2019-2020 年高三 12 月月考试题
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1.已知集合 ， ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合 ，即可得到 .
【详解】∵ ，故 .
故选 C
【点睛】本题考查集合的基本运算.属基础题.
2.设 ， 是椭圆 的焦点， 为椭圆上一点，则 的周长为（ ）
A. 16 B. 18 C. 10 D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆定义,可求得 ,再根据椭圆中 的关系求得焦距,即可得
的周长.
【详解】 , 是椭圆 的焦点, 为椭圆上一点
由椭圆定义可知
根据椭圆中 的关系可得
解得
则
所以 的周长为
{ }2| 4M x x= ≥ { }= -3 -2,0,1,2N ， M N =
{ }0,1 { }2,01 2，，− { }3, 2,2− − { }0,1,2
M M N∩
{ }2 2M x x x= ≥ ≤ −或 { }3, 2,2M N∩ = − −
1F 2F
2 2
125 9
x y+ = P 1 2PF F∆
1 2PF PF+ a b c、 、 1 2PF F∆
1F 2F
2 2
125 9
x y+ = P
1 2 2 10PF PF a+ = =
a b c、 、
2 2 2= +a b c
2 2 25 9 4c a b= − = − =
1 2 2 8F F c= =
1 2PF F∆ 2 2 10 8 18C a c= + = + =故选:B
【点睛】本题考查了椭圆的定义,椭圆中 的关系,属于基础题.
3.设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得 2iz＝2+i，
∴ ，
∴复数 z 对应的点的坐标为（ ，﹣1），位于第四象限．
故选 D．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础
题．
4.已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角函数的诱导公式可得 ，然后利用诱导公式和二倍角的余弦公式
可得答案.
【详解】因为 ，
a b c、 、
z 2(1 ) 2i z i+ ⋅ = + i z
( )( )
2
22 1
2 2 2
i iiz ii i
+ −+= = = −−
1
2
2sin 2 3
π α + =
( )cos 2π α−
5- 3
1- 9
1
9
5
3
2sin cos2 3a a
π + = =
2sin cos2 3a a
π + = = 所以 .故选 C.
【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角公式化简求值，属基础题..
5.圆 截直线 所得的弦长为 ，则 （ ）
A B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
将圆的方程化为标准方程,结合垂径定理及圆心到直线的距离,即可求得 的值.
【详解】圆 ,即
则由垂径定理可得点到直线距离为
根据点到直线距离公式可知 ,化简可得
解得
故选:A
【点睛】本题考查了圆的普通方程与标准方程的转化,垂径定理及点到直线距离公式的应用,
属于基础题.
6.正方形 中，点 ， 分别是 ， 的中点，那么 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意点 ， 分别是 ， 的中点，求出 ， ，然后求出向量 即得．
【详解】解：因为点 是 的中点，所以 ，
点得 是 的中点，所以 ，
.
( ) 2 8 1cos 2 cos2 1 2cos 1 9 9a a aπ − = − = − = − =
2 2 2 8 13 0+ − − + =x y x y 1 0ax y+ − = 2 3 a =
4
3
− 3
4
− 3
a
2 2 2 8 13 0+ − − + =x y x y ( ) ( )2 21 4 4x y− + − =
( )222 3 1− =
2
4 1 1
1
ad
a
+ −= =
+
( )2 23 1a a+ = +
4
3a = −
ABCD E F CD BC EF =
1 1
2 2AB AD+ 1 1
2 2AB AD− −
1 1
2 2AB AD− + 1 1
2 2AB AD−
E F DC BC EC CF EF
E CD 1
2EC AB=
F BC 1 1
2 2CF CB AD= = − 所以 ，
故选 ．
【点睛】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本
知识的应用．属于基础题．
7.在等差数列{an}中，若 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则 2a10－a12 的值为( )
A. 20 B. 22
C. 24 D. 28
【答案】C
【解析】
由 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120，
解得 a8＝24，且 a8＋a12＝2a10，则 2a10－a12＝a8＝24.故选 C.
8.在正方体 中， 是线段 上的动点， 是线段 上的动点,且
不重合，则直线 与直线 的位置关系是( )
A. 相交且垂直 B. 共面 C. 平行 D. 异面且垂
直
【答案】D
【解析】
由题意易知：直线 ，∴ 又直线 与直线 异面直线，
故选 D
9.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（ ）
A. B.
1 1
2 2EF EC CF AB AD= + = −
D
1 1 1 1ABCD A B C D− E BC F 1CD
,E F 1AB EF
1 1 1BCAB A D⊥ 平面 1AB EF⊥ ， 1AB EF是
1 2
3 3
π+ 1 2
3 3
π+C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由三视图可知,上面是半径为 的半球,体积为 ,下
面是底面积为 1,高为 1 的四棱锥,体积 ,故选 C.
【考点】根据三视图求几何体的体积
【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，
综合性较强，较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能力等.
10.若函数 在区间 上递减，且有最小值 ，则 的值可以是（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
在 上是递减的，且有最小值为 ， ，即
，当 时，函数 在区间 上递减，
且有最小值 ，故选 B.
11.已知椭圆 的左右焦点分别为 为坐标原点，A 为椭圆上
一点， ，连接 轴于 M 点，若 ，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
1 2
3 6
π+ 21 6
π+
2
2
3
1
1 4 2 2
2 3 2 6V π π= × × =（ ）
2
1 11 13 3V = × × =
2cosy xω= 20, 3
π
1 ω
1
2
1
3
2cosy xω=
20, 3
π
1 2 13f π ∴ =
2 2 12 cos 1,cos3 3 2
ωπω π × × = =
1
2
ω = 2cosy xω= 20, 3
π
1
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 1 2, ,F F O
1 2 2F AF
π∠ = 2AF y交 23 OM OF=
1
3
3
3
5
8
10
4【解析】
分析】
设 AF1＝m，AF2＝n．如图所示，Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，可得 ．可得 m+n＝2a，
m2+n2＝4c2，n＝3m．化简解出即可得出．
【详解】设 AF1＝m，AF2＝n．
如图所示，由题意可得：Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，
∴ ．
则 m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m．
化为：m2 ，n2＝9m2＝6b2．
∴ 6b2＝4c2．
∴ c2，
化为： ．
故选 D．
【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，
常见有两种方法：
①求出 a，c，代入公式 ；
②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝a2－c2 转化为 a，c 的齐次式，
然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可
【
1
2 2
1
3
AF OM
AF OF
= =
1
2 2
1
3
AF OM
AF OF
= =
22
3
b=
22
3
b +
( )2 25
3
a c−
=
10
4
c
a
=
ce a
=得 e(e 的取值范围)．
12.已如函数 ，若 ，且 ，则 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可根据题意及画出的分段函数的图象确定出 ，然后可将 和 代入
到确定的表达式，得到 和 的关系式，再用 表示 ，则可只用 表达 ，再构造
函数 与 的表达式一致，通过求导方法判断出 的值域即可得到 的取值
范围．
【详解】解：根据题意，画出分段函数 图象如下：
由两个函数图象及题意，可知： 不可能同时大于 1，也不可能同时小于 1．
否则不满足
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
( ) 1 ln , 1
3 2, 1
x xf x x x
+ ≥= −
( ) 11 ln3g x x x= + − ( )1x >
( ) 11 3g x x
=′ −
1x >
3 3x >
1 10 3 3x
< <
1 1 03 3x
− < − <
2 11 13 3x
< − <
( ) 0g x′ >
( )g x ( )1,+∞
( ) ( )min 1 2g x g= =
( ) 2g x >
1 2 2x x+ >
2 1 3x − ≤
[ ]1,2−
2 1 3x − ≤当 ,即 时,不等式可化为 ,解得 ,所以不等式解集为
当 ,即 时,不等式可化为 ,解得 ,所以不等式解集为
综上可知,不等式 解集为 ,即
故答案为:
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论解不等式的应用,属于基础题.
14.曲线 在 处的切线的斜率为_________.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出函数在 处的导数，即是该点处切线的斜率．
【详解】
故曲线 在 处的切线的斜率为：
故答案为
【点睛】本题考查了利用导数求曲线上某点的切线的斜率问题，属于基础题．
15.正项等比数列 中， ， ，则 ______.
【答案】254
【解析】
【分析】
由已知数据可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式可得．
的
2 1 0x − ≥ 1
2x ≥ 2 1 3x − ≤ 2x ≤ 1 22 x≤ ≤
2 1 0x − < 1
2x < 1 2 3x− ≤ 1 x− ≤
11 2x− ≤ <
2 1 3x − ≤ 1 2x− ≤ ≤ [ ]1,2x∈ −
[ ]1,2−
32 3 5y x x= − + 1x = −
1x = −
32 3 5y x x= − +
26 3y x′∴ = −
( )2
1| 6 1 3 3xy =−′∴ = − − =
32 3 5y x x= − + 1x = − 3k =
3
{ }na 2 6S = 3 14S = 7S =【详解】因为 ， ，所以 ，解得 ，所以 ，
.故填 254.
【点睛】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础
题．
16.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性，并且结合不等式 f（t-2）+f（4-t2）＜0 建立不等式进而求得 t
的范围．
【详解】由已知得 为奇函数，
又 ，所以 在 上单调递增；
由 得 ，∴ ；
解得 ，故实数 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，不等式的解法，注意函数的定义域．
三、解答题（共 70 分）
17.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足(2b﹣c)cosA＝acosC．
（1）求角 A；
（2）若 ，b+c＝5，求△ABC 的面积．
【答案】(1) A ．(2) ．
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理完成边化角，再根据在三角形中有 ，完成化简并计算
2 6S = 3 14S =
( )
( )
2
1
3
1
1
61
1
141
a q
q
a q
q
−
=−
− = −
1 2
2
a
q
=
=
12 2n
nS += −
8
7 2 2 254S = − =
( ) 3 sinf x x x x= + − ( ) ( )2 2 0f t f t+ − ≤ t
[ 2,1]−
( )f x
( ) 23 1 cos 0f x x x= + − ≥′ ( )f x R
( ) ( )2 2 0f t f t+ − ≤ ( ) ( )2 2f t f t≤ − 2 2t t≤ −
2 1t− ≤ ≤ t [ ]2,1−
13a =
3
π= 3
( )sin sinB A C= +出 的值；
（2）利用 的值以及余弦定理求解出 的值，再由面积公式 即可求解出△ABC
的面积.
【详解】（1）在三角形 ABC 中，∵(2b﹣c)cosA＝acosC，
由正弦定理得：(2sinB﹣sinC)cosA＝sinAcosC，
化为：2sinBcosA＝sinCcosA+sinAcosC＝sin(A+C)＝sinB，
sinB≠0，解得 cosA ， ，
∴A ．
（2）由余弦定理得 a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∵a ，b+c＝5，
∴13＝(b+c)2﹣3cb＝52﹣3bc，化为 bc＝4，
所以三角形 ABC 的面积 S bcsinA 4 ．
【点睛】本题考查解三角形的综合运用，难度一般.（1）解三角形的问题中，求解角的大小
时，要注意正、余弦定理的选择，同时注意使用正弦定理时要注意是否满足齐次的情况；
（2）注意解三角形时的隐含条件 的使用.
18.已知圆 ，直线 ．
（1）判断直线 与圆 C 的位置关系；
（2）设直线 与圆 C 交于 A，B 两点，若直线 的倾斜角为 120°，求弦 AB 的长．
【答案】(1)直线 l 与圆 C 必相交 (2) ．
【解析】
【分析】
（1）判断直线过定点 ，利用点与圆的位置关系即可判断直线 与圆 的位置关系；
（2）根据直线 的倾斜角为 ，求出直线斜率以及直线的方程，利用弦长公式即可求弦
的长.
【详解】(1)直线 l 可变形为 y－1＝m(x－1)，因此直线 l 过定点 D(1，1)，
又 ＝1< ，所以点 D 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 必相交．
A
A bc 1 sin2S bc A=
1
2
= ( )0,A π∈
3
π=
13=
1
2
= 1
2
= × 3 32
× =
A B C π+ + =
( )22: 1 5C x y+ − = ( ): 1 0l mx y m m R− + − = ∈
l
l l
( )1,1A l C
l 120 AB(2)由题意知 m≠0，所以直线 l 的斜率 k＝m，又 k＝tan 120°＝－ ，即 m＝－ ．
此时，圆心 C(0，1)到直线 l： x＋y－ －1＝0 的距离 d＝ ＝ ，
又圆 C 的半径 r＝ ，所以|AB|＝2 ＝2 ＝ ．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式以及
直线过定点问题，属于中档题. 已知直线方程，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，
，直线过定点 ；（2）点斜式 直线过定点 .
19.已知数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
（1）利用当 时， 可得 ，进而求出数列 的通项公式；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）∵ ， ，①
.∴当 时， ，即 ；
当 时， ，②
由①—②可得 ，
即 ，又 ，
∴数列 是以 3 为首项和 3 为公比的等比数列，
故 .
（2）由（1）知 .
则 ，③
0y kx y= + ( )00, y ( )0 0 ,y y k x x− = + ( )0 ,0x
{ }na n nS 1 3a = 12 3n nS a += −
{ }na
( )2 1n nb n a= − { }nb n nT
3 ( )n
na n ∗= ∈ N 1( 1) 3 3n
nT n += − ⋅ +
2n ≥ 1n n na S S −= − 1 3n
n
a
a
+ = { }na
12 3n nS a += − ( )*n N∈
1n = 1 22 3a a= − 2 9a =
2n ≥ 12 3n nS a− = −
12 n n na a a+= −
1 3n
n
a
a
+ = 2
1
9 33
a
a
= =
{ }na
( )*3n
na n N= ∈
( )2 1 3n
nb n= −
( ) ( )2 3 11 3 3 3 5 3 2 3 3 2 1 3n n
nT n n
−= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + − ⋅则 ，④，
由③—④得
，
故 .
【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法，利用错位相减法求和，属中档题.
20.将正方形 沿对角线 折叠，使平面 平面 .若直线 平面 ，
.
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
分析】
（1）取 中点为 ，连结 ， ，则 ，从而 平面 ，进而直
线 直线 ，由此能证明直线 平面 ．
（2）推导出 ， 平面 ，点 到平面 的距离等于点 到平面
的距离，从而 ．由此能求出三棱锥 的体积．
【详解】（1）证明：取 中点 ，连结 ， ，
， ，
又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
【
( ) ( )2 3 4 +13 1 3 3 3 5 3 2 3 3 2 1 3n n
nT n n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + − ⋅
( )2 3 1-2 3 2 3 3 3 2 1 3n n
nT n + = + + + + − − ⋅
( )1
19-3=3+2 2 1 31 3
n
nn
+
+× − − ⋅−
( ) 16 2 2 3nn += − − − ⋅
( ) 11 3 3n
nT n += − ⋅ +
BCED CD ECD ⊥ BCD AB ⊥ BCD
2BC =
/ /AB ECD
E ACD−
2 2
3
CD M EM BM EM CD⊥ EM ⊥ BCD
/ /AB EM / /AB ECD
BM CD⊥ BM ⊥ ECD A ECD B ECD
E ACD A ECD B ECDV V V− − −= = E ACD−
CD M EM BM
CE ED= EM CD∴ ⊥
ECD ⊥ BCD ECD BCD CD= EM ⊂ ECD平面 ，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
又 平面 ， 平面 ，
直线 平面 ．
（2）解： 原四边形 为正方形， 为 中点， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ．
由于 为等腰直角三角形，所以 ，
又 ， ，
由（1）可知，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
．
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面
面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A，B，离心率为 ，点 P（1，
）为椭圆上一点．
EM∴ ⊥ BCD
AB ⊥ BCD ∴ / /AB EM
EM ⊂ ECD AB ⊂/ ECD
∴ / /AB ECD
BCED M CD BM CD∴ ⊥
ECD ⊥ BCD ECD BCD CD= BM ⊂ ECD
BM∴ ⊥ ECD
ECD 2ECDS∆ =
2BM = 1 1 2 22 23 3 3B ECD ECDV BM S− ∆∴ = × × = × × =
A ECD B ECD
2 2
3E ACD A ECD B ECDV V V− − −∴ = = =
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = ＞ ＞ 1
2
3
2（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）如图，过点 C（0，1）且斜率大于 1 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，记直线 AM 的斜率
为 k1，直线 BN 的斜率为 k2，若 k1=2k2，求直线 l 斜率的值．
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由椭圆离心率可得 a=2c，进而可得 ，则椭圆的标准方程为
，将 P 的坐标代入计算可得 c 的值，即可得答案；
（2）根据题意，设直线 l 的方程为 y=kx+1，设 M（x1，y1），N（x2，y2），将直线的方程与椭
圆联立，可得（3+4k2）x2+8kx-8=0，由根与系数的关系分析，： ，
，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得
，即 12k2-20k+3=0，解可得 k 的值，即可得答案．
【详解】解：（1）根据题意，椭圆的离心率为 ，即 e= =2，则 a=2c．
又∵a2=b2+c2，∴ ．
∴椭圆的标准方程为： ．
又∵点 P（1， ）为椭圆上一点，∴ ，解得：c=1．
∴椭圆的标准方程为： ．
（2）由椭圆的对称性可知直线 l 的斜率一定存在，设其方程为 y=kx+1．
设 M（x1，y1），N（x2，y2）．
2 2
14 3
x y+ = 3
2
3b c=
2 2
2 2 14 3
x y
c c
+ =
1 2 2
8
3 4
kx x k
+ = − +
1 2 2
8
3 4x x k
= − +
2 2
8 83 10 12 03 4 3 4
k
k k
− + − + = + +
1
2
c
a
3b c=
2 2
2 2 14 3
x y
c c
+ =
3
2 2 2
9
1 4 14 3c c
+ =
2 2
14 3
x y+ =联列方程组： ，消去 y 可得：（3+4k2）x2+8kx-8=0．
∴由韦达定理可知： ， ．
∵ ， ，且 k1=2k2，∴ ，即 ．①
又∵M（x1，y1），N（x2，y2） 椭圆上，
∴ ， ．②
将②代入①可得： ，即 3x1x2+10（x1+x2）+12=0．
∴ ，即 12k2-20k+3=0．
解得： 或 ．
又由 k＞1，则 ．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方
程，属于综合题．
22.已知函数 ，其中 为常数．
（1）若直线 是曲线 的一条切线，求实数 的值；
（2）当 时，若函数 在 上有两个零点．求实数 的取
值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
在
2 2
14 3
1
x y
y kx
+ =
= +
1 2 2
8
3 4
kx x k
+ = − + 1 2 2
8
3 4x x k
= − +
1
1
1 2
yk x
= +
2
2
1 2
yk x
= −
1 2
1 2
2
2 2
y y
x x
=+ −
2 2
1 2
2 2
1 2
4
( 2) ( 2)
y y
x x
=+ −
( )2 2
1 1
3 44y x= − ( )2 2
2 2
3 44y x= −
( )21
1 2
4 22
2 2
xx
x x
+− =+ −
2 2
8 83 10 12 03 4 3 4
k
k k
− + − + = + +
1
6k = 3
2k =
3
2k =
( ) lnxf x a xe
= + a
y xe
2= ( )y f x= a
1a = − ( ) ( ) ln xg x f x bx
= − + [ )1 + ∞， b
1a = 1 1,b e e
∈ − （1）设切点 ， 由题意得 ，解方程组即可得结果；（2）函数
在 上有两个零点等价于，函数 的图象与
直线 有两个交点，设 ，利用导数可得函数 在 处
取得极大值 ，结合 ， ，从而可得结果.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
曲线 在点 处的切线方程为 .
由题意得
解得 ， .所以 的值为 1.
（2）当 时， ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，则 有最小值为 ，即
，
所以 ， ，
由已知可得函数 的图象与直线 有两个交点，
设 ，
则 ，
令 ， ，
由 ，可知 ，所以 在 上为减函数，
由 ，得 时， ，当 时， ，
( )0 0,x y 0
0
0 0
1 2 ,
2 ln
a
e x e
xx a xe e
+ =
= +
( ) ( ) ln xg x f x bx
= − + [ )1 + ∞， lnln x xy x x e
= + −
y b= ln( ) ln ( 0)x xh x x xx e
= + − > ( )h x x e=
1( )h e e
= 1(1)h e
= − ( )3 2
3
3 13h e ee e
= + − < −
( )f x (0, )+∞ 1( ) a x aef x e x ex
+′ = + =
( )y f x= ( )0 0,x y y xe
2=
0
0
0 0
1 2 ,
2 ln
a
e x e
xx a xe e
+ =
= +
1a = 0x e= a
1a = − ( ) lnxf x xe
= − 1 1( ) x ef x e x ex
−′ = − =
( ) 0f x′ > x e> ( ) 0f x′ < 0 x e< < ( )f x ( ) 0f e =
( ) 0f x
ln( ) lnx xg x x be x
= − − + ( 0)x >
lnln x xy x x e
= + − y b=
ln( ) ln ( 0)x xh x x xx e
= + − >
2
1 1 ln 1( ) xh x x x e
−′ = + − 2
2
lnex e e x x
ex
+ − −=
2( ) lnx ex e e x xϕ = + − −
22( ) 2e ex e xx e xx x
ϕ − −′ = − − =
22 0ex e x− − < ( ) 0xϕ′ < ( )xϕ (0, )+∞
( ) 0eϕ = 0 x e< < ( ) 0xϕ > x e> ( ) 0xϕ x e> ( ) 0h x′ <
( )h x (0, )e ( , )e +∞
( )h x x e= 1( )h e e
=
1(1)h e
= − ( )3 2 2
3
3 13 4 1h e e ee e
= + − < − < − < −
( )g x [1, )+∞ b 1 1be e
−
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