 的对称轴为 ，在 为增函数，
与题不符，排除；
对 B， ，当 ， ，为减函数，
又 ，故 B 符合；
对 C， ，函数显然不具备偶函数特征，排除；
对 D，函数为周期函数，在 不是减函数，排除；
故选：B
sin 2α
2sin cos 3
α α+ =
2 22 2 7(sin cos ) ( ) 1 2sin cos3 9 9sin 2α α α αα+ = ⇒ + = −=⇒
( )f x 1x ( )2 0,x ∈ +∞ 1 2x x≠ 1 2
1 2
( ) ( ) 0f x f x
x x
− 3 1
3
n
a b a b
+ ≥ + n
3a b+
0, 0a b> > ( )3 1 3 1 33
n a b na b a b a b
+ ≥ ⇔ + + ≥ +
( )3 1 3 3 3 33 9 1 10 2 16b a b aa ba b a b a b
+ + = + + + ≥ + ⋅ = 1a b= =
16n ≤
3cos xy x e= −
0x = ( )0, ∞+
( ) 3cos xf x x e= − R
( ) ( ) ( )3cos 3cosx xf x x e x e f x− = − − = − =
( ) 00 3cos0 2 0f e= − = >当 时， ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以， 函数 在 上单调递减，符合条件的图象为 B 选项中的图象。
故选：B.
【点睛】本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定
义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号。在考查函数的单调性时，可充分利用
导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题。
9.在由正数组成的等比数列 中，若 ，则
的值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根 据 等 比 数 列 性 质 可 求 得 ； 利 用 对 数 运 算 法 则 可 求 得
，利用诱导公式可变为 ，从而得到结
果.
【详解】由 得： ，即：
本题正确选项：
【点睛】本题考查等比数列性质的应用，涉及到对数的运算性质、诱导公式、特殊角三角函
数的求解问题.
10.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 1 是八卦模型图，其平面图形记为图 2 中的正八边
0x > ( ) 3cos xf x x e= − ( ) 3sin xf x x e′ = − −
0 πx< < 3sin 0x− < 0xe− < ( ) 3sin 0xf x x e′ = − − <
x π≥ 3>xe ( ) 3sin 3 0x xf x x e e′ = − − ≤ − <
3cos xy x e= − ( )0, ∞+
{ }na 3 4 5 3a a a π=
( )1 2 73 3 3sin log log loga a a+ +…+
1
2
3
2
− 1
2
− 3
2
3
4 3a
π
=
( )1 2 73 3 3
14sin log log log sin 3a a a
π+ +⋅⋅⋅+ = sin 3
π
3 4 5 3a a a π= 3
4 3a π= 3
4 3a
π
=
( ) 7
7 3
1 2 7 43 3 3
7 14log log log 3 23 3a a a a
π π π∴ ⋅⋅⋅ = = = × =
14 3sin sin3 3 2
π π∴ = =
D形 ，其中 ，则给出下列结论：
① ；
② ；
③
④ 在 向量上的投影为 ．
其中正确结论 个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
结合向量知识判断即可
【 详 解 】 对 ① ， 因 八 卦 图 为 正 八 边 形 ， 故 中 心 角 为 45° ， ，
，①对；
对②， 与 的夹角为 90°，又因 ，根据平行四边形法则
，②对；
对③， ， ， 中，由余弦定理可得
， ，③错；
对④，由向量投影的公式可得 在 向量上的投影为 ， ，故
的
ABCDEFGH | | 1OA =
2
2OA OD⋅ = −
2OB OH OE+ = −
| | 2 2AH FH− = −
AH AB 2
2
−
3135 4AOD
π∠ = ° =
3 2cos 4 2OA OD OA OD
π⋅ = ⋅ = −
OB OH OB OH=
2 2OB OH OA OE+ = = −
| |AH FH AH HF AF− = + = 3
4AOF
π∠ = AOF∆
2 2 2 32 cos 2 24AF OA OF OA OF
π= + − ⋅ = + 2 2AF = +
AH AB 3cos 4AH
π 3= 4OAB
π∠，显然 不为 1，故 ，④错；
故①②正确；
故选：C
【点睛】本题考查向量的基础知识，向量线性运算的基本法则，余弦定理解三角形，属于中
档题
11.已知定义在 上的函数 ，且 ,若方程
有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 可得函数周期为 2，结合函数在 上的解析式，利用周期作出
的函数图象,根据 和 交点个数判断 的范围.
【详解】
方程 有三个不相等的实数根，
等价于 和 有三个不同交点，
因为 ,所以 的周期为 2，
2cos 2AH AHθ = − AH 2 2cos 2 2AH AHθ = − −≠
R ( ) [ )
[ )
2
2
2, 0,1
2 , 1,0
x xf x x x
+ ∈= − ∈ −
( ) ( )2f x f x+ =
( ) 2 0f x kx− − = k
1 ,13
1 1,3 4
− −
1 11, ,13 3
− −
1 1 1 1, ,3 4 4 3
− −
( ) ( )2f x f x+ = [ ]1,1− ( )f x
( )y f x= 2y kx= + 图象 k
( ) 2 0f x kx− − =
( )y f x= 2y kx= + 图象
( ) ( )2f x f x+ = ( )f x由函数 ，利用周期性作出 的函数图象，如图所示:
不妨设
当直线 过 时， 的值分别为 与 1，
由图可知， 时直线 与 的图象有三个交点，
时, 方程 有三个不相等的实数根,
同理,若 ,可得 时，方程 有三个不相等的实数根,
所以实数 的取值范围是 ，故选 C.
【点睛】本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同
时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数
的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根
函数 与 的交点.
12.已知定义在 上的偶函数 在 上递减，若不等式
对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】 定义在 上的偶函数 在 ， 上递减， 在 上单调递增，
若不等式 对 ， 恒成立，
即 （1）对 ， 恒成立．
对 ， 恒成立，
即 对 ， 恒成立，
( ) [ )
[ )
2
2
2, 0,1
2 , 1,0
x xf x x x
+ ∈= − ∈ −
( )f x
0,k >
2y kx= + ( ) ( )3,1 , 1,1− − k 1
3
1 13 k< < 2y kx= + ( )f x
1 13 k∴ < < ( ) 2 0f x kx− − =
k 0< 11 3k− < < − ( ) 2 0f x kx− − =
k 1 11, ,13 3
− −
( ) ( )y f x g x= − ⇔ ( ) ( )y f x g x= − x ⇔ ( ) ( ) 0f x g x− =
⇔ ( )y f x= ( )y g x=
R ( )f x [0, )+∞
2 ( ln 1) ( ln 1)f ax x f ax x− + + + − −
( )3 1f≥ [ ]1,3x ∈ a
[ ]2,e 1[ , )e
+∞ 1[ , ]ee
1 2 ln3[ , ]3e
+
R ( )f x [0 )+∞ ( )f x∴ ( ,0)−∞
2 ( 1) ( 1) 3 ( )f ax lnx f ax lnx f l− + + + − − [1x∈ 3]
( 1)f ax lnx f− − [1x∈ 3]
1 1 1ax lnx∴− − − [1x∈ 3]
0 2ax lnx− [1x∈ 3]即 且 对 ， 恒成立．
令 ，则 ，在 ， 上递增， ， 上递减， ．
令 ， ，在 ， 上递减， ．
综上所述， ， ．
故选： ．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
13.已知函数 与直线 相切，则 的取值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
可设出切点坐标，根据导数的几何意义，结合曲线与直线方程求解即可
【详解】设切点为 ， ，则 ， 将 和 代入
得 ，则
故答案为：
【点睛】本题考查根据导数的几何意义求解参数，属于基础题
14.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，
大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：
“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也
进一尺，以后每天减半．”如果一墙厚 10 尺，请问两只老鼠最少在第________天相遇．
【答案】4
【解析】
【分析】
设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列 ，则 ，小老鼠每天打洞的长度构成
等比数列 ，则 ，再分别求和构造不等式求出 的值.
【详解】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列 ，
lnxa x
2 lnxa x
+
[1x∈ 3]
( ) lnxg x x
=
2
1( ) lnxg x x
−′ = [1 )e (e 3] 1( )maxg x e
∴ =
2( ) lnxh x x
+= 2
1( ) 0lnxh x x
− −′ = < [1 3] 2 3( ) 3min
lnh x
+∴ =
1[a e
∈ 2 3]3
ln+
D
( ) lnf x x= y ax= a
1
e
( )0 0,lnx x 1'( )f x x
= 0
0
1'( )f x ax
= = ( )0 0,lnx x
0
1a x
=
y ax=
0x e=
0
1 1a x e
= =
1
e
{ }na 1
11, 2a q= =
{ }nb 1
11, 2b q= = n
{ }na则 ，所以 .
设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列 ，
则 ，所以 .
所以 ，即 ，
解得： 且 ，
所以两只老鼠最少在第 4 天相遇.
故答案为： .
【点睛】本题以数学文化为背景，建立等比数列模型进行问题解决，考查学生的数学建模能
力、运算求解能力，考查不等式的求解，注意利用 为整数的特点，直接求得不等式的解.
15.已知函数 满足 ， ，且 在区间
上单调，则 的值有_________个.
【答案】9
【解析】
【分析】
由 ， ，结合正弦函数图像的特征可知 （ ），
由正弦函数最小正周期公式可得 ，因为 在区间 上单调可得 范
围，从而求出 的整数解的个数，得到 值的个数。
【详解】由题意知函数 的周期 ，由 ， ，结合正弦函数图像的特
征可知 ， ，
故 ， ， ；又因为 在区间 上单调，
1 1, 2a q= = 1 2 2 11 2
n
n
nS
−= = −−
{ }nb
1
11, 2b q= =
11 ( ) 12 2[( ) 1]1 21 2
n
n
nT
−
= = −
−
1(2 1) 2[( ) 1] 102
n n
n nS T+ = − + − ≥ 12 2 13 0n n−+ − ≥
4n ≥ n N∈
4
n
( ) ( )( )2sin 0f x xω ϕ ω= + > 24f
π =
( ) 0f π = ( )f x
,4 3
π π
ω
24f
π =
( ) 0f π = 3
4 2 4
T kT π+ = k ∈N
( )2 1 2
3
kω += ( )f x ,4 3
π π
ω
k ω
( )f x T 24f
π =
( ) 0f π =
3
4 2 4
T kT π+ = k ∈N
3
1 2T k
π= +
( )2 1 2
3
kω += k ∈N ( )f x ,4 3
π π
所以 ，故 ，所以 ，即 ，
∴ ， ，∴ 符合条件的 的值有 9 个.
【点睛】本题考查正弦函数图像的特点，最小正周期的公式，熟练掌握正弦函数图像是解题
关键，属于中档题。
16.已知函数 ， ．若对任意 ，总存在 ，
使得 成立，则实数 的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】
将问题转化为 ，根据二次函数和分式的单调性可求得 在 上的
最小值和最大值及 在 上的最大值；分别讨论 最大值小于零、最小值小于零
且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到 每种情况下的最大值，从而得到不等
式，解不等式求得结果.
【详解】不等式 恒成立可转化为：
当 时， ，
当 时，
①若 ，即 时，
，解得： （舍）
②若 ，即 时，
又 ，
当 ，即 时，
，解得： （舍）
当 ，即 时，
3 4 2
Tπ π− <
6T
π> 2 12T
πω = < ( )2 1 2 123
k+ <
17
2k < k ∈N 0,1,2 ,8k = ω
( ) 2 2 3f x x x a= − + ( ) 2
1g x x
= −
[ ]1 0,3x ∈ [ ]2 2,3x ∈
( ) ( )1 2f x g x≤ a
1
3
−
( ) ( )maxmaxf x g x≤ ( )f x [ ]0,3
( )g x [ ]2,3 ( )f x
( )f x
( ) ( )1 2f x g x≤ ( ) ( )maxmaxf x g x≤
[ ]0,3x∈ ( ) ( )min 1 1 3f x f a= = − + ( ) ( )max 3 3 3f x f a= = +
[ ]2,3x∈ ( ) ( )max 2 2g x g= =
3 3 0a+ ≤ 1a ≤ − ( )
max 1 3 1 3f x a a= − + = −
1 3 2a∴ − ≤ 1
3a ≥ −
1 3 0 3 3a a− + ≤ < + 11 3a− < ≤ ( ) ( ) ( ){ }
max max 1 , 3f x f f= −
( )1 1 3f a− = − ( )3 3 3f a= +
1 3 3 3a a− > + 11 3a− < < − ( )
max 1 3f x a= −
1 3 2a∴ − ≤ 1
3a ≥ −
1 3 3 3a a− ≤ + 1 1
3 3a− ≤ ≤ ( )
max 3 3f x a= +，解得：
③若 ，即 时，
，解得： （舍）
综上所述：
本题正确结果：
【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最
值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求
得结果.
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分．）
17.已知数列 中， 且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 n 项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）由题设基本信息结合通项公式即可求解；
（2） ，分别求解等差数列与等比数列的前 n 项和即可
【详解】解：（1） ， 等差数列 的公差为 ，
，解得 ，
因此， ；
（2） ，
，
3 3 2a∴ + ≤ 1
3a ≤ − 1
3a∴ = −
1 3 0a− + > 1
3a > ( )
max 3 3 3 3f x a a= + = +
3 3 2a∴ + ≤ 1
3a ≤ −
1
3a = −
1
3
−
{ }na 1 2n na a+ − = 1 2 3 9a a a+ + =
{ }na
{ }2n
na + nS
2 1na n= − 2 12 2n
nS n += + −
( )2 2 1 2n n
na n+ = − +
1 2n na a+ − = ∴ { }na 2
( ) ( )1 2 3 1 1 1 12 2 2 3 6 9a a a a a a a∴ + + = + + + + × = + = 1 1a =
( )1 2 1 2 1na n n= + − = −
( )2 2 1 2n n
na n∴ + = − +
( ) ( ) ( )1 2 31 2 3 2 3 2 (2 1) 2n
nS n = + + + + + + + − +
( )1 2 3[1 3 5 (2 1)] 2 2 2 2nn= + + + + − + + + + + ，
因此， ．
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，数列分项求和，属于基础题
18.如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ， , ，将
沿 折起，使平面 平面 ,得到几何体 ,如图 2 所示．
（1）求证: 平面 ；
（2）求二面角 D-AB-C 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）可结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质来进行证明，取 AC 中点 O，连接 DO，通
过线面垂直的性质可得 ，再结合图形几何性质即可得证；
（2）可在（1）的基础之上作 于 F， 为二面角 的平面角，通过
几何关系求解即可
【详解】（1）证明：在图 1 中，由题意知， ， ，
，
( ) 2 12 1 2(1 2 1) 2 22 1 2
n
nn n n +−+ −= + = + −−
2 12 2n
nS n += + −
90ADC∠ = ° / /CD AB 2, 1AB AD CD= = =
ADC AC ADC ⊥ ABC D ABC−
BC ⊥ ACD
6
3
OD BC^
OF AB⊥ DFO∠ D AB C− −
2AB = 2AC BC= =
2 2 2AC BC AB∴ + = AC BC∴ ⊥取 AC 中点 O，连接 DO，则 ，又平面 平面 ABC，
且平面 平面 ， 平面 ACD，
从而 平面 ABC，
又 ， ，
平面 ACD
（2）过 D 作 于 O，再过 O 作 于 F，
连接 DF，易知 为二面角 的平面角
易知 ,
,即为所求二面角的正弦值．
【点睛】本题考查线面垂直的证法，二面角的求法，属于中档题
19.已知函数
(1)求函数 的单调递增区间；
(2) 内角 的对边分别为 ，若 ， ， ，且 ，
试求角 和角 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）将 解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理
DO AC⊥ ADC ⊥
ADC ABC AC= DO ⊂
OD ⊥
OD BC∴ ⊥
AC BC⊥ AC OD O∩ =
BC∴ ⊥
DO AC⊥ OF AB⊥
DFO∠ D AB C− −
2 1 3, ,2 2 2DO OF DF= = =
sin 3
6DODFO DF
∠ = =
2( ) cos 2 cos2 ( )3f x x x x R
π = − − ∈
( )f x
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3( )2 2
Bf = − 1b = 3c = a b>
B C
5, ( )12 12k k k
π ππ π − + ∈ Z ,6 3B C
π π= =
( )f x后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间列出关于
x 的不等式，求出不等式的解集即可得到 的递增区间；
（2）由（1）确定的 解析式，及 求出 的值，由 B 为三角形的
内角，利用特殊角的三角函数值求出 B 的度数，再由 b 与 c 的值，利用正弦定理求出 的
值，由 C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数，由 a 大于 b 得到 A 大于
B，检验后即可得到满足题意的 B 和 C 的度数.
【详解】（1） ，
令 ，解得
故函数 的递增区间为 .
（2） ，
，
由正弦定理得： ，
， ， 或 .
当 时， ：当 时， （不合题意，舍）
所以 .
【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以
及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
20.《中华人民共和国道路交通安全法》第 47 条 相关规定：机动车行经人行横道时，应当
减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和
国道路交通安全法》第 90 条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分，罚款 50 元的处罚．
（1）交警从这 5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了 50 人，调查驾驶员不“礼让斑马
线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：能否据此判断有 97.5%的把握认为“礼让斑马线”
的
( )f x
( )f x 3
2 2
Bf = − sin 3B
π −
sinC
2 3 3( ) cos 2 cos2 sin 2 cos2 3sin 23 2 2 3f x x x x x x
π π = − − = − = −
2 2 2 ,2 3 2k x k k Z
π π ππ π− − + ∈
5 ,12 12k x k k Z
π ππ π− + ∈
∴ ( )f x 5, ( )12 12k k k
π ππ π − + ∈ Z
3 13sin , sin2 3 2 3 2
Bf B B
π π = − = − ∴ − = −
20 , , ,3 3 3 3 6 6B B B B
π π π π π ππ< < ∴− < − < ∴ − = − = 即
1 3
sin sinsin 6
a
A Cπ= =
3sin 2C∴ = 0 C π< × × ×
1 (1 2 3 4 5) 35x = × + + + + =
5
1
1 500 105 i
i
y y
=
= × = =∑
( )5
1
5
2
1
5
1
5
2 2
1
( )
( )
5
5
i i
i
i
i
i i
i
i
i
yx x y
x x
y
b
x y x
x x
=
=
=
=
− −
=
−
−
−
=
∑
∑
∑
∑
2
1415 5 3 100 8.555 5 3
− × ×= = −− ×
ˆˆ 100 ( 8.5) 3 125.5a y bx= − = − − × =
y x ˆ 8.5 125.5y x= − +
7x = ˆ 8.5 7 125.5 66y = − × + =
2 2× 2K能力、基本 运算求解能力.
21.已知椭圆 的左、右焦点为 、 ， ，若圆 Q 方
程 ，且圆心 Q 满足 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线 交椭圆 于 A、B 两点，过 P 与 垂直的直线 交圆 Q
于 C、D 两点，M 为线段 CD 中点，若 的面积为 ，求 的值．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意求得 的值即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程，结合三角形的面积得到关于 k 的方程，解方程即可确定 k 的
值.
【详解】（Ⅰ）由题意可知： ， ，
， ，
， 椭圆 的方程为
（Ⅱ）设 ， ，由
消去 y，得 ， ，
的
( )2 2
1 2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 1F 2F 1 2 2 2F F =
( ) ( )2 22 1 1x y− + − = 1 2 2QF QF a+ =
1C
( )0,1P 1 : 1l y kx= + 1C 1l 2l
MAB△ 6 2
5
k
2 2
14 2
x y+ = 2k = ±
2 2,a b
( )1 2,0F − ( )2 2,0F ( )2,1Q
1 22 4 2a QF QF a∴ = + = ⇒ = 2c =
2 2 2 2b a c∴ = − = ∴ 1C
2 2
14 2
x y+ =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2
1
2 4
y kx
x y
= +
+ =
( )2 21 2 4 2 0k x kx+ + − = ( )2 2 216 8 2 1 32 8 0k k k∆ = + + = + >， ，
为线段 CD 中点， ，又 ， ， ，
又点 Q 到 的距离 ，
．
此时 ，圆心 Q 到 的距离 ，成立．
综上： ．
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦
长、斜率、三角形的面积等问题．
22.已知函数 .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，令 ，若 ， 是 的两个极值点，且
，求正实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）t .
【解析】
【分析】
（I）求出导函数 ，按 的正负分类，讨论 的符号得单调区间；
（II）求出 ，当 时， ， 单调递减，无极值点，当 时，可由
1 2 2
4
1 2k
kx x+ = − + 1 2 2
2
1 2kx x = − +
2
2 2
1 2 2
32 81 1 1 2
kAB k x x k k
+∴ = + − = + ⋅ +
M MQ CD∴ ⊥ 1 2l l⊥ //MQ AB MAB QABS S∴ =
1l
2
2
1
k
d
k
=
+
( )2 2
2
2 4 11 6 2
2 1 2 5MAB
k k
S AB d k∆
+
∴ = ⋅ = =+
( )( )4 2 2 2 228 47 18 0 2 28 9 0 2 2k k k k k k∴ − − = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = ±
2
2: 12l y x= ± + 2l
2 2 1 12 2 131 12
h
± × − +
= = <
+
2k = ±
( ) ln 1( )f x ax x a R= − − ∈
( )f x
0a = 3 2( ) ( 1) 2
xg x f tx x
+= + + + 1x 2x ( )g x
( ) ( )1 2 0g x g x+ > t
10, 2
∈
'( )f x a '( )f x
'( )g x 1t ≥ '( ) 0g x ≤ ( )g x 0 1t<
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