备战2020中考数学全真模拟卷08（含解析）

1 备战 2020 中考全真模拟卷 08 数 学 （考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号 填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5．考试范围：广东中考全部内容。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的） 1． 等于 A． B．4 C． D．256 【答案】B． 【解析】 ．故选 ． 2． 的值是 A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】 ，故选 ． 3．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是 16 4− 4± 16 4= B cos30° 2 2 3 3 1 2 3 2 3cos30 2 ° = D2 A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．三棱柱 【答案】A 【解析】由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥． 故选 ． 4．下列四个等式，正确的是 A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】 、 ，本选项错误； 、 ，本选项错误； 、 ，本选项正确； 、 ，本选项错误．故选 ． 5．据统计，某校某班 30 名同学 3 月份最后一周每天按时做数学“小测题”的学生数依次是：27，30，29， 25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是 A．25 和 30 B．25 和 29 C．28 和 30 D．28 和 29 【答案】D． 【解析】将这组数据重新排列为 25，26，27，28，29，29，30，则这组数据的中位数为 28，众数为 29，故 选 ． 6．下列对二次函数 的图象的描述，正确的是 A．对称轴是 轴 B．开口向下 C．经过原点 D．顶点在 轴右侧 【答案】C． 【解析】 二次函数 ， ， 对称轴是直线 ，故选项 错误， 该函数图象开口向上，故选项 错误，当 时， ，即该函数图象过原点，故选项 正确， A 3 2 63 2 6a a a= 2 2 23 4 12x x x= 2 2 42 3 6x x x= 3 5 155 3 15y y y= A 3 2 53 2 6a a a= B 2 23 4 12 4x x x= C 2 2 42 3 6x x x= D 3 5 85 3 15y y y= C D 2y x x= + y y  2 21 1( )2 4y x x x= + = + − 1a = ∴ 1 2x = − A B 0x = 0y = C3 顶点坐标是 ， ，故选项 错误，故选 ． 7．我校举行春季运动会系列赛中，九年级（1）班、（2）班的竞技实力相当，关于比赛结果， 甲同学说：（1）班与（2）班的得分为 ； 乙同学说：（1）班的得分比（2）班的得分的 2 倍少 40 分； 若设（1）班的得分为 分，（2）班的得分为 分，根据题意所列方程组应为 A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】设（1）班得 分，（2）班得 分，由题意得 ．故选 ． 8．已知平行四边形 ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是 A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】 、 ， ，所以 ，可以判定这个平行四边形为矩形，正确； 、 不能判定这个平行四边形为矩形，错误； 、 ，对角线相等，可推出平行四边形 是矩形，故正确； 、 ，所以 ，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选 ． 9．随着“互联网 ”时代的到来，一种新型的打车方式受到大众欢迎．打车总费用 （单位：元）与行驶 里程 （单位：千米）的函数关系如图所示．如果小明某次打车行驶里程为 22 千米，则他的打车费用为 A．33 元 B．36 元 C．40 元 D．42 元 1( 2 − 1)4 − D C 6:5 x y 6 5 2 40 x y x y =  = − 6 5 2 40 x y x y =  = + 5 6 2 40 x y x y =  = + 5 6 2 40 x y x y =  = − x y 5 6 2 40 x y x y =  = − D ABCD A B∠ = ∠ A C∠ = ∠ AC BD= AB BC⊥ A A B∠ = ∠ 180A B∠ + ∠ = ° 90A B∠ = ∠ = ° B A C∠ = ∠ C AC BD= ABCD D AB BC⊥ 90B∠ = ° B + y x ( )4 【答案】C． 【解析】当行驶里程 时，设 ，将 、 代入， 得： ，解得： ， ，当 时， ， 如果小明某次打车行驶里程为 22 千米，则他的打车费用为 40 元；故选 ． 10．如图，在正方形 中， 、 是对角线 上的两个动点， 是正方形四边上的任意一点，且 ， ，设 ，在下列关于 是等腰三角形和对应 点个数的说法中， ①当 （即 、 两点重合）时， 点有 6 个； ②当 点有 8 个时， ； ③当 是等边三角形时， 点有 4 个； ④当 时， 点最多有 9 个． 其中结论正确的是 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B； 【解析】①如图，当 （即 、 两点重合）时， 点有 6 个；故正确； ②当 点有 8 个时，当 或 或 或 时， 点有 8 个．故错误； 8x y kx b= + (8,12) (11,18) 8 12 11 18 k b k b + =  + = 2 4 k b =  = − 2 4y x∴ = − 22x = 2 22 4 40y = × − = ∴ C ABCD M N AC P 4AB = 2MN = AM x= PMN∆ P 0x = M A P P 2 2 2x = − PMN∆ P 0 4 2 2x< < − P 0x = M A P P 0 3 1x< < − 3 1 4 2 4x− < < − 2 4 2 3 1x< < − − 4 2 3 1 4 2 2x− − < < − P5 ③如图，当 是等边三角形时， 点有 4 个；故正确； ④当 时， 点最多有 8 个．故错误．故选 ． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分） 11．不等式 的解集是__________． 【答案】 【解析】 ， ， ．故答案为： ． 12．方程 的根是__________． 【答案】 ． 【解析】去分母得： ，解得： 或 ，经检验 是增根，分式方程的解为 ，故答案为： 13．如果一次函数 是常数， 的图象经过点 ，那么 的值随 的增大而 __________．（填“减小”或“增大” 【答案】增大. PMN∆ P 0 4 2 2x< < − P B 3 1 0x − > 1 3x > 3 1 0x − > 3 1x > 1 3x > 1 3x > 21 1 1 x x x =+ + 1x = 2 1x = 1x = 1x = − 1x = − 1x = 1x = 2(y kx k= − 0)k ≠ (2,0) y x )6 【解析】将点 代入 ， ， 的值随 的增大而增大；故答案为增大； 14．在三角形 中， ， ， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点， 是重 心，则 __________． 【答案】 【解析】 在三角形 中， ， ， ， ， 是 的中点， ． ， ， 分别是 ， ， 的中点， 是重心， ．故答案为 ． 15．在 中， 是 边上的高， ， ．正方形 的顶点 、 分别在 、 上， 、 在 上．那么正方形 的边长是__________． 【答案】4.8． 【解析】 四边形 是正方形， ， ，又 ， ， ， ，设 ，则 ， ，解得： ， ． 这个正方形的边长为 4.8．故答案为：4.8． 16．如图，在平面直角坐标系中，点 在第二象限，点 在 轴的负半轴上， 的外接圆与 轴交于点 ， ， ，则点 的坐标为__________． (2,0) 2y kx= − 1k∴ = y∴ x ABC 90C∠ = ° 8AC = 6BC = D E F AB BC CA G GD = 5 3  ABC 90C∠ = ° 8AC = 6BC = 2 2 10AB AC BC∴ = + = D AB 1 52CD AB∴ = = D E F AB BC CA G 1 5 3 3GD CD∴ = = 5 3 ABC∆ AD BC 12BC = 8AD = EFGH E F AB AC H G BC EFGH  EFGH / /EF BC∴ AEF ABC∴∆ ∆∽ AD BC⊥ AD BC∴ ⊥ EF HG EH= = ∴ AK EF AD BC = EH x= 8AK x= − ∴ 8 8 12 x x− = 4.8x = 4.8EH∴ = ∴ A B x AOB∆ y (0, 2)C 45AOB∠ = ° 60BAO∠ = ° A7 【答案】 ， ． 【解析】如图，连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 在第二象限， 点 ， ， 故答案为： ， . 17．如图，定长弦 在以 为直径的 上滑动（点 、 与点 、 不重合）， 是 的中点，过 点 作 于点 ，若 ， ， ，则 的最大值是__________． 【答案】4． 【解析】方法一、延长 交 于 ，连接 ， 2 6( 2 +− 2 6 )2 + BC B BE AO⊥ E A AF BO⊥ F (0, 2)C 2CO∴ = 60BAO BCO∠ = ∠ = ° 90BOC∠ = ° 3 6BO CO∴ = = BE AO⊥ 45AOB∠ = ° 3 2 BOBE EO∴ = = = BE AO⊥ 60BAO∠ = ° 1 3 BEAE∴ = = 2AB = 1 3AO AE EO∴ = + = + AF FO⊥ 45AOB∠ = ° 2 6 22 AOAF FO +∴ = = =  A ∴ 2 6( 2A +− 2 6 )2 + 2 6( 2 +− 2 6 )2 + CD AB O C D A B M CD C CP AB⊥ P 3CD = 8AB = PM l= l CP O K DK8 则 ，当 过 时， 最大值为 8， ， 方法二、连接 ， ， ， ， ， ， ，四点共圆，且 为直径 为圆心）， 连接 ，则 为 的一条弦，当 为直径时 最大，所以 时 最大．即 ， 故答案为：4． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 18．计算：（1） ；（2） ． 【解析】（1）原式 ； （2）原式 ． 19．已知 . 求证： ． 【解析】证明：把②代入①，得 ， ， ， 1 2PM DK= DK O DK 1 42PM DK= = CO MO 90CPO CMO∠ = ∠ = ° C∴ M O P CO (E PM PM E PM PM 4PM CO= = PM 4maxPM = 1 0 31( ) ( 3.14) 82 π− + − + − 2 2 60 2cos45 2 60 cos60 tan sin ° + ° ° − ° 2 1 2 1= + − = 2 2 2( 3) 2 3 22 3 23 13 12 ( ) 2 22 2 + × += = = + −× − ( ) 2 2 2 2 1( 0) 0, 0 x y a ba b x my n m n  + = > > ……  = + ≠ ≠ …… ① ② 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0a b m y mnb y n a b+ + + − = 2 2 2 2 ( ) 1my n y a b + + = 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 )b m y mny n a y a b∴ + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 0m b y mnb y n b a y a b∴ + + + − =9 ． 20．如图，已知 中， ， . （1）利用直尺和圆规作线段 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 （保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，求 ． 【解析】（1）如图， 为所作； （2） 垂直平分 ， ， ， 在 中， ， ， ． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 21．在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点 与点 ，抛物线 ，经过原点 ，顶点是 ，且与 轴交于另一点 （1）求反比例函数的解析式与 的值； （2）求抛物线的解析式与 的值． 【解析】（1）将 代入 得： ， 反比例函数的关系式为： ， 把 代入得： ， ， 因此反比例函数的关系式为： ， ． （2） 抛物线 过原点 ，顶点是 ， 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0a b m y mnb y n a b∴ + + + − = ABC∆ 5AB BC= = 3tan 4ABC∠ = BC AB D BC E BD DE DE BC 1 5 2 2DE CE BC∴ = = = DE BC⊥ Rt BDE∆ 3tan 4 DEB BE = = 3 5 15 4 2 8DE∴ = × = 2 25 15 25( ) ( )2 8 8BD∴ = + = xOy ( 0)ky kx = ≠ 8( 5, )5A − ( 2, )B m− 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ O ( 2, )B m− x ( ,0)C n m n 8( 5, )5A − ky x = 8k = − ∴ 8y x −= ( 2, )B m− 8 42m −= =− 4m∴ = 8y x −= 4m =  2y ax bx c= + + (0,0)O ( 2,4)B −10 解得： ， 抛物线为： ； 当 时，即 ，解得： ， ， ，即 ． 因此抛物线的解析式为 ； ． 22．如图，圆 的半径为 1，六边形 是圆 的内接正六边形，从 ， ， ， ， ， 六点中 任意取两点，并连接成线段． （1）求线段长为 2 的概率； （2）求线段长为 的概率． 【解析】（1）连接 ，过点 作 于点 ，如图 1 所示： 圆 的半径为 1，六边形 是圆 的内接正六边形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴ 2 0 22 4 44 c b a ac b a   = − = −   − = 1 4 0 a b c = −  = −  = ∴ 2 4y x x= − − 0y = 2 4 0x x− − = 1 0x = 2 4x = − ( 4,0)C∴ − 4n = − 2 4y x x= − − 4n = − O ABCDEF O A B C D E F 3 AE F FN AE⊥ N  O ABCDEF O 360 606AOB °∴∠ = = ° 1OA OB= = 120AFE∠ = ° 2AD = AOB∴∆ 1OA AB BC CD DE EF AE∴ = = = = = = =11 ， ， 同理： ， 画树状图如图 2 所示： 共有 30 个等可能的结果，线段长为 2 的结果有 6 个， 线段长为 2 的概率为 ； （2）由树状图可知，共有 30 个等可能的结果，线段长为 的结果有 12 个， 线段长为 的概率为 ． 23．某商店订购了 ， 两种商品， 商品 28 元 千克， 商品 24 元 千克，若 商品的数量比 商品的 2 倍少 20 千克，购进两种商品共用了 2560 元，求两种商品各多少千克？ 【解析】设该商店购进 商品 千克，购进 商品 千克， 依题意，得： ，解得： ． 答：该商店购进 商品 40 千克，购进 商品 60 千克． 五、解答题（三）（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 24．如图，四边形 内接于 ， ， 的延长线交于点 ， 是 延长线上一点， ． （1）求证： 是等边三角形； （2）判断 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论． 【解析】（1） ， ， 四边形 内接于 ， ， 30FAE∴∠ = ° 3 2AN∴ = 3AE∴ = 3AC = ∴ 6 1 30 5 = 3 ∴ 3 12 2 30 5 = A B A / B / B A A x B y 2 20 28 24 2560 x y x y − =  + = 40 60 x y =  = A B ABCD O AD BC E F BD 1 602CDE CDF∠ = ∠ = ° ABC∆ DA DC DB 1 602CDE CDF∠ = ∠ = ° 60CDE EDF∴∠ = ∠ = °  ABCD O 60CDE ABC∴∠ = ∠ = °12 由圆周角定理得， ， 是等边三角形； （2） ， 理由如下：在 上截取 ， ， 为等边三角形， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ． 25．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ，点 两点，与 轴交于点 （1）求抛物线的解析式： （2）若点 是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点 的横坐标为 ，连接 、 、 ． ①求 的面积 关于 的函数关系式． ②求 的面积的最大值，并求出此时点 的坐标． 【解析】（1） 抛物线 与 轴交于 ，点 两点， ，解得： ， 60ACB ADB EDF∠ = ∠ = ∠ = ° ABC∴∆ DA DC DB+ = BD PD AD= 60ADP∠ = ° APD∴∆ AD AP∴ = 60APD∠ = ° 120APB∴∠ = ° APB∆ ADC∆ APB ADC ABP ACD AP AD ∠ = ∠ ∠ = ∠  = ( )APB ADC AAS∴∆ ≅ ∆ BP CD∴ = DB BP PD DA DC∴ = + = + xOy 2y x bx c= − + + x ( 3,0)A − (1,0)B y C P P t PA PC AC ACP∆ S t ACP∆ P  2y x bx c= − + + x ( 3,0)A − (1,0)B ∴ 9 3 0 1 0 b c b c − − + = − + + = 2 3 b c = −  =13 抛物线的解析式为 ． （2）①设直线 的解析式为 ， ，解得： ， 直线 的解析式为 ， 过点 作 轴交直线 于点 ， 设 ， ， ， ． ② ， 时， 的面积最大，最大值是 ， 此时 点坐标为 ， ． ∴ 2 2 3y x x= − − + AC y kx b= + ∴ 3 0 3 k b b − + =  = 1 3 k b =  = ∴ AC 3y x= + P / /PQ y AC Q 2( , 2 3)P t t t− − + ( , 3)Q t t + 2 22 3 3 3PQ t t t t t∴ = − − + − − = − − 21 1 3 ( 3 )2 2PQC PQAS S S PQ OA t t∆ ∆∴ = + = = × × − − 23 9 2 2t t= − − 23 3 27( )2 2 8S t= − + + 3 2t∴ = − ACP∆ 27 8 P 3( 2 − 15)4