数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分 150 分. 考试时间
120 分钟.
第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 5 页.
注意事项：答卷前务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，答卷时，考生务
必把答案涂写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，答在试卷上的无效.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1.已知集合 ，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析：首先利用一元二次不等式 解法，求出 的解集，从而求得集合 A，之后
根据集合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式 得 ，
所以 ，
所以可以求得 ，故选 B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程
中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
2.函数 的零点所在区间
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
的
{ }2 2 0A x x x= − − > A =R
{ }1 2x x− < < { }1 2x x− ≤ ≤
}{ }{| 1 2x x x x< − ∪ }{ }{| 1 | 2x x x x≤ − ∪ ≥
2 2 0x x− − >
2 2 0x x− − > 1 2x x− 或
{ }| 1 2A x x x= < − >或
{ }| 1 2RC A x x= − ≤ ≤
( ) 22 log 3xf x x= + − ( )
( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4【分析】
通过计算 的函数，并判断符号，由零点存在性定理，即可得到答案．
【 详 解 】 由 题 意 ， 可 得 函 数 在 定 义 域 上 为 增 函 数 ， ，
，
所以 ，根据零点存在性定理， 的零点所在区间为
故选 B．
【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，其中解答中准确计算 的值，合理
利用零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
3.下列函数中既是奇函数又在区间 上单调递减的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
逐项判断满足条件的函数，即可求解.
【详解】选项 ， 不是奇函数，所以错误；
选项 ， 在实数集 上是增函数，所以错误；
选项 ， 在 上是增函数，所以错误；
选项 ， 是奇函数，且在 上是减函数，
所以正确.
故选:D.
【点睛】本题考查函数的性质，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题.
4.已知 ， ， ，则 的大小关系为
A. B.
C. D.
1, 2x x= =
( ) 2f 1 2 log 1 3 1 0= + − = − <
( ) 2
2f 2 2 log 2 3 5 3 2 0= + − = − = >
( ) ( )1 2 0f f < ( )f x ( )1,2
( ) ( )1 , 2f f
(0,1)
y x= − 3y x= tany x=
siny x= −
A | |y x x= − =
B 3y x= R
C tany x= (0,1)
D siny x= − (0,1)
2log 7a = 3log 8b = 0.20.3c = , ,a b c
c b a< < a b c< <
b c a< < c a b< =
3 31 log 8 log 9 2< < =
c b a< <
1
{ }0,1 3
2[0, ), 0x x x∀ ∈ +∞ + ≥ 0 [0, ),x∃ ∈ +∞ 2
0 0 0x x+ <
4x
π= sin 2y x=
3log 9 2= 1
29 3=
3
2 4
π α β π< < < α β−
4 4
π πα β− < − <
sin 2 cos3 tan 4 0⋅ ⋅ >
1 2 3 4
{ }0,1 22 4=②命题“ ”的否定是
“ 使得 ”为正确；
③函数 取得最大值时， ，
“ ”是“函数 取得最大值”的充分不必要条件为正确；
④根据对数定义，对数式 化为指数式 ，所以错误；
⑤若 ，则 的取值范围为 ，
所以错误；
⑥ ，
，所以错误.
故选:B
【点睛】考查考查命题真假 判定，涉及到：子集的个数、命题的否定、正弦函数的性质、
指对数关系、不等式性质、三角函数值正负，属于基础题.
6.函数 是偶函数，则函数 的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据偶函数的对称性求出 ，结合二次函数的单调性，即可求出结论.
【详解】 是偶函数， ，
，
恒成立， ，
， 的单调递增区间为 .
故选:A.
【点睛】本题考查函数奇偶性求参数以及函数的性质，属于基础题.
的
2[0, ), 0x x x∀ ∈ +∞ + ≥
0 [0, ),x∃ ∈ +∞ 2
0 0 0x x+ <
sin 2y x=
4x k ( k Z )
π= + π ∈
4x
π= sin 2y x=
3log 9 2= 23 9=
3
2 4
π α β π< < < α β− 04
π α β− < − <
32 ,sin 2 0, 3 ,cos3 0, 4 ,tan 4 02 2 2
π ππ π π π< < > < < < < < >
sin 2 cos3 tan 4 0∴ ⋅ ⋅ <
2( ) (2 ) 1f x ax a x= + + + ( )f x
( ],0−∞ [ )0,+∞ ( ),−∞ +∞ ( ], 1−∞ −
a
2( ) (2 ) 1f x ax a x= + + + ( ) ( )f x f x∴ − =
2 2(2 ) 1 (2 ) 1ax a x ax a x− =+ + + + +
2(2 ) 0,a x x R+ = ∈ 2a∴ = −
2( ) 2 1f x x= − + ( )f x ( ],0−∞7.已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，
将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数
为 .若 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由奇函数求出 ，由周期性求出 ，再由 求出 ，结合函数伸缩变换求出 ，
即可求解.
【详解】函数 是奇函数，
, 的最小正周期为 ， ，
，
.
故选:C.
【点睛】本题考查三角函数的性质以及函数图象间的变换关系，属于基础题.
8.当 时,函数 的图象恒过定点 ，已知函数
，若 有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
( ) sin( )( 0, 0, )f x A x Aϖ φ ϖ φ π= + > > < ( )f x π
( )y f x= 2
( )g x ( ) 28f
π = ( )4g
π
2− 2− 2 2
ϕ ω ( ) 28f
π = A ( )g x
( ) sin( )( 0, 0, )f x A x Aϖ φ ϖ φ π= + > > <
0ϕ = ( )f x , 2π ω = ( ) sin 2f x A x=
2( ) sin 2, 28 4 2f A A A
π π= = = ∴ =
( ) 2sin , ( ) 24g x x g
π∴ = =
0, 1a a> ≠ ( ) log ( 1) 1af x x= − + ( , )A m n
2 3, 0
( )
ln 2, 0
x mx x
f x
n x x
+ − ≤
= − >
( ) 0f x k− = k
( ], 4−∞ − [ )3,− +∞ [ ]4, 3− −
{ }( 3, ) 4− +∞ ∪ −利用 1 的对数为 0，求出定点，做出 的图象，转化为 与 有两个交点时，
的取值范围.
【详解】 恒过 ，
，做出 图象如下图示：
可得当 时， 与 有两个交点，
即 有两个零点，则 的取值范围为 .
故选:D.
【点睛】本题考查分段函数、函数的零点，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
温馨提示：请将答案写在答题纸上，写在卷面上无效.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9.已知函数 ，则 = .
【答案】2
( )f x ( )y f x= y k= k
( ) log ( 1) 1af x x= − + (2,1), 2, 1m n∴ = =
2 2 3, 0
( )
ln 2, 0
x x x
f x
x x
+ − ≤
= − >
( )y f x=
{ }( 3, ) 4k ∈ − +∞ ∪ − ( )y f x= y k=
( ) 0f x k− = k { }( 3, ) 4− +∞ ∪ −
3
1( ) 0( ) { 2
log 0
x xf x
x x
≤=
>，
， 1( ( ))3f f【解析】
【详解】 ，
10. _________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据诱导公式，化为锐角，再用两角和差公式转化为特殊角，即可求解.
【详解】
.
故答案 :
【点睛】本题考查诱导公式、两角和正弦公式求值，属于基础题.
11.已知 ，则 的最小值是_____________________．
【答案】2
【解析】
分析：先化简已知得到 xy=10,再利用基本不等式求 的最小值.
详解：因为 ，所以
所以 ，
当且仅当 即 x=2,y=5 时取到最小值.
故答案为 2.
为
3( ) lo1 1
3g 13f = = − 11( 1) ( ) 22f −− = =
sin 255 =
2 6
4
+−
0 0 0sin 255 sin 75 sin(45 30 )= − = − +
0 0 0 0 6 2sin 45 cos30 cos45 sin30 4
+= − − = −
2 6
4
+−
lg lg 1x y+ = 2 5
x y
+
2 5
x y
+
lg lg 1x y+ = lg 1, 10.xy xy= ∴ =
2 5
x y
+ 2 5 102 2 2x y xy
≥ ⋅ = =
10
2 5
0, 0
xy
x y
x y
=
=
> >点睛：（1）本题主要考查对数运算和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分
析推理能力.(2) 利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可．
12.已知三个式子 ， ， 同时成立，则 的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数函数、幂函数、对数函数的单调性，即可求解.
【详解】 ； ；
， ，同时成立则有 ，
，当 时， ，
三个式子 ， ， 同时成立，
的取值范围为 .
故答案为: .
【点睛】本题考查函数的单调性应用，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
13.《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与
现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为 20
米，径长（两段半径的和）为 24 米，则该扇形田的面积为______平方米．
【答案】120
【解析】
扇形的半径为 ，故面积为 （平方米），填 ．
14.关于函数 (x∈R)有下列命题：
① 是以 为最小正周期的周期函数；
② 可改写为 ；
③ 的图象关于 对称；
1( ) 13
a < 1
3 1a <
1log 13a
< a
10 3a< <
0 01 1( ) 1 ( ) ,3 3
a a< ∴ >= 1
3 1, 1a a< <
1( ) 13
a < 1
3 1a < 0 1a< <
1log 13a
< 0 1a< < 1 1log 1 log ,03 3a a a a< = < <
1( ) 13
a < 1
3 1a <
1log 13a
<
a 10 3a< <
10 3a< <
12 1 12 20 1202
× × = 120
( ) 4sin(2 )3f x x
π= +
( )y f x= 2π
( )y f x= 4cos(2 )6y x
π= −
( )y f x= ( ,0)6
π−④ 的图象关于直线 对称；
⑤函数 向右平移 个单位长度所得图象的函数解析式为 .
其中正确的序号为_________．
【答案】② ③
【解析】
【分析】
根据函数的周期、诱导公式、对称中心、对称轴、图像平移，逐项验证，即可得出结论.
【详解】① 是以 为最小正周期的周期函数，
所以不正确；
② ，
所以正确；
③ ，
的图象关于 对称，所以正确；
④ 由③得不正确；
⑤函数 向右平移 个单位长度，
所得图象的函数解析式为
所以不正确.
故答案为:② ③.
【点睛】本题考查三角函数性质及图象变换间的关系，意在考查直观想象、逻辑推理能力，
属于基础题.
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理
过程.
15.已知 ， ，
（1） 的值；
（2） 的值.
( )y f x=
6x
π= −
( ) 4sin(2 )3f x x
π= +
3
π 4sin 2y x=
( )y f x= π
( ) 4sin(2 ) 4sin(2 ) 4cos(2 )3 2 6 6f x x x x
π π π π= + = + − = −
( ) 4sin( 2 ) 06 6 3f
π π π− = − × + =
( )y f x= ( ,0)6
π−
( ) 4sin(2 )3f x x
π= +
3
π
4sin[2( ) ] 4sin(2 )3 3 3y x x
π π π= − + = −
3sin 5
α = ( , )2
πα π∈
sin 2α
tan( )4
πα +【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据二倍角公式，求出 ，即可求解；
（2）由两角和的正切公式，即可求出结论.
【详解】（1） .
= ..
=
（2） =
= = =
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系以及恒等变换求值，应用平方关系要注意角的范围，
属于基础题.
16.求关于 不等式： （ ）的解集.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
将不等式左式因式分解，对 以及两根的大小分类讨论，即可求解.
【详解】a=0 时，不等式变为 ，解得 ；
则不等式 解集为
当 时， ，
的根为
若 a＞2，则 ＜1，解得 x＞1 或 x＜
若 a=2，则 =1， ，解得
24
25
− 1
7
cosα
3sin 5
α = ( , )2
πα π∈
2cos 1 sinα α= − − 4
5
−
sin 2 2sin cosα α α= 24
25
−
sintan cos
αα α= 3
4
−
∴ tan( )4
πα + 1 tan
1 tan
α
α
+
−
31 4
31 4
−
+
1
7
x 2 ( 2) 2 0ax a x− + + > a R∈
a
( )2 1 0x− − > 1x＜
( ) 0f x > ( )1−∞，
0a ≠ ( )( ) 0( ) 2 1f x ax x= − >−
2 ( 2) 2 0ax a x− + + = 1 2
2 , 1x xa
= =
2
a
2
a
2
a
2 2 1 0x x− + > 1x ≠若 0＜a＜2，则 ＞1，解得 或
a＜0 时，不等式变为 ），解得 ＜x＜1
综上所述，a =0 时，不等式 的解集为（-∞，1）；
0＜a＜2 时，不等式 的解集（-∞，1）∪（ ，+∞）；
a=2 时，不等式 的解集（-∞，1）∪（1，+∞）；
a＞2 时，不等式 的解集（-∞， ）∪（1，+∞）；
a＜0 时，不等式 的解集（ ，1）；
【点睛】本题考查一元二次不等式的解，涉及分类讨论思想，属于中档题.
17.已知命题 函数 是 上的减函数，命题 ： 对
都成立.若命题 和命题 中有且只有一个真命题，求实数 的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出命题 成立的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可.
【详解】解： 函数 是 上的减函数
，解得：
对 都成立
则： ，解得： ，
当命题 成立命题 不成立时： ，
解得： 不存在
当命题 成立命题 不成立时， ，
解得：
实数 取值范围为：
【点睛】本题考查复合命题的应用，根据条件求出命题的等价条件是解题的关键，属于中档
2
a
2x a
> 1x <
2( )( 1) 0x xa
− − < 2
a
( ) 0f x >
( ) 0f x > 2
a
( ) 0f x >
( ) 0f x > 2
a
( ) 0f x > 2
a
:p ( ) ( 2)xf x a= − R q 2 3 2 02x ax a+ + − > ∀
x∈R p q a
3 4a≤ <
,p q
( ) ( 2)xf x a= − R
0 2 1a∴ < − < 2 3a< <
2 3 2 02x ax a+ + − > ∀ x∈R
0∴∆ < 2 34( 2) 02a a− − < 2 4a< <
p q 2 3
2 4
a
a a
<
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