2019～2020 学年度下学期期中质量检测试卷
八年级 数学
三
题号 一 二
21 22 23 24 25 26 27 28
总分
分数
一.选择题(每题 3 分，共 30 分)
1．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
2．以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰梯形
3．如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，若∠A=20°，则∠BDC=（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
4．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
5．如图，已知∠1=∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件中选一个，错
误的选法是（ ）
A．∠ADB=∠ADC B．∠B=∠C C．DB=DC D．AB=AC
6．下列说法正确的是（ ）
①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等．②角是轴对称图形．
③线段不是轴对称图形．
④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②④
7．如图，下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（3）
8．若平行四边形的两条对角线长为 6 cm 和 16 cm，则下列长度的线段可作为平行
四边形边长的是（ ）
A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm
9．已知：如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC，∠ADE= ∠CDE，那么∠BDC 等于（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
10．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=DC=5，点 P 在 BC 上移动，
则当 PA+PD 取最小值时，BP 长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
二.填空题（每题 3 分，共 30 分）
11．如果 a、b 两个实数满足 a= + +2，则 ab 的值是 ．
12．已知 ，则 x2+2xy+y2= ．
13．若最简二次根式 与 是同类根式，则 b 的值是 ．
14．已知 a+ = ，则 a﹣ = ．15．如图，已知 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，△ABC 的周长为 17cm，斜边上中线 BD
长为 ．则该三角形的面积为 ．
16．一根旗杆在离底部 4.5 米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 6 米处，则
旗杆折断前高为 ．
17．平行四边形两邻边的长分别为 16 和 20，两条长边间的距离为 8，则两条短边
间的距离为 ．
18．已知菱形的一条对角线长为 6cm，面积为 24cm2，则菱形的周长是 cm．
19．如图，四边形 ABCD 中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠A=90°，计算四边形
ABCD 的面积 ．
20．在矩形 ABCD 中，已知两邻边 AD=12，AB=5，P 是 AD 边上异于 A 和 D 的任意一
点，且 PE⊥BD，PF⊥AC，E、F 分别是垂足，那么 PE+PF= ．
三.解答题（共 60 分）
21．计算：（1）3 ﹣9 +3
（2）（ + ）（2﹣2 ）﹣（ ﹣ ）2．
22．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB=2 ，AC=BC= ，求 AD 的长．23．已知 a= ，求代数式 ﹣ 的值．
24．如图，已知 E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边的延长线上一点，且 CE=DC，连接 AE
分别交 BC，BD 于点 F，G，连接 BE．
（1）求证：△AFB≌△EFG；
（2）判断 CF 与 AD 的关系，并说明理由．
25．如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=12，点 E 是 BC 的中点，连接 AE，将△ABE
沿 AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连接 FC，求证：AE∥CF．
26．如图正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别为 DC、BC 中点．
（1）求证：△ADE≌△ABF．
（2）求△AEF 的面积．
27．如图，四边形 ABCD 中，AC=a，BD=b，且 AC⊥BD，顺次连接四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 A1B1C1D1，再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点，得到四边形
A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形 AnBnCnDn．
（1）求证：四边形 A1B1C1D1 是矩形；
（2）四边形 A3B3C3D3 是 形；
（3）四边形 A1B1C1D1 的周长为 ；
（4）四边形 AnBnCnDn 的面积为 ．
参考答案与试题解析
一.选择题
1．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，
那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三
角形，故正确；
B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故
错误；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故
错误；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错
误；
故选 A．
2．以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰梯形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形．
故选：C．
3．如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，若∠A=20°，则∠BDC=（ ）A．30° B．40° C．45° D．60°
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出 CD=AD，求出∠DCA=∠A，根据
三角形的外角性质求出求出即可．
【解答】解：∵∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，
∴BD=CD=AD，
∴∠A=∠DCA=20°，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=20°+20°=40°．
故选 B．
4．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
【考点】正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四
边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互
相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选 A．
5．如图，已知∠1=∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件中选一个，错
误的选法是（ ）
A．∠ADB=∠ADC B．∠B=∠C C．DB=DC D．AB=AC【考点】全等三角形的判定．
【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项
逐一验证，排除错误的选项．本题中 C、AB=AC 与∠1=∠2、AD=AD 组成了 SSA
是不能由此判定三角形全等的．
【解答】解：A、加∠ADB=∠ADC，∵∠1=∠2，AD=AD，∠ADB=∠ADC，∴△
ABD≌△ACD（ASA），是正确选法；
B、加∠B=∠C∵∠1=∠2，AD=AD，∠B=∠C，∴△ABD≌△ACD（AAS），是
正确选法；
C、加 DB=DC，满足 SSA，不能得出△ABD≌△ACD，是错误选法；
D、加 AB=AC，∵∠1=∠2，AD=AD，AB=AC，∴△ABD≌△ACD（SAS），是
正确选法．
故选 C．
6．下列说法正确的是（ ）
①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等．
②角是轴对称图形．
③线段不是轴对称图形．
④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②④
【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；轴对称图形．
【分析】根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质求解即可求得答案．
【解答】解：∵①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等．故错误；
②角是轴对称图形．正确；
③线段是轴对称图形，故错误；
④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．正确．
∴下列说法正确的是②④．
故选 D．
7．如图，下列图案中，是轴对称图形的是（ ）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（3）
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：（1）是轴对称图形，
（2）不是轴对称图形，
（3）不是轴对称图形，
（4）是轴对称图形；
综上所述，是轴对称图形的是（1）（4）．
故选 C．
8．若平行四边形的两条对角线长为 6 cm 和 16 cm，则下列长度的线段可作为平行
四边形边长的是（ ）
A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm
【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．
【分析】平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边
之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行判断．
【解答】解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8﹣3＜边长＜8+3，即
5＜边长＜11．
只有选项 B 在此范围内，故选 B．
【点评】本题主要考查了平行四边形对角线互相平分这一性质，此类求三角形第
三边的范围的题目，解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，再求
解．
9．已知：如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC，∠ADE= ∠CDE，那么∠BDC 等于（ ）A．60° B．45° C．30° D．22.5°
【考点】矩形的性质．
【分析】根据矩形的性质得出∠ADC=90°，OA=OD，得出∠ADB=∠DAC，由已知条
件得出∠ADE=∠ACD=22.5°°，∠CDE=67.5°，求出∠ADB=∠DAC=67.5°，即可
得出结果．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ADC=90°，OA=OD，
∴∠ADB=∠DAC，
∵DE⊥AC，∠ADE= ∠CDE，
∴∠ADE=∠ACD=22.5°°，∠CDE=67.5°，
∴∠ADB=∠DAC=67.5°，
∴∠BDC=90°﹣67.5°=22.5°，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，弄
清各角之间的数量关系是解决问题的关键．
10．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=DC=5，点 P 在 BC 上移动，
则当 PA+PD 取最小值时，BP 长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】过点 D 作 DE⊥BC 于 E，延长 AB 到 A′，使得 A′B=AB，连接 A′D 交 BC
于 P，此时 PA+PD 最小，利用已知条件可证明此时 BP 为△AA′D 的中位线，进而
可求出 BP 的长．
【解答】解：过点 D 作 DE⊥BC 于 E，∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴四边形 ABED 是矩形，
∴BE=AD=2，
∵BC=CD=5，
∴EC=3，
∴AB=DE=4，
延长 AB 到 A′，使得 A′B=AB，连接 A′D 交 BC 于 P，此时 PA+PD 最小，即当 P
在 AD 的中垂线上，PA+PD 取最小值，
∵B 为 AA′的中点，BP∥AD
∴此时 BP 为△AA′D 的中位线，
∴BP= AD=2，
故选 B．
【点评】本题考查了轴对称﹣线段最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般
要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于
某直线的对称点，证明 BP 为△AA′D 的中位线是解题本题的关键．
二.填空题
11．如果 a、b 两个实数满足 a= + +2，则 ab 的值是 8 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出 a、b 的值，根据乘方法则
计算即可．
【解答】解：由题意得，b﹣3≥0，3﹣b≥0，
解得，b=3，
则 a=2，则 ab=23=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须
是非负数是解题的关键．
12．已知 ，则 x2+2xy+y2= 8 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】所求式子利用完全平方公式化简，由 x 与 y 的值求出 x+y 的值，代入计
算即可得到结果．
【解答】解：∵x= +1，y= ﹣1，
∴x+y= +1+ ﹣1=2 ，
则 x2+2xy+y2=（x+y）2=（2 ）2=8．
故答案为：8
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关
键．
13．若最简二次根式 与 是同类根式，则 b 的值是 1 ．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【分析】依据同类二次根式的定义可知 b2+2b+2=3+2b，从而可求得 b 的值．
【解答】解：∵最简二次根式 与 是同类根式，
∴b2+2b+2=3+2b．
整理得：b2=1．
解得：b1=1，b2=﹣1．
当 b=﹣1 时， =1， =1 不合题意．
故答案为；1．
【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解
题的关键．
14．已知 a+ = ，则 a﹣ = ±3 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】首先对 a+ = 进行平方求得 a2+ ，然后根据（a﹣ ）2=a2+ ﹣2 求
解．
【解答】解：∵a+ = ，
∴（a+ ）2=13，即 a2+ =11，
∴（a﹣ ）2=a2+ ﹣2=11﹣2=9，
∴a﹣ =±3．
故答案是：±3．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解完全平方公式，对所求的式
子进行变形是关键．
15．如图，已知 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，△ABC 的周长为 17cm，斜边上中线 BD
长为 ．则该三角形的面积为 ．
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得斜边的长，然后
求得两边之和，然后求得两边之积即可求得面积．
【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，斜边上中线 BD 长为 ，
∴斜边 AC=2BD=7，
∴两直角边的和为：AB+BC=17﹣7=10，
∵AB2+BC2=AC2=49，
（AB+BC）2=AB2+BC2+2AB•BC=100，
∴2AB•BC=100﹣49=51，∴△ABC 面积为： AB•BC= ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，解题的
关键是利用完全平方公式求得两直角边的乘积的 2 倍的值．
16．一根旗杆在离底部 4.5 米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 6 米处，则
旗杆折断前高为 12 米 ．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】旗杆折断后刚好构成一直角三角形，其直角边分别是 4.5 米和 6 米．利
用勾股定理解题即可．
【解答】解：如图所示，AC=6 米，BC=4.5 米，由勾股定理得，AB= =7.5
（米）．
故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）．
故答案是：12 米．
【点评】此题考查利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
17．平行四边形两邻边的长分别为 16 和 20，两条长边间的距离为 8，则两条短边
间的距离为 10 ．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由于平行四边形的面积=16×两条短边间的距离=20×两条长边间的距离，
由此可以求出两条短边间的距离．
【解答】解：∵平行四边形的面积=两条长边间的距离×20=20×8=160，
而平行四边形的面积=两条短边间的距离×16，
∴160=两条短边间的距离×16，
∴两条短边间的距离=10．
故填空答案：10．【点评】解决本题的关键是利用平行四边形的面积的不同表示方法来求解．
18．已知菱形的一条对角线长为 6cm，面积为 24cm2，则菱形的周长是 20 cm．
【考点】菱形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据菱形的面积可求得另一条对角线的长，再根据勾股定理求得其边长，
从而就不难求得其周长．
【解答】解：因为菱形的一条对角线长为 6cm，面积为 24cm2，可求得另一对角线
长 8cm，根据勾股定理，菱形的边长为 =5cm，则菱形的周长=5×4=20cm．
故答案为 20．
【点评】主要考查菱形的面积公式：对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质
和勾股定理．
19．如图，四边形 ABCD 中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠A=90°，计算四边形
ABCD 的面积 36 ．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】根据勾股定理求出 BD，根据勾股定理的逆定理求出△ABD 是直角三角形，
分别求出△ABD 和△BCD 的面积，即可得出答案．
【解答】解：在△ABD 中，
∵∠A=90°，AD=3，AB=4，
∴BD= =5，
S△ABD= AB•AD= ×4×3=6，
在△BCD 中，
∵BC=12，CD=13，BD=5，
∴BD2+BC2=CD2，
∴△CBD 是直角三角形，∴S△CBD= BC•BD= ×12×5=30．
∴四边形 ABCD 的面积=S△ABD+S△BCD=6+30=36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求
出△ABD 和△BCD 的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平
方，那么这个三角形是直角三角形．
20．在矩形 ABCD 中，已知两邻边 AD=12，AB=5，P 是 AD 边上异于 A 和 D 的任意一
点，且 PE⊥BD，PF⊥AC，E、F 分别是垂足，那么 PE+PF= ．
【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】首先过 A 作 AG⊥BD 于 G．根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离
的和等于腰上的高，则 PE+PF=AG．利用勾股定理求得 BD 的长，再根据三角形的面
积计算公式求得 AG 的长，即为 PE+PF 的长．
【解答】解：如图，过 A 作 AG⊥BD 于 G，
则 S△AOD= ×OD×AG，S△AOP+S△POD= ×AO×PF+ ×DO×PE= ×DO×（PE+PF），
∵S△AOD=S△AOP+S△POD，
∴PE+PF=AG，
∵AD=12，AB=5，
∴BD= =13，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积计算．解决本
题的关键是明白等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高．
三.解答题（共 60 分）
21．计算：（1）3 ﹣9 +3
（2）（ + ）（2﹣2 ）﹣（ ﹣ ）2．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式=12 ﹣3 +6
=15 ；
（2）原式=（2+2 ）（2﹣2 ）﹣（3﹣2 +2）
=4﹣12﹣5+2
=﹣13+2 ．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进
行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如
能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半
功倍．
22．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB=2 ，AC=BC= ，求 AD 的长．
【考点】勾股定理．
【分析】如图，设 AD=x，则在直角△ABD 和直角△ACD 中，利用勾股定理分别求得
BD、CD 的长度，则易列出关于 x 的方程，通过解方程求得 x 的值即可．
【解答】解：如图，设 AD=x．依题意得
+ =BD+CD=BC．即 + = ，
解得 x=
即 AD= ．
【点评】本题考查了勾股定理．此题也可以设 CD=x，然后分别在直角△ABD 和直
角△ACD 中，利用 x 来表示 AD 的长度，由此列出 AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，将相关线段
的长度代入进行解答即可．
23．已知 a= ，求代数式 ﹣ 的值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式化简约分后，通分并利用同分母分式的减法法则计算，将 a 的值代
入计算即可求出值．
【解答】解：∵a= =2﹣ ，即 a+1＞0，
∴原式= ﹣ =a+2﹣ =2﹣2 ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．如图，已知 E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边的延长线上一点，且 CE=DC，连接 AE
分别交 BC，BD 于点 F，G，连接 BE．
（1）求证：△AFB≌△EFG；
（2）判断 CF 与 AD 的关系，并说明理由．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据平行四边形性质推出 AB=CD=CE，AB∥CD，推出∠ABF=FCE，∠BAF=
∠FEC，根据全等三角形的判定证出即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：在平行四边形 ABCD 中，
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF，
∵AB=CD，CE=CD，
∴AB=CE，
在△AFB 和△EFC 中
，
∴△AFB≌△EFC．
（2）CF ，
理由如下：∵△AFB≌△EFC，
∴AF=EF，又 EC=CD，
∴CF ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，关键是根据平行线的性质，全等三角形
的判定进行推理，题目比较典型，难度也适中．
25．如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=12，点 E 是 BC 的中点，连接 AE，将△ABE
沿 AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连接 FC，求证：AE∥CF．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】只要证明 AE⊥BF，CF⊥BF 即可解决问题．
【解答】证明：连接 BF，
∵△AEF 是由△AEB 翻折得到，
∴BF⊥AE，BE=EF，
∵BE=CE，
∴BE=EC=EF，∴∠BFC=90°，
∴CF⊥BF，又 AE⊥BF，
∴AE∥CF．
【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的判定等知识，解题的关键是利用垂直
于同一直线的两条直线平行来证明，记住直角三角形的判定方法，属于中考常考
题型．
26．如图正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别为 DC、BC 中点．
（1）求证：△ADE≌△ABF．
（2）求△AEF 的面积．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）由四边形 ABCD 为正方形，得到 AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由
E、F 分别为 DC、BC 中点，得出 DE=BF，进而证明出两三角形全等；
（2）首先求出 DE 和 CE 的长度，再根据 S△AEF=S 正方形 ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF 得
出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=AD，∠D=∠B=90°，DC=CB，
∵E、F 为 DC、BC 中点，
∴DE= DC，BF= BC，
∴DE=BF，在△ADE 和△ABF 中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF 均为直角三角形，
且 AB=AD=4，DE=BF= ×4=2，CE=CF= ×4=2，
∴S△AEF=S 正方形 ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF
=4×4﹣ ×4×2﹣ ×4×2﹣ ×2×2
=6．
【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟
练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大．
27．如图，四边形 ABCD 中，AC=a，BD=b，且 AC⊥BD，顺次连接四边形 ABCD 各边
中点，得到四边形 A1B1C1D1，再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点，得到四边形
A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形 AnBnCnDn．
（1）求证：四边形 A1B1C1D1 是矩形；
（2）四边形 A3B3C3D3 是 矩 形；
（3）四边形 A1B1C1D1 的周长为 a+b ；
（4）四边形 AnBnCnDn 的面积为 ．
【考点】中点四边形．
【分析】（1）利用三角形中位线定理得出 A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥
AC，进而得出四边形 A1B1C1D1 是平行四边形，再利用矩形的判定得出答案；
（2）直接利用矩形的性质以及结合菱形的判定方法得出答案；
（3）利用三角形中位线定理得出四边形 A1B1C1D1 是的周长；（4）由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来
的一半，进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵在四边形 ABCD 中，顺次连接四边形 ABCD 各边中点，得到
四边形 A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形 A1B1C1D1 是平行四边形；
∵AC 丄 BD，
∴四边形 A1B1C1D1 是矩形；
（2）解：∵四边形 A1B1C1D1 是矩形，
∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），
∴四边形 A2B2C2D2 是菱形；
∴四边形 A3B3C3D3 是矩形，
故答案为：矩；
（3）解：根据三角形中位线定理可得 D1C1=A1B1= AC= a，A1D1=B1C1= BC= b．故
四边形 A1B1C1D1 是的周长为 a+b，
故答案为：a+b．
（4）解：∵四边形 ABCD 中，AC=a，BD=b，且 AC 丄 BD，
∴S 四边形 ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一
半，
四边形 AnBnCnDn 的面积是 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了中点四边形以及三角形中位线定理，正确掌握矩形以及
菱形的判定方法是解题关键．
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