2019-2020 学年度天津市南开区高一年级第一学期期末
数学试卷
一．选择题（共 10 小题）
1.设全集 ，集合 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据补集和并集 定义可计算出集合 .
【详解】由题意可得 ，因此， .
故选：B.
【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2.命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为： ，
考点：全称命题与特称命题
【此处有视频，请去附件查看】
3.下列函数中为偶函数，且在 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
的
{ }1,2,3,4U = { }1,2S = { }2,3T = ( )U S T
{ }2 { }3 { }4 { }2,3,4
( )U S T
{ }3,4U S = ( ) { }3U S T =
0 (0, )x∃ ∈ +∞ 0 0ln 1x x= −
0 (0, )x∃ ∈ +∞ 0 0ln 1x x≠ − 0 (0, )x∃ ∉ +∞ 0 0ln 1x x= −
(0, )x∀ ∈ +∞ ln 1x x≠ − (0, )x∀ ∉ +∞ ln 1x x= −
(0, )x∀ ∈ +∞
ln 1x x≠ −
( )0, ∞+
( )lg 2y x= 2y x= − 2xy = y x=【分析】
分析各选项中函数单调性以及在区间 上的单调性，可得出合适的选项.
【详解】对于 A 选项，函数 定义域为 ，该函数为非奇非偶函数，且在区
间 上为增函数；
对于 B 选项，函数 为偶函数，且在区间 上为减函数；
对于 C 选项，函数 为非奇非偶函数，且在区间 上为增函数；
对于 D 选项，函数 偶函数，且在区间 上为增函数.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉几种常见的基本初等函数的基本性质是
判断的关键，考查推理能力，属于基础题.
4.“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用特殊值法和不等式的基本性质来判断出“ ”是“ ”的必要不充分条件.
【 详 解 】 取 ， ， 成 立 ， 但 不 成 立 ， 则 “ ”
“ ”.
当 ，则 ，由不等式的性质得 ， ，
即“ ” “ ”.
因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及了不等式性质的应用，考查推理能力，属于
中等题.
为
( )0, ∞+
( )lg 2y x= ( )0, ∞+
( )0, ∞+
2y x= − ( )0, ∞+
2xy = ( )0, ∞+
y x= ( )0, ∞+
1 1
a b
< 0b a< <
1 1
a b
< 0b a< <
2a = 1b = 1 1
a b
< 0b a< < 1 1
a b
< ⇒
0b a< <
0b a< < 0b a− > − > 1 1
a b
− > − 1 1
a b
∴ <
0b a< < ⇒ 1 1
a b
<
1 1
a b
< 0b a< =
a b c< <
sin 2 6y x
π = − sin 2 3y x
π = + A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
将函数 变形为 ，利用平移规律可得出正确选项.
【详解】 ，为了得到函数 的图象，
只需把函数 的图象向右平移 个单位长度.
故选：B.
【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在解题时要确保两个三角函数的名称保持一致，
考查推理能力，属于中等题.
8.如图 是某条公共汽车线路收支差额 与乘客量 的图象（收支差额 车票收入 支出费
用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图 变为图 与图 ，从而提出了扭亏为盈的两
种建议．下面有 种说法：
（1）图 的建议是：减少支出，提高票价；
（2）图 的建议是：减少支出，票价不变；
（3）图 的建议是：减少支出，提高票价；
（4）图 的建议是：支出不变，提高票价；
上面说法中正确的是（ ）
A. （1）（3） B. （1）（4） C. （2）（4） D. （2）（3）
【答案】C
12
π
4
π
6
π
2
π
sin 2 6y x
π = − sin 2 4 3y x
π π = − +
sin 2 sin 26 4 3y x x
π π π = − = − + sin 2 6y x
π = −
sin 2 3y x
π = + 4
π
1 y x = −
1 2 3
4
2
2
3
3【解析】
【分析】
根据题意知图象反映了收支差额 与乘客量 的变化情况，即直线斜率说明票价问题，当
的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明.
【详解】根据题意和图 知，两直线平行，即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为 时，
收入是 但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；
由图 看出，当乘客量为 时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变
大，即票价提高了，说明了此时的建议是提高票件而保持成本不变.
故选：C.
【点睛】本题考查了利用图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考
查读图能力和数形结合思想的应用，属于中等题.
9.已知三个函数 ， ， 的零点依次为 、
、 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令 ， 得 出 ， 令 ， 得 出 ， 由 于 函 数 与
的图象关于直线 对称，且直线 与直线 垂直，利用对称性可求
出 的值，利用代数法求出函数 的零点 的值，即可求出 的值.
【详解】令 ，得出 ，令 ，得出 ，
则函数 与函数 、 交点的横坐标分别为 、 .
函数 与 的图象关于直线 对称，且直线 与直线 垂直，
如下图所示：
y x
0x =
2 0
0
3 0
( ) 2 2xf x x= + − ( ) 3 8g x x= − ( ) 2log 2h x x x= + − a
b c a b c+ + =
6 5 4 3
( ) 0f x = 2 2x x= − ( ) 0h x = 2log 2x x= − 2xy =
2logy x= y x= y x= 2y x= −
a c+ ( ) 3 8g x x= − b a b c+ +
( ) 0f x = 2 2x x= − ( ) 0h x = 2log 2x x= −
2y x= − 2xy = 2logy x= a c
2xy = 2logy x= y x= y x= 2y x= −联立 ，得 ，则点 ，
由图象可知，直线 与函数 、 的交点关于点 对称，则 ，
由题意得 ，解得 ，因此， .
故选：C.
【点睛】本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函
数这一性质，结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
10.若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么
函数解析式为 ，值域为 的“孪生函数”共有 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
试题分析：由 y=2x2+1=3，得 x2=1，即 x=1 或 x=-1，由 y=2x2+1=19，得 x2=9，即 x=3 或
x=-3，即定义域内-1 和 1 至少有一个，有 3 种结果，-3 和 3 至少有一个，有 3 种结果，∴共有
3×3=9 种，故选 C．
考点：1．函数的定义域及其求法；2．函数的值域；3．函数解析式的求解及常用方法．
二．填空题（共 5 小题）
11.已知幂函数 的图象过点 ，则 ____________．
2
y x
y x
=
= − 1x y= = ( )1,1A
2y x= − 2xy = 2logy x= A 2a c+ =
( ) 3 8 0g b b= − = 2b = 4a b c+ + =
22 1y x= + { }3,19
15 12 9 8
( )y f x= 22, 2
( )f x =【答案】
【解析】
【分析】
设幂函数的解析式为 ，将点的坐标代入求出参数 即可．
【详解】解：设幂函数的解析式为
因为函数过点
所以
解得
故答案为
【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．
12.设 ，使不等式 成立的 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
解不等式 即可得出实数 的取值范围.
【 详 解 】 解 不 等 式 ， 即 ， 即 ， 解 得
.
因此，使不等式 成立的 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
1
2x
−
( )f x xα= α
( )f x xα=
22, 2
22 2
α =
1
2
α = −
( ) 1
2f x x
−∴ =
1
2x
−
x∈R 214 4x x− ≥ x
72, 4
−
214 4x x− ≥ x
214 4x x− ≥ 24 14 0x x+ − ≤ ( )( )4 7 2 0x x− + ≤
72 4x− ≤ ≤
214 4x x− ≥ x 72, 4
−
72, 4
− 13.若函数 值域是 ，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
求 出 函 数 在 区 间 上 的 值 域 为 ， 从 而 可 得 出 函 数
在区间 上单调递减，且有 ，得出关于实数
的不等式组，解出即可.
【详解】当 时， ，即函数 在区间 上的值域
为 .
由于函数 的值域为 ，则函数 在区间 上单调递减，
且有 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，在解题时要分析出函数的单调性，还应对函
数在分界点处的函数值进行限制，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14.△ABC 中， ， ，则 =_____．
【答案】
【解析】
试题分析：三角形中， ,
由 ，得 又 ,所以有正弦定理得
即 即 A 为锐角，由 得 ，因此
考点：正余弦定理
的( )
( )
1
3
1 2 , 1
log , 1
a x a x
f x x x
− − ≤= >
R a
[ )1,1−
( )y f x= ( )1,+∞ ( ),0−∞
( ) ( )1 2f x a x a= − − ( ],1−∞ ( )1 1 0f a= − − ≤ a
1x > ( ) 1 1
3 3
log log 1 0f x x= < = ( )y f x= ( )1,+∞
( ),0−∞
( )y f x= R ( ) ( )1 2f x a x a= − − ( ],1−∞
( )1 1 0f a= − − ≤ 1 0
1 0
a
a
− = ,b a>
,B A> 3sin 5A = 4cos 5A = 4 5 3 12 16cos .5 13 5 13 65C = − × + × =15.已知 ， ，且 ，则 的最大值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可求出 的最小值，从而
可得出 的最小值，由此可得出 的最大值.
【详解】 ， ，且 ， ，
当且仅当 ，当且仅当 时，等号成立，所以， 的最小值为 ，
所以， 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查
计算能力，属于中等题.
三．解答题（共 5 小题）
16.求值：（1） ；
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用指数、对数的运算律和对数的换底公式可计算出所求代数式的值；
（2）利用立方和公式得出 ，结合 可求出所求代数式的值.
【详解】（1）原式
0a > 0b > 8a b+ = 3
4
ab
a b+
8
3
4 1
a b
+ +a b ( ) 4 1a b a b
+ +
4 1
a b
+ 3
4
ab
a b+
0a > 0b > 8a b+ = ( ) 4 1 4 45 5 2 9b a b aa b a b a b a b
+ + = + + ≥ + ⋅ =
4b a
a b
= 2a b= 4 1
a b
+ 9
8
3 3 3
4 4 14
ab
a ba b
ab a b
= =++ +
3 8 839 9 3
8
= × =
8
3
3
4 0 2
3 5
16 2 ln1 lg4 lg5 log 5 log 981 e
−
− − + − + + ×
0a > 2 3xa =
3 3x x
x x
a a
a a
−
−
+
+
11
8
7
3
3 3
2 21
x x
x x
x x
a a a aa a
−
−
−
+ = − ++
2 3xa =；
（2）原式 .
【点睛】本题考查指数式与对数式的计算，涉及换底公式以及立方和公式的应用，考查计算
能力，属于基础题.
17.已知 是定义在 上的奇函数，且 时， .
（1）求 ， 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ， ；（2） 、 或
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的定义得出 的值，求出 的值，利用奇偶性的定义求出 ，
再结合奇偶性的定义与函数 的解析式可计算出 的值；
（2）求出函数 在区间 上的值域为 ，在区间 上的值域为
，可得出当 时， ，然后分 和 两种情况解方程
，即可求出实数 的值.
【详解】（1） 函数 是定义在 上的奇函数， ，
， ， ，
，因此， ；
（2）当 时，则 ，则有 ，
( )
3
4 34
3 5
2 22 0 lg 4 lg 25 log 5 2log 3 2 lg 4 25 23 3
− − = − + − − + × = − − × +
27 1128 8
= − =
( )( )2 2
2 21 1 71 3 1 3 3
x x x x
x x
x x
a a a a
a aa a
− −
−
−
+ − +
= = − + = − + =+
( )f x R ( )0,x∈ +∞ ( )
7 2| 1|,0 2
9 , 2
x x
f x x xx
− − < ≤= + >
( )0f ( )( )2f f −
( ) 6f a = a
( )0 0f = ( )( ) 342 5f f − = − 1
2
3
2 3
( )0f ( )2f ( )2f −
( )y f x= ( )( )2f f −
( )y f x= ( ]0,2 [ ]5,7 ( )2,+∞
[ )6,+∞ 0x < ( ) 0f x < ( ]0,2a∈ ( )2,a∈ +∞
( ) 6f a = a
( )y f x= R ( )0 0f∴ =
( )
7 2 1 ,0 2
9 , 2
x x
f x
x xx
− − < ≤= + >
( )2 7 2 2 1 5f = − × − = ( )2 5f∴ − = −
( ) 9 345 5 5 5f = + = ( )( ) ( ) ( ) 342 5 5 5f f f f− = − = − = −
( ]0,2x∈ 1 1 1x− < − ≤ 0 1 1x≤ − ≤此时 .
当 时， ，当且仅当 时取到最小值 ，即
.
所以，当 时，
①当 时，由 ，解得 或 ；
②当 时，由 ，解得 .
综上， 、 或 .
【点睛】本题考查分段函数求函数值，同时也考查了利用分段函数值求自变量的值，涉及了
奇函数性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
18.如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作两个锐角 、 ，它们的终边分别与
单位圆相交于 、 两点，已知 、 的横坐标分别为 、 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数的定义得出 的值，利用同角三角函数的平方关系求出 ，由此可
得出 的值，然后利用二倍角的正切公式可计算出 的值；
（2）利用同角三角函数的基本关系求出 的值，利用两角和的正切公式求出
( ) [ ]7 2 1 5,7f x x= − − ∈
( )2,x∈ +∞ ( ) 9 92 6f x x xx x
= + ≥ ⋅ = 3x = 6
( ) [ )6,f x ∈ +∞
0x < ( ) 0f x <
( ]0,2a∈ ( ) 7 2 1 6f a a= − − = 1
2a = 3
2
( )2,a∈ +∞ ( ) 9 6f a a a
= + = 3a =
1
2a = 3
2 3
xOy Ox α β
A B A B 2 5
5
2
10
tan 2α
2α β+
4
3
3
4
π
cosα sinα
tanα tan 2α
tan β ( )tan 2α β+的值，求出 的取值范围，可得出 的值.
【详解】（1）由三角函数的定义可得 ， 为锐角，则
，
，由二倍角正切公式得 ；
（2）由三角函数的定义可得 ， 为锐角， ，
， ，
， ， ，因此， .
【点睛】本题考查三角函数的定义，同时也考查了二倍角正切公式、两角和的正切公式求值，
考查计算能力，属于中等题.
19.已知函数 ．
（1）求 的最小正周期和对称中心；
（2）求 的单调递减区间；
（3）当 时，求函数 的最小值及取得最小值时 的值．
【 答 案 】（ 1 ） 最 小 正 周 期 为 ； 对 称 中 心 为 ； （ 2 ）
；（3）当 时，函数 取最小值为 ．
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出 ，利用周期公式可计算
2α β+ 2α β+
2 5cos 5
α = α
2 5sin 1 cos 5
α α= − =
sin 1tan cos 2
αα α∴ = = 2
2tan 4tan 2 1 tan 3
αα α= =−
2cos 10
β = β 2 7 2sin 1 cos 10
β β∴ = − =
sintan 7cos
ββ β∴ = = ( )
4 7tan 2 tan 3tan 2 141 tan 2 tan 1 73
α βα β α β
++∴ + = = = −− − ×
0 2
πα< 1 0λ− < 1 0λ− = 1λ =
( )y g x= 1 0λ− > 1 0λ− <
( )y g x= [ ]1,1− λ
λ ( )y g x= ( )1,1−
λ λ
( ) ( )2 0 0f f− = = ( )y f x= 1−
( ) ( )2f x ax x= + 1x = − ( )1 1f a∴ − = − = − 1a\ =
( ) 2 2f x x x∴ = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 2 1 1g x f x f x x xλ λ λ= − − + = − − + +
1λ = ( ) 4 1g x x= − + [ ]1,1−
1λ ≠ 1
1x
λ
λ
+= −
1λ < 1 0λ− > 1 11
λ
λ
+ ≥− 0 1λ≤ <
1λ > 1 0λ− < 1 11
λ
λ
+ ≤ −− 1λ >综上， ，因此，实数 的取值范围是 ；
（ii）①当 时，函数 在 上是减函数，
，
，
故 时， ， ，此时，函数 在区间 内无
零点；
当 时， ， ， 在区间 内有且只有一个零点；
②当 时，对称轴方程为： ，
若函数 在 内恰有一个零点，则有 ，
即 ，解得 或 ，又 ，所以 .
综上有： 或 .
因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了利用二次函数在区间上的单调性和
零点个数求参数的取值范围，涉及零点存在定理的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中
等题.
0λ ≥ λ [ )0,+∞
0λ ≥ ( ) ( ) ( )21 2 1 1g x x xλ λ= − − + + [ ]1,1−
( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 4 0g λ λ λ∴ − = − + + + = + >
( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 3 0g λ λ λ= − − + + = − ≤
0λ = ( )1 4 0g λ− = + > ( )1 3 0g λ= − = ( )y g x= ( )1,1−
0λ > ( )1 0g − > ( )1 0g < ( )y g x= ( )1,1−
0λ < ( )1 21 1,11 1x
λ
λ λ
+= = − + ∈ −− −
( )y g x= ( )1,1− ( ) ( )1 1 0g g− ⋅ <
( ) ( )4 3 0λ λ+ ⋅ − < 4< −λ 0λ > 0λ < 4< −λ
4< −λ 0λ >
λ ( ) ( ), 4 0,−∞ − +∞
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