湖北省荆门市龙泉中学、潜江中学2020届高三数学（文）12月月考试卷（附解析Word版）

龙泉中学潜江中学 2020 届高三年级 12 月联考 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考试务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应的题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试 卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. {0，2} B. {-2，0，2} C. {2} D. {0，2，4} 【答案】A 【解析】 【分析】 注意到集合 中 属于自然数,故先确定集合 中的元素,再求 即可. 【详解】依题意, ,故 , 故选:A 【点睛】本题主要考查交集的运算,注意看清集合中求的是哪个量的取值范围.本题中 故 为自然数. 2.已知平面向量 若 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 对应的坐标形式计算出 的值，然后根据模长的坐标形式计算出 的值即可. 【详解】因为 ，所以 ，所以 ， { }| 5 4M x N x= ∈ − < < { }2,0,2,4,6N = − M N = M x M M N∩ { | 5 4} {0,1,2,3}M x N x= ∈ − < < = {0,2}M N = x∈N x (2, 3), (6, ).m n λ= − =  ,m n⊥  n = 4 4− 4 13 2 13 m n⊥  λ n m n⊥  2 6 3 0λ× − = 4λ =所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查根据向量垂直关系求参数以及坐标形式下向量的模长计算，难度较易.已知 ，若 ，则有 . 3.设命题 所有正方形都是平行四边形，则 为（ ） A. 所有正方形都不是平行四边形 B. 有的平行四边形不是正方形 C. 有的正方形不是平行四边形 D. 不是正方形的四边形不是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【详解】“所以”改为“存在”（或“有的”），“都是”改为“不都是”（或“不是”）， 即 为有的正方形不是平行四边形 故选 C. 【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 4.记数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题要求 ,故直接令 再令 ,将两式相除即可. 【详解】当 时, ,当 时, ,所以 故选:D 【点睛】已知前 项积 求通项公式 ,则 . 5.下列图象中,可以作为 的图象的是（ ） 2 26 4 2 13n = + = ( ) ( )1 1 2 2, , ,a x y b x y= =  a b⊥  1 2 1 2 0x x y y+ = :p p¬ p¬ { }na nS 2 2 1 2 3n n na a a −⋅⋅⋅ = 5a = 43 53 63 73 5a 5n = 4n = 5n = 15 1 2 3 4 5 3a a a a a = 4n = 8 1 2 3 4 3a a a a = 71 2 3 4 5 5 1 2 3 4 3a a a a aa a a a a = = n nT na 1 1 ,( 1) ,( 2)n n n T n a T nT − = =  ≥ 4 3 2y x ax bx cx d= − + + + +A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 考虑函数的自变量 时函数值的正负，即可判断出符合要求的函数图象. 【详解】因为 的最高次项为 ， 当 时， ，当 时， ， 所以符合要求的仅有 C 选项. 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的判断，难度较易.判断一个函数的大致图象可以从函数的奇偶性、 单调性、特殊点的函数值正负等方面去判断. 6.已知三棱锥 中， ，则 三棱锥 的体积是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意明确 ，结合棱锥体积公式得到结果. 【详解】由 ， ，且 ，得 ； 又由 ， ，且 ，得 . 因为 ，从而知 ，即 所以 . ,x x→ +∞ → −∞ ( )f x 4x− x → +∞ ( ) 0f x < x → −∞ ( ) 0f x < S ABC− , 4, 2 13, 2, 62SAB ABC SB SC AB BC π∠ = ∠ = = = = = S ABC− 4 3 6 3 SA ABC⊥ 平面 4SB = 2AB = 2SAB π∠ = 2 3SA = 2AB = 6BC = 2ABC π∠ = 2 10AC = 2 2 2SA AC SC+ = 2SAC π∠ = SA AC⊥ SA ABC⊥ 平面又由于 ， 从而 . 故选 C. 【点睛】本题考查棱锥体积的计算，考查线面垂直的证明，考查计算能力与推理能力，属于 基础题. 7.已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 函数 的对称轴为 ，且在 上单调递增 B. 函数 的对称轴为 ，且在 上单调递增 C. 函数 的对称中心为 ，且在 上单调递增 D. 函数 的对称中心为 ，且在 上单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】 由 中 为常数,故可以考虑到利用函数对称性,再计算对 称轴与区间端点处的函数值考查单调性进行排除. 【详解】依题意, ,解得 ,因为 ,故函数 的对 称轴为 , 排除 C、D；因为 , ,故 ,排除 B, 故选:A． 【点睛】若函数 满足 则函数 关于 对称. 1 2 6 62ABCS = × × =  1 1 6 2 3 4 33 3S ABC ABCV S SA− = ⋅ = × × =  ( ) 6 2 2f x x x= − + ( )f x 3 2x = 30, 2      ( )f x 3 2x = 3 ,32      ( )f x 3 ,02      30, 2      ( )f x 3 ,2 32      3 ,32      ( ) 6 2 2f x x x= − + 6 2 2 6x x− + = 6 2 0 0 x x − ≥  ≥ 0 3x≤ ≤ 3 3 2 2f x f x   − = +       ( )f x 3 2x = 3 2 32f   =   (3) 6f = 3 (3)2f f  >   ( )f x ( ) ( )f a x f a x+ = − ( )f x x a=8.满足条件 的 面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设出 的坐标，给定 坐标，求解出 的轨迹方程，根据 的轨迹即可求解出 面积 的最大值. 【详解】设 ，因为 ， 所以 ，所以 ， 所以 的轨迹是以 为圆心，半径等于 的圆去掉点 两 点， 所以 . 故选：B. 【点睛】本题考查利用坐标法解决平面几何问题，着重考查了圆的相关知识，难度一般.使用 坐标法的前提是建立合适的平面直角坐标系，然后即可根据长度或者角度关系等确定坐标满 足的方程. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.将函数 的图像向右平移 个单位,得到的图像关于 轴 对称,则（ ） A. 的周期的最大值为 B. 的周期的最大值为 C. 当 的周期取最大值时,平移后的函数在 上单调递增 D. 当 的 周期取最大值时,平移后的函数在 上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】 2, 2AB AC BC= = ABC∆ 4 2 2 2 3 2 2+ 3 4 2+ C ,A B C C ABC∆ ( ) ( ) ( ), , 1,0 , 1,0C x y A B − 2AC BC= ( ) ( ) ( )2 22 21 2 1 0x y x y y − + = + + ≠  ( ) ( )2 23 8 0x y y+ + = ≠ C ( )3,0− 2 2 ( ) ( )3 2 2,0 , 2 2 3,0− − − ( )max 1 2 22ABCS r AB= × × =  ( ) sin 3 cos ( 0)f x x xω ω ω= + > 3 π y ( )f x 4 5 π ( )f x 4 11 π ( )f x [0, ]5 π ( )f x [0, ]5 π将函数 利用辅助角公式变形后，利用平移后函数图象的特点求解出 的最小值，此时有 周期的最大值，再据此分析出平移后函数在 上的单调性. 【详解】因为 ， 所以向右平移 个单位后得到 ， 又因为平移后得到的函数图象关于 轴对称，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 又因为 ，令 ， 所以 ，当 时 ， 所以 在 上单调递增. 故选：AC. 【点睛】本题考查三角函数的周期与单调性、图象平移以及三角恒等变换的综合应用，难度 一般. (1)求解三角函数周期的最值时，可将其与 的关系联系在一起：周期最大， 最小；周期最 小， 最大； (2)分析 的单调增或减区间时，可通过分析 的单调减 或增区间. 10.已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的离心率为 C. 曲线 经过 的一个焦点 D. 直线 与 有两个公共 ( )f x ω 0, 5 π     ( ) sin 3 cos 2sin 3f x x x x πω ω ω = + = +   3 π ( )12sin 2sin3 3 3y x x ω ππ πω ω −   = − + = +        y ( )1 ,3 2k k Z ω π ππ− = + ∈ 13 , , 02k k Zω ω= − − ∈ > min 1 53 2 2 ω = − = max min 2 4 5T π π ω= = 5 52sin 2cos2 2 2xy x π − = −   = 52 2 ,2k x k k Zπ π π≤ ≤ + ∈ 4 4 2 ,5 5 5k x k k Zπ π π≤ ≤ + ∈ 0k = 20, 5x π ∈   5 52sin 2cos2 2 2xy x π − = −   = 0, 5 π     ω ω ω ( )siny A xω ϕ= − + ( )siny A ωx φ= + C ( )3, 2 3 3y x= ± C 2 2 13 x y− = C 3 2 1xy e −= − C 2 1 0x y− − = C点 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据题意得到双曲线 的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项 A：由已知 ，可得 ，从而设所求双曲线方程为 ，又由双曲线 过点 ，从而 ，即 ，从而选项 A 正确； 对于选项 B：由双曲线方程可知 ， ， ，从而离心率为 ， 所以 B 选项错误； 对于选项 C：双曲线的右焦点坐标为 ，满足 ，从而选项 C 正确； 对于选项 D：联立 ，整理，得 ，由 ， 知直线与双曲线 只有一个交点，选项 D 错误. 故选 AC 【点睛】本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考 查推理能力与运算能力. 11.正方体 的棱长为 2, 分别为 的中点,则（ ） A. 直线 与直线 垂直 B. 直线 与平面 平行 C 3 3y x= ± 2 21 3y x= 2 21 3 x y λ− = C ( )3, 2 2 21 3 ( 2)3 λ× − = 1λ = 3a = 1b = 2c = 2 2 3 33 ce a = = = ( )2,0 2 1xy e −= − 2 2 2 1 0 13 x y x y  − − = − = 2 2-2 2 0y y + = 2(2 2) 4 2 0∆ = − × = C 1 1 1 1ABCD A B C D− , ,E F G 1 1, ,BC CC BB 1D D AF 1AG AEFC. 平面 截正方体所得的截面面积为 D. 点 与点 到平面 的距离相等 【答案】BC 【解析】 【分析】 A．利用线面垂直的定义进行分析； B．作出辅助线利用面面平行判断； C．作出截面然后根据线段长度计算出截面的面积； D．通过等体积法进行判断. 【详解】A．若 ，又因为 且 ，所以 平面 ， 所以 ，所以 ，显然不成立，故结论错误； B．如图所示，取 的中点 ，连接 ， 由条件可知： ， ，且 ，所以平面 平面 ， 又因为 平面 ，所以 平面 ，故结论正确； C．如图所示，连接 ，延长 交于点 ， AEF 9 2 C G AEF 1D D AF⊥ 1D D AE⊥ AE AF A∩ = 1DD ⊥ AEF 1DD EF⊥ 1CC EF⊥ 1 1B C Q 1 ,AQ GQ / /GQ EF 1 / /AQ AE 1 ,CQ AQ Q EF AE E= =  1 / /AGQ AEF 1AG ⊂ 1AGQ 1 / /AG AEF 1 1,D F D A 1 ,D F AE S因为 为 的中点，所以 ，所以 四点共面， 所以截面即为梯形 ，又因为 ， ， 所以 ，所以 ，故结论正确； D．记点 与点 到平面 的距离分别为 ， 因为 ， 又因为 ， 所以 ，故结论错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查空间立体几何 直线、平面间的关系及截面和体积有关的计算的综合应用， 难度一般. 12.设非负实数 满足 则 的（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】 采用三角代换的方式化简原式，然后利用换元法以及二次函数的值域求解出 的 最大值和最小值，注意取等号的条件. 的 ,E F 1 ,C C BC 1/ /EF A D 1, , ,A E F D 1AEFD 2 2 1 4 2 2 5D S AS= = + = 1 2 2A D = ( )1 2 21 2 22 2 2 5 62 2AD SS  = × × − =    1 3 9=6 =4 2AEFDS ×梯形 C G AEF 1 2,h h 1 1 1 1 1 123 3 2 3C AEF AEF A CEFV S h V− − ×= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = 2 1 1 1 2 223 3 2 3G AEF AEF A GEFV S h V− − ×= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = 1 2h h≠ ,x y 2 1,x y+ = 2 2x x y+ + 4 5 2 5 1 1 2 3 + 2 2x x y+ +详解】令 ， ， ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， ， 取最大值时 或 1，此时 或 ， 取最小值时 ，此时 . 故选：AC. 【点睛】本题考查用三角换元法求最值，着重考查逻辑推理和运算求解的能力，难度较难. (1)利用换元法求解最值时注意，换元后新元的取值范围； (2)三角函数中的一组“万能公式”： ， . 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.边长为 2 的正方形 中, 则 ________ 【答案】 【 cosx r θ= siny r θ= 0, 0, 2r πθ  > ∈   2 1x y+ = 2 cos sin 1r rθ θ+ = 1 2cos sinr θ θ= + 2 2 2 2 2 2 2 1 tan 2 1 1 tancos 1 2cos 2cos sin 1 tan 2tan2 22 1 tan 1 tan2 2 x x y r r θ θ θθ θ θθ θ θ θ − + +++ + = + = =+ − ⋅ + + + [ ]2 2 1 1 tan 0,121 5tan tan 1 tan2 2 2 2 4 θ θ θ θ  = = ∈   − + + − − +   ( )2 2 2max 1 1 1 5 2 4 x x y+ + = =  − +   ( )2 2 min 2 1 4 5 50 4 x x y+ + = = − + tan 02 θ = 0 1 x y =  = 1 2 0 x y  =  = 1tan 2 2 θ = 3 10 2 5 x y  =  = 2 2tan 2sin 1 tan 2 θ θ θ= + 2 2 1 tan 2cos 1 tan 2 θ θ θ − = + ABCD 1 3, ,2 5DE EC AF AD= =    AE BF⋅ =  16 15【解析】 【分析】 选取向量 作为平面内一组基底，然后根据条件将 分别表示为 组合的 形式，即可计算出 的结果. 【详解】因为 ， 所以 ，所以 所以 所以 . 故答案为： . 【点睛】本题考查向量数量积以及向量的线性运算在几何中的应用，难度一般.处理几何图形 中的向量数量积问题，关键是确定好基底，将向量用基底的形式表示出来，然后即可根据数 量积运算完成求解. 14.函数 在（a,10- ）上有最大值，则实数 a 取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【详解】要满足题意即函数 最大值必是区间上的极大值． 由已知 ， 当 时， ， 当 时， 或 ； 所以 是函数的极大值点， 则由题意得： ，解得 15.在等腰直角三角形 中,点 是边 异于 、 的一点.光线从点 出发,经过 、 反射后又回到点 (如图).若光线 经过 的重心,且 则 _________ 的 的 ,AD AB  ,AE BF  ,AD AB  AE BF⋅  1 3,2 5DE EC AF AD= =    3 3 5 5BF BA AD AB AD= + = − +     1 1 3 3AE AD DC AB AD= + = +     2 23 1 1 3 5 3 3 5AB AD AB AD AB ADAE BF    = − + ⋅ + = − +      ⋅          1 3 164 43 5 15AE BF = − × + × =⋅  16 15 31( ) 3f x x x= − + 2a [ )2,1− ( ) ( )( )2' 1 1 1f x x x x= − + = − + − ( )' 0f x > 1 1x− < < ( )' 0f x < 1x < − 1x > 1x = ( )21 10 ; ( ) 1a a f a f< < − ≤ 2 1a− ≤ < ABC P AB A B P BC CA P QR ABC∆ 4,AB AC= = AP =【答案】 【解析】 【分析】 建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线 的方程，再将重心坐标 代入方程即可求解出 的长度. 【详解】建立平面直角坐标如图，作 关于 的对称点 ，作 关于 轴的对称点 ，设 ， 因为 ， ， 所以 ，解得 ， 由光的反射原理可知： 四点共线，所以 ， 所以 ，代入重心坐标 即 ， 所以 ，解得 或 (舍). 4 3 RQ AP P BC 1P P y 2P AP a= : 4 0BCl x y+ − = ( ) ( )1 2, , ,0P m n P a− 4 02 2 0 1 m a n n m a + + − = − = − ( )1 4,4P a− 1 2, , ,P P R Q 1 2 4 4RQ P P ak k a −= = + ( )4: 4RQ al y x aa −= ++ 4 0 0 0 4 0,3 3 + + + +     4 4,3 3      4 4 4 3 4 3 a aa −  = + +   4 3a = 0a =故答案为： . 【点睛】本题考查直线方程在光线反射中的应用，难度较难.直线方程与轴对称以及光线反射 内容交汇时，可通过建立平面直角坐标系，利用坐标法简化问题，从而完成对应计算. 16.半径为 2 球面上有 四点，且 两两垂直，则 ， 与 面积之和的最大值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】 AB，AC，AD 为球的内接长方体的一个角，故 ，计算三个三角形的面积之和， 利用基本不等式求最大值． 【详解】如图所示，将四面体 置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为 2． 不妨设 ， ， ，则有 ，即 ． 记 ． 从而有 ，即 ，从而 ． 当且仅当 ，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为 8． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答 关键是利用构造法求球的直径． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ， ． 的 4 3 , , ,A B C D , ,AB AC AD ABC∆ ACD∆ ADB∆ 2 2 2 16x y z+ + = A BCD− AC x= AD y= AB z= 2 2 2 22 x y z+ + = 2 2 2 16x y z+ + = 1 1 1 2 2 2ABC ACD ADBS S S S yz xy zx= + + = + +△ △ △ ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 22 4 0x y z S x y y z z x+ + − = − + − + − ≥ 4 32S ≤ 8S ≤ x y z= = 3cos 4A = ( )2 2 24 4a c b ac+ = +（1）求证： ； （2）若 ，求 c 的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 (1)根据题目条件 易知使用 的余弦定理,化简即可求得 .再 根据 可算得 后再证明到 (2)由(1)可算得 角的正余弦函数值,故可以利用正弦定理与 求得 ,再求得 的角度关系利用关于 的余弦定理求 . 【详解】（1）依题意, ,则 , , 因为 ,故 ． （2）依题意, , , , 因为 ,即 ,可得 , 又 ,所以 , ； 由 ,得 ． 【点睛】本题主要考查二倍角公式,正余弦定理的综合运用. 重点是根据题目条件分析边角关系,再选用正弦或者余弦定理进行列式化简求解. 2B A= 12ab = 5 2 2 ( )2 2 24 4a c b ac+ = + cos B cos B 3cos 4A = cos2A 2B A= ,A B 12ab = ,a b C cosC c 2 2 2 4 aca c b+ − = 2 2 2 1 cos2 8 a c b Bac + − = = 2 2 3 1cos2 2cos 1 2 1 cos4 8A A B = − = × − = =   ( ),2 0,B A π∈ 2B A= 2 7sin 1 cos 4A A= − = 2 3 7sin 1 cos 8B B= − = 5 7sin sin( ) sin cos cos sin 16C A B A B A B= + = + = sin sin a b A B = 7 3 7 4 8 a b= 3 2a b= 12ab = 2 2a = 3 2b = sin sin a c A C = 5 72 2sin 5 216 sin 27 4 a Cc A × = = =18.已知首项为 3 的数列 的前 n 项和为 ，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）求证： 成等差数列． 【答案】(1) ；（2）见解析 【解析】 【分析】 (1)根据 可求得数列 的递推公式,再根据递推公式 判定 用累加法求得数列 的通项公式即可. (2) 要 证 明 成 等 差 数 列 则 证 , 分 别 算 出 再求解即可. 【 详 解 】（ 1 ） 因 为 , 故 , , , ,…, , , 把 上 面 个 等式叠加,得到 ,故 , 而 ,故 ． （2）由（1）可得 , , 故 , ,所以 , 故 成等差数列． 【点睛】本题主要考查累加法的运用以及等差数列的证明.本题也可以利用等差数列性质证明 . 19.如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1. { }na nS 1 2log 13 n n n a a+ − = { }na 1,3, n n nSS S+− − 3n na = 1 2log 13 n n n a a+ − = { }na 1 2 3n n na a+ − = ⋅ { }na 1,3, n n nSS S+− − 1( ) ( 3)n n n nS S S S+ − − = − − 1,n n nS SS + − 1 2log 13 n n n a a+ − = 1 2 3n n na a+ − = ⋅ 1 1 2 3 ( 2)n n na a n− −− = ⋅ ≥ 2 1 2 2 3n n na a − − −− = ⋅ 3 2 3 2 3n n na a − − −− = ⋅ 2 3 2 2 3− = ⋅a a 1 2 1 2 3a a− = ⋅ 1n − ( )2 1 1 2 3 3 3 3 3n n na a −− = ⋅ + +⋅⋅⋅+ = − 3 ( 2)n na n= ≥ 1 3a = 3n na = 1 1 1 3n n n nS S a + + +− = = ( ) 13 1 3 3 3 1 3 2 n n nS +− −= =− 1 13 3 3 3( 3) 32 2 n n nS + +− +− − = + = ( ) 1 1 1 1 1 3 3 3 33 2 2 n n n n n n n nS S S a S + + + + + − +− − = − = − = ( )1( 3)n n n nS S S S+− − = − − 1,3, n n nSS S+− − 1( ) ( 32 )n n nS SS += − + −（1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18 【解析】 【分析】 （1）先由长方体得， 平面 ，得到 ，再由 ，根据线面垂 直的判定定理，即可证明结论成立； （2）先设长方体侧棱长为 ，根据题中条件求出 ；再取 中点 ，连结 ，证明 平面 ，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为在长方体 中， 平面 ； 平面 ，所以 ， 又 ， ，且 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ； （2）设长方体侧棱长为 ，则 ， 由（1）可得 ；所以 ，即 ， 又 ，所以 ，即 ，解得 ； 取 中点 ，连结 ，因为 ，则 ； 所以 平面 ， 1 1E BB C C− 1 1B C ⊥ 1 1AA B B 1 1B C BE⊥ 1BE EC⊥ 2a 3a = 1BB F EF EF ⊥ 1 1BB C C 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B C ⊥ 1 1AA B B BE ⊂ 1 1AA B B 1 1B C BE⊥ 1BE EC⊥ 1 1 1 1B C EC C∩ = 1EC ⊂ 1 1EB C 1 1B C ⊂ 1 1EB C BE⊥ 1 1EB C 2a 1AE A E a= = 1EB BE⊥ 2 2 2 1 1EB BE BB+ = 2 2 12BE BB= 3AB = 2 2 2 12 2AE AB BB+ = 2 22 18 4a a+ = 3a = 1BB F EF 1AE A E= EF AB∥ EF ⊥ 1 1BB C C所以四棱锥 的体积为 . 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以 及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型. 20.已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 交于 M，N 两点． (1)求 k 的取值范围； (2)若 ＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 【答案】（1） ；（2）2． 【解析】 试题分析：（1）由题意可得，直线 l 的斜率存在，用点斜式求得直线 l 的方程，根据圆心到 直线的距离等于半径求得 k 的值，可得满足条件的 k 的范围． （2）由题意可得，经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行 求解 试题解析：（1）由题意可得，直线 l 的斜率存在， 设过点 A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0． 由已知可得圆 C 的圆心 C 的坐标（2，3），半径 R=1． 故由 ，解得： ． 故当 ，过点 A（0，1）的直线与圆 C： 相交于 M， N 两点． 1 1E BB C C− 1 1 1 1 1 1 1 1 3 6 3 183 3 3E BB C C BB C CV S EF BC BB EF− = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = × × × =矩形 OM ON⋅  4 7 4 7( , )3 3 − + 2 2 3 1 1 1 k k − + = + 1 2 4 7 4 7,3 3k k − += = 4 7 4 7 3 3k − +< < ( ) ( )2 22 3 1x y− + − =（2）设 M ；N ， 由题意可得，经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1，代入圆 C 的方程 ， 可得 ， ∴ ， ∴ ， 由 ，解得 k=1， 故直线 l 的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心 C 在直线 l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN|=2 考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算 21.设函数 （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个极值点 和 ，记过点 的直线的斜率为 ， 问：是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析：（2）不存在 【解析】 【详解】（1） 定义域为 ， ， 令 ， ①当 时， ， ，故 在 上单调递增， ②当 时， ， 的两根都小于零，在 上， ， 故 在 上单调递增， ( )1 1,x y ( )2 2,x y ( ) ( )2 22 3 1x y− + − = ( ) ( )2 21 4 1 7 0k x k x+ − + + = ( ) 1 2 1 22 2 4 1 7,1 1 kx x x xk k ++ = =+ + ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 12 4 11 1 1 1 k ky y kx kx k x x k x x k + += + + = + + + = + 2 1 2 1 2 2 12 4 8· 121 k kOM ON x x y y k + += + = =+   1( ) ln ( )f x x a x a Rx = − − ∈ ( )f x ( )f x 1x 2x 1 1 2 2( , ( )), ( , ( ))A x f x B x f x k a 2k a= − a ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 2 2 2 1 1' 1 a x axf x x x x − += + − = ( ) 2 21, 4g x x ax a= − + ∆ = − 2 2a− ≤ ≤ 0∆ ≤ ( )' 0f x ≥ ( )f x ( )0, ∞+ 2a < − > 0∆ ( ) 0g x = ( )0, ∞+ ( )' 0f x > ( )f x ( )0, ∞+③当 时， ， 的两根为 ， 当 时， ；当 时， ；当 时， ； 故 分别在 上单调递增，在 上单调递减. （2）由（1）知， ， 因为 . 所以 , 又由（1）知， ，于是 ， 若存在 ，使得 ，则 ，即 ， 亦即 （ ） 再由（1）知，函数 在 上单调递增， 而 ，所以 ，这与（ ）式矛盾， 故不存在 ，使得 . 22.设 均为正数，且 求： （1） ； （2） . 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】 (1)根据基本不等式变形： 可得到三组不等式，再根据条件 ， 2a > > 0∆ ( ) 0g x = 2 2 1 2 4 4,2 2 a a a ax x − − + −= = 10 x x< < ( )' 0f x > 1 2x x x< < ( )' 0f x < 2x x> ( )' 0f x > ( )f x ( ) ( )1 20, , ,x x +∞ ( )1 2,x x 2a > ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ln lnx xf x f x x x a x xx x −− = − + − − ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln11f x f x x xk ax x x x x x − −= = + ⋅− − 1 2 1=x x 1 2 1 2 ln ln2 x xk a x x −= − − a 2k a= − 1 2 1 2 ln ln 1x x x x − =− 1 2 1 2ln lnx x x x− = − 2 2 2 2 1 2ln 0( 1)x x xx − − = > * ( ) 1 2lnh t t tt = − − ( )0, ∞+ 2 1>x 2 2 2 1 2ln 1 1 2ln1 0x xx − − > − − = * a 2k a= − , ,m n p 1.m n p+ + = 1 3mn np pm+ + ≤ 2 2 2 1m n p n p m + + ≥ 2 2 2 a b ab + ≥ 1m n p+ + =即可证明问题； (2)构造基本不等式形式： 可得到三组不等式，再根据条件 ，即可证明问题. 【详解】（1）由 得 由已知得 即 取等号时 , （2）因为 所以 取等号时 , 即 【点睛】本题考查利用基本不等式完成证明，难度一般.利用基本不等式完成证明时，要学会 利用条件构造基本不等式形式去证明，同时要注意对于取到等号的条件进行说明. 2 2 2 , ,m n pn p mn p m + + + 1m n p+ + = 2 2 2 2 2 22 , 2 , 2 ,m n mn n p np p m pm+ ≥ + ≥ + ≥ 2 2 2 .m n p mn np pm+ + ≥ + + 2( ) 1,m n p+ + = 2 2 2 2 2 2 1 3 3 3m n p mn np pm mn np pm+ + + + + = ≥ + + 1 3m n p= = = 1 3mn np pm∴ + + ≤ 2 2 2 2 , 2 , 2 .m n pn m p n m pn p m + ≥ + ≥ + ≥ 2 2 2 ( ) 2( ),m n p m n p m n pn p m + + + + + ≥ + + 1 3m n p= = = 2 2 2 1m n p n p m + + ≥