新都区 2020 届高三毕业班摸底测试
数学试题（文）
本试卷分选择题和非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将姓名、考场号、座位号填写在答题卡规定的位置上，并将考生条形码粘贴
在规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置
上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题有且只有一个正确选项．）
1.已知全集 U＝R，集合 ，则图中的阴影部分表示的集合
为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
B={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1 或 x＜0}，
由题意可知阴影部分对应的集合为∁U（A∩B）∩（A∪B），
∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B=R，
即∁U（A∩B）={x|x≤1 或 x＞2}，
∴∁U（A∩B）∩（A∪B）={x|x≤1 或 x＞2}，
即（﹣∞，1]U（2，+∞）
故选：A
{ } 20 2 , { 0}A x x B x x x= ≤ ≤ = − >
( 1] (2, )−∞ ∪ +∞， ( 0) (1 2)−∞ ∪， ， [1 )2， (1 2]，2.设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对复数 进行运算得 ，从而求得 .
【详解】因为 ，
所以 ，所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数和模的概念，考查基本运算求解能力.
3.已知数列 为等差数列， 为其前 n 项和， ，则 （ ）
A. 2 B. 7 C. 14 D. 28
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列通项公式，将等式 化成 ，再由等差数列的前 项和公式
得 .
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查等差数列通项公式、前 项和公式，考查基本运算求解能力.
4.已知 ，则 （ ）
1 21
iz ii
−= ++ z z+ =—
1 i− − 1 i+ 1 i− 1 i− +
z z i= | | 1z z i+ = +
21 (1 ) 22 2 21 (1 )(1 ) 2
i i iz i i i ii i i
− − −= + = + = + =+ + −
| | 1z = | | 1z z i+ = +
{ }na nS 5 6 32 a a a+ = + 72S =
5 6 32 a a a+ = + 4 2a = n
7 42S 2 7 28a= ⋅ =
5 6 32 a a a+ = +
1 1 1 1 42 4 5 2 3 2 2a d a d a d a d a+ + = + + + ⇒ + = ⇒ =
7 42S 2 7 28a= ⋅ =
n
2sin cos 3
α α+ = sin 2α =A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接对等式两边平方，利用倍角公式得 的值.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、倍角公式，考查基本运算求解能力.
5.已知定义在 R 上的函数 在 单调递减，且满足对 ，都有
，则符合上述条件的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知函数要满足为偶函数且在 单调递减，对解析式进行逐个验证.
【详解】对 A，函数 为偶函数，但在 单调递增，
故 A 错误；
对 B，函数 为偶函数，且在 单调递减，故 B 正确；
对 C，函数 的定义域为 ，不关于原点对称，不具有奇偶性，
故 C 错误；
对 D，函数 为偶函数，但在 不具有单调性，故 D 错误；
7
9
− 2
9
− 2
9
7
9
sin 2α
2sin cos 3
α α+ =
2 22 2 7(sin cos ) ( ) 1 2sin cos3 9 9sin 2α α α αα+ = ⇒ + = −=⇒
( )f x (0,, )+∞ x R∀ ∈
( ) ( ) 0f x f x− − =
( ) 2 1f x x x= + + 1( ) 2
x
f x =
( ) ln 1f x x= + ( ) cosf x x=
(0,, )+∞
( ) 2
2
2
1, 0,1
1, 0.
x x xf x x x
x x x
+ + ≥= + + = − +
(4) (2)f f= ( ) (2)f b f>
( ) ( ) ( )f c f b f a< <
0a > 0b > 3 1
3
n
a b a b
+ ≥ +【答案】B
【解析】
【分析】
对不等式等价变形为 恒成立，利用基本不等式求右边式子的最小值，从而
求得 n 的最大值.
【详解】因为不等式 恒成立，
所以 恒成立.
因为 ，等号成立当且仅当 ，
所以 ，故 的最大值为 .
故选：B.
【点睛】本题考查不等式的恒成立问题、基本不等式求最值，考查逻辑推理能力和运算求解
能力，求解过程中利用基本不等式求最值要注意等号成立的条件.
8.函数 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
考查该函数的奇偶性，在 处的取值以及该函数在 上的单调性可辨别出图象。
【 详 解 】 令 ， 定 义 域 为 ，
，
该函数为偶函数，且 ，排除 C 选项，
3 1( )( 3 )n a ba b
≤ + +
3 1
3
n
a b a b
+ ≥ +
3 1( )( 3 )n a ba b
≤ + +
3 1( )( 3 ) 6 6 6 129 aa ba b a b
b+ + = + + ≥ + = 3a b=
12n ≤ n 12
3cos xy x e= −
0x = ( )0, ∞+
( ) 3cos xf x x e= − R
( ) ( ) ( )3cos 3cosx xf x x e x e f x− = − − = − =
( ) 00 3cos0 2 0f e= − = >当 时， ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以， 函数 在 上单调递减，符合条件的图象为 B 选项中的图象。
故选：B.
【点睛】本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定
义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号。在考查函数的单调性时，可充分利用
导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题。
9.在由正数组成的等比数列 中，若 ，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据等比中项得 ，由对数相加真数相乘得 ，
将目标式化简后，利用诱导公式求得式子的值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查等比中项性质、对数运算法则、诱导公式的综合运用，考查运算求解能力
和转化与化归思想.
10.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 1 是八卦模型图，其平面图形记为图 2 中的正八边
形 ABCDEFGH，其中 ，则给出下列结论：
① ；
【
0x > ( ) 3cos xf x x e= − ( ) 3sin xf x x e′ = − −
0 πx< < 3sin 0x− < 0xe− < ( ) 3sin 0xf x x e′ = − − <
x π≥ 3>xe ( ) 3sin 3 0x xf x x e e′ = − − ≤ − <
3cos xy x e= − ( )0, ∞+
{ }na 3 4 5 3a a a π= ( )3 1 3 2 3 7sin log log loga a a+ +…+
1
2
3
2
− 1
2
− 3
2
3
4 3a π= 3 1 3 7 3 43
7
2log log log loga a a a=+ +…+
3 4 5 3a a a π= 3 3
4 43 3a a
π
π= ⇒ =
( ) 7
3 1 3 42 3 7 3
3sin log log log si 2
7) s nn( i sinl 3og 3a a a a
π π+ … = =+ =+ =
| | 1OA =
2
2OA OD⋅ = − ② ；
③ 在 向量上的投影为 ．
其中正确结论的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
对①，利用数量积的定义计算；对②，先求 ，结合图象发现 的方
向与 是相反向量；对③，利用投影的定义求解.
【详解】对①， 的夹角为 ，所以 ，故①
正确；
对②， ，所以 ，
，利用向量的加法法则，由图可发现 的方向与 方向相反，
所以 ，故②正确；
对③， 在 向量上的投影为 ，因为 ，所以
，故③错误.
故选：B.
【点睛】本题以数学文化为背景，考查向量的相关概念，向量数量积的定义、投影，考查数
形结合思想和运算求解能力，求解过程中要充分利用图形提取信息，特别对③可以减少计算
量.
2OB OH OE+ = −
AH AB 2
2
−
| | 2OB OH+ = OB OH+
2OE
,OA OD 135 2| || | cos135 2OA OD OA OD⋅ = = −
2 22( ) 2 2OB OH OB OH OB OH+ = + + ⋅ = | | 2OB OH+ =
| 2 | 2OE− = OB OH+ 2OE
2OB OH OE+ = −
AH AB | | cos135AH | | 1AH ≠
2| | cos135 2AH ≠ −11.已知定义在 上的函数 ，且 ，若方程
有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
方程 有两个不相等的实数根 函数 与函数 图象有两个
交点，分别作出两个函数图象，通过观察图象得到 的取值.
【详解】方程 有两个不相等的实数根 函数 与函数 图
象有两个交点.
因为 ，所以函数 的周期 ，
所以函数 的周期 ，
因为函数 ，函数 的图象如图所示：
观察图象，当直线的斜率为 时，两个函数图象有且仅有两个交点，
结合选项和图象分析，所以实数 k 的取值集合是 .
故选：C.
【点睛】本题考查函数的零点与两个函数图象交点横坐标的等价关系、函数的周期，考查转
R ( ) [ )
[ )
2
2
2, 0,1
2 , 1,0
x xf x x x
+ ∈= − ∈ −
( ) ( )2f x f x+ =
( ) 2 0f x kx− − =
1,13
1 1,3 3
− { 1,1}−
11, 3
− −
( ) 2 0f x kx− − = ⇔ ( ) 2y f x= − y kx=
k
( ) 2 0f x kx− − = ⇔ ( ) 2y f x= − y kx=
( ) ( )2f x f x+ = ( )y f x= 2T =
( ) 2y f x= − 2T =
( ) [ )
[ )
2
2
, 0,12 , 1,0
x xf x x x
∈− = − ∈ −
y kx=
1k = ±
{ 1,1}−化与化归思想、数形结合思想的灵活运用，求解时要注意作图的准确性.
12.已知定义在 R 上的奇函数 ，对任意 且 ，都有
，若不等式 对 恒成立，则实数 a 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性、单调性，将不等式 化成 在
恒成立，接利用参变分离、构造函数，求得 的取值范围.
【详解】由题意知，函数在 单调递减，
因为 为奇函数，所以 在 R 上单调递减.
因为 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
令 ，则 在 恒成立，
所以 在 单调递减，且 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合运用，考查参变分离及利用导数研究函数的
最值，考查数形结合思想、转化与化归思想的运用，求解时注意恒成立问题的等价转化，即
在 恒成立，等价于 .
( )f x [ )1 2, 0,x x ∈ +∞ 1 2x x≠
( ) ( )1 2
1 2
0f x f x
x x
−
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