高考抽象函数解题全总结

- 1 - 高考抽象函数技巧全总结 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 的问题感到困难，学 好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵 活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量 表示原自变量 的代数式，从而求出 ，这也 是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例 1：已知 ,求 . 解：设 ,则 ∴ ∴ 2.凑合法：在已知 的条件下，把 并凑成以 表示的代 数式，再利用代换即可求 .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例 2：已知 ，求 解：∵ 又∵ ∴ ，(| |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关 系式中的未知系数。 例 3． 已知 二次实函数，且 +2 +4,求 . 解:设 = ，则 = 比较系数得 ∴ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例 4.已知 = 为奇函数,当 >0 时, ,求 ( )f x x ( )f x ( ) 2 11 xf xx = ++ ( )f x 1 x ux =+ 1 ux u = − 2( ) 2 11 1 u uf u u u −= + =− − 2( ) 1 xf x x −= − ( ( )) ( )f g x h x= ( )h x ( )g u ( )f x 3 3 1 1( )f x xx x + = + ( )f x 2 2 2 1 1 1 1 1( ) ( )( 1 ) ( )(( ) 3)f x x x x xx x x x x + = + − + = + + − 1 1| | | | 1| |x xx x + = + ≥ 2 3( ) ( 3) 3f x x x x x= − = − x ( )f x 2( 1) ( 1)f x f x x+ + − = x ( )f x ( )f x 2ax bx c+ + 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f x f x a x b x c a x b x c+ + − = + + + + + − + − + 2 22 2 2( ) 2 4ax bx a c x x+ + + = + + 2( ) 4 1 32 1 , 1,2 22 2 a c a a b c b + =  = ⇒ = = =  = 21 3( ) 2 2f x x x= + + y ( )f x x ( ) lg( 1)f x x= + ( )f x- 2 - 解:∵ 为奇函数，∴ 的定义域关于原点对称，故先求 0,∴ , ∵ 为奇函数，∴ ∴当 x > 0 f x( ) > 0 ∴ − >f x x( )2 1 0 f x f x x x( ) [( ) ]2 2 1 1= − +- 12 - 为增函数， 令 ，则 又令 得 ， 故 为奇函数， ， 上的值域为 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在 定义域内的增减性，去掉“ ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意 函数定义域的作用。 例 3 已知 是定义在（ ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数， 满足 ，试确定 的取值范围。 解： 是偶函数，且在（0，1）上是增函数， 在 上是减函数， 由 得 。 （1）当 时， ，不等式不成立。 （2）当 时， = − + >f x x f x f x( ) ( ) ( )2 1 1 1 ∴ f x( ) y x= − f f x f x( ) ( ) ( )0 = + − x y= = 0 f ( )0 0= ∴ − = −f x f x( ) ( ) f x( ) ∴ = − =f f( ) ( )1 1 2 f f( ) ( )− = − = −2 2 1 4 ∴ −f x( ) [ ]在 ，2 1 [ ]−4 2， f f x( ) −1 1， f a f a( ) ( )− − − ∴ − >f x x( )2 1 2 f x x( )2 1 2 0− − > ∴ = − + = − + − > ∴ > f x f x x x f x x f x f x f x f x ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 f x( ) f f f f f( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 2 1 2 3 1 4 5= + = + − = − = ∴ = ∴ − − < = − − < ∴− < < f f a a f a a a ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 3 1 2 2 1 1 3 2 2 ， 即 f a a( )2 2 2 3− − < { }a a|− < 1 x > 0 0 1< 0 − 1 f f x f x( ) ( ) ( )0 1= ⋅ − = ∴ − = >f x f x( ) ( ) 1 1 ∴ < 1 m n， f m n f m f n( ) ( ) ( )+ = ⋅ m n≠ f m f n( ) ( )≠ f ( )0 1= f x( ) { }A x y f x f y f= ⋅ f x x( )2 1 1− > x1 0≥ f x( )1 1> x1 0< − > − >x f x1 10 1， ( ) f f x f x( ) ( ) ( )0 1 1= ⋅ − ∴ = − > = − ⋅ > ∴ f x f x f x f x x f x f x f x R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 1 0 在 上为增函数。 f x f y f( ) ( ) ( )2 2 1⋅ < x y2 2 1 1+ < ( ) f ax by c( )+ + = 1 ax by c+ + = 0 y ( )a b x acx c b2 2 2 2 22 0+ + + − < A B = ∅ ∴ = − + − … x y， x y= = 0 y x= − f f f f x f x f f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0+ = + − =    ⇒ = − = −    f x( ) − < < f x( ) ( )在 ，−1 0 f x( )  f n n( )1 3 12 + + = + + − = + + − + + + − +             f n n f n n n n ( ( )( ) ) ( ) ( )( ) 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2- 18 - 抽象函数问题分类解析 我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频 出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑， 求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。 1. 求定义域 这类问题只要紧紧抓住：将函数 中的 看作一个整体，相当于 中的 x 这一特性，问题就会迎刃而解。 例 1. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是 ___。 分析：因为 相当于 中的 x，所以 ，解得 或 。 例 2. 已知 的定义域为 ，则 的定义域 是______。 分析：因为 及 均相当于 中的 x，所以 = + + − + = + − + ∴ + + + + + = − + − + + + − + = − + < + < ∴ + < f n f n f n f n f f f n n f f f f f n f n f f n n f n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 2 1 5 1 11 1 3 1 1 2 1 3 1 3 1 4 1 1 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 1 2 0 2 ， … … ， ∴ − + > ∴ + + + + + > f f n f f f f n n f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 5 1 11 1 3 1 1 22… 。 f g x[ ( )] g x( ) f x( ) y f x= ( ) ( ]−∞，1 y f x= −[log ( )]2 2 2 log ( )2 2x2 − f x( ) log ( )2 2 2 1x − ≤ 2 2< ≤x − ≤ < −2 2x f x( ) (0 )，1 y f x a f x a a= + + − ≤( ) ( )(| | )1 2 x a+ x a− f x( ) 0 1 0 1 1 1 < + < < − <    ⇒ − < < − < < +    x a x a a x a a x a- 19 - (1)当 时，则 (2)当 时，则 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求 与 的关系。 例 3. 已知 的定义域为 R，且对任意实数 x，y 满足 ， 求证： 是偶函数。 分析：在 中，令 ， 得 令 ，得 于是 故 是偶函数。 例 4. 若函数 与 的图象关于原点对称，求证：函数 是偶函数。 证明：设 图象上任意一点为 P（ ） 与 的图象关于原点对称， 关于原点的对称点 在 的图象上， 又 即对于函数定义域上的任意 x 都有 ，所以 是偶函数。 3. 判断单调性 − ≤ ≤1 2 0a x a a∈ − +( )，1 0 1 2 < ≤a x a a∈ −( )，1 f x( ) f x( )− f x( ) f xy f x f y( ) ( ) ( )= + f x( ) f xy f x f y( ) ( ) ( )= + x y= = 1 f f f f( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0= + ⇒ = x y= = −1 f f f f( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0= − + − ⇒ − = f x f x f f x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = − ⋅ = − + =1 1 f x( ) y f x f x= ≠( )( ( ) )0 y f x= − ( ) y f x= ( ) y f x= ( ) x y0 0，  y f x= ( ) y f x= − ( ) ∴ P x y( )0 0， ( )− −x y0 0， y f x= − ( ) ∴− = − − ∴ = − y f x y f x 0 0 0 0 ( ) ( ) y f x0 0= ( ) ∴ − =f x f x( ) ( )0 0 f x f x( ) ( )− = y f x= ( )- 20 - 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问 题迅速获解。 例 5. 如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为 5，那么 在 区间 上是 A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 分析：画出满足题意的示意图 1，易知选 B。 图 1 例 6. 已知偶函数 在 上是减函 数，问 在 上是增函数还是减函数， 并证明你的结论。 分析：如图 2 所示，易知 在 上 是增函数，证明如下： 任取 因为 在 上是减函数，所以 。 又 是偶函数，所以 ， 从而 ，故 在 上是增函 数。 图 2 4. 探求周期性 这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原 型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。 例 7. 设函数 的定义域为 R，且对任意的 x，y 有 ，并存在正实数 c，使 。试问 是否 为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。 分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现： 满足题设条 f x( ) [ ]3 7， f x( ) [ ]− −7 3， −5 −5 −5 −5 f x( ) (0 )， + ∞ f x( ) ( )−∞，0 f x( ) ( )−∞，0 x x x x1 2 1 20 0< < ⇒ − > − > f x( ) (0 )， + ∞ f x f x( ) ( )− < −1 2 f x( ) f x f x f x f x( ) ( ) ( ) ( )− = − =1 1 2 2， f x f x( ) ( )1 2< f x( ) ( )−∞，0 f x( ) f x y f x y f x f y( ) ( ) ( ) ( )+ + − = ⋅2 f c( )2 0= f x( ) y x= cos y 5 O -7 -3 3 7 x -5 y O x- 21 - 件，且 ，猜测 是以 2c 为周期的周期函数。 故 是周期函数，2c 是它的一个周期。 5. 求函数值 紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过 程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。 例 8. 已知 的定义域为 ，且 对一切正实数 x，y 都 成立，若 ，则 _______。 分析：在条件 中，令 ，得 ， 又令 ， 得 ， 例 9. 已知 是定义在 R 上的函数，且满足： ， ，求 的值。 分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现 是周期函数，显然 ， 于是 ， cos π 2 0= f x( )  f x c c f x c c f x c f c f x c f x f x c f x c f x [( ) ] [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + − = + = ∴ + = − ∴ + = − + = 2 2 2 2 2 2 2 0 2 f x( ) f x( ) R+ f x y f x f y( ) ( ) ( )+ = + f ( )8 4= f (2) = f x y f x f y( ) ( ) ( )+ = + x y= = 4 f f f f( ) ( ) ( ) ( )8 4 4 2 4 4= + = = ∴ =f ( )4 2 x y= = 2 f f f(4) (2) (2)= + = 2 ∴ =f (2) 1 f x( ) f x f x f x( )[ ( )] ( )+ − = +2 1 1 f ( )1 1997= f (2001) f x( ) f x( ) ≠ 1 f x f x f x( ) ( ) ( ) + = + −2 1 1 f x f x f x f x f x f x f x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + + − + = + + − − + − = −4 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1- 22 - 所以 故 是以 8 为周期的周期函数，从而 6. 比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后 利用其单调性使问题获解。 例 10. 已知函数 是定义域为 R 的偶函数， 时， 是增函数，若 ， ，且 ，则 的大小关系是_______。 分析： 且 ， 又 时， 是增函数， 是偶函数， 故 7. 讨论方程根的问题 例 11. 已知函数 对一切实数 x 都满足 ，并且 有 三个实根，则这三个实根之和是_______。 分析：由 知直线 是函数 图象的对称轴。 又 有三个实根，由对称性知 必是方程的一个根，其余两根 关于直线 对称，所以 ，故 。 8. 讨论不等式的解 求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。 例 12. 已知函数 是定义在 上的减函数，且对一切实数 x，不等式 恒成立，求 k 的值。 f x f x f x( ) ( ) ( )+ = − + =8 1 4 f x( ) f f f(2001) ( ) ( )= × + = =8 250 1 1 1997 f x( ) x < 0 f x( ) x1 0< x2 0> | | | |x x1 2< f x f x( ) ( )− −1 2，  x x1 20 0< >， | | | |x x1 2< ∴ < − < ⇒ − < 0)试求 f(t)的表达式 ②满足 f(t)=t 的所有整数 t 能否构成等差数列?若能求出此数列,若不能说明理 由 ③若 t 为自然数且 t≥4 时, f(t) ≥mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求 m 的最大值. 2．已知函数 f(x)= , 且 f(x),g(x) 定义域都是 R, 且 g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 求证：①f(x)是 R 上的增函数 ②当 n N,n≥3 时,f(n)> 解: ①设 x1>x2 g(x)是 R 上的增函数, 且 g(x)>0 g(x1) > g(x2) >0 g(x1)+1 > g(x2)+1 >0 > >0 - >0 f(x1)- f(x2)= - =1- -(1- ) = - >0 f(x1) >f(x2) ∴ 1)( 1)( + − xg xg ∈ 1+n n ∴ ∴ 1)( 2 2 +xg 1)( 2 1 +xg ∴ 1)( 2 2 +xg 1)( 2 1 +xg ∴ 1)( 1)( 1 1 + − xg xg 1)( 1)( 2 2 + − xg xg 1)( 2 1 +xg 1)( 2 2 +xg 1)( 2 2 +xg 1)( 2 1 +xg ∴- 29 - f(x)是 R 上的增函数 ② g(x) 满足 g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 且 g(x)>0 g(n)=[ g(1)]n=2n 当 n N,n≥3 时, 2n>n f(n)= ＝1- ， ＝1- 2n＝（1+1）n＝1+n+…+ +…+n+1>2n+1 2n+1>2n+2 < ,即 1- >1- 当 n N,n≥3 时,f(n)> 3．设 f1(x) f2(x)是(0,+∞)上的函数,且 f1(x)单增,设 f(x)= f1(x) +f2(x) ,且对于(0,+∞)上的任意两相异实数 x1, x2 恒有| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)| ①求证：f (x)在(0,+∞)上单增. ②设 F(x)=x f (x), a>0、b>0. 求证：F(a+b)> F(a)+F(b) . ①证明:设 x1>x2>0 f1(x) 在(0,+∞)上单增 f1(x1)－ f1(x2)>0 | f1(x1)－ f1(x2)|= f1(x1)－ f1(x2)>0 | f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)| f1(x2)- f1(x1) f1(x2)+ f2(x2) f(x1)> f(x2) f (x)在(0,+∞)上单增 ② F(x)=x f (x), a>0、b>0 a+b>a>0,a+b>b>0 F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b) ∴ ∴  ∈ ∴ 12 12 + − n n 12 2 +n 1+n n 1 1 +n  i nC ∴ ∴ 12 2 +n 1 1 +n 12 2 +n 1 1 +n∴ ∈ 1+n n  ∴ ∴ ∴ ∴ - 30 - f (x)在(0,+∞)上单增 F(a+b)>af(a)+bf(b)= F(a)+F(b) 4．函数 y＝f(x)满足 ①f(a+b)＝f (a)·f (b)，②f(4)＝16, m、n 为互质整数，n≠0 求 f( )的值 f(0) =f(0+0)=f(0) ·f(0)=f2(0) f(0) =0 或 1.若 f(0)=0 则 f(4)=16=f(0+4)=f(0) ·f(4)=0.(矛盾) f(1)=1 f(4)=f(2) ·f(2)=f(1) ·f(1) ·f(1) ·f(1)=16 f(1)=f2( )≥0 f(1)=2.仿此可证得 f(a)≥0.即 y=f(x)是非负函数. f(0)=f(a+(-a))=f(a) ·f(-a) f(-a)= n∈N*时 f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-n f(1)=f( + +…+ )=fn( )=2 f( )= f( )=[f( )]m= 5．定义在（-1，1）上的函数 f (x)满足 ① 任意 x、y∈（-1，1）都有 f(x)+ f(y)＝f ( )，②x∈（-1，0）时， 有 f(x) >0 1) 判定 f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由 2) 判定 f(x)在（-1，0）上的单调性，并给出证明 3) 求证：f ( )＝f ( )－f ( )  ∴ n m ∴ ∴  2 1 ∴ ∴ )( 1 af  n 1 n 1 n 1 n 1 ∴ n 1 n 1 2 ∴ n m n 1 n m 2 xy yx + + 1 13 1 2 ++ nn 1 1 +n 2 1 +n- 31 - 或 f ( )+f ( )+…+f ( )> f ( ) (n∈N*) 解:1) 定义在（-1，1）上的函数 f (x)满足任意 x、y∈（-1，1） 都有 f(x)+ f(y)＝f ( ),则当 y=0 时, f(x)+ f(0)＝f(x) f(0)=0 当-x=y 时, f(x)+ f(-x)＝f(0) f(x)是（-1，1）上的奇函数 2) 设 0>x1>x2>-1 f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)= 0>x1>x2>-1 ,x∈（-1，0）时， 有 f(x) >0,1-x1 x2>0, x1-x2>0 >0 即 f(x)在（-1，0）上单调递增. 3) f ( )=f( ) =f( )=f( ) =f( )-f( ) f ( )+f ( )+…+f ( ) =f( )-f( )+f( )-f( )+f( )+…+f( )-f( ) = f( ) -f( )=f( )+f(- ) x∈（-1，0）时，有 f(x) >0 f(- )>0, f( )+f(- )>f( ) ∴ 5 1 11 1 13 1 2 ++ nn 2 1  xy yx + + 1 ∴ ∴  )1( 21 21 xx xxf − −  ∴ )1( 21 21 xx xxf − −  13 1 2 ++ nn 123 1 2 −++ nn )2)(1( 11 )2)(1( 1 ++− ++ nn nn 2 1 1 11 2 1 1 1 +•+− +−+ nn nn 1 1 +n 2 1 +n 5 1 11 1 13 1 2 ++ nn 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 1 1 +n 2 1 +n 2 1 2 1 +n 2 1 2 1 +n ∴ 2 1 +n 2 1 2 1 +n 2 1- 32 - 即 f ( )+f ( )+…+f ( )> f ( ) 1) 6．设 f (x)是定义在 R 上的偶函数,其图像关于直线 x=1 对称, 对任意 x1、x2 [0,1 2]都有 f (x1+ x2)＝f(x1) ·f(x2), 且 f(1)=a>0. ①求 f (1 2)及 f (1 4); ②证明 f(x)是周期函数 ③记 an=f(2n+ 1 2n), 求 (lnan) 解: ①由 f (x)= f (x 2 + x 2)=[f(x)]2 0,f(x) a= f(1)=f(2n· 1 2n)=f( 1 2n+ 1 2n+…+ 1 2n)＝[f ( 1 2n)]2 解得 f ( 1 2n)= f (1 2)= ,f (1 4)= . ② f(x)是偶函数,其图像关于直线 x=1 对称, f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x). f(x+2)=f[1+(1+x)]= f[1-(1+x)]= f(x)=f(-x). f(x)是以 2 为周期的周期函数. ③ an=f(2n+ 1 2n)= f ( 1 2n)= (lnan)= =0 7． 设 是定义在 R 上的恒不为零的函数，且对任意 x、y ∈R 都有 f(x+y)＝f(x)f(y) ①求 f(0)， ②设当 xf(0)证明当 x>0 时 01 ①求证 f(x)是 R 上的增函数 ②若 f(4)＝5，解不等式 f(3x2-x-2)0 时，f(x) >0 且 f(2)=3 ①试判断 f(x)的奇偶性和单调性 ②当θ∈[0, ]时, f(cos2θ－3)+ f(4m－2mcosθ)对所有的θ均成立,求 n1 实数的取值范围 3.f (n)是定义在 N 上且取值为整数的严格单增函数，m、n 互质时 f(m·n)＝f (m)·f (n) 若 f(19)＝19，求 f(f(19) ·f(98))的值 4. f (x)定义域为 R，对任意 x1、x2 R 都有 f (x1+ x2)＝f(x1)+ f(x2)， 且 x>0 时，f(x)