静海一中 2019-2020 第一学期高一数学期末
学生学业能力调研试卷
第 I 卷 基础题（共 105 分）
一、选择题：（每小题 5 分，共 40 分）
1.设集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简集合 A,B，根据交集的运算求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
故选 A.
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.
2.已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得出关于 的不等式 的解集为 ，由此得出 或
，在 成立时求出实数 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得
出实数 的取值范围.
{ }| 1 2 1 3A x x= − ≤ + ≤ { }2| logB x y x= = A B =
( ]0,1 [ ]1,0− [ )1,0− [ ]0,1
{ }| 1 2 1 3 [ 1,1]A x x= − ≤ + ≤ = − { }2| log (0, )B x y x= = = +∞
0,1]A B = （
x ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − ≥ a
62, 5
−
62, 5
−
6 ,25
−
( ] [ ),2 2,−∞ +∞
x ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − < R 2 4 0a − =
2 4 0
0
a − <
∆ −
R
2 4 0a − ≠ 2a ≠ ±
x ( ) ( )2 24 2 1 0a x a x− + − − < R
2 4 0
0
a − >
1 b a> > 1c >
2
3y x= (0, )+∞
2
3
2
31 1 13 2
<
c b a> >
( ) 4sin ( 0)3f x x
πω ω = + > 3π
6
π
4x
π=
3x
π= 5
6x
π= 19
12x
π=分析】
由三角函数的周期可得 ，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为
，再求其对称轴方程即可.
【 详 解 】 解 ： 函 数 的 最 小 正 周 期 是 ， 则 函 数
， 经 过 平 移 后 得 到 函 数 解 析 式 为
，由 ，
得 ，当 时， .
故选 D.
【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.
6.若函数 为奇函数，且在 内是增函数，又 ，则 的解
集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 为奇函数可把 化为 ，分类讨论后可得不等式的解集.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，所以 即 .
当 时， 等价于 也即是 ，
因为 在 内是增函数，故可得 .
因为 在 内是增函数且 为奇函数，
故 在 内是增函数，又 .
【
2
3
πω =
2 44sin 3 9y x
π = +
( ) 4sin ( 0)3f x x
πω ω = + > 3π
2( ) 4sin 3 3f x x
π = +
2 2 44sin 4sin3 6 3 3 9y x x
π π π = + + = +
2 4 ( )3 9 2x k k
π ππ+ = + ∈Z
3 ( )2 12x k k
ππ= + ∈Z 1k = 19
12x
π=
( )f x (0, )+∞ (2) 0f = ( ) ( ) 0f x f x
x
− − <
( 2,0) (0,2)− ( , 2) (0,2)−∞ − ∪
( , 2) (2, )−∞ − +∞ ( , 2) (2, )−∞ − +∞
( )f x ( ) ( ) 0f x f x
x
− − < 2 ( ) 0f x
x
<
( )f x ( )( )f x f x− = − ( ) ( ) 0f x f x
x
− − < ( ) 0f x
x
<
0x > ( ) 0f x
x
< 0
( ) 0
x
f x
>
>
1 2 1a b
+ = ( )( )1 2 2a b− − =
2 1 2 12 21 2 1 2a b a b
+ ≥ × =− − − − 3, 3a b= =
2 1
1 2a b
+− −
( ) 2
3
2 1, 0
log , 0
x x xf x x x
− + + ≤= >
( ) 1f f x = 【解析】
【分析】
根据题意，分别讨论 ，和 两种情况，根据函数解析式，即可求出结果.
【详解】因为
（1）当 时，由 ，解得 或 ，
若 ，则 或 ，解得 或 ；或 或 ；
若 ，则 或 ，解得 ；
（2）当 时，由 ，解得 或
（舍），所以 .
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 .
综上，方程 的根的个数是 7 个.
故选 A
【点睛】本题主要考查由复合函数值求参数的问题，灵活运用分类讨论的思想即可求解，属
于常考题型.
二、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）
9.化简： 的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用诱导公式可求三角函数式的值.
【详解】原式
，
故答案为：1.
( ) 0f x > ( ) 0f x ≤
( ) 1f f x =
( ) 0f x > ( ) 3log ( ) 1 = = f f x f x ( ) 3f x = 1( ) 3f x =
0x > 3log 3=x 3
1log 3
=x 27x = 1
27
=x 1
3x 3=
1
33
−=x
0x ≤ 2 2 1 3− + + =x x 2 12 1 3
− + + =x x 3 15
2
−=x
( ) 0f x ≤ ( ) [ ]2( ) 2 ( ) 1 1 = − + + = f f x f x f x ( ) 0f x = ( ) 2f x =
( ) 0f x =
0x > 3log 0=x 1x =
0x ≤ 2 2 1 0− + + =x x 1 2x = −
( ) 1f f x =
( ) ( )sin 570 cos 2640 tan1665° °− ° + − +
( ) ( ) ( )sin 570 720 cos 2640 2880 162tan 1665 0° °= − °+ ° + − ° ++ − °
sin150 cos240 tan 45 sin30 cos60 1= °+ °+ ° = °− °+
1 1 1 12 2
= − + =【点睛】诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函
数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限” ．
10.若函数 为奇函数，则 ________．
【答案】
【解析】
根 据 题 意 ， 当 时 ， 为 奇 函 数 ，
，则
故答案为 .
11.方程 在 上有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
【详解】∵1﹣2a=2sin（2x+ ），
令 y1（x）=2sin（2x+ ），y2（x）=1﹣2a，
∵x∈ ，
∴2x+ ∈[ ， ]，
方程 2sin（2x+ ）+2a﹣1=0 在[0， ]上有两个不等的实根，
( ) ( )
( ) ( )
2 2 , 0
, 0
x x xf x g x x
+ ≥=
[ ]1,1x∈ − ( ) 0f x > a
1a <
0 0a a> =， 0a <
0a > { 2x x > }2x a< − 0a = { }2x x ≠
0a < { 2x x a> − }2x < ( ) ( )22 2a x x− > − − ⇒
2a x< − + ⇒ ( )min2 1x− + = ⇒ 1.a <
0a > { 2x x > }2x a< −
0a = { }2x x ≠
0a < { 2x x a> − }2x <
( ) ( )22 2a x x− > − −
恒成立.
易知 ，
的取值范围为：
15.
（1）已知 ，求 ；
（2）若 ，求 值；
（3）求 的值；
（4）已知 ，求 ．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化
简）最应该注意什么问题？
【答案】（1） ；（2）1；（3） ；（4） . 注意问题见解析
【解析】
【分析】
（1）先利用诱导公式化简，再代入计算即可.
（2）利用“1”的代换和弦切互化法可求三角函数式的值.
（3）把 化为 ，再利用辅助角公式和倍角
公式可求该值.
（4）令 ，则 ，利用诱导公式可求 的值.
【详解】（1）用诱导公式化简等式可得
，代入 可得 .
故答案为 .
的
[ ]1,1x∈ − [ ]2 3, 1x∴ − ∈ − −
2a x∴ < − +
( )min2 1x− + =
∴ a 1.a <
sin(2 )cos 2( )
cos tan( )2
f
ππ α α
α π α π α
− + = − + +
3f
π
tan 2α = 2 24sin 3sin cos 5cosα α α α− −
( )sin50 1 3 tan10° °+
3cos 6 5
π α − =
2sin 3
πα −
1
2
1
2
3
5-
( )sin50 1 3 tan10° °+ ( )cos 3sinsin50 10 10
cos10
° ° °
°
+
6x
π α= − 2
3 2 x
π πα − = − − 2sin 3
πα −
sin ( sin )( ) cossin tanf
α αα αα α
− × −= =
3
πα = 1cos3 3 2f
π π = =
1
2（2）原式可化为：
，
把 代入，则原式 .
故答案为 1．
（3）
故答案为 .
（4）令 ，则
.
解题中应注意角与角之间的关系.
【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差
异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互
化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角
去表示未知的角.
16.已知函数 ．
（1）求 的最小正周期及增区间；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值，并分别写出相应的 x 的值．
【 答 案 】(1) 最 小 正 周 期 为 ， 增 区 间 为 ；(2) 时 ，
2 2
2 2
2 2
4sin 3sin cos 5cos4sin 3sin cos 5cos sin cos
α α α αα α α α α α
− −− − = +
2
2
4tan 3tan 5
tan 1
α α
α
− −= +
tan 2α = 4 4 3 2 5 14 1
× − × −= =+
( ) ( )sin 10 30cos10 3sin10sin50 1 3 tan10 sin50 sin50cos10 cos10
° °° °
° ° ° °
° °
+++ = ⋅ = ⋅
cos40 sin 40 sin80 1
cos10 2cos10 2
° ° °
° °= = =
1
2
6x
π α= −
6 x
πα = −
2 2sin sin sin3 6 3 2x x
π π π πα − = − − = − −
3sin cos2 5x x
π = − + = − = −
2 3( ) cos sin 3cos 1( )3 4f x x x x x
π = + − + − ∈ R
( )f x
( )f x ,4 4
π π −
π 5, ,12 12k k k Z
π ππ π − + ∈ 4x
π=； 时， .
【解析】
【分析】
（1）利用三角变换公式可将 化为 ，利用周期公式和复合函数
的单调性的处理方法可求 的最小正周期及增区间.
（2）先求出 的范围，再利用正弦函数的性质可求 的最值及相应的 的值.
【详解】（1）
，
，
所以 的最小正周期为 ,
令 ，则 ， ，
故函数的单调增区间为 .
（2）∵ ，∴ ，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时，
【点睛】形如 的函数，可以利用降幂公式和
辅助角公式将其化为 的形式，再根据复合函数的讨论方法求该
函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．
17.
max
3( ) 4f x = −
12x
π= − min
3( ) 2f x = −
( )f x ( ) 1 sin 2 12 3f x x
π = − −
( )f x
2 3x
π− ( )f x x
2 3( ) cos sin 3 cos 13 4f x x x x
π = + − + −
2 21 3 3 1 3 3cos sin cos 3cos 1 sin cos cos 12 2 4 2 2 4x x x x x x x
= + − + − = − + −
1 3 1 cos2 3 1 3 1sin 2 1 sin 2 cos2 1 sin 2 14 2 2 4 4 4 2 3
xx x x x
π+ = − ⋅ + − = − − = − −
( )f x 2
2T
π π= =
2 2 22 3 2k x k
π π ππ π− ≤ − ≤ +
12 12k x k
π 5ππ − ≤ ≤ π + k Z∈
5, ,12 12k k k Z
π ππ π − + ∈
,4 4x
π π ∈ −
52 ,3 6 6x
π π π − ∈ −
2 3 6x
π π− =
4x
π= max
1 1 3( ) 12 2 4f x = × − = −
2 3 2x
π π− = −
12x
π= − min
1 3( ) ( 1) 12 2f x = × − − = −
( ) 2 2sin sin cos cosf x A x B x x C xω ω ω ω= + +
( ) ( )sin 2f x A x Bω ϕ′ ′= + +（1）已知 ， ，求 ；
（2）已知 ， ．
（i）求 值；
（ii）求 的值．
【答案】（1） ；（2）（i） ；（ii） .
【解析】
【分析】
（1）令 ，则 ，利用二倍角的正弦和余弦公式可求
的值，再利用两角和的正弦可求 的值.
（2）（i）把 看成 ，利用两角和的正弦可求 的值；（ii）求出 后利用二
倍角的正弦、余弦公式及两角和的正弦可求 的值．
【详解】（1）令 ，则 ，
所以
，
又 ，而 ，故 ，
所以 ，所以
.
的
0 2
πα< < 62sin 6 5
πα − = sin 2 12
πα −
2cos 4 10x
π − =
3,2 4x
π π ∈
sin x
sin 2 3x
π +
31 2
50
4
5
24 7 3
50
+−
6
πα θ− = 2 212 4
π πα θ− = + sin 2 ,cos2θ θ
sin 2 12
πα −
x
4 4x
π π− + sin x cos x
sin 2 3x
π +
6
πα θ− = 2 212 4
π πα θ− = +
sin 2 sin 2 sin 2 cos cos2 sin12 4 4 4
π π π πα θ θ θ − = + = +
( )22 2sin cos 1 2sin2
θ θ θ= + −
3sin 6 5
πα − = 6 6 3
π π πα− < − < 0 6 3
π πα< − <
4cos 6 5
πα − =
2 3 4 9 31 2sin 2 2 1 212 2 5 5 25 50
πα − = × × + − × = （2）（i） ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（ii）因为 ， ，故 ，
所以 ， .
而
.
【点睛】三角函数中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异
和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，
而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表
示未知的角.
第 II 卷 提高题（共 15 分）
18.已知定义域为 的函数 在 上有最大值 1，设 ．
（1）求 的值；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有三个不同的零点，求实数 的取
值范围（ 为自然对数的底数）．
【答案】（1）0；（2） ；（3）
【解析】
sin sin sin cos cos sin4 4 4 4 4 4x x x x
π π π π π π = − + = − + −
2 sin cos2 4 4x x
π π = − + −
2 2sin2 4 10x
π = − +
3,2 4x
π π ∈ ,4 4 2x
π π π − ∈
2 7 2sin 14 100 10x
π − = − =
2 8 2 4sin 2 10 5x = × =
4sin 5x = 3,2 4x
π π ∈
3cos 5x = −
4 3 24sin 2 2sin cos 2 5 5 25x x x= = − × × = − 2 16 7cos2 1 2sin 1 2 25 25x x= − = − × = −
sin 2 sin 2 cos cos2 sin3 3 3x x x
π π π + = +
1 24 3 7 24 7 3
2 25 2 25 50
+ = × − + × − = −
R ( ) 2 2 1g x x x m= − + + [ ]1,2 ( ) ( )g xf x x
=
m
( )3 3log 2 log 0x kf x− ≥ [ ]3,9x∈ k
( ) ( ) ( ) ( )3 21 1 1x x xh e ex f ek k− ⋅ − −= − + k
e
( ],0−∞ ( )0, ∞+ 1
2
∪ − 【分析】
（1）结合二次函数的性质 可判断 g（x）在[1，2]上的单调性，结合已知函数的最大值可求
m；（2）由（1）可知 f（x），由原不等式可知 2k 1 在 x∈[3，9]上恒成立，
结合对数与二次函数的性质可求；（3）原方程可化为|ex﹣1|2﹣（3k+2）|ex﹣1|+（2k+1）＝0，
利用换元 q＝|ex﹣1|，结合二次函数的 实根分布即可求解．
【详解】（1）因为 在 上是增函数，
所以 ，解得 ．
（2）由（1）可得：
所以不等式 在 上恒成立．
等价于 在 上恒成立
令 ，因为 ，所以
则有 在 恒成立
令 ， ，则
所以 ，即 ，所以实数 的取值范围为 ．
（3）因为
令 ，由题意可知
令 ，
则函数 有三个不同的零点
等价于 在 有两个零点，
当 ，此时方程 ，此时关于 方程有三个零点，符
2
3 3
1 2
( )log x log x
≤ − +
( ) ( )21g x x m= − + [ ]1,2
( ) ( ) ( )2
max 2 2 1 1g x g m= = − + = 0m =
( ) 1 2f x x x
= + −
( )3 3log 2 log 0f x k x− ≥ [ ]3,9x∈
( )2
33
1 22 1loglog
k xx
≤ − + [ ]3,9x∈
3
1
logt x
= [ ]3,9x∈ 1 ,12t ∈
22 2 1k t t≤ − + 1 ,12t ∈
( ) 2 2 1s t t t= − + 1 ,12t ∈
( ) ( )min 1 0s t s= =
2 0k ≤ 0k ≤ k ( ],0−∞
( ) ( )2
1 13 2 2 1x xeh x k ke− + − +− ⋅ +=
1xq e= − [0, )q∈ +∞
( ) ( )2 3 2 2 1H q q k q k= − + + + [0, )q∈ +∞
( ) ( )2
1 13 2 2 1x xeh x k ke− + − +− ⋅ +=
( ) ( )2 3 2 2 1H q q k q k= − + + + [0, )q∈ +∞
10, 2q k= ∴ = − ( ) 10, 0, 2H q q q= ⇒ = = x合题意；
当 记为 ， ，且 ， ，
所以 ，解得
综上实数 的取值范围 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性的应用，不等式中的恒成立问题与最值的相互转
化，二次函数的实根分布问题等知识的综合应用，是中档题
0,q ≠ 1q 2q 1 2q q< 10 1q< < 2 1q ≥
( )
( )
0 0
1 0
0
H
H
>
≤
∆ >
0k >
k ( )0, ∞+ 1
2
∪ −
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