备战2020中考数学全真模拟卷15（含解析）

备战 2020 中考全真模拟卷 15 数 学 （考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号 填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5．考试范围：广东中考全部内容。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的） 1．已知 ， 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是 　　 A． B． C． D． 【答案】A. 【解析】根据数轴，得 ． 、正确； 、两个数相乘，同号得正，错误； 、较小的数减去较大 的数，差是负数，错误； 、同号的两个数相加，取原来的符号，错误．故选 ． 2．下列计算正确的是 　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 、应为 ，故本选项错误； 、应为 ，故本选项错误； 、应为 ，故本选项错误； 、 ，正确．故选 ． 3．下列因式分解中，完全正确的是 　　 a b ( ) a b> 0ab < 0b a− > 0a b+ > 0b a< < A B C D A ( ) 2 3 6b b b= 2 3 6( )a a− = 2 2( )ab ab= 6 3 3( ) ( )a a a− ÷ − = − A 2 3 5b b b= B 2 3 6( )a a− = − C 2 2 2( )ab a b= D 6 3 6 3 3( ) ( ) ( )a a a a−− ÷ − = − = − D ( )A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】 、应为 ，故本选项错误； 、 ， 正确； 、应为 ，故本选项错误； 、应为 ，故本选项错 误．故选 ． 4．初三 一班五个劳动竞赛小组一天植树的棵数是：10，10，12， ，8，如果这组数据的众数与平均数相 等，那么这组数据的中位数是 　　 A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】B. 【解析】当众数是 10 时， 众数与平均数相等， ，解得 ． 这组数据为：8，10，10，10，12， 中位数为 10； 当众数是 12 时， 众数与平均数相等， ，此题解出 ，故不可能； 当众数是 8 时， 众数与平均数相等， ，此题解出 ，故不可能． 所以这组数据中的中位数是 10．故选 ． 5．已知二次函数 的图象与一次函数 的图象有两个交点，则 的取值范围是 　　 A． B． C． D． 【答案】A. 【解析】联立方程组 ，① ②得 ，当△ 时，方程有两个不相等的解，函数图 象就有两个交点，即： ，解得： ．故选 ． 6．下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 　　 A． B． C． D． 3 2( 1)x x x x− = − 4 24 ( 2)( 2)( 2)x x x x− = + + − 2 2 24 4 ( 4 )x xy y x y+ + = + 2 2 2( )x y x y− = − A 3 2( 1) ( 1)( 1)x x x x x x x− = − = + − B 4 24 ( 2)( 2)( 2)x x x x− = + + − C 2 2 24 4 ( 2 )x xy y x y+ + = + D 2 2 ( )( )x y x y x y− = + − B  x ( )  ∴ 1 (10 10 12 8) 105 x+ + + + = 10x = ∴  ∴ 1 (10 10 12 8) 125 x+ + + + = 20x =  ∴ 1 (10 10 12 8) 85 x+ + + + = 0x = B 2y x m= − 2y x= m ( ) 1m > − 2m < − 0m 0m < 2 2 y x m y x  = −  = − 2 2 0x x m− − = 0> 2( 2) 4 1 ( ) 0m− − × × − > 1m > − A ( )【答案】D. 【解析】 、 此图形旋转 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形， 故此选项错误； 、 此图形旋转 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； 、此图形旋转 后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； 、 此图形旋转 后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确． 故选 ． 7．下列图形中，一定能够能得出结论 的是 　　 A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】 ，不能， ； ，不能， 是三角形的一外角， ； ，不能， ， 所对的弧不同，无法比较； ，正确，由图知，两圆半径相等，是等圆， 点 ，点 与两圆的一个交点组成的三角形是等边三角形， ， ． 故选 ． 8．下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是 　　 A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】选项 、 、 中折叠后有一行两个面无法折起来，而且缺少一个底面，不能折成正方体． 故选 ． 9．已知点 、点 ， 、点 ，以 ， ， 三点为顶点画平行四边形．则第四个顶点不可 能在 　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A  180° ∴ B  180° ∴ C 180° D  180° ∴ D 2 2 1∠ = ∠ ( ) A 1 2 180∠ + ∠ = ° B 2∠ 2 1∠ > ∠ C 1∠ 2∠ D ∴ 1O 2O 2 60∠ = ° 1 90 60 30∠ = ° − ° = ° D ( ) A B D C (2,0)A 1( 2B − 0) (0,1)C A B C ( )【答案】C. 【解析】根据平行四边形的边的性质知，对边相等．可以知道另一个顶点的坐标可以为： ， 或 ， 或 ， ． 不在第三象限．故选 ． 10．如图， 中， 为 的中点，已知 的面积为 1，则 的面积为 　　 A．18 B．15 C．12 D．9 【答案】C. 【解析】过 作 于点 ， ， ， ，设 ， ，则 ， 边上的高是 ． 根据 的面积是 1 得到： ， ， ．故选 ． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分） 11．随着中国综合国力的提升，近年来全球学习汉语的人数不断增加．据报道，2005 年海外学习汉语的学 生人数已达 38 200 000 人，用科学记数法表示为__________人． 【答案】 . 【解析】根据题意 38 200 000= ． 12．化简： __________． 【答案】 . 【解析】原式 ．故答案为 ． 13 ． 如 果 两 圆 的 半 径 分 别 是 方 程 的 两 根 ， 圆 心 距 为 ， 则 这 两 圆 的 位 置 关 系 为 __________． 【答案】外离. 1(12 1)− 1(2 2 1) 1( 2 2 − 1) ∴ C ABCD E AD DEF∆ ABCD ( ) B BM AD⊥ M / /AD BC EDF CBF∴∆ ∆∽ : : 1: 2DE BC EF FC= = AD m= BM n= 1 2DE m= DE 1 3 n DEF∆ 1 1 1 12 2 3m n× × = 12mn∴ = 12ABCDS mn= =  C 73.82 10× 73.82 10× 2 2 1 4 2 a a a + =− − 1 2a + 2 2 1 ( 2)( 2) 2 a a a a a − −= =+ − + 1 2a + 2 8 7 0x x− + = 9cm【解析】解方程 ，得 ， ．根据题意，得 ， ， ， ， ． 两圆外离． 14．圆锥底面周长为 米，母线长为 4 米，则它的侧面展开图的面积为__________平方米．（结果保留 【答案】 . 【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的面积 ． 15．如图， 将边长为 的正方形 沿其对角线 剪开， 再把 沿着 平移得到△ ，设 两三角形重叠部分的面积为 ，则 的最大值为__________ ． 【答案】1. 【解析】 沿着 平移得到△ ， 除去阴影部分的四个三角形仍能组成两个正方形， 设 ，则 ，阴影面积 ， 当 ，面积取到最大值， ，故最大面积为 1 ． 16．如图，在扇形 中， ， ，将扇形 沿着过点 的直线折叠，点 恰好落 在弧 的点 处，折痕交 于点 ，则弧 的长为__________（结果保留 ． 【答案】 ． 【解析】连结 ， 是由 翻折得到， ， ， ， ， ， 2 8 7 0x x− + = 1 7x = 2 1x = 7R = 1r = 9d = 8R r∴ + = 8d R r> + = ∴ 2π )π 4π 21 2 4 42 mπ π= × × = 2cm ABCD AC ABC∆ BC A B C′ ′ ′ S S 2cm ABC∆ BC A B C′ ′ ′ ∴ B C x′ = 2CC x′ = − 2(2 ) ( 1) 1S x x x= − = − − + 1x = 1S = OAB 100 30AOB∠ = ° ′ 20OA = OAB B O AB D OA C AD )π 9 2 π OD BCD∆ BCO∆ CBD CBO∴∠ = ∠ BOD BDO∠ = ∠ OD OB= ODB OBD∴∠ = ∠ 2ODB DBC∴∠ = ∠， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 弧 的长 ． 故答案为： ． 17．如图， 为矩形 的中心， 为 边上任一点， 且与 边交于点 ．若 ， ，设 ， ，则 与 的函数关系式为__________． 【答案】 . 【解析】如图，作 于 ， 于 ， 为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为中心， ， ，即 . 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 18．解方程： ． 【答案】 . 【解析】方程两边同时乘以 ，得 ， ， ． 经检验： 是原方程的解． 90ODB DBC∠ + ∠ = ° 60ODB∴∠ = ° OD OB= ODB∴∆ 60DOB∴∠ = ° 100.5AOB∠ = ° 40.5AOD AOB DOB∴∠ = ∠ − ∠ = ° ∴ AD 40.5 20 9 180 2 π π= =  9 2 π O ABCD M BC ON OM⊥ CD N 6AB = 4AD = OM x= ON y= y x 2 3y x= OF BC⊥ F OE CD⊥ E ABCD 90C∴∠ = ° OF BC⊥ OE CD⊥ 90EOF∴∠ = ° 90EON FON∴∠ + ∠ = ° ON OM⊥ EON FOM∴∠ = ∠ OEN OFM∴∆ ∆∽ ∴ OE ON OF OM = O ∴ 6 3 4 2 OF AB OE AD = = = ∴ 3 2 OM ON = 2 3y x= 2 3 11 1 x x x − =+ − 2x = − ( 1)( 1)x x+ − ( 1) 3 ( 1)( 1)x x x x− − = − + 2 23 1x x x− − = − 2x = − 2x = −19．如图，在 中， 是 边的中点， 、 分别是 及其延长线上的点， ． （1）求证： ； （2）请连接 ， ，试判断四边形 是何种特殊四边形，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）平行四边形． 【解析】（1）证明： ， ． 是 的中点， ． ， ． （2）解：四边形 是平行四边形． 理由： ， ， ． 四边形 是平行四边形． 20．有 ， 两个黑布袋， 布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字 1 和 2． 布袋中有三个完全 相同的小球，分别标有数字 ， 和 2．小明从 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为 ，再 从 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为 ，这样就确定点 的一个坐标为 ． （1）用列表或画树状图的方法写出点 的所有可能坐标； （2）求点 落在直线 上的概率． 【答案】（1）图见解析， ； ； ； ； ； ；（2） ． 【解析】（1）树状图如下： 点的所有可能是 ； ； ； ； ； ． （2） 只有 ， 在直线 上， 点 落在直线 上的概率为： ． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 21．如图， 切 于点 ， 交 于 点，过 作 交 于 ，且 ． ABC∆ D BC F E AD / /CF BE BDE CDF∆ ≅ ∆ BF CE BECF / /CF BE FCD EBD∴∠ = ∠ D BC CD BD∴ = FDC EDB∠ = ∠ ( )CDF BDE ASA∴∆ ≅ ∆ BECF CDF BDE∆ ≅ ∆ DF DE∴ = DC DB= ∴ BECF A B A B 1− 2− A x B y Q ( , )x y Q Q 3y x= − (1, 1)Q − (1,2)Q (1, 2)Q − (2, 1)Q − (2,2)Q (2, 2)Q − 1 3 Q∴ (1, 1)Q − (1,2)Q (1, 2)Q − (2, 1)Q − (2,2)Q (2, 2)Q −  (1, 2)Q − (2, 1)Q − 3y x= − ∴ Q 3y x= − 2 1 6 3 = AB O B OA O C C DC OA⊥ AB D : 1: 2BD AD =（1）求 的正切值； （2）若 ，求 及 的长． 【答案】（1） ；（2） ， 【解析】（1）（方法一） ， 为半径且点 在 外端， 为 的切线； 为 的切线， ； 在 中， ， ， ； ， ． （方法二） ， 为半径且点 在 外端． 为 的切线； 为 的切线， ； ， ； 设 ， ； ； ． （2）连接 ； 是 的切线， ． 在 中， ， ； ， ； 的长 ． 22．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 ，在小楼的顶端 处测得障碍物边缘点 的俯角为 ，测得大楼顶端 的仰角为 （点 ， ， 在同一水平直线上）．已知 ， ，求障碍物 ， 两点间的距离．（结果保留根号） A∠ 1OC = AB BC 3tan 3A = 3AB = BC 3 π= DC OA⊥ OC C O DC∴ O AB O DC DB∴ = Rt ACD∆ sin DCA AD = : 1: 2BD AD = 1sin 2A∴ = 30A∴∠ = ° 3tan 3A∴ = DC OA⊥ OC C O DC∴ O AB O DC DB∴ = : 1: 2BD AD = : 1: 2CD AD∴ = ∴ CD k= 2AD k= 3AC k∴ = 3tan 3 DCA AC ∴ = = OB AB O OB AB∴ ⊥ Rt AOB∆ tan OBA AB = 1OB = 3AB∴ = 30A∠ = ° 60O∴∠ = ° ∴ BC 3 π= DE D C 30° A 45° B C E 80AB m= 10DE m= B C【答案】 ． 【解析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ． 则 ， 在 中， ， ， ． 在 中， ， ， ， ． 答：障碍物 ， 两点间的距离为 ． 23．云南省公路建设发展速度越来越快，通车总里程已位居全国第一，公路的建设促进了广大城乡客运的 发展．某市扩建了市县级公路，某运输公司根据实际需要计划购买大，中型客车共 10 辆，大型客车每辆价 格为 25 万元，中型客车每辆价格为 15 万元． （1）设购买大型客车 （辆 ，购车总费用为 （万元），求 与 之间的关系式； （2）若购车资金为 180 万元至 200 万元（含 180 万元和 200 万元），那么有几种购车方案在确保交通安全 的前提下，根据客流量调查，大型客车不能少于 4 辆，此时如何确定购车方案可使该运输公司购车费用最 少？ 【答案】（1） ；（2）大型客车 4 辆，中型客车 6 辆可满足要求，且购车费用最少． 【解析】（1）由题意得 ，即 ． (70 10 3)m− D DF AB⊥ F C CH DF⊥ H 10DE BF CH m= = = Rt ADF∆ 70AF AB BF m= − = 45ADF∠ = ° 70DF AF m∴ = = Rt CDE∆ 10DE m= 30DCE∠ = ° 10 10 3( )tan30 3 3 DECE m∴ = = =° (70 10 3)BC BE CE m∴ = − = − B C (70 10 3)m− x ) y y x 10 150y x= + 25 15(10 )y x x= + − 10 150y x= +（2）由题意得 ，解得 ， 因为 是正整数，故 可取 3，4，5 三个值，所以有三种购车方案： ①购大型客车 3 辆，中型客车 （辆 ； ②购大型客车 4 辆，中型客车 （辆 ； ③购大型客车 5 辆，中型客车 （辆 ． 又大型客车不少于 4 辆，故可得 或 ． 当 时， （万元）； 当 时， （万元）． 因为 ，所以购大型客车 4 辆，中型客车 6 辆可满足要求，且购车费用最少． 五、解答题（三）（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 24．如图，四边形 为直角梯形， ， ， ．点 从 出发以每秒 2 个单位长度的速 度向 运动；点 从 同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度向 运动．其中一个动点到达终点时，另一 个动点也随之停止运动．过点 作 垂直 轴于点 ，连接 交 于 ，连接 ． （1）点__________（填 或 能到达终点； （2）求 的面积 与运动时间 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围，当 为何值时， 的值最 大； （3）是否存在点 ，使得 为直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） ；（2） ，当 时， 的值最大；（3）点 的坐标为 或 . 【解析】（1）点 从 O 运动到 A 点的时间是： ； 点 N 从 B 点运动到 C 点的时间是： ， 并且其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动， ∴点 能到达终点． 10 150 180 10 150 200 x x +  +   3 5x  x x 10 3 7− = ) 10 4 6− = ) 10 5 5− = ) 4x = 5x = 4x = 25 4 15 (10 4) 190y = × + × − = 5x = 25 5 15 (10 5) 200y = × + × − = 190 200< OABC (4,0)A (3,4)B (0,4)C M O A N B C N NP x P AC NP Q MQ M )N AQM∆ S t t t S M AQM∆ M M 21 9( )2 4S t= − − + 1 2t = S M (1,0) (2,0) M 4 22 2 OA = = 3 31 1 BC = = M（2）经过 秒时， ， ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 当 时， 的值最大． （3）存在． 设经过 秒时， ， ， 则 ， ， ， ①若 ，则 是等腰 底边 上的高， 是底边 的中线， ， ， ， 点 的坐标为 ， ②若 ，此时 与 重合， ， ， ， 点 的坐标为 ． 25．如图，抛物线 与 轴分别相交于点 、 ，它的顶点为 ，连接 ，把 所在的直线沿 轴向上平移，使它经过原点 ，得到直线 ，设 是直线 上有一动点． （1）求点 的坐标； （2）以点 、 、 、 为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四 边形的顶点 的坐标； （3）设以点 、 、 、 为顶点的四边形的面积为 ，点 的横坐标为 ，当 时， t NB t= 2OM t= 3CN t= − 4 2AM t= − (4,0)A (0,4)C 4AO CO∴ = = 90AOC∠ = ° 45BCA MAQ∴∠ = ∠ = ° 3QN CN t∴ = = − 1PQ t∴ = + 21 1 (4 2 )(1 ) 22 2AMQS AM PQ t t t t∆∴ = = − + = − + + 2 2 21 1 1 92 2 ( )4 4 2 4S t t t t t∴ = − + + = − + − + + = − − + 0 2t   ∴ 1 2t = S t NB t= 2OM t= 3CN t= − 4 2AM t= − 45BCA MAQ∴∠ = ∠ = ° 90AQM∠ = ° PQ Rt MQA∆ MA PQ∴ MA 1 2PQ AP MA∴ = = 11 (4 2 )2t t∴ + = − 1 2t∴ = ∴ M (1,0) 90QMA∠ = ° QM QP QM QP MA∴ = = 1 4 2t t∴ + = − 1t∴ = ∴ M (2,0) 2 4y x x= + x B O A AB AB y O l P l A A B O P P A B O P S P x 4 6 2 6 8 2S+ + 求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2）菱形时 ，等腰梯形时 ，直角梯形时 ， ，直角梯 形时 ， ；（3） 或 ． 【解析】（1） ， ． （2）由已知条件可求得 所在直线的函数关系式是 ， 所以直线 对应的函数关系式为 ． 当四边形 是菱形时， 点横坐标与 点横坐标相同，纵坐标与 点坐标互为相反数，四边形 为菱形时， ； 四边形 为等腰梯形时，设 横坐标为 ，将 代入 ，得 ． 又 ， ， x ( 2, 4)A − − 1( 2,4)P − 2 ( , 2 )P a a− 3 4( 5P − 8)5 4 6(5P 12)5 − 1 4 2 2 3 2 2 2x − −   3 2 2 4 2 1 2 2x − −   2 24 ( 2) 4y x x x= + = + − ( 2, 4)A∴ − − AB 2 8y x= − − l 2y x= − ABOP P A A 1ABPO 1( 2,4)P − 2ABOP 2P a x a= 2y x= − 2 ( , 2 )P a a− 2 22 4 2 5AO = + = 2 2 2 ( 4 ) (0 2 )P B a a∴ = − − + +， 整理得， ， 解得， （舍去）， ，故 ， ； 为直角梯形时， 与 垂直，则直线 的解析式为 ， 把 代入解析式得， ，解得 ． 直线 的解析式为 ， 故得 ，解得 ， 四边形 为直角梯形时， ， ； 同理，当 垂直于 时，四边形 为直角梯形， ， ． （3）设点 坐标为 ． ①当点 在第二象限时， ， 的面积 ． 的面积 ， ． ， ， 即 ， ， 的取值范围是 ． ②当点 在第四象限时， ，过点 、 分别作 轴的垂线，垂足为 、 ．则四边形 的面积 ． △ 的面积 ， ． ∴ 2 2( 4 ) (0 2 ) 2 5a a− − + + = 25 8 4 0a a+ − = 2a = − 2 5a = 2 2(5P 4)5 − ABOP 3BP AB BP 1 2y x b= + ( 4,0)B − 1 ( 4) 02 b× − + = 2b = BP 1 22y x= + 1 22 2 y x y x  = +  = − 4 5 8 5 x y  = −  = 3ABPO 3 4( 5P − 8)5 4AP AB 4ABOP 4 6(5P 12)5 − P ( , 2 )x x− P 0x < POB∆ 1 4 ( 2 ) 42POBS x x∆ = × × − = − AOB∆ 1 4 4 82AOBS∆ = × × = 4 8( 0)AOB POBS S S x x∆ ∆∴ = + = − + < 4 6 2 6 8 2S+ +   ∴ 4 6 2 6 8 2 S S  + +   4 8 4 6 2 4 8 6 8 2 x x − + + − + +   ∴ 2 3 2 2 1 4 2 2 x x  −  −    x∴ 1 4 2 2 3 2 2 2x − −   P 0x > A P x A′ P′ POA A′ ( ) ( )4 2 12 2 4 42 2POA A PP OPP A A xS S S x x x x′ ′′ ′ += − = ⋅ + − ⋅ ⋅ = + 梯形  AA B′ 1 4 2 42AA BS ′ = × × =  4 8( 0)POA A AA BS S S x x′ ′∴ = + = + > ， ，即 ， ， 的取值范围是 ． 综上所述， 的取值范围为： 或 ． 4 6 2 6 8 2S+ +   ∴ 4 6 2 6 8 2 S S  + +   4 8 4 6 2 4 8 6 8 2 x x  + + + +   ∴ 3 2 2 2 4 2 1 2 x x  −  −    x∴ 3 2 2 4 2 1 2 2x − −   x 1 4 2 2 3 2 2 2x − −   3 2 2 4 2 1 2 2x − −  