江西省、实验学校2019-2020高二数学（理）上学期期中试题（带解析Word版）

江西省、实验学校 2019-2020 学年高二上学期期中考试数学（理）试 题 一、选择题（本大题共 12 小题） 1.设 ，则“ ”是“ ”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 推不出 ； 由 能推出 ， 故“ ”是“ ”的必要不充分条件， 故选 B。 【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件。 2.已知 ， ，且 ，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 本题考查空间向量坐标的运算,空间向量共线. 因为 因 为 ，所以 ，解得 故选 B x∈R 2 5 0x x− < | 1| 1x − < 0 5x< < 1 1x − < 1 1x − < 0 5x< < 2 5 0x x− < | 1| 1x − < (1,2, )a y= − ( ,1,2)b x= ( 2 ) / /(2 )a b a b+ −   1, 13x y= = 1 , 42x y= = − 12, 4x y= = − 1, 1x y= = − (1,2, ), ( ,1,2), 2 (1 2 ,4, 4),a y b x a b x y= − = ∴ + = + − +   2 (2 ,3, 2 2);a b x y− = − − − ( 2 ) / /(2 )a b a b+ −   1 2 (2 ) { 4 3 4 ( 2 2) x x y y λ λ λ + = − = × − + = − − 4 1, , 4.3 2x yλ = = = −3.已知椭圆 C： ,直线 l：x+my-m= （m∈R）,l 与 C 的公共点个数为（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 0 或 1 或 2 【答案】D 【解析】 【分析】 判断直线系经过的定点与椭圆的位置关系,然后判断公共点的个数． 【详解】解：直线 l：x+my-m= （m∈R）,恒过定点（ ，1）， 定点（ ，1）在椭圆 C： 的外面, 所以直线 l：x+my-m= （m∈R）与 C 的公共点个数可能为 0 或 1 或 2． 故选：D． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是基本知识的考查,基础题． 4.已知 A,B,C 三点不共线,对于平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M 与点 A,B,C 一 定共面的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据点 与点 共面，可得 ，验证选项，即可得到答案. 【详解】设 ，若点 与点 共面,,则 ，只有选 项 D 满足，.故选 D. 【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点 与点 共面时，且 ,则 是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题 的能力. 2 2 14 3 x y+ = 3 3 3 3 2 2 14 3 x y+ = 3 OM OA OB OC= + +    2OM OA OB OC= − −    1 1 2 3OM OA OB OC= + +    1 1 1 2 3 6OM OA OB OC= + +    M , ,A B C 1x y z+ + = OM xOA yOB zOC= + +    M , ,A B C 1x y z+ + = M , ,A B C OM xOA yOB zOC= + +    1x y z+ + =5.已知拋物线 x2=ay 的焦点恰好为双曲线 的上焦点,则 a=（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用抛物线的方程及双曲线的方程求出抛物线的焦点坐标和双曲线的焦点坐标,列出方程求 出 a． 【详解】解：抛物线 x2=ay（a＞0）的焦点为（0， ）, 双曲线 的焦点为（0，±2 ）, ∵a＞0, ∴ =2 , ∴a=8 . 故选：B． 【点睛】本题考查由圆锥曲线的方程求圆锥曲线中的参数、圆锥曲线的共同特征等基础知识, 考查运算求解能力,考查数形结合思想,属于基本知识的考查． 6.已知 ,则向量 与 的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量 的坐标即可求出 ,从而得出 ,这样即可得出 与 的夹角． 【详解】解： ， ， ∴ , 2 2 23 y x− = 8 2 8− 4 a 2 2 23 y x− = 2 4 a 2 2 ( ) ( )1 1a cos sin b sin cosα α α α= = − ， ， ， ， ， a b+  a b−  90° 60° 30° 0° a b， 2 2a b=  ( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − =   a b+  a b−  2 2 21 2a cos sinα α= + + = 2 2 21 2b sin cosα α= + + = ( ) ( ) 2 2 0a b a b a b+ ⋅ − = − =    ∴ , ∴ 与 的夹角为 90°． 故选：A． 【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标运算,向量垂直的充要条件,向量夹角的定义,考查 了计算能力,属于基础题． 7.下列命题正确的是 （1）命题“ ， ”的否定是“ ， ”； （2）l 为直线， ， 为两个不同的平面，若 ， ，则 ； （3）给定命题 p，q，若“ 为真命题”，则 是假命题； （4）“ ”是“ ”的充分不必要条件． A. （1）（4） B. （2）（3） C. （3）（4） D. （1）（3） 【答案】D 【解析】 【分析】 逐个命题进行判定，对于（1）结合全称命题的否定方法可以判定；对于（2）要考虑全面直 线与平面的位置关系；对于（3）根据复合命题的真假进行判断；对于（4）利用 可以 判定. 【详解】对于（1）“ ， ”的否定就是“ ， ”，正确； 对于（2）直线 可能在平面 内，所以不能得出 ，故不正确； 对于（3）若“ 为真命题”则 均为真命题，故 是假命题，正确； 对于（4）因为 时可得 ，反之 不能得出 ，故“ ”是 “ ”的必要不充分条件,故不正确.故选 D. 【点睛】本题主要考查简易逻辑，涉及知识点较多，要逐一判定，最后得出结论.题目属于知 识拼盘. 8.已知命题 ：“关于 的方程 有实根”，若 为真命题的充分不必要条件 为 ，则实数 的取值范围是（ ） ( ) ( )a b a b+ ⊥ −   a b+  a b−  x R∀ ∈ 2 0x > 0x R∃ ∈ 02 0x ≤ α β l β⊥ α β⊥ / /l α p q∧ p¬ 1sin 2 α = 6 πα = 5 6 πα = x R∀ ∈ 2 0x > 0x R∃ ∈ 02 0x ≤ l α / /l α p q∧ ,p q p¬ 6 πα = 1sin 2 α = 1sin 2 α = 6 πα = 1sin 2 α = 6 πα = p x 2 4 0x x a− + = p¬ 3 1a m> + mA. B. C. D. 【答案】B 【解析】 命 题 p ： ， 为 ， 又 为 真 命 题 的 充 分 不 必 要 条 件 为 ， 故 9.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,动点 P 在 ABCD 内,且到直线 AA1，BB1 的距离之和等于 ,则△PAB 的面积最大值是（　　　　） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 先确定动点 P 的轨迹方程,根据动点 P 的轨迹方程可知：△PAB 的 AB 边上的高，当 PA=PB 时最 大，这时 PA=PB= ，即可求出△PAB 的面积最大值． 【详解】解：∵AA1 和 BB1 都⊥面 ABCD, ∴P 到直线 AA1，BB1 的距离就是 PA 和 PB, ∴PA+PB=2 ,所以动点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,由椭圆的性质可知： ∵△PAB 的 AB 边上的高,当 PA=PB 时最大,这时 PA=PB= , 最大的高= = , ∴最大面积= ×2× = ． 故选：C． 【点睛】本题考查△PAB 的面积最大值,考查点到直线距离的计算,属于中档题． 10.设椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2,其焦距为 2c,点 Q（c， ） 在椭圆的外部,点 P 是椭圆 C 上的动点,且 恒成立,则椭圆离心率的取值 [ )1,+∞ ( )1,+¥ ( ),1−∞ ( ],1−∞ 4a ≤ p¬ 4a > p¬ 3 1a m> + 3 1 4 1m m+ > ⇒ > 2 3 2 2 2 3 3 3 2 21 4PA AB− 2 1 2 2 2 2 2 x a 2 2 y b 2 a 1 1 2 3 2PF PQ F F+ ＜范围是（　　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由 Q（c， ）在椭圆的外部,求出 a，b 的范围,又根据|PF1|+|PQ|=2a+|PQ|-|PF2|≤2a+|QF2|, 求出 a,c 的范围,代入即可． 【详解】解：点 Q（c， ）在椭圆的外部,所以 ，即 a2＞2b2, 所以 e= , 由 恒成立, |PF1|+|PQ|=2a+|PQ|-|PF2|≤2a+|QF2|=2a+ ＜3c，即 a＜ , 所以 ．又 e＜1, 故选：C． 【点睛】考查椭圆中的恒成立问题,几何法求出 a,b,c 的关系,属于中档题． 11.设点 P 是双曲线 - =1（a，b＞0）上异于实轴端点上的任意一点,F1，F2 分别是其左 右焦点,O 为中心, ,则此双曲线的离心率为（　　　　） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 由 余 弦 定 理 可 得 cos∠POF1, 2 5,2 6       2 3,2 4       5 ,16      3 ,14      2 a 2 a 2 2 a b a ＞ 2 2 21 2 b a − ＞ 1 1 2 3 2PF PQ F F+ ＜ 5 2 2 a a= 6 5 c 5 6 ce a = ＞ 2 2 x a 2 2 y b 2 2 1 2| | 4 bPF PF OP− = 21 3 2 3 2 2 2 1 1 1 12PF PO OF PF OF= + − ⋅． 结 合 可 得 =2c ．利用 PF2-PF1=2a．即可求解． 【详解】解：如图， cos∠POF1…① …② ①+②可得 …③ 又 …④ 由③④可得 = ． ∵PF2-PF1=2a． ∴4a2=2c2- ⇒3c2=7a2， e= = 故选：A． 【点睛】本题考查了双曲线的离心率,考查了余弦定理及运算能力,考查了转化思想,属于中档 题． 12.如图，∠C= , ,M,N 分别是 BC,AB 中点,将△BMN 沿直线 MN 折起,使二面角 B'-MN-B 的大小为 ,则 B'N 与平面 ABC 所成角的正切值是（ ） 的 2 2 2 2 2 2 22PF PO OF OP OF cos POF= + − ⋅ ∠ 2 2 1 2| | 4 bPF PF OP− = 2 2 1 2 1 22PF PF PF PF+ − 2 2 2 b− 2 2 2 1 1 1 12PF PO OF PF OF= + − ⋅ 2 2 2 2 2 2 22PF PO OF OP OF cos POF= + − ⋅ ∠ 2 2 2 2 1 2 2 2PF PF c OP+ = + 2 2 1 2| | 4 bPF PF OP− = 2 2 1 2 1 22PF PF PF PF+ − 2 22 2 bc − 2 2 b c a 21 3 2 π 3AC BC= 3 πA. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由∠C= ， ，先得到∠B′ND 就为斜线 B′N 与平面 ABC 所成 角设为 α，设 BC=2,AC= ,BM=B'M=1,DM=B'Mcos60°= ,B'D=B'Msin60°= , 又 MN= , 所 以 DN= ,所以 tanα= ，解出即可． 【详解】解：∵∠C= , ,M、N 分别是 BC、AB 的中点, 将△BMN 沿直线 MN 折起,使二面角 B′-MN-B 的大小为 .∴∠BMB′= ， 取 BM 的中点 D,连 B′D,ND, 由于折叠之前 BM 与 CM 都始终垂直于 MN，这在折叠之后仍然成立， ∴折叠之后平面 B′MN 与平面 BMN 所成的二面角即为∠B′MD=60°， 并且 B′在底面 ACB 内的投影点 D 就在 BC 上，∴B′D⊥BC，B′D⊥AD，B′D⊥面 ABC， ∴∠B′ND 就为斜线 B′N 与平面 ABC 所成的角设为 α， 设 BC=2,AC= ,BM=B'M=1,DM=B'Mcos60°= ,B'D=B'Msin60°= , 又 MN= ,所以 DN= , 所以 tanα= = = . 故选：C． 的 2 13 4 5 39 13 15 5 2 π 3AC BC= 2 3 1 2 3 2 3 2 2 13 2DM MN+ = 'B D DN 2 π 3AC BC= 3 π 3 π 2 3 1 2 3 2 3 2 2 13 2DM MN+ = 'B D DN 3 2 2 13 ⋅ 39 13【点睛】考查二面角的平面角,线面角等内容,综合性较高,中档题． 二、填空题（本大题共 4 小题） 13.命题“已知不共线向量 , ,若 ,则 λ=μ=0”的等价命题为______． 【答案】“已知不共线向量 ， ，若 λ≠0 或 μ≠0，则 ”． 【解析】 【分析】 直接利用原命题的逆否命题的应用求出结果． 【详解】解：已知不共线向量 , ,若 ,则 λ=μ=0”的等价命题为：“已知不 共线向量 ， ,若 λ≠0 或 μ≠0,则 ”． 故答案为：“已知不共线向量 , ，若 λ≠0 或 μ≠0,则 ”． 【点睛】本题考查的知识要点：简易逻辑中等价命题的应用,主要考查学生的运算能力和转换 能力及思维能力,属于基础题型． 14.在空间四边形 ABCD 中，连接 AC、BD,若 BCD 是正三角形，且 E 为其中心，则 的化简结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】如图，取 BC 的中点 F，连结 DF，则 ， ∴ . 1e 2e 1 2 0e eλ µ+ =   1e 2e 1 2 0e eλ µ+ ≠   1e 2e 1 2 0e eλ µ+ =   1e 2e 1 2 0e eλ µ+ ≠   1e 2e 1 2 0e eλ µ+ ≠    1 3 2 2AB BC DE AD+ − −    0 2 3DF DE=  1 3 2 2AB BC DE AD+ − −    AB BF DF DA= + − +    AF FD DA  = + + 0= 【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解 能力. 15.已知 p：x2-x≥6 或 x2-x≤-6,q：x∈Z．若“p 且 q”与“非 q”同时为假命题,则 x 的值的 集合为______． 【答案】{-1，0，1，2} 【解析】 【分析】 “p 且 q”与“非 q”同时为假命题,则 p 为假命题,q 为真命题,等价成关于 x 的不等式组,即 可得到 x 的值的集合． 【详解】解：依题意,若“p 且 q”与“非 q”同时为假命题, 则 p 为假命题,q 为真命题, 所以 ,解得-2＜x＜3 且 x∈Z, 所以 x 的值的集合为{-1，0，1，2}. 故答案为：{-1，0，1，2}． 【点睛】本题考查了复合命题的真假,考查了不等式的解法,主要考查了逻辑推理能力和计算 能力,属于基础题． 16.已知过抛物线 y2=-4x 的焦点 F,且斜率为 的直线与抛物线交于 A、B 两点,则 =______． 【答案】1 【解析】 【分析】 求得抛物线的焦点坐标和准线方程,以及直线方程,联立抛物线方程,解方程求得 A,B 的横坐 标,再由抛物线的定义可得|AF|,|BF|,|AB|,计算可得所求值． 【详解】解：抛物线 y2=-4x 的焦点 F（-1，0）,准线方程为 x=1, 26 6x x x Z − < − <  ∈ 3 AF BF AB ⋅过 F 且斜率为 的直线方程为 y= （x+1）, 代入抛物线方程 y2=-4x,可得 3x2+10x+3=0, 解得 x=-3 或 x=- , 由抛物线的定义可得|AF|=1+3=4,|BF|=1+ = , |AB|=2-（-3- ）= , 则 = =1. 故答案为：1． 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程的应用,考查直线和抛物线方程联立,求交点,考查方程 思想和运算能力,属于基础题． 三、解答题（本大题共 6 小题） 17.已知 p:方程 表示双曲线,q:斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1)且与抛物 线 y2=4x 有两个不同的公共点.若 p∧q 是真命题,求实数 k 的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，先求得当命题 都为真命题时，实数 的取值范围，再根据 为真命题，列出 不等式组，即可求解答案. 【详解】若方程 - =1 表示双曲线,则(2+k)(3k+1)>0,解得 k- . 由题意,设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2),即 y=kx+2k+1,联立方程 消去 x 并整 理得 ky2-4y+4(2k+1)=0,要使直线 l 与抛物线 y2=4x 有两个不同的公共点,则需满足 解得-1b>0，y≥0）和部分抛物线 C2：y＝－x2＋ 1（y≤0）连接而成，C1 与 C2 的公共点为 A，B，其中 C1 所在椭圆的离心率为 ． （1）求 a，b 的值； （2）过点 B 的直线 l 与 C1，C2 分别交于点 P，Q（P，Q，A，B 中任意两点均不重合），若 AP⊥AQ，求直线 l 的方程． 1 8a > 1 1 8 4a< ≤ 1 8 1 8 < 1 8a > 1 2t = 1 1 1 2 4 4maxy = − = 1 4a > 1 1 8 4a ≤＜ a∈∅ 1 1 8 4a< ≤【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）结合图形在 中，令 ，得 ，再联立 ， 可得 ， ， ；（2）由题易得点 ， ，由题知直线 与 轴 不 重 合 也 不 垂 直 ， 可 设 其 方 程 为 （ ），联 立 的 方 程 ， 整 理 得 ，解得点 的坐标为 ，结合图形知 ，再将 代入 的方程，得点 的坐标为 ，再由 ， 即得 ，求得 方程 ． 试题解析：（1）在 C2 方程中令 y＝0 可得 b＝1，由 ＝ 及 a2－c2＝b2＝1 得 a＝ ，∴a ＝ ,b＝1． （2）由（1）知，上半椭圆 C1 的方程为 y2＋2x2＝2（y≥0）．易知，直线 l 与 x 轴不重合也不 垂直， 设其方程为 x="my+1" （m≠0），并将其代入 C1 的方程， 整理得（2m2＋1） ＋4my＝0，故可解得点 P 的坐标为 ，显然，m