龙泉中学潜江中学 2020 届高三年级 12 月联考
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考试务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应的题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试
卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.设集合 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
联立方程组求解，用列举法表示即可得
【详解】 或 ，则
故选：C
【点睛】本题考查集合元素，集合交集，理解集合的含义是关键，为简单题．
2.已知 是 的共轭复数,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用复数的除法运算法则求出 的值，再利用共轭复数的定义求出 a+bi，从而确定 a，b
的值，求出 a+b．
{ }2( , ) 6}, {( , ) ,A x y x y B x y y x= + = = = A B =
{ }(2,4) { }( 3,9)− { }(2,4),( 3,9)− ∅
A B
2
6 2, 4
x y x
y x y
+ = = ∴ = =
3
9
x
y
= −
= A B = { }(2,4),( 3,9)−
( , )a bi a b R+ ∈ 1
1
i
i
+
− a b+ =
1− 1
2
− 1
2 1
1
1
i
i
+
−【详解】 i，
∴a+bi＝﹣i，
∴a＝0，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣1，
故选：A．
点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
3.边长为 2 的正方形 ABCD 中， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题中正方形 ABCD 可考虑用建立平面直角坐标系的方法进行求解.
【详解】以 A 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则 , , ,
,
故 , ,则 ,
故选:C．
【点睛】本题主要考虑建立平面直角坐标系的方法进行向量求解的问题.
4.已知三棱锥 中， ，则
三棱锥 的体积是（ ）
A. 4 B. 6 C. D.
【
( )( )
21 (1 ) 2
1 1 1 2
i i i
i i i
+ += = =− + −
1
2DE EC= 3
5AF AD= AE BF⋅ =
13
15
6
5
16
15
14
15
(0,0)A 2 ,23E
(2,0)B
60, 5F
2 ,23AE =
62, 5BF = −
4 12 16
3 5 15AE BF⋅ = − + =
S ABC− , 4, 2 13, 2, 62SAB ABC SB SC AB BC
π∠ = ∠ = = = = =
S ABC−
4 3 6 3【答案】C
【解析】
【分析】
由题意明确 ，结合棱锥体积公式得到结果.
【详解】由 ， ，且 ，得 ；
又由 ， ，且 ，得 .
因为 ，从而知 ，即
所以 .
又由于 ，
从而 .
故选 C.
【点睛】本题考查棱锥体积的计算，考查线面垂直的证明，考查计算能力与推理能力，属于
基础题.
5.满足条件 的 面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设出 的坐标，给定 坐标，求解出 的轨迹方程，根据 的轨迹即可求解出 面积
的最大值.
【详解】设 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 的轨迹是以 为圆心，半径等于 的圆去掉点 两
点，
SA ABC⊥ 平面
4SB = 2AB =
2SAB
π∠ = 2 3SA =
2AB = 6BC =
2ABC
π∠ = 2 10AC =
2 2 2SA AC SC+ =
2SAC
π∠ = SA AC⊥
SA ABC⊥ 平面
1 2 6 62ABCS = × × =
1 1 6 2 3 4 33 3S ABC ABCV S SA− = ⋅ = × × =
2, 2AB AC BC= = ABC∆
4 2 2 2 3 2 2+ 3 4 2+
C ,A B C C ABC∆
( ) ( ) ( ), , 1,0 , 1,0C x y A B − 2AC BC=
( ) ( ) ( )2 22 21 2 1 0x y x y y − + = + + ≠ ( ) ( )2 23 8 0x y y+ + = ≠
C ( )3,0− 2 2 ( ) ( )3 2 2,0 , 2 2 3,0− − −所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查利用坐标法解决平面几何问题，着重考查了圆的相关知识，难度一般.使用
坐标法的前提是建立合适的平面直角坐标系，然后即可根据长度或者角度关系等确定坐标满
足的方程.
6.已知 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】B
【解析】
设{an}的首项为 a1，公比为 q，当 a1
( ) (0)f a f> 1( ) ( )2
af f a
+ > 1 3( ) ( 3)1
af fa
− > −+
1 3( ) ( )1
af f aa
− > −+
R, ( ) ( ) 0x f x f x∈ + − = ( )f x
1 2, [1, ]x x a∈ 2 1x x> 2 1( ) ( ) 0f x f x> > ( )f x [1, ]a
1a >因为 所以 一定成立，
因为
两边同时乘以-1 可得：
，所以 D 一定成立；
8.若 且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
1( ) ( )2
af f a
+ >
1 3( ) ( )1
af f aa
− > −+
1a b c> > > 2ac b<
log log loga b cb c a> > log log logc b ab a c> >
log log logb a cc b a> > log log logb c aa b c> >【答案】B
【解析】
【分析】
利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果.
【详解】（方法一）对选项 A：由 ，从而 ， ，
，从而选项 A 错误；
对选项 B：首先 ， ， ，从而知
最小，下只需比较 与 的大小即可，采用差值比较法：
，
从而 ，选项 B 正确；
对于选项 C：由 ， ，知 C 错误；
对于选项 D：可知 ，从而选项 D 错误；
故选 B
（方法二）取 ， ， 代入验证知选项 B 正确.
【点睛】本题考查式子间大小的比较，考查对数函数的图象与性质，考查运算能力，属于常
考题型.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.
9.若函数 的图象关于直线 对称,则（ ）
A. B. 函数的最大值为 C. 为函数的一个对称中心
D. 函数在 上单调递增
a b c> > log log 1a ab a< = log log 1b bc b< =
log log 1c ca c> =
log log 1c cb c> = log log 1b ba b> = log log 1a ac a< = loga c
logc b logb a
2
2
2
lg lg(lg )lg lg (lg ) lg lg 2log log lg lg lg lg lg lgc b
a cbb a b a cb a c b c b c b
+ − − ⋅ − = − = ≥⋅ ⋅
22
2 lg(lg ) 2 0lg lg
bb
c b
− > =⋅
log logc bb a>
log log 1a ab a< = log log 1c ca c> =
log logc bb a>
5a = 4b = 3c =
sin 2 cos2y x m x= +
6x
π= −
3
3m = − 2 3
3
7( ,0)12
π
[ , ]6 3
π π【答案】ABCD
【解析】
【分析】
先 利 用 辅 助 角 公 式 得 ， 利 用 图 象 关 于 直 线
对称，得 值，判断 A;再化函数为 ，结
合三角函数图像及性质判断 B,C,D 即可
【详解】 （其中 ）
因为函数 的图象关于直线 对称，则
，则 ，A.正确；
又 ，则函数的最大值为 ，B 正确；
令 ，当 ，则 为函数的一个对称中心，
C 正确；
令 当 为增区间，即
函数在 上单调递增，D 正确
故选：ABCD
【点睛】本题考查正弦函数的对称性、周期性，考查综合分析与应用能力，属于中档题．
10.已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的方程为 B. 的离心率为
C. 曲线 经过 的一个焦点 D. 直线 与 有两个公共
点
【答案】AC
( )2sin 2 cos2 1 sin 2y x m x m x ϕ= + = + +
6x
π= − m 3 2 3sin 2 cos2 sin 23 3 6y x x x
π = − = −
( )2sin 2 cos2 1 sin 2y x m x m x ϕ= + = + + tan ,mϕ =
sin 2 cos2y x m x= +
6x
π= −
( )52 6 2 6k k k Z
π π πϕ π ϕ π × − + = + ∴ = + ∈
3 3tan ,3 3m mϕ = = − ∴ = −
3 2 3sin 2 cos2 sin 23 3 6y x x x
π = − = −
2 3
3
2 = , ,6 2 12
kx k x k Z
π π ππ− ∴ = + ∈ 71, 12k x π= = 7( ,0)12
π
2 2 2 , ,2 6 2 6 3k x k k x k
π π π π ππ π π π− ≤ − ≤ + ∴ − ≤ ≤ + 0, ,6 3k
π π = −
[ , ]6 3
π π
C ( )3, 2 3
3y x= ±
C
2
2 13
x y− = C 3
2 1xy e −= − C 2 1 0x y− − = C【解析】
【分析】
根据题意得到双曲线 的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可.
【详解】对于选项 A：由已知 ，可得 ，从而设所求双曲线方程为
，又由双曲线 过点 ，从而 ，即 ，从而选项 A
正确；
对于选项 B：由双曲线方程可知 ， ， ，从而离心率为 ，
所以 B 选项错误；
对于选项 C：双曲线的右焦点坐标为 ，满足 ，从而选项 C 正确；
对于选项 D：联立 ，整理，得 ，由 ，
知直线与双曲线 只有一个交点，选项 D 错误.
故选 AC
【点睛】本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考
查推理能力与运算能力.
11.正方体 的棱长为 2, 分别为 的中点,则（ ）
A. 直线 与直线 垂直 B. 直线 与平面 平行
C. 平面 截正方体所得的截面面积为 D. 点 与点 到平面 的距离相等
【答案】BC
C
3
3y x= ± 2 21
3y x=
2 21
3 x y λ− = C ( )3, 2 2 21 3 ( 2)3
λ× − = 1λ =
3a = 1b = 2c = 2 2 3
33
ce a
= = =
( )2,0 2 1xy e −= −
2
2
2 1 0
13
x y
x y
− − =
− =
2 2-2 2 0y y + = 2(2 2) 4 2 0∆ = − × =
C
1 1 1 1ABCD A B C D− , ,E F G 1 1, ,BC CC BB
1D D AF 1AG AEF
AEF 9
2 C G AEF【解析】
【分析】
A．利用线面垂直的定义进行分析；
B．作出辅助线利用面面平行判断；
C．作出截面然后根据线段长度计算出截面的面积；
D．通过等体积法进行判断.
【详解】A．若 ，又因为 且 ，所以 平面 ，
所以 ，所以 ，显然不成立，故结论错误；
B．如图所示，取 的中点 ，连接 ，
由条件可知： ， ，且 ，所以平面
平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，故结论正确；
C．如图所示，连接 ，延长 交于点 ，
因为 为 的中点，所以 ，所以 四点共面，
1D D AF⊥ 1D D AE⊥ AE AF A∩ = 1DD ⊥ AEF
1DD EF⊥ 1CC EF⊥
1 1B C Q 1 ,AQ GQ
/ /GQ EF 1 / /AQ AE 1 ,CQ AQ Q EF AE E= = 1 / /AGQ
AEF
1AG ⊂ 1AGQ 1 / /AG AEF
1 1,D F D A 1 ,D F AE S
,E F 1 ,C C BC 1/ /EF A D 1, , ,A E F D所以截面即为梯形 ，又因为 ， ，
所以 ，所以 ，故结论正确；
D．记点 与点 到平面 的距离分别为 ，
因为 ，
又因为 ，
所以 ，故结论错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查空间立体几何的直线、平面间的关系及截面和体积有关的计算的综合应用，
难度一般.
12.已知函数 .下列命题为真命题的是（ ）
A. 函数 是周期函数 B. 函数 既有最大值又有最小值
C. 函数 的定义域是 ，且其图象有对称轴 D. 对于任意 ， 单调递减
【答案】BC
【解析】
【分析】
将函数 ，利用对称性判断 C,利用函数性
质判断 AD，利用导数判断 C 即可．
【详解】由函数
A.函数 f（x）是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函
数图象无限靠近于 x 轴，故不是周期函数；
B. 令 ，
单调递增，又 且
1AEFD 2 2
1 4 2 2 5D S AS= = + = 1 2 2A D =
( )1
2
21 2 22 2 2 5 62 2AD SS
= × × − = 1
3 9=6 =4 2AEFDS ×梯形
C G AEF 1 2,h h
1
1 1 1 1 123 3 2 3C AEF AEF A CEFV S h V− −
×= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =
2
1 1 1 2 223 3 2 3G AEF AEF A GEFV S h V− −
×= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =
1 2h h≠
( ) ( )( )2 2
sin
1 2 2
xf x
x x x
π=
+ − +
( )f x ( )f x
( )f x R ( 1,0)x∈ − ( )f x
( ) ( )( ) ( )2 2 2 21 2 2 ( 1)( 1) 1
sin x sin xf x
x x x x x
π π= =
+ − + + − +
( ) ( )( ) ( )2 2 2 21 2 2 ( 1)( 1) 1
sin x sin xf x
x x x x x
π π= =
+ − + + − +
( )g x = ( )( )2 21 2 2x x x+ − +
( ) ( ) ( ) ( )' 3 2 '' 2 '4 6 6 2, 6 2 2 1 0g x x x x g x x x g x= − + − = − + > ∴ 1 02g > 对称轴是 x＝ ，故 在 取得最小值，又 在 取得最大值，
故函数 有最大值；
另一方面，当 恒成立，且因为 siny x= π ( ) ( )1,2 , 3,4 ,
( )f x ( )1,2x∈ ( )' 1h π= − ( ) ( )' 1 2, 1,2g f x
π= > ∴
( ) 0,f x < ∴ ( )f x 3
2x = ' '3 30, 02 2g h > = ∴
( )f x
( ) ( )' '
0 0 0, ,x h x g x∃ = ∴ ( )f x ( )01, x 0
3, 2x
( ) ( )0minf x f x=
1 ,fx f x= − 1
2
1
2
− 16
13
= − 1
3
− 81 3
500
= − 1
2
− 1
3
−
1 2a = 1
2
1n
n
a a+ = +
2
1
n
n
n
ab a
+= −
*n N∈ { }nb nb
1 1
1
1
1
2 22 22 221 11
n n n
n n
n n
n
a a ab ba a
a
+ +
+
+
+
++ += = = =− −− 1 4b = { }nb
1 14 2 2n n
nb − += ⋅ =14.已知定义在 上的奇函数 满足当 时， ，则曲线 在
点 处的切线斜率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用奇函数的定义求出函数 在 上的解析式，然后利用导数可求出 的
值，即为所求结果.
【详解】当 时， ，由于函数 为奇函数，
当 时， ，则 ，
此时， ， .
因此，曲线 在点 处的切线斜率为 .
故答案为 .
【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，同时也考查了利用奇偶性求函数的解析式，考查
计算能力，属于中等题.
15.在等腰直角三角形 中,点 是边 异于 、 的一点.光线从点 出发,经过 、
反射后又回到点 (如图).若光线 经过 的重心,且 则
_________
【答案】
【解析】
R ( )f x 0x > ( ) 3lnf x x x
= − ( )y f x=
( )( )1, 1f− −
4
( )y f x= ( ),0−∞ ( )1f ′ −
0x > ( ) 3lnf x x x
= − ( )y f x=
0x < 0x− > ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3ln lnf x f x x xx x
= − − = − − − = − − − −
( ) ( ) ( )2 2
3 1 3 11f x x x x x
′ = − ⋅ − = −− ( ) 11 3 41f ′∴ − = − =−
( )y f x= ( )( )1, 1f− − 4
4
ABC P AB A B P BC
CA P QR ABC∆ 4,AB AC= = AP =
4
3【分析】
建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线 的方程，再将重心坐标
代入方程即可求解出 的长度.
【详解】建立平面直角坐标如图，作 关于 的对称点 ，作 关于 轴的对称点 ，设
，
因为 ， ，
所以 ，解得 ，
由光的反射原理可知： 四点共线，所以 ，
所以 ，代入重心坐标 即 ，
所以 ，解得 或 (舍).
故答案为： .
【点睛】本题考查直线方程在光线反射中的应用，难度较难.直线方程与轴对称以及光线反射
内容交汇时，可通过建立平面直角坐标系，利用坐标法简化问题，从而完成对应计算.
16.半径为 2 的球面上有 四点，且 两两垂直，则 ， 与
面积之和的最大值为______．
【答案】8
RQ
AP
P BC 1P P y 2P
AP a=
: 4 0BCl x y+ − = ( ) ( )1 2, , ,0P m n P a−
4 02 2
0 1
m a n
n
m a
+ + − = − = −
( )1 4,4P a−
1 2, , ,P P R Q 1 2
4
4RQ P P
ak k a
−= = +
( )4: 4RQ
al y x aa
−= ++
4 0 0 0 4 0,3 3
+ + + +
4 4,3 3
4 4 4
3 4 3
a aa
− = + +
4
3a = 0a =
4
3
, , ,A B C D , ,AB AC AD ABC∆ ACD∆
ADB∆【解析】
【分析】
AB，AC，AD 为球的内接长方体的一个角，故 ，计算三个三角形的面积之和，
利用基本不等式求最大值．
【详解】如图所示，将四面体 置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为
2．
不妨设 ， ， ，则有 ，即 ．
记 ．
从而有 ，即 ，从而
．
当且仅当 ，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为 8．
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答
关键是利用构造法求球的直径．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且
.
（1）求 的值；
（2）若 ，且 的面积 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
2 2 2 16x y z+ + =
A BCD−
AC x= AD y= AB z= 2 2 2
22
x y z+ + = 2 2 2 16x y z+ + =
1 1 1
2 2 2ABC ACD ADBS S S S yz xy zx= + + = + +△ △ △
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 22 4 0x y z S x y y z z x+ + − = − + − + − ≥ 4 32S ≤
8S ≤
x y z= =
ABC∆ A B C a b c
( )2 2 23 sin sin 4 2 sin sin 3sinB C B C A+ = +
tan A
3 2 sin
sin
c B
a A
= ABC∆ 2 2ABCS∆ = c
2tan 4A = 2 2c =（1）由正弦定理边角互化思想得 ，然后在等式两边同时除以 ，利
用余弦定理可求出 的值，利用同角三角函数的基本关系求出 的值，从而可求出
的值；
（2）由正弦定理边角互化思想得出 ，然后利用三角形的面积公式可求出 的值.
【详解】（1）因为 ，故 ，
，故 ，
因此， ；
（2）因为 ，故 ，即 ，
的面积为 ，即 ，故 ，
解得 .
【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考
查计算能力，属于中等题.
18.数列 的前 项和为 已知
(1)写出 与 的递推关系式
(2)求 关于 的表达式.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）将 代入整理即可得 与 的递推关系式
（2）构造等差数列即可得解
2 2 2 4 2
3b c a bc+ − = 2bc
cos A sin A
tan A
3 2
2b c= c
( )2 2 23 sin sin 4 2 sin sin 3sinB C B C A+ = + 2 2 2 4 2
3b c a bc+ − =
2 2 2 2 2cos 2 3
b c aA bc
+ −∴ = = 2 8 1sin 1 cos 1 9 3A A= − = − =
sin 1 3 2tan cos 3 42 2
AA A
= = × =
3 2 sin
sin
c B
a A
= 3 2c b
a a
= 3 2
2b c=
ABC∆ 1 sin 2 22ABCS bc A∆ = =
21 3 1 2 22 32
c× × = 2 8c =
2 2c =
{ }na n ,nS 2
1
1 , ( 1), 1,2,3, .2 n na S n a n n n= = − − =
nS 1nS − ( 2);n ≥
nS n
2
121 1n n
n nS Sn n −= ++ −
2
1n
nS n
= +
1( 2)n n na S S n−= − ≥ nS 1nS −【详解】(1)
（2）
故数列 是以 为首项、1 为公差的等差数列
【点睛】本题考查数列递推关系，考查等差数列的通项公式，考查变形化简能力，是中档题
19.如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ，
分别是 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦
2
1( ) ( 1) ( 2)n n nS n S S n n n−= − − − ≥
2 2
1( 1) ( 1)n nn S n n n S −∴ − = − +
2
121 1n n
n nS Sn n −∴ = ++ −
1
1 1 ( 2)1n n
n nS S nn n −
+ = + ≥−
1 1 91n n
n nS Sn n
+∴ − =−
1{ }n
n Sn
+
12 1S =
21
1n n
n nS n Sn n
+∴ = ⇒ = +
1 1 1ABC A B C− 1 1A AC C ⊥ ABC 90ABC∠ = °
1 130 , , ,BAC A A AC AC E F∠ = ° = = 1 1,AC A B
EF BC⊥
EF 1A BC
3
5值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】(1)如图所示，连结 ，
等边 中， ，则 ，
平面 ABC⊥平面 ，且平面 ABC∩平面 ，
由面面垂直的性质定理可得： 平面 ，故 ，
由三棱柱的性质可知 ，而 ，故 ，且 ，
由线面垂直的判定定理可得： 平面 ，
结合 ⊆平面 ，故 .
(2)在底面 ABC 内作 EH⊥AC，以点 E 为坐标原点，EH,EC, 方向分别为 x,y,z 轴正方向建立
空间直角坐标系 .
设 ，则 ， , ，
1 1,A E B E
1AAC△ AE EC= 1A E AC⊥
1 1A ACC 1 1A ACC AC=
1A E ⊥ ABC 1A E BC⊥
1 1A B AB∥ AB BC⊥ 1 1A B BC⊥ 1 1 1 1A B A E A=
BC ⊥ 1 1A B E
EF 1 1A B E EF BC⊥
1EA
E xyz−
1EH = 3AE EC= = 1 1 2 3AA CA= = 3, 3BC AB= =据此可得： ，
由 可得点 的坐标为 ，
利用中点坐标公式可得： ，由于 ，
故直线 EF 的方向向量为：
设平面 的法向量为 ，则：
，
据此可得平面 的一个法向量为 ，
此时 ，
设直线 EF 与平面 所成角为 ，则 .
【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空
间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平
面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间
向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20.已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 ， ．
（1）求线段 的中点 的轨迹 的方程；
（2）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点？若存在，求出 的
取值范围；若不存在，说明理由．
( ) ( ) ( )1
3 30, 3,0 , , ,0 , 0,0,3 , 0, 3,02 2A B A C
−
1 1AB A B=
1B 1
3 3, 3,32 2B
3 3, 3,34 4F
( )0,0,0E
3 3, 3,34 4EF =
1A BC ( ), ,m x y z=
( )
( )
1
3 3 3 3, , , , 3 3 02 2 2 2
3 3 3 3, , , ,0 02 2 2 2
m A B x y z x y z
m BC x y z x y
⋅ = ⋅ − = + − = ⋅ = ⋅ − = − + =
1A BC ( )1, 3,1m = 3 3, 3,34 4EF =
6 4cos , 53 55 2
EF mEF m
EF m
⋅= = =
× ×
1A BC θ 4 3sin cos , ,cos5 5EF mθ θ= = =
l 2 2
1 : 6 5 0C x y x+ − + = A B
AB M C
k : ( 4)L y k x= - C k【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用圆的几何性质，总有 ，根据斜率公式得到轨迹方程；（Ⅱ）
做出曲线 的图象， 恒过点 ，利用数形结合，可知斜率的变化范围．
试题解析：（Ⅰ）设 ，则 ，
当直线 的斜率不为 0 时，由 得 ，即
当直线 的斜率为 0 时， 也适合上述方程
∴ 线段 的中点 的轨迹的方程为 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知点 的轨迹是以 为圆心 为半径的部分圆弧 （如下图所示，
不包括两端点），且 ， ，又直线 ： 过定点 ，
当直线 与圆 相切时，由 得 ，又
，结合上图可知当 时，直线
： 曲线 只有一个交点．
2 23 9 3( ) . ( ,3]2 4 5x y x− + = ∈ 2 5 2 5 3 3[ , ] ,7 7 4 4k ∈ − ∪ −
1C M AB⊥
C : ( 4)L y k x= −
1C M AB⊥
l
l
EF
C ( )4y k x= −
C L
C ( )4y k x= − L考点：1、直线与圆的位置关系；2、中点轨迹方程；3、数形结合．
21.已知函数 ， ， ．
（1）若 ，且 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
（2）设函数 的图象 与函数 的图象 交于点 ， ，过线段 的中点作 轴
的垂线分别交 ， 于点 ， ，证明： 在点 处的切线与 在点 处的切线不平
行．
【答案】（1） ．（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1） ，则 ，所以
有解，即 有 的解，所以 ，所
以 的取值范围为 ；（2）设点 、 的坐标分别为 ， ，则
点 ， 的横坐标为 ， 在点 处的切线斜率为 ，
在点 处的切线斜率为 ，由反证法证明得 在点
处的切线与 在点 处的切线不平行．
( ) lnf x x= 21( ) 2g x ax bx= + 0a ≠
2b = ( ) ( ) ( )h x f x g x= − a
( )f x 1C ( )g x 2C P Q PQ x
1C 2C M N 1C M 2C N
( 1,0) (0, )− +∞
( ) 21ln 22h x x ax x= − − ( ) 1' 2h x axx
= − − 2 2 1ax x
x
+ −= −
( )' 0h x < 2 2 1 0ax x+ − > 0x >
2
2
1 2 1 1 1 1a x x x
> − = − − ≥ −
a ( ) ( )1,0 0,− ∪ +∞ P Q ( )1 1,x y ( )2 2,x y
M N 1 2
2
x xx
+= 1C M 1 21
1 22
1 2| x xx
k x x x+=
= = +
2C N
( )
1 2
1 2
2
2
| 2x xx
a x xk ax b b+=
+= + = + 1C M
2C N试题解析：
（1） 时， ，则 ，
因为函数 存在单调递减区间，所以 有解，
又因为 ，则 有 的解，
所以 ，
所以 的取值范围为 ．
（2）设点 、 的坐标分别为 ， ， ，
则点 ， 的横坐标为 ， 在点 处的切线斜率为 ，
在点 处 切线斜率为 ，
假设 在点 处的切线与 在点 处的切线平行，则 ，即
，
则
，
所以 ，设 ，则 ， ，①
令 ， ，则 ，
因为 时， ，所以 在 上单调递增，故 ，
的
2b = ( ) 21ln 22h x x ax x= − − ( ) 1' 2h x axx
= − − 2 2 1ax x
x
+ −= −
( )h x ( )' 0h x <
0x > 2 2 1 0ax x+ − > 0x >
2
2
1 2 1 1 1 1a x x x
> − = − − ≥ −
a ( ) ( )1,0 0,− ∪ +∞
P Q ( )1 1,x y ( )2 2,x y 1 20 x x< <
M N 1 2
2
x xx
+= 1C M 1 21
1 22
1 2| x xx
k x x x+=
= = +
2C N
( )
1 2
1 2
2
2
| 2x xx
a x xk ax b b+=
+= + = +
1C M 2C N 1 2k k=
( )1 2
1 2
2
2
a x x bx x
+= ++
( ) ( ) ( )2 1 2 2 2 2
2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1
1 2
2 ln ln2 2 2
x x a a ax x b x x x bx x bx y y x xx x
− = − + − = + − + = − = − +
2
12
21
1
2 1
ln
1
x
xx
xx
x
− =
+
2
1
xt x
= ( )2 1ln 1
tt t
−= + 1t >
( ) ( )2 1ln 1
tr t t t
−= − + 1t > ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
11 4'
1 1
tr t t t t t
−= − =
+ +
1t > ( )' 0r t > ( )r t ( )1,+∞ ( ) ( )1 0r t r> =则 ，这与①矛盾，假设不成立，
故 在点 处 切线与 在点 处的切线不平行．
22.设 均为正数，且 求：
（1） 的最大值；
（2） 的最小值.
【答案】（1） （2）1
【解析】
【分析】
（1）三次利用基本不等式 求解
（2）利用 求解即可
【详解】（1）由
得
由已知得
即 当且仅当 等号成
立
的最大值为
（2）因为 当且仅当 等号成立
所以
即 ， 的最小值为 1
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，多次利用不等式注意等号成立条件是解决本题的
的
( )2 1ln 1
tt t
−> +
1C M 2C N
, ,m n p 1.m n p+ + =
mn np pm+ +
2 2 2m n p
n p m
+ +
1
3
2 2 2 2 2 22 , 2 , 2m n mn n p np p m pm+ ≥ + ≥ + ≥
2 2 2
2 , 2 , 2m n pn m p n m pn p m
+ ≥ + ≥ + ≥
2 2 2 2 2 22 , 2 , 2 ,m n mn n p np p m pm+ ≥ + ≥ + ≥
2 2 2 .m n p mn np pm+ + ≥ + +
2( ) 1,m n p+ + =
2 2 2 2 2 2 1 3 3 3m n p mn np pm mn np pm+ + + + + = ≥ + + 1m n p 3
= = =
1 ,3mn np pm mn np pm∴ + + ≤ ∴ + + 1
3
2 2 2
2 , 2 , 2 .m n pn m p n m pn p m
+ ≥ + ≥ + ≥ 1m n p 3
= = =
2 2 2
( ) 2( ),m n p m n p m n pn p m
+ + + + + ≥ + +
2 2 2
1m n p
n p m
+ + ≥
2 2 2m n p
n p m
+ +关键．综合性较强，难度较大．
微信/支付宝扫码支付