2019~2020 学年度第一学期期末考试高一数学
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的）
1.下列函数中与函数 相同的函数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可用相等函数 两个重要判断依据逐项判断
【详解】A 项定义域 ，定义域不同，A 错
B 项 ，对应关系不同，B 错
C 项 定义域 ，定义域不同，C 错
D 项 ，定义域和对应关系都相同，D 对
故选 D
【点睛】本题考查相等函数的判断方法，抓住两点：定义域相同，对应关系相同（化简之后
的表达式一致）
2.已知集合 A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则 A∩B＝（ ）
A. {﹣2，﹣1，0} B. {﹣1，0，1，2} C. {﹣1，0，1} D. {0，1，2}
【答案】D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式化简集合 ,再由集合的交集运算可得选项.
【详解】因为集合
，
故选：D.
的
2y x=
22xy x
= 22y x= 2( 2 )y x=
2log 4xy =
0x ≠
22 2y x x= =
2( 2 )y x= [ )0,x∈ +∞
2
2 2log 4 l 2 2ogx x xy = ==
B
{ 2, 1,0,1,2}, { | ( 5)( 1) 0} { | 1 5}A B x x x x x= − − = − + < = − < <
{ } { } { }2, 1,0,1,2 | 1 5 0,1,2A B x x∴ ∩ = − − ∩ − < < =【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.
3. ，若 ，则 的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先去绝对值，求出函数 分段函数，再根据函数的增减性解不等式即可
【详解】当 时， ，当 时， ，则 ，画出
函数图像，如图：
函数为增函数， ， ， ，故函数为奇函
数， ，
即 ，因为函数在 上单调递增，所以
故选 D
【点睛】本题考查根据函数的增减性和奇偶性解不等式，属于中档题
4.已知 ，则函数 的最小值是
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：根据配凑法结合基本不等式求解即可.
详解：由题可知：
( )f x x x= ( ) ( )2 1 1 0f m f m+ + − > m
( , 1)−∞ − ( , 2)−∞ − ( 1, )− +∞ ( 2, )− +∞
( )f x
0x ≥ ( ) 2f x x= 0x < ( ) 2f x x= − ( ) 2
2
0
0
x xf x
x x
≥= − − −+ + > ⇔ + − −=
( ) ( )2 1 1f m f m+ −> R 2 1 1 2m m m+ > − ⇒ > −
1x > 1
1y x x
= + −
2 3 4当 x=2 时取得最小值，故最小值为 3
故选 C.
点睛：考查基本不等式求最值的简单应用，属于基础题.
5.不等式 0 的解集（ ）
A. {x|x≤﹣1 或 x≥2} B. {x|x≤﹣1 或 x＞2} C. {x|﹣1≤x≤2} D. {x|﹣1≤x
＜2}
【答案】B
【解析】
【分析】
不等式 等价于 且 ，解之可得选项.
【详解】不等式 等价于 且 ，解得 或 ，
故选：B.
【点睛】本题考查分式不等式的解法，将分式不等式转化为一元二次不等式是分式不等式常
用的求解方法，但需注意分式中的分母不为零这个条件，属于基础题.
6.已知函数 为偶函数，且对于任意的 ，都有
,设 ， ， 则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断函数在 的单调性，然后根据偶函数化简 ，然后比较 2，
， 的大小，比较 的大小关系.
【详解】若 ，则函数在 是单调递增函数，
1 1 0,
1 11 1 31 1
x x
y x xx x
> ⇒ − >
= + = − + + ≥− −
1
2
x
x
+ ≥−
1 02
x
x
+ ≥− ( 1)( 2) 0x x+ − ≥ 2x ≠
1 02
x
x
+ ≥− ( 1)( 2) 0x x+ − ≥ 2x ≠ 1x ≤ − 2x >
( )f x ( )1 2, 0,x x ∈ +∞ 1 2
1 2
( ) ( )f x f x
x x
−
−
( )1 20 x x> ≠ (2)a f= 3(log 7)b f= 0.1( 2 )c f −= −
b a c< < c a b< < c b a< < a c b< <
( )0, ∞+ ( ) ( )0.1 0.12 2f f− −− =
3log 7 0.12− , ,a b c
( ) ( ) ( )1 2
1 2
1 2
0f x f x x xx x
− > ≠− ( )0, ∞+并且函数是偶函数满足 ，
即 ，
，
在 单调递增，
，
即 .
故选 C.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质
的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型.
7.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据一元二次不等式计算出集合 中表示元素范围,然后计算出 的范围,最后根据交集
的含义计算 的结果.
【详解】因为 ,所以 即 ,所以 ,
又因为 ,所以 .
故选 C.
【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.
8.已知函数 满足 ，则 的值是（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 4 或 10
【答案】C
( ) ( )f x f x− =
( ) ( )0.1 0.12 2f f− −− =
0.10 2 1−< < 31 log 7 2< <
( )f x ( )0, ∞+
( ) ( ) ( )0.1
32 log 7 2f f f−∴ < <
c b a< <
{ }2 6 0A x x x= − − < { }1 0B x x= − > ( )R A B =
( )1,3 ( ]1,3
[ )3,+∞ ( )3,+∞
A AR
( )R A B∩
2 6 0x x− − < ( )2,3x∈ − ( )2,3A = − ( ] [ ), 2 3,R A = −∞ − ∪ +∞
( )1,B = +∞ ( ) [ )3,R A B = +∞
32 1, 3,
( ) 2 1, 3,3
x x
f x x xx
− + ≤= + > −
( ) 3f a = a【解析】
【分析】
分情况 和 解出 值,并注意判断是否满足分段的标准即可.
【详解】当 时,令 ,不满足 ；
当 时,令 ,满足 .所以 .
故选 C.
【点睛】分段函数求等式时,需要注意分情况讨论,解出的值要检验是否满足定义域.
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
9.已知函数 是 R 上的奇函数，且当 时， ，则当 时，
______．
【答案】
【解析】
【分析】
根 据 是 奇 函 数 ， 并 且 x ＜ 0 时 ， ， 可 设 x ＞ 0 ， 从 而 得 出
，从而得出 x＞0 时 f（x）的解析式．
【详解】∵y=f（x）是 R 上的奇函数,且 x＜0 时, ，
∴设 x＞0， ,则： ，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】考查奇函数的定义，考查了求奇函数在对称区间上的函数解析式的方法．
10.已知 f（x）是 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f（x）＝x2﹣5x，则 f（x﹣1）＞f（x）的解集为
_____．
【答案】
【解析】
【分析】
的3x ≤ 3x > a
3a ≤ 32 1 3 4a a− + = ⇒ = 3a ≤
3a > 2 1 3 2 1 3 9 103
a a a aa
+ = ⇒ + = − ⇒ =− 3a > 10a =
( )y f x= 0x < ( ) 1f x x= − − − 0x >
( )f x =
1x +
( )y f x= ( ) 1f x x= − − −
( ) ( )1f x x f x− = − − = −
( ) 1f x x= − − −
0x− < ( ) ( )1f x x f x− = − − = −
( ) 1f x x= +
1x +
{ 2 3}x x− <
( )f x ( )1f x − ( )f x
0x < 0x− > ( ) ( )2 2( ) 5 5f x x x x x− = − − × − = +
2( ) ( ) 5f x f x x x= − − = − −
2
2
5 , 0( )
5 , 0
x x xf x
x x x
− ≥= − − 1a ≠ 0x = 2y =
0, 2 2m n m n= = ⇒ + = ( ) 2 2 22 2 ( 1) 1x x x x xg x e e e+ + + −= = =
( ) 2x nxg x e += ( 1, )− +∞
( 1, )− +∞
2 3 12a b= = 2 1
a b
+ =
1
2 3log 12, log 12a b= = 12 12
1 1log 2, log 3a b
= =
( )2
12 12 12
2 1 2log 2 log 3 log 2 3 1a b
+ = + = × =
2 32 3 12 log 12, log 12a b a b= = ⇒ = = 12 12
1 1log 2, log 3a b
= =
12 12
2 1 2log 2 log 3a b
+ = +【答案】
【解析】
【分析】
根 据 指 数 函 数 的 图 像 恒 过 点 ， 令 可 得 , 可 得
,从而得恒过点的坐标.
【详解】∵函数 ，其中 ，
令 可得 ,
∴ ,
∴点 的坐标为 ，
故答案为: ．
【点睛】本题主要考查指数函数的图像性质：图像恒过定点 ，运用整体代换值的方法是
本题的关键，属于基础题．
14. ，则 sin2α+2sinαcosα﹣3cos2α＝_____．
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据 ，所以 ，再代入 ，得出 ，
， ，代入所求的表达式可得值.
【详解】因为 ，所以 ，
代 入 ， 则 ， ，
，
所以原式 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查同角三角函数的关系，灵活运用其商数关系和平方关系是解决本题的关键，
(2, 3)−
( )0,1 2 0x − = 22, 1xx a −= =
( ) 1 4 3f x = − = −
2( ) 4xf x a −= − 0, 1a a> ≠
2 0x − = 22, 1xx a −= =
( ) 1 4 3f x = − = −
A (2, 3)−
(2, 3)−
( )0,1
1
3tanα = −
16
5
−
sin 1tancos 3
a aa
= = − cos 3sina a= − 2 2sin cos 1a a+ = 2 1sin 10a =
2 9cos 10a = 2 3sin cos sin ( 3sin ) 3sin 10a a a a a= − = − = −
sin 1tancos 3
a aa
= = − cos 3sina a= −
2 2sin cos 1a a+ = 2 1sin 10a = 2 9cos 10a =
2 3sin cos sin ( 3sin ) 3sin 10a a a a a= − = − = −
2 2sin 2sin cos 3cosα α α α+ − 1 6 27 16
10 10 10 5
= − − = −
16
5
−属于基础题.
三、解答题（本大题共 5 个小题，共 50 分）
15.计算下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
【答案】(1) (2)0
【解析】
【分析】
代入指数运算法则和根式和分数指数幂的公式转化求解；（2）代入对数运算法则求解.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
【点睛】本题考查分数指数幂和对数的运算法则，意在考查转化和计算能力，属于基础题型.
16.已知 ， ．
（Ⅰ）当 时，求 ；
（Ⅱ）当 时，若 ，求实数 a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）解集合中对应不等式，化简集合，再由交集的概念，即可得出结果；
（Ⅱ）根据 得到 ，由 ，得到 ，根据集合包含
关系，列出不等式求解，即可得出结果.
( )1 20 1 15 5335 2 44 2 34 3 5 2-
− − × − + × − −
5
74 log 4
3 2 2
27log log 20 5 log 53
+ − −
- 3
1 1
2 15 5
3 34 4 12 25 5 2 3
= + × − − −
( )2 1
3 32 2 3 2 2 3 3
+= − + = − − = −
3 3 2 2 2
1 7log 27 log 3 2log 2 log 5 log 54 4
= − + + − −
3 71 2 04 4
= − + − =
6 02
xA x x
−= > −
{ }( 1 )( 1 ) 0B x x a x a= − − − + ≤
2a = A B
0a > A B B∪ =
{ }2 3A B x x∩ = < ≤ 5a ≥
A B B∪ = A B⊆ 0a > { }1 1B x a x a= − ≤ ≤ +【详解】（Ⅰ）由 ，得到 ，则 ；
当 时，由 得 ，则 ；
则 ；
（Ⅱ）若 ，则 ，而
当 时， ，则 ，得到 ，
所以 ．
【点睛】本题主考查集合的交集运算，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记交集的概
念，集合间的基本关系，以及一元二次不等式的解法即可，属于常考题型.
17.（1）求关于 的不等式 的解集；
（2）已知二次不等式 的解集为 或 ，求关于 的不等式
的解集.
【答案】（1）详见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）采用十字相乘法分解因式，对 进行讨论即可
（2）由二次不等式 的解集为 或 分析可知
代入 解出 a,b 与 a,c 的
关系，再进行求解即可
【详解】（1）
①当
②
③
6 02
x
x
− >− 2 6x< < { }2 6A x x= < <
2a = ( 1 )( 1 ) 0− − − + ≤x a x a ( 3)( 1) 0x x− + ≤ { }1 3B x x= − ≤ ≤
{ }2 3A B x x∩ = < ≤
A B B∪ = A B⊆ { }( 1 )( 1 ) 0B x x a x a= − − − + ≤
0a > { }1 1B x a x a= − ≤ ≤ + 1 2
1 6
a
a
− ≤
+ ≥ 5a ≥
5a ≥
x ( )2 1 0x a x a− + + >
2 0ax bx c+ + < { 1| 3x x < 1
2x > x
2 0cx bx a− + >
( )3, 2− −
a
2 0ax bx c+ + < { 1| 3x x < 1
2x >
21 10, =02 3a ax bx c< + +且 和 是方程 的两根，1 1
2 3
和 2 =0ax bx c+ +
2 (1 ) 0 1)( ) 0x a x a x x a− + + > − − >不等式 可化为（ ，
1 );a = ∞ ∞时，不等式的解集为（- , 1） ( 1, +
1 - , );a a> ∞ +∞当 时，不等式的解集为（ ，1）（
1 - , );a a< ∞ +∞当 时，不等式的解集为（ ， ）（1（2）由不等式 的解集为 可知
由韦达定理得 解得
所以，所求不等式的解集为（-3，-2）.
【点睛】二次不等式与相对应的方程及二次函数对应的图像密不可分，结合图像性质理解方
程和不等式也是我们常采用的方法，本题体现了不等式与方程，不等式与函数的转化思想
18.已知函数 为奇函数．
（1）求 a 的值，并证明 是 R 上的增函数；
（2）若关于 t 的不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0 的解集非空，求实数 k 的取值范围．
【答案】（1） ，证明见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)由奇函数在 0 处有定义时 计算可得.证明 在 上为增函数时,设 ,再计
算 ,化简证明 即可.
(2)先根据奇偶性化简为 ,因为函数单调递增,所以若解集非空,则
有解.再根据二次不等式恒成立的问题求解即可.
【详解】（1）因为 定义在 R 上的奇函数,所以 ,得 .
此时, ,
,所以 是奇函数,
所以 ．
任取 R,且 ,则 ,因为
2 0ax bx c+ + < 1 1{ | }3 2x x x< >或
21 10, =02 3a ax bx c< + +且 和 是方程 的两根，
5- 6
1
6
b
a
c
a
=
=
5 1,6 6b a c a= − = ，
2 2 21 50 0, 6 0,6 6cx bx a ax ax a x x∴ − + > + > + −
(0) 0f = ( )f x R 1 2x x<
1 2( ) ( )f x f x− 1 2( ) ) 0(f x f x− <
2 2( 2 ) ( 2 )f t t f k t− < −
2 22 2t t k t− < −
( )f x (0) 0f = 2a = −
2 2 1( ) 1 2 1 2 1
x
x xf x
−= − =+ +
2 1 1 2( ) ( )2 1 1 2
x x
x xf x f x
−
−
− −− = = = −+ + ( )f x
2a = −
1 2,x x ∈ 1 2x x< 1 22 2x x −
1 2x x> ( ) ( )1 2f x f x−
( ) ( )1 2 0f x f x− > ( )f x ( ) ( )1 2 0f x f x− < ( )f x
( ) ( )1 2f x f x−
1 2( ) ( )f x f x<
( )f x ( ),a a−
1 2
1
2
x x
a x a
a x a
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