会泽县 2019 年秋季学期高一年级学生学业水平检测
数学试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，集合 ，则 .故选
B.
2.指数函数 的图像经过点（3,27），则 a 的值是（ ）
A. 3 B. 9 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把点代入指数函数的解析式可求得 .
【详解】把点 代入指数函数的解析式，则有 ，故 ，选 A.
【点睛】指数函数的一般形式是 ，注意 前面的系数为 1 且 .它与
幂函数 容易混淆，前者底数是常数，后者底数是自变量.
3.下列函数中，既是偶函数，又在 单调递增的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
{ 1,0,1,2}A = − { | 2 3, }B y y x x A= = − ∈ A B =
{ 1,0,1}− { 1,1}− { 1,1,2}− {0,1,2}
{ }1,0,1,2A = − { } { }| 2 3, 5, 3, 1,1B y y x x A= = − ∈ = − − − { }1,1A B∩ = −
xy a=
1
3
1
9
3a =
( )3,27 3 27a = 3a =
( )0, 1xy a a a= > ≠ xa x∈R
ay x=
(0, )+∞
1
2y x= 2xy = − 1y x
=
lg | |y x=根据偶函数的义域必须关于原点对称，以及满足 f(x)=f(-x),可依次判断选项中是否满足这两个
条件，即可得到结果.
【 详 解 】 A. 定 义 域 为 ， 故 不 满 足 偶 函 数 的 定 义 ； B.
,故不是偶函数；C. = ，定义域是 x 不为 0，关于原
点对称，是偶函数，但是在 单调递减,故不正确；D = ，定义域是 x 不
等于 0，且关于原点对称，满足偶函数的定义域，在 上单调递增.满足题意.
故答案为 D.
【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调
性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问
题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不
等式的解集.
4.已知 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根 据 题 意 ， 用 x=2018 代 入 函 数 表 达 式 ， 得 f （ 2018 ） =20183a+2018b+2=k ， 从 而
20183a+2018b=k﹣2，再求 f（﹣2018）=﹣（20183a+2018b）+2=﹣k+2+2=﹣k+4，可得要求的
结果．
【详解】根据题意，得 f（2018）=20183a+2018b+2=k，
∴20183a+2018b=k﹣2，
∴f（﹣2018）=﹣（20183a+2018b）+2=﹣k+2+2=4﹣k．
∴故答案为：C
【点睛】本题主要考查函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
5.下列各组函数是同一函数的是（ ）
① 与 ；② 与 ；③ 与
1
2y x= [ )0 +，∞ ( ) 2xf x = −
( ) 2 xf x −≠ − = − ( ) 1f x x
= ( )1- =f xx
−
( )0,+∞ lgy x= lg x−
( )0,+∞
( ) ( )3 2 0 ,f x ax bx ab= + + ≠ ( )2018f k= ( )-2018f =
k k− 4-k 2-k
( ) 32f x x= − ( ) 2g x x x= − ( )f x x= ( ) 2g x x= ( ) 0f x x=；④ 与 ．
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④
【答案】C
【解析】
【分析】
① 与 定义域相同，但是对应法则不同；②f（x）＝|x|与）＝|x|
与 g（x）是同一函数；③f（x）＝x0 与 g（x）＝1 定义域不同；④f（x）＝x2﹣2x﹣1 与 g（t）＝
t2﹣2t﹣1．函数与用什么字母表示无关，只与定义域和对应法则有关．
【 详 解 】 解 ： ① 与 的 定 义 域 都 是 {x|x≤0} ； 而
x ，对应法则不相同，故这两个函数不是同一函数；
②f（x）＝x 与 |x|的定义域都是 R，这两个函数的定义域相同，对应法则不相
同，故这两个函数不是同一函数；
③ 与 的定义域是{x|x≠0}，这两个函数的定义域相同，对应法
则相同，故这两个函数是同一函数；
④f（x）＝x2﹣2x﹣1 与 g（t）＝t2﹣2t﹣1，这两个函数的定义域相同，对应法则相同，故这
两个函数是同一函数．
故选 C．
【点睛】判断两个函数是否为同一函数的关键是要看定义域和对应法则，只有两者完全一致
才能说明这两个函数是同一函数．属基础题．
6.已知 ， ， ，则 的大小关系为( )．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的性质求解．
【详解】显然 ， ， ， ，因此 最大， 最小，
( ) 0
1g x x
= ( ) 2 2 1f x x x= − − ( ) 2 2 1g t t t= − −
( ) 32f x x= − ( ) 2g x x x= −
( ) 32f x x= − ( ) 2g x x x= −
( ) 32f x x= − = − 2x−
( ) 2g x x= =
( ) 0 1f x x= = ( ) 0
1 1g x x
= =
1.22a = 0.82b = 52log 2c = , ,a b c
c b a< < c a b< < b a c< <
b c a< <
1.22a = 2> 0.82b = 1 2b< < 5log 4 1c = < a c故选 A.
【点睛】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对
数函数性质的合理运用．
7.方程 的解所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令函数 ，则函数 是 上的单调增函数，且是连续函数，根据
，可得函数 的零点所在的区间为 ，由此可得方程
的解所在区间．
【详解】令函数 ，则函数 是 上的单调增函数，且是连续函
数.
∵ ，
∴
∴故函数 的零点所在的区间为
∴方程 的解所在区间是
故选 C.
【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且
，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个
零点.
8.函数 f(x)＝ 的定义域为 （ ）
A. (0,2) B. [0,2] C. (0,2] D. [0,2)
【答案】D
【解析】
4log 7x x+ =
(1,2) (3,4) (5,6) (6,7)
4( ) log 7xf x x= + − ( )f x ( )0, ∞+
(5) (6) 0f f⋅ < 4( ) log 7xf x x= + − ( )5,6
4log 7x x+ =
4( ) log 7xf x x= + − ( )f x ( )0, ∞+
(5) 0f < (6) 0>f
(5) (6) 0f f⋅ <
4( ) log 7xf x x= + − ( )5,6
4log 7x x+ = ( )5,6
[ , ]a b
( ) ( ) 0f a f b⋅ <
lg(2 )x x−【分析】
根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到关于 的不等式组，解出即可．
【详解】由题意得： ，解得 ，故函数的定义域为 ．
故选 D.
【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．
9.已知 ，则 （ ）
A. 7 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论．
【详解】 ， ，
.
故选： .
【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是
解决本题的关键．
10.函数 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位的大致图像为( )
A. B.
x
0
2 0
x
x
≥
− > 0 2x≤ < [0,2)
( ) ( )
2 , 1
1 , 1
x xf x f x x
123, 7
−
2 23y x= − +
12
7x =【详解】由题意，函数 过点 ， ，∴ ，又因为 是偶函数，
关于 轴对称，所以 ，即 ，又作出函数在 上 图像，当
的时候， 的图像恒在 的上方，当 的时候，令 ，
，即当 的时候，满足 ，即 .
故答案为 .
【点睛】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解
能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
17.求下列函数 的解析式.
（1）已知 ，求 ；
（2）已知一次函数 满足 ，求 .
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】
试题分析：（1）设 ，则 ，求解 的表达式，即可求解函数的解析式；
（2）设 ，根据 ，
求得 的值，即可求解函数的解析式.
试题解析：（1）（换元法）设 ，则 ，
∴ ，
∴ .
（2）（待定系数法）∵ 是一次函数，∴设 ，则
，
的
( )f x ( )0,2 ( )3,0 2 23y x= − + ( )f x
y ( ) ( )f x f x= − ( )2 f x x> [ ]3,3−
[ )3,0x∈ − ( )2y f x= y x= [ ]0,3x∈ ( )2 f x x=
12
7x = 123, 7x ∈ −
( )2 f x x> ( ) ( )f x f x x+ − >
123, 7
−
( )f x
( ) 21 2 1f x x x− = − + ( )f x
( )f x ( )( ) 4 1f f x x= − ( )f x
( ) 22 3 2f x x x= − + ( ) 12 3f x x= − ( ) 2 1f x x= − +
1t x= − 1x t= − ( )f t
( ) ( )0f x ax b a= + ≠ ( )( ) ( ) ( ) 2f f x f ax b a ax b b a x ab b= + = + + = + +
,a b
1t x= − 1x t= −
( ) ( ) ( )2 22 1 1 1 2 3 2f t t t t t= − − − + = − +
( ) 22 3 2f x x x= − +
( )f x ( ) ( )0f x ax b a= + ≠
( )( ) ( ) ( ) 2f f x f ax b a ax b b a x ab b= + = + + = + +∵ ，∴ ，解得 或 .
∴ 或 .
考点：函数的解析式.
18.计算：
（1） ，
（2） .
【答案】（1）210；（2）
【解析】
【分析】
利用指数幂的运算性质和对数的运算性质即可求出结果.
【详解】（1）原式=2( × )6+ −4× − × +1
=2×22×33+2-7-2+1
=210．
（2）原式=2-2+ +log24
= +2
=
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式和对数的运算性质，考查计算能力.
19.已知函数 .
( )( ) 4 1f f x x= −
2 4{
1
a
ab b
=
+ = −
2
{ 1
3
a
b
=
= −
2
1
a
b
= −
=
( ) 12 3f x x= − ( ) 2 1f x x= − +
4 1
6 0.25 03 43 2162 ( 2 3) ( 2 2 ) 4 ( ) 2 8 ( 1024)49
−× × + − × − × + −
2.5 2 2
1log 6.25 lg ln( ) log (log 16)100 e e+ + +
7
2
1
32
1
23
43
34(2 )
7
4
1
42
3
42
3
2
3
2
7
2
( ) 2 -2xf x =（1）在给出的坐标系中作出 的图象；
（2）根据图象,写出 的增区间；
（3）试讨论方程 的根的情况.
【答案】（1）见解析（2）递增区间为（1， ，递减区间为（- （3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意画出图象即可；
（2）由图直接写出单调区间即可；
（3）由图象可得到 a 的取值范围．
【详解】（1）f（x）的图象为：（如图所示）
（2）由图可以看出单调递增区间为（1， ，单调递减区间为（-
（3）f（x）-a=0 的根的个数，只需要看 y＝f（x）的图象与直线 y＝a 的交点的个数，当 a＜0
时方程 f（x）-a=0 无根，当 a=0 或 a>2 时，方程有 1 个根，当 0
( )y f x= ( )f x− ( )f x− ( )f x
( ) 0f x > ( ) ( )log 1 2 log 1 2a ax x+ > − a 0 1a< < 1a >
logay x=
( ) ( ) ( )log 1 2 log 1 2a af x x x= + − −
1 2 0
1 2 0
x
x
+ >
− >
1 1
2 2x− < < ( )y f x= 1 1,2 2
−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )log 1 2 log 1 2 log 1 2 log 1 2a a a af x x x x x f x − = − − + = − + − − = −
( )y f x=
( ) ( )log 1 2 log 1 2 0a ax x+ − − > ( ) ( )log 1 2 log 1 2a ax x+ > −
1a >
1 1
2 2
1 2 1 2
x
x x
− < −
10 2x< <
( ) 0f x > 10, 2
0 1a< <
1 1
2 2
1 2 1 2
x
x x
− < ( ) 0f x > 10, 2
0 1a< < ( ) 0f x >
1 ,02
−
( )f x ( )1,1− 0 1x< < ( ) 4
4 2
x
xf x = +
( )f x ( )1,0-
( )f x ( )1,0-
1 3 5 2017
2018 2018 2018 2018f f f f + + + + L
( ) 1
1 2 4xf x
−= + ⋅
2 1
3 3, − −
1009
2
0x<
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