2020 届（高三）12 月份联考试题
理科数学
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合 P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则 =
A. {1} B. {3，5} C. {1，2，4，6} D. {1，2，3，
4，5}
【答案】C
【解析】
试 题 分 析 ： 根 据 补 集 的 运 算 得
．故选 C.
【考点】补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚是求“ ”还是求“ ”，否则很容易出现错误；一定要注意
集合中元素的互异性，防止出现错误．
2.在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得： ，据此确定复数所在的象限即可.
【详解】由题意可得： ，
则复数 z 对应的点为 ，位于第四象限.
本题选择 D 选项.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转
( )U P Q∪
{ } { } { } { }2,4,6 , ( ) 2,4,6 1,2,4 1,2,4,6UP UP Q= ∴ ∪ = ∪ =
∩ ∪
1 2iz i
+=
2z i= −
2
2
1 2 2 2 21
i i i iz ii i
+ + −= = = = −−
( )2, 1−化能力和计算求解能力.
3.已知向量 ， ，若 ，则 的最小值为（ ）
A. 12 B. C. 15 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ∥ 可得 3a+2b＝1，然后根据 （ ）（3 a+2b），利用基本不等式可得结
果．
【详解】解：∵ （a，﹣1）， （2b﹣1，3）（a＞0，b＞0）， ∥ ，
∴3a+2b﹣1＝0，即 3a+2b＝1，
∴ （ ）（3a+2b）
＝8
≥8
＝8 ，
当且仅当 ，即 a ，b ，时取等号，
∴ 的最小值为：8 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了向量平行的坐标运算和“乘 1 法”与基本不等式的性质，属于中档题．
4.已知 满足 时, 的最大值为 ,则直线
过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，
( , 1)m a= − (2 1,3)n b= − ( 0, 0)a b> > m n
2 1
a b
+
8 4 3+ 10 2 3+
m n 2 1
a b
+ = 2 1
a b
+
m = n = m n
2 1
a b
+ = 2 1
a b
+
4 3b a
a b
+ +
4 32 b a
a b
+ ⋅
4 3+
4 3b a
a b
= 3 3
6
−= 3 1
4
−=
2 1
a b
+ 4 3+
,x y
2 0
8 0
2 0,
x
x y
y
− ≥
+ − ≤
− ≥
( )0z ax by a b= + ≥ > 2 1 0ax by+ − =
( )3,1 ( )1,3− ( )1,3 ( )3,1−代入目标函数得到 的关系，再代入直线 由直线系方程得答案．
详解： 由 ，得
，画出可行域，如图所示，数形结合可知 点 处取得最大
值， ，即： ，直线 过定点 .
故选 A.
点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想
方法，属中档题．
5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于 的面的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
在
a b， ax by 1 0+ − =
z ax by(a b 0)= + ≥ >
a z ay x 1b b b
= − + − ≤ −
( )B 6,2
6a 2b 2+ = 3a b 1+ = ax by 1 0+ − = ( )3,1
6
1 2 3 4由题可知其立体图形 C-DEFG： 可得面积小
于 的有
6.已知 ，则“ ”是“函数 是奇函数”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断 和函数 是奇函数成立的条件，然后判断充分性和必要性.
【详解】由 中至少有一个为零；由函数 是奇函数，
，
显然由 中至少有一个为零，不一定能推出 ，但由 ，一定能推出
，故“ ”是“函数 是奇函数”的必要不充分条件，故本题
选 B.
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，由函数 是奇函数，推出
是解题的关键.
7.郑州绿博园花展期间，安排 6 位志愿者到 4 个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排
一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，则不同的安排方案共有
A. 168 种 B. 156 种
C. 172 种 D. 180 种
6 , ,CFG CFE CDGS S S
,a b∈R 0ab = ( )f x x x a b= + +
0ab = ( )f x x x a b= + +
0ab = ,a b⇒ ( )f x x x a b= + +
( ) 0( ) x x a b x x a b x x a b x x a b a bf x f x − − + + = − + − ⇒ − − = + + ⇒⇒ − ⇒ == =−
,a b 0a b= = 0a b= =
0ab = 0ab = ( )f x x x a b= + +
( )f x x x a b= + +
0a b= =【答案】B
【解析】
分类：
（1）小李和小王去甲、乙两个展区，共 种安排方案；
（2）小王、小李一人去甲、乙展区，共 种安排方案；
（3）小王、小李均没有去甲、乙展区，共 种安排方案，
故一共 N 种安排方案，选 B．
8.已知数列： ，按照 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数
列 ： 首次出现时为数列 的
A. 第 44 项 B. 第 76 项 C. 第 128 项 D. 第 144 项
【答案】C
【解析】
【分析】
从分子分母的特点入手，找到 出现前的所有项，然后确定 的项数.
【详解】观察分子分母的和出现的规律： ，
把数列重新分组： ，
可看出 第一次出现在第 16 组，因为 ，所以前 15 组一共有 120 项；
第 16 组的项为 ，所以 是这一组中的第 8 项，故 第一次出现在数列
的第 128 项，故选 C.
【点睛】本题主要考查数列的通项公式，结合数列的特征来确定，侧重考查数学建模的核心
素养.
9.在长方体 中， ， ，E，F，G 分别是 AB，BC，
棱的中点，P 是底面 ABCD 内一个动点，若直线 与平面 EFG 平行，则 面积最小值为
（ ）
2 2 2
2 4 2A C C 12=
1 1 1 2 2
2 2 4 4 2C C C C C 96=
2 4
2 4A A 48=
12 96 48 156= + + =
( )1 2, , ,1 1
k k Nk k
∗⋅⋅⋅ ∈− k
{ }na 1 2 1 2 3 81, , , , , , ,2 1 3 2 1 9
⋅⋅⋅ 则 { }na
8
9
8
9
2,3,4,5
1 1 2 1 2 3 1 2( ),( , ),( , , ), ( , , , )1 2 1 3 2 1 1 1
k
k k −
8
9 1 2 3 15 120+ + + + =
1 2 7 8( , , , , )16 15 10 9
8
9
8
9
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AD DD= = 3AB = 1CC
1D P 1BB PA. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
找出平面 EFG 与长方体的截面，然后再找出过 D1 与平面 EFG 平面平行的平面，即可找出 P 在
平面 ABCD 上的位置．
【详解】解：如图，
补全截面 EFG 为截面 EFGHQR，易知平面 ACD1∥平面 EFGHQR，设 BR⊥AC 于点 R，
∵直线 D1P∥平面 EFG，
∴P∈AC，且当 P 与 R 重合时，BP＝BR 最短，此时△PBB1 的面积最小，
由等积法： BR×AC BA×BC 得 BR ，又 BB1⊥平面 ABCD，
∴BB1⊥BP，△PBB1 为直角三角形，
故 ×BB1×BP ，
故选：A．
【点睛】本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用，考查空间想象能力与
转化能力．
10.已知函数 图象过点 ，且在区间 上
3
4
3
2
1
2
1
2
1
2
= 3
2
=
1
1
2BB PS =
3
4
=
( ) 2sin( ) 0,| | 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > 2p = 2 4y x=
3
1 , 0( ) {
9, 0
x xf x x
x x
+ >=
+ ≤
2( 2 ) ( )f x x a a R+ = ∈
( ]8,9 ( ]2,9 ( ]2,8
2 22 ( 1) 1t x x x= + = + − 1t ≥ −则 ，
由题意可得，函数 的图象与直线 有 3 个不同的交点，且每个 值有 2 个 值与之对
应，如图所示，故 的取值范围是 。
第 II 卷（非选择题，共 90 分）、
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.设双曲线 左右顶点分别为 A，B，点 P 是双曲线上，且异于 A，B 两点.O 为坐
标原点，若直线 PA，PB 的斜率之积为 ，则双曲线的离心率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由于 A，B 连线经过坐标原点，所以 A，B 一定关于原点对称，利用直线 PA，PB 的斜率乘积，
可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．
【详解】解：根据双曲线的对称性可知 A，B 关于原点对称，
设 A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），
则 ，双曲线 1，
∴kPA•kPB • ，
3
1, 0( ) {
9, 1 0
t tf t
t
t
t
+ >=
+ − ≤ ≤
( )f t y a= t x
a ( ]8,9
2 2
2 2 1x y
a b
− =
7
9
4
3
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
− =
2 2
2 2
x y
a b
− =
1
1
y y
x x
−= −
2
1
2
1
7
9
y y b
x x a
+ = =+∴该双曲线的离心率 e ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲
线几何量之间的关系．
14.已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ，
则 ________.
【答案】216
【解析】
【分析】
由 f（x+4）＝f（x﹣2），可知周期 T＝6，结合已知函数代入即可求解．
【详解】解：∵f（x+4）＝f（x﹣2），
∴f（x+6）＝f（x），即周期 T＝6，
则 f（2019）＝f（3）＝f（﹣3），
∵当 x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，
∴f（﹣3）＝63＝216．
∴f（2019）＝216，
故答案为：216．
【点睛】本题主要考查了利用函数的周期性求解函数的函数值，属于基础试题．
15.已知梯形 ABCD， ， ， ，P 为三角形 BCD 内一点（包括边
界）， ，则 的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可分别以边 AB，AD 所在直线为 x′轴，y′轴，建立平面直角坐标系，从而得出 A
（0，0），B（3，0），C（1，1），D（0，1），设 P（x′，y′），从而根据
2
2
41 3
b
a
= + =
4
3
( )f x R ( 4) ( 2)f x f x+ = − [ 3,0]x∈ − ( ) 6 xf x −=
(2019)f =
AB AD⊥ 1AD DC= = 3AB =
AP xAB yAD= + x y+
41, 3
AP xAB yAD= + 可得出 ，从而得出 ，并设 ，从而根据线性规划的知识求出
直线 截距的最小值和最大值，即得出 x+y 的最小值和最大值，从而得出 x+y 的
取值范围．
【详解】解：∵AB⊥AD，
∴分别以边 AB，AD 所在的直线为 x′，y′轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：
A（0，0），B（3，0），C（1，1），D（0，1），
∴ ，设 P（x′，y′），则 ，
∴由 得，（x′，y′）＝x（3，0）+y（0，1），
∴ ，
∴ ，设 ，则 表示斜率为 的一族平行直线，在 y 轴
上的截距为 a，当截距最大时 x+y 最大，当截距最小时 x+y 最小，
由图可看出，当直线 经过点 D（0，1）时截距最小为 1，当直线 经
过点 C（1，1）时截距最大为 ，
∴x+y 的取值范围为 ．
故答案为： ．
'
3
'
xx
y y
=
=
' '3
xx y y+ = + ' '3
x y a+ =
'' 3
xy a= − +
( ) ( )3 0 01AB AD= = ， ， ， ( )' 'AP x y= ，
AP xAB yAD= +
'
3
'
xx
y y
=
=
' '3
xx y y+ = + ' '3
x y a+ = '' 3
xy a= − + 1
3
−
'' 3
xy a= − + '' 3
xy a= − +
4
3
41 3
，
41 3
，【点睛】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，利用线性规
划的知识求变量最值的方法，数形结合的方法，考查了计算能力，属于中档题．
16.瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形， 的三个欧拉点（顶点与垂
心连线的中点）构成的三角形称为 的欧拉三角形.如图， 是 的欧拉
三角形（H 为 的垂心）.已知 ， ， ，若在 内
部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由三角函数的余弦定理得：AB＝3，建立平面直角坐标系，利用坐标法得到阴影三角形的面积，
从而利用几何概型公式得到结果.
【详解】解：因为 tan∠ACB＝2 ，所以 cos∠ACB ，
又因为 AC＝3，BC＝2，
由余弦定理可得：AB＝3，
取 BC 的中点 O，则 OA⊥BC，
以 O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则 B（﹣1，0），C（1，0），A（0，2 ），设 H（0，y），
因为 BH⊥AC，
所以 1，
所以 y ，从而 S ，
ABC
ABC 1 1 1A B C△ ABC
ABC 3AC = 2BC = tan 2 2ACB∠ = ABC
7
64
2 1
3
=
2
2 2
1 1
y × = −−
2
4
= 1 1
1 1 1 2 7 22 22 2 2 4 32A B H
= × × × − = 故所求概率为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，考查计算能力，属中档
题．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（一）必考题：共 60 分.
17.数列 的前 项和为 ，已知 ， . 其中
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】
【分析】
(1)由 ，可得 ，即 ，从而可
得结论；（2）由（1）知， ，可得 ，利用错位相减法，结合
等比数列求和公式，即可得结果.
7 2
732
1 642 2 22
=
× ×
7
64
{ }na n nS 1 1a = 1(2 1) (2 3)n nn a n S+− = + *n N∈
2 1
nS
n
−
{ }nS n nT
(2 3) 2 3n
nT n= − ⋅ +
1 1
2 3
2 1n n n n
na S S Sn+ +
+= − = −
( )
1
2 2 1
2 1n n
nS Sn+
+= −
1 22 1 2 1
n nS S
n n
+ = ⋅+ −
122 1
nnS
n
−=−
( ) 12 1 2n
nS n −= − ⋅【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.
（2）由（1）知， ，
∴ ，
∴ ，①
. ②
①-②得
，
∴ .
【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前
项和，属于中档题.一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的
前 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然
后作差求解, 在写出“ ” 与“ ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下
一步准确写出“ ”的表达式.
18.如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 为梯形，AB//CD， ，AB=AD=2CD=2，△ADP
为等边三角形．
1 1
2 3
2 1n n n n
na S S Sn+ +
+= − = −
( )
1
2 2 1
2 1n n
nS Sn+
+= −
1 22 1 2 1
n nS S
n n
+ = ⋅+ −
1 1a =
1 1 01
S = ≠
2 1
nS
n
−
122 1
nnS
n
−=−
( ) 12 1 2n
nS n −= − ⋅
( )2 21 3 2 5 2 2 3 2n
nT n −= + × + × +⋅⋅⋅+ − ⋅ ( ) 12 1 2nn −+ − ⋅
( )2 3 12 1 2 3 2 5 2 2 3 2n
nT n −= × + × + × +⋅⋅⋅+ − ⋅ ( )2 1 2nn+ − ⋅
( ) ( )1 2 11 2 2 2 2 2 1 2n n
nT n−− = + × + +⋅⋅⋅+ − − ⋅
( )12 2 21 2 2 1 21 2
n
nn
−− ×= + × − − ⋅−
( )3 2 2 3nn= − ⋅ −
( )2 3 2 3n
nT n= − ⋅ +
n
{ }na { }nb { }n na b
n { }nb
nS nqS
n nS qS−
P ABCD− AB AD⊥(1)当 PB 长为多少时，平面 平面 ABCD?并说明理由；
(2)若二面角 大小为 150°，求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值．
【答案】（1）当 时，平面 平面 ，详见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)根据平面和平面垂直可得线面垂直，从而可得 ,利用直角三角形知识可得 的长；
(2)构建空间直角坐标系，利用法向量求解直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.
【详解】解：（1）当 时，平面 平面 ，
证明如下：在 中，因为 ，所以 ，
又 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）分别取线段 的中点 ，连接 ，因为 为等边三角形， 为
的中点，所以 ， 为 的中点，所以 ,
又 ，所以 ，故 为二面角 的平面角，所以
，
如图，分别以 的方向以及垂直于平面 向上的方向作为 轴的正方向，建
立空间直角坐标系 ，
PAD ⊥
P AD B− −
2 2PB = PAD ⊥ ABCD 2 53
53
AB PA⊥ PB
2 2PB = PAD ⊥ ABCD
PAB∆ 2, 2 2AB PA PB= = = AB PA⊥
AB AD⊥ AD PA A∩ = AB ⊥ PAD
AB Ì ABCD PAD ⊥ ABCD
,AD BC ,O E ,PO OE ADP∆ O
AD PO AD⊥ ,O E ,AD BC / /OE AB
AB AD⊥ OE AD⊥ POE∠ P AD B− −
150POE∠ =
,OA OE ABCD , ,x y z
O xyz−因 ， ，所以 ， ， ， .
可得 ， ，
设 为平面 的一个法向量，则有 ，
即 ，令 ，
可得 ，
设 与平面 所成角为 ，则有
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】本题主要考查平面和平面垂直的性质及线面角的求解，侧重考查逻辑推理，直观想
象和数学运算的核心素养.
19.已知椭圆 的右焦点 ，长轴的左、右端点分别为 ,
且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过焦点 斜率为 （ ）的直线 交椭圆 于 两点，弦 的垂直平分线与
轴相交于 点. 试问椭圆 上是否存在点 使得四边形 为菱形？若存在，求 的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【详解】（1）依题设 ， ，则 ， .
为 3OP = 150POE∠ = 3 3(0, , )2 2P − (1,0,0)A (1,2,0)B ( 1,1,0)C −
(0,2,0)AB = 7 3 5 3(1, ), ( 1, , )2 2 2 2PB PC= − = − − ,
( , , )n x y z= PBC 0, 0PB n PC n⋅ = ⋅ =
7 3 02 2
5 3 02 2
x y z
x y z
+ − =
− + − =
1x =
(1, 2, 4 3)n = − −
AB PBC θ | |sin
| || |
AB n
AB n
θ ⋅=
2 2 2
4
2 1 ( 2) ( 4 3)
=
+ − + −
2
53
=
AB PBC 2 53
53
( )0a b> > F (1,0) 1 2,A A
1 2 1FA FA⋅ = −
C
F k C ,A B AB x
D C E ADBE k
2
2 12
x y+ = 2 2k =
1( ,0)A a− 2 ( ,0)A a 1 ( 1,0)FA a= − −
2 ( 1,0)FA a= −由 ，解得 ，所以 .
所以椭圆 的方程为 .
（2）依题直线 的方程为 .
由 得 .
设 , ,弦 的中点为 ，
则 ， ， ， ，
所以 .
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，则 .
若四边形 为菱形，则 ， .
所以 .
若点 在椭圆 上，则 .
整理得 ，解得 .所以椭圆 上存在点 使得四边形 为菱形.
20.第 7 届世界军人运动会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在湖北武汉举行，赛期 10 天，共设
置射击、游泳、田径、篮球等 27 个大项，329 个小项.共有来自 100 多个国家的近万名现役军
人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和
教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局
为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，
现从大批参与者中随机抽取 200 名幸运参与者，他们得分（满分 100 分）数据，统计结果如
下：
1 2 1FA FA⋅ = − 2 2a = 2 1b =
C
2
2 12
x y+ =
( 1)y k x= −
2 2
( 1),{ 2 2
y k x
x y
= −
+ = ( )2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k x k+ − + − =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y AB 0 0( , )M x y
2
1 2 2
4
2 1
kx x k+ = +
2
1 2 2
2( 1)
2 1
kx x k
−= +
2
0 2
2
2 1
kx k
= + 0 22 1
ky k
−= +
2
2 2
2( , )2 1 2 1
k kM k k
−
+ +
MD
2
2 2
1 2( )2 1 2 1
k ky xk k k
+ = − −+ +
0y = 2
22 1D
kx k
= +
2
2( ,0)2 1
kD k +
ADBE 02E Dx x x+ = 02E Dy y y+ =
2
2 2
3 2( , )2 1 2 1
k kE k k
−
+ +
E C
2
2 2
2 2
3 2( ) 2( ) 22 1 2 1
k k
k k
−+ =+ +
4 2k = 2 2k = C E ADBE组别
频数 5 30 40 50 45 20 10
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设 ， 分别为这 200 人
得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求 ， 的值（ ， 的
值四舍五入取整数），并计算 ；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民
制定如下奖励方案：得分低于 的可以获得 1 次抽奖机会，得分不低于 的可获得 2 次抽奖
机会，在一次抽奖中，抽中价值为 15 元的纪念品 A 的概率为 ，抽中价值为 30 元的纪念品 B
的概率为 .现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记 Y 为他参加活动获得
纪念品的总价值，求 Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.
（参考数据： ； ；
.）
【答案】（1） ， ， ；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而 X～N（65，142），计算 P（51＜X＜
93）即可；
（2）列出 Y 所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而
可得需要的总金额．
【详解】解：（1）由已知频数表得：
，
[30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
µ σ
µ σ µ σ
(51 93)P X< <
µ µ
2
3
1
3
( ) 0.6827P Xµ δ µ δ− < ≤ + ≈ ( 2 2 ) 0.9545P Xµ δ µ δ− < ≤ + ≈
( 3 3 ) 0.9973P Xµ δ µ δ− < ≤ + ≈
65µ = 14σ ≈ 0.8186P =
5 30 40 50 45 20( ) 35 45 55 65 75 85200 200 200 200 200 200E X = × + × + × + × + × + × +
1095 65200
× =
2 2 2 2 2( ) (35 65) 0.025 (45 65) 0.15 (55 65) 0.2 (65 65) 0.25 (75 65) 0.225D X = − × + − × + − × + − × + − ×，
由 ，则 ，
而 ，所以 ，
则 X 服从正态分布 ，
所以
；
（2）显然， ，
所以所有 Y 的取值为 15，30，45，60，
，
，
，
，
所以 Y 的分布列为：
Y 15 30 45 60
P
所以 ，
需要的总金额为： .
【点睛】本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随
机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．
21.已知函数 （ 为自然对数的底数）， 是 的导函数.
（Ⅰ）当 时，求证 ；
2 2(85 65) 0.1 (95 65) 0.05 210+ − × + − × =
2196 225σ< < 14 15σ< <
214.5 210.5 210= > 14σ ≈
(65,14)N
( 2 2 ) ( )(51 93) ( 2 ) 2
P X P XP X P X
µ σ µ σ µ σ µ σµ σ µ σ − < < + + − < < +< < = − < < + =
0.9545 0.6827 0.81862
+= =
( ) ( ) 0.5P X P Xµ µ< = ≥ =
1 2 1( 15) 2 3 3P Y = = × =
1 1 1 2 2 7( 30) 2 3 2 3 3 18P Y = = × + × × =
1 2 1 1 1 2 2( 45) 2 3 3 2 3 3 9P Y = = × × + × × =
1 1 1 1( 60) 2 3 3 18P Y = = × × =
1
3
7
18
2
9
1
18
1 7 2 1( ) 15 30 45 60 303 18 9 18E Y = × + × + × + × =
200 30 6000× =
( ) 21
2
xf x e ax= − 0,x e> ( )f x¢ ( )f x
2a = ( ) 1f x >（Ⅱ）是否存在正整数 ，使得 对一切 恒成立？若存在，求出 的最大
值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）存在且为 .
【解析】
（Ⅰ）要证明函数不等式 （ ），注意到 ，因此我们可先研究函数的性质
特别是单调性，这可通过导数的性质确定；
（Ⅱ）首先把不等式具体化，即不等式 为 ，注意到特殊情形，
时，不等式为 ，因此 的值只有为 1 或 2，因此只要证 时，不等式
恒成立即可，这仍然通过导数研究函数的单调性证得结论，为了确定导数的
正负的方便性，把不等式变为 ，因此只要研究函数 的
单调性，求得最小值即可.
试题解析：（Ⅰ）当 时， ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，故 在 时取得最小值，
在 上为增函数，
，
（Ⅱ） ，
由 ，得 对一切 恒成立，
当 时，可得 ，所以若存在，则正整数 的值只能取 1,2.
下面证明当 时，不等式恒成立，
设 ，则 ，
由（Ⅰ） ， ，
当 时， ；当 时， ，
a ( ) 2 lnf x x x′ ≥ 0x > a
2
( ) 1f x > 0x > (0) 1f =
2'( ) lnf x x x≥ 2 lnxe ax x x− ≥
1x = a e≤ a 2a =
2 lnxe ax x x− ≥
2
2 ln 0
xe xx x
− − ≥
2
2( ) ln
xeg x xx x
= − −
2a = ( ) 2xf x e x= − ( ) 2xf x e x′ = −
( ) ( )1 2xf x f x e x=′= − ( )1 2xf x e= −′
( )1 0f x′ = ln2x = ( )f x′ ln2x =
( ) ( )ln2 2 2ln2 0,f f x= − > ∴′ ( )0,+∞
( ) ( )0 1f x f∴ > =
( ) xf x e ax′ = −
( ) 2lnf x x x′ ≥ 2lnxe ax x x− ≥ 0x >
1x = a e≤ a
2a =
( ) 2
2 ln
xeg x xx x
= − − ( ) ( ) ( )( )
3 2 3
22 2 1 xx x e xx eg x x x x x
− −−= + − =′
2 1 2xe x x x> + ≥ > 0( 0)xe x x∴ − > >
∴ 0 2x< < ( ) 0g x′ < 2x > ( ) 0g x′ >即 在 上 减函数，在 上是增函数，
,
当 时，不等式恒成立
所以 的最大值是 2.
【点睛】导数与函数的单调性、导数与函数的极值（最值）、利用导数求参数的范围问题，利
用导数解决综合问题都可能是高考命题的切入点，设计在客观题和解答题的压轴题位置，掌
握它们的基础知识和基本方法是解题的基础，掌握转化与化归思想是解题的桥梁，许多问题
如不等式恒成立，函数的零点，方程的根的分布等都可以通过构造函数，转化为用导数知识
来解决．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
22.在平面直角坐标系 中，已知倾斜角为 的直线 经过点 .以坐标原点 为极
点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
（1）写出曲线 的普通方程;
（2）若直线 与曲线 有两个不同的交点 ，求 的取值范围.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
分析：(1)利用极坐标与直角坐标互化的公式可得曲线 的普通方程为 .
(2)联立直线 参数方程与 C 的二次方程可得 .结合直线参数的
几何意义有 .利用三角函数的性质可知
的取值范围是 .
详解：(1)由 得 .
是
的
( )g x ( )0,2 ( )2,+∞
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 12 4 4ln2 2.7 4 4ln2 3 ln16 04 4 4g x g e∴ ≥ = − − > − − > − >
∴ 2a =
a
xoy α l ( )2 1A − ， O
x C 1 2sin
3
ρ θ
ρ
+=
C
l C M N， AM AN+
2 2 2 3 0x y y+ + − =
(4,4 2
C 2 2 2 3 0x y y+ + − =
( )2 4t cos sinα α− − 4 0t + =
( )1 2AM AN t t+ = − + = 4 2 4sin
πα −
AM AN+ (4,4 2
1 2sin
3
ρ θ
ρ
+= 2 2 3sinρ ρ θ+ =将 ，代入上式中,
得曲线 的普通方程为 .
(2)将 的参数方程 ( 为参数)代入 的方程 ,
整理得 .
因为直线 与曲线 有两个不同的交点，
所以 ,化简得 .
又 ,所以 ，且 .
设方程的两根为 ,则 ， ，
所以 ,
所以 .
由 ，得 ，
所以 ,从而 ，
即 的取值范围是 .
点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义及其应用
等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
23.已知函数 .
（Ⅰ）当 ，求 的取值范围；
（Ⅱ）若 ，对 ，都有不等式 恒成立，求 的取
值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
2 2 2x y
y sin
ρ
ρ θ
= +
=
C 2 2 2 3 0x y y+ + − =
l
2 ,
1
x tcos
y tsin
α
α
= − +
= + t C 2 2 2 3 0x y y+ + − =
( )2 4t cos sinα α− − 4 0t + =
l C
( )224 cos sinα α∆ = − 24 0− > 0cos sinα α <
0 α π≤ <
2
π α π< < 0, 0cos sinα α
1 2,t t ( )1 2 4 0t t cos sinα α+ = − < 1 2 4 0t t = >
1 20, 0t t< <
( )1 2AM AN t t+ = − + ( )4 sin cosα α= − = 4 2 4sin
πα −
2
π α π< < 3
4 4 4
π π πα< < <
2 12 4sin
πα < − ≤ 4 4 2sin< 4 24
πα − ≤
AM AN+ (4,4 2
( ) ,f x x x a a R= − ∈
( ) ( )1 1 1f f+ − > a
0a > ( ], ,x y a∀ ∈ −∞ ( ) 5
4f x y y a≤ + + − a
1( , )2
−∞ − (0,5]【分析】
（1）结合 a 取不同范围，去绝对值，计算 a 的范围，即可．（2）结合函数性质,计算 的
最大值,结合题意,建立关于 a 的不等式，计算 a 的范围，即可．
【详解】（Ⅰ） ，
若 ，则 ，得 ，即 时恒成立；
若 ，则 ，得 ，即 ；
若 ，则 ，得 ，此时不等式无解.
综上所述， 的取值范围是 .
（Ⅱ）由题意知，要使不等式恒成立，
只需 .
当 时， ， .
因为 ，
所以当 时， .
于是 ，解得 .
结合 ，所以 的取值范围是 .
【点睛】本道题考查了绝对值不等式的解法，难度较大．
( )f x
( ) ( )1 1 1 1 1f f a a+ − = − − + >
1a ≤ − 1 1 1a a− + + > 2 1> 1a ≤ −
1 1a− < < ( )1 1 1a a− − + > 1
2a < − 11 2a− < < −
1a ≥ ( ) ( )1 1 1a a− − − + > 2 1− >
a 1, 2
−∞ −
( )
max
min
5
4f x y y a
≤ + + −
( ],x a∈ −∞ ( ) 2f x x ax= − + ( ) 2
max 2 4
a af x f = =
5 5
4 4y y a a+ + − ≥ +
5 ,4y a ∈ − min
5 5
4 4y y a a
+ + − = +
5
4a= +
2 5
4 4
a a≤ + 1 5a− ≤ ≤
0a > a ( ]0,5
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