数学（理）试卷
一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1.已知集合 A={x|x y
ϕ
4
π
8
π 3
8
π 5
8
π
( ) sin 2 cos2 2 sin(2 )4f x x x x
π= + = + ( )0ϕ ϕ >
2 sin(2 2 )4y x
πϕ= + + y 2 ( )4 2 k k Z
π πϕ π+ = + ∈
1= 2 8k
πϕ π + 0ϕ > 0k = ϕ
8
π
1
2
2 2, 1( )
log ( 1), 1
x xf x
x x
− − ≤= − + >
( ) 3f a = − (5 )f a− =
7
4
− 15
4
− 15
8
− 1
4
−
( )
1
2
2 2 1
1 1
x x
log x x
− − ≤= − +
，
， ＞∴f（5﹣a）＝f（5﹣7）＝f（﹣2）＝ ﹣2 ．
故选：C．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
6.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
,所以选 C.
7.已知命题 对任意 ，总有 ；
是 的充分不必要条件
则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由题设可知： 是真命题， 是假命题；所以， 是假命题， 是真命题；
所以， 是假命题， 是假命题， 是假命题， 是真命题；故选 D.
考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.
8.若 cos（ -α）= ，则 cos（ +2α）的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角公式求出 的值，再利用诱导公式求出 的值．
32− 15
8
= −
2 31 ,1 , lg , lg , lg10m a m b m c m ∈ = = =
a b c< < c a b< < b a c< < b c a< <
3 3lg ( 1,0), 2lg lg , lga m b m m a c m a a= ∈ − ∴ = = = =
:p x R∈ 2 0x >
:" 1"q x > " 2"x >
p q∧ p q¬ ∧ ¬ p q¬ ∧ p q∧ ¬
p q p¬ q¬
p q∧ p q¬ ∧ ¬ p q¬ ∧ p q∧ ¬
8
π 1
6
3
4
π
17
18
17
18
− 18
19
18
19
−
cos( 2 )4
π α− 3cos( 2 )4
π α+【详解】∵cos ＝ ，
∴cos ＝2 －1＝2× －1＝－ ，
∴cos ＝cos ＝－cos ＝ .
故选 A.
【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题．
9.已知向量 ，向量 ，则 的最大值，最小值分别是（ ）
A. ，0 B. 4， C. 16，0 D. 4，0
【答案】D
【解析】
分析】
利用向量的坐标运算得到|2 用 θ 的三角函数表示化简求最值．
【详解】解：向量 ，向量 ，则 2 （2cosθ ，
2sinθ+1），
所以|2 2＝（2cosθ ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4 cosθ+4sinθ＝8﹣8sin
（ ），
所以|2 2 的最大值，最小值分别是：16，0；
所以|2 的最大值，最小值分别是 4，0；
故选：D．
【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式
以及正弦函数的有界性．
10.已知函数 ，且在 上的最大值为 ，则实数 的值为
( )
【
8
π α −
1
6
24
π α −
2cos 8
π α −
21
6
17
18
3 24
π α + 24
ππ α − − 24
π α −
17
18
(cos ,sin )a θ θ= ( 3, 1)b = − 2a b−
4 2 4 2
|a b−
( )a cos sinθ θ= ， ( )3 1b = − ， a b− = 3−
|a b− 3− 3
3
πθ −
|a b−
|a b−
( ) ( )3sin 2f x ax x a R= − ∈ 0, 2
π
3
2
π − aA. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
由已知得 f′(x)=a(sinx+xcosx)，
对于任意的 x∈[0, ],有 sinx+xcosx>0,当 a=0 时,f(x)=− ，不合题意；
当 a0,从而 f(x)在[0, ]单调递增，
又函数在上图象是连续不断的,故函数 f(x)在[0, ]上的最大值为 f( )= a− =π− ，
解得 a=1
故选 B
点睛：本题是利用导函数来研究函数单调性和最值的问题，要进行分类讨论.
11.已知函数 f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中 ，则函数 g（x）=cos
（2x-φ）的图象（ ）
A. 关于点 对称 B. 关于轴 对称
C. 可由函数 f（x）的图象向右平移 个单位得到 D.可由函数 f（x）的图象向左平移 个
单位得到
【答案】B
【解析】
分析】
利用三角函数的奇偶性求得 φ，再利用三角函数的图象对称性、函数 y=Asin（ωx+φ）的图
象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】函数 f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中 ，
∴y=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，∴3φ= ，φ= ，则函数 g（x）=cos（2x﹣φ）=cos
【
1
2
3
2
2
π 3
2
2
π
2
π
2
π 3
2
2
π
2
π
2
π
2
π
2
π 3
2
3
2
(0, )2
πϕ ∈
( ,0)12
π 5
12x
π= −
6
π
3
π
0, 2
πϕ ∈
2
π
6
π（2x﹣ ）．
当 时， ， ，则函数不关于点 对称，选项 A 错误；
当 时， ，则函数关于直线 对称，选项 B 正确；
函数 ，
其图像向右平移 个单位的解析式为 ，
选项 C 错误；
其图像向左平移 个单位的解析式为 ，
选项 D 错误；
故选 B.
【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，
属于中档题．函数 （A>0,ω>0）的性质：（1）奇偶性： 时，
函数 为奇函数； 时，函数 为偶函数.；
（2）周期性： 存在周期性，其最小正周期为 T= ；（3）单调性：根据
y=sint 和 t= 的单调性来研究，由 得单调增区间；
由 得单调减区间；（4）对称性：利用 y=sinx 的对称中
心为 求解，令 ，求得 x；利用 y=sin x 的对称轴为
求解，令 ，得其对称轴.
12.设函数 在 R 上存在导函数 ,对于任意的实数 ，都有 ，当
时， .若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B.
6
π
12x
π= 2 06x
π− = 112g
π = ,012
π
5
12x π= − 2 6x
π π− = − 5
12x π= −
( ) 2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x
π = + = =
6
π sin 2 sin 2 sin 26 3y x x x
π π = = − = −
3
π 2sin 2 sin 2 sin 23 3y x x x
π π = = + = +
( )siny A xω ϕ= + =kϕ π ,k Z∈
( )siny A xω ϕ= + = 2k
πϕ π + ,k Z∈ ( )siny A xω ϕ= +
( )siny A xω ϕ= + 2π
ω
xω ϕ+ +2 2 ,2 2k x k k Z
π ππ ω ϕ π− ≤ + ≤ + ∈
3+2 2 ,2 2k x k k Z
π ππ ω ϕ π≤ + ≤ + ∈
( )( ),0k k Zπ ∈ ( )x k kω ϕ π+ = ∈Ζ
( )
2x k k Z
ππ= + ∈ ( )+ 2x k k
πω ϕ π+ = ∈Ζ
( )f x ( )f x′ x 2( ) 4 ( )f x x f x= − −
( , 0)x ∈ −∞ 1( ) 42f x x′ + ＜ ( 1) ( ) 4 2f m f m m+ ≤ − + + m
1 ,2
− +∞
3 ,2
− +∞ C. D.
【答案】A
【解析】
由 ，所以 ，
设 ，则 ，所以函数 为奇函数，
则 ，故函数 在 上为减函数，在 为增函数，
若 ，则 ，
即 ，所以 ，即 ，故选 A．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13.“ ”是“ ”的一个__________条件.(在“充分不必要”、“必要不充
分”、“充要”、“既不充分也不必要”选择一个填写)
【答案】充分不必要
【解析】
可 得 , 则 , 因 此 “ ”⇒“ ”， 且
“ ”⇍“ ”，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
14. ________
【答案】
【解析】
因 ， 而 ，
，应填答案 ．
15.若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的距离的最小值为
____________
【答案】
[ )1,− +∞ [ )2,− +∞
( ) 24 ( )f x x f x= − − ( ) 2 22 ( ) 2 0f x x f x x− + − − =
( ) ( ) 22g x f x x= − ( ) ( ) 0g x g x+ − = ( )g x
( ) ( ) 14 2g x f x x= − < −′ ′ ( )g x ( ,0)−∞ (0, )+∞
( )1 ( ) 4 2f m f m m+ ≤ − + + ( ) 2 21 2( 1) ( ) 2f m m f m m+ − + ≤ − +
( )1 ( )g m g m+ ≤ − 1m m+ ≥ − 1
2m ≥ −
1x > ( )1
2
log 2 0x + <
( )1
2
log 2 0x + < 2 1x + > 1x > − 1x > ( )1
2
log 2 0x + <
1x > ( )1
2
log 2 0x + < 1x > ( )1
2
log 2 0x + <
( )1
2
0
2 1x x dx+ − =∫
1 4
π+
1 1 1
2 2
0 0 0
(2 1 ) (2 ) 1x x dx x dx x dx+ − = + −∫ ∫ ∫ 1
2 2
0
(2 ) 1 0 1x dx = − =∫
1 2 2
2 2 2
0
0 0 0
1 1 11 ) cos (1 cos2 ) sin 2 |2 2 2 2 4x dx tdt t dt t
π π
ππ π− = = + = × + =∫ ∫ ∫ 1 4
π+
P 2 lny x x= − P 2y x= −
2【解析】
解：因为点 P 是曲线 上任意一点，则点 P 到直线 的距离的最小值是过
点 P 的切线与直线平行的时候，则 ，那么可知两平行线只见到 距离为
16.定义在 上的函数 满足 ,当 时, ，
则函数 在 上的零点个数是______.
【答案】605
【解析】
分析：分析已知条件得出函数 是周期函数，且周期为 10，这样只要研究函数在一个周期
内的零点个数，就可以得出结论．
详解：由 得 ，∴ ，即
是以 10 为周期的周期函数．
当 时， ，作出 和 图象，知 在 上有一个
零点，另有两个零点 2 和 4，可作出 的草图，从图象上知，在 上 的最大值不
大于 2，
当 时， ，即此时 无零点，
∴函数 在一个周期内只有 3 个零点，即 上有 个零点，
当 时，其图象与 的图象是一致的，有 2 个零点，
所以共有 603＋2＝605 个零点．
点睛：本题考查函数的零点，考查函数的周期性．实际上本题是求区间 上的零点个
的
2 lny x x= − 2y x= −
1' 2 1 1y x xx
= − = ∴ =
2
R ( )f x ( ) ( )5 16f x f x+ + = ( ]1,4x∈ − ( ) 2 2xf x x= −
( )f x [ ]0,2016
( )f x
( ) ( 5) 16f x f x+ + = ( 5) ( 10) 16f x f x+ + + = ( 10) ( )f x f x+ = ( )f x
( 1,4]x∈ − 2 2( ) xf x x= − 2y x= 2xy = ( )f x ( 1,0)−
( )f x ( 1,4]− ( )f x
(4,9]x∈ ( ) 16 ( 5) 14f x f x= − − > ( )f x
( )f x [0,2010] 201 3 603× =
[2010,2016]x∈ [0,6]x∈
[0,2016]数，这个区间长度够大了，因此只有周期性才能得出正确结论，而有了周期性，我们只要研
究函数在一期内的性质即可．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17——21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共 60 分
17.已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的对称中心；
(Ⅱ)求 在 上的单调区间.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：(1) ，令 解得 x
即可(Ⅱ) 求 在 上的单调区间，则令 解得 x,对 k 赋
值得结果.
试题解析：
(Ⅰ)
令 ，得 ，
故所求对称中心为
(Ⅱ)令 ，解得
又由于 ，所以
故所求单调区间为 .
点睛：三角函数的大题关键是对 f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成
( ) 2 13sin cos cos 2f x x x x= − −
( )f x
( )f x [ ]0,π
, 1 ,2 12
k k Z
π π + − ∈
50, , ,3 6
π π π
( ) 2 13sin cos cos sin 2 12 6f x x x x x
π = − − = − − 2 6x k
π π− =
( )f x [ ]0,π 2 2 22 6 2k x k
π π ππ π− ≤ − ≤ +
( ) 3 1 cos2 1sin2 sin 2 12 2 2 6
xf x x x
π+ = − − = − −
2 6x k
π π− =
2 12
kx
π π= +
, 1 ,2 12
k k Z
π π + − ∈
2 2 22 6 2k x k
π π ππ π− ≤ − ≤ + ,6 3k x k k Z
π ππ π− ≤ ≤ + ∈
[ ]0,x π∈ 50, ,3 6x
π π π ∈ ∪
50, , ,3 6
π π π
类型，把 wx+ 看成整体进行分析.
18. 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ， 面积为 2，求 ．
【答案】（1） ；（2）2．
【解析】
试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知 ，再利用诱导公式化简
，利用降幂公式化简 ，结合 ，求出 ；（2）由
（1）可知 ，利用三角形面积公式求出 ，再利用余弦定理即可求出 .
试题解析：（1） ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
（2）由（1）可知 ，
∵ ，∴ ，
∴
，
∴ ．
19.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ABCD， ， ，
，点 E 在 BC 上， ．
（1）求证：平面 平面 PAC；
（2）若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值．
( )siny A wx ϕ= + ϕ
, ,a b c 2sin( ) 8sin 2
BA C+ =
cos B
6a c+ = ABC∆ b
15
17
A C Bπ+ = −
( )sin A C+ 28sin 2
B 2 2sin cos 1B B+ = cos B
8sin 17B = ac b
( ) 2sin 8sin 2
BA C+ = ( )sin 4 1 cosB B= − 2 2sin cos 1B B+ =
( )2 216 1 cos cos 1B B− + = ( )( )17cos 15 cos 1 0B B− − = 15cos 17B =
8sin 17B =
1 sin 22ABCS ac B
= ⋅ = 17
2ac =
( )22 2 2 2 2 2 217 152 cos 2 15 2 15 36 17 15 42 17b a c ac B a c a c a c ac= + − = + − × × = + − = + − − = − − =
2b =
P ABCD⋅ PAB ⊥ PA AB⊥ AD / /BC
AB AD⊥ BC 2AB 2AD 4BE 4= = = =
PED ⊥
5
5 A PC D− −【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利
用向量法能证明平面 PED⊥平面 PAC．
（2）求出平面 PAC 的一个法向量和平面 PCD 的一个法向量，利用向量法能求出二面角
A﹣PC﹣D 的余弦值．
【详解】证明：（1）∵平面 PAB⊥平面 ABCD，
平面 PAB∩平面 ABCD＝AB，PA⊥AB，
∴PA⊥平面 ABCD，
∵AB⊥AD，∴以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标
系，
则 A（0，0，0），D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），设 P（0，0，λ），λ＞0，
则 （2，4，0）， （0，0，﹣2）， （2，﹣1，0），
∴ 4﹣4+0＝0， 0，
∴DE⊥AC，DE⊥AP，
∵AC∩AP＝A，∴DE⊥平面 PAC，
∵DE⊂平面 PED，∴平面 PED⊥平面 PAC．
解：（2）由（1）知平面 PAC 的一个法向量为
（2，﹣1，0），
∵直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 ，
（2，1，﹣λ），
∴|cos |＝| | ，
解得 λ＝±2，
∵λ＞0，∴λ＝2，即 P（0，0，2），
15
5
AC = AP = DE =
DE AC⋅ = DE AP⋅ =
DE =
5
5
PE =
PE DE ＜ ， ＞ 2
4 1
5 5 λ
−
⋅ +
5
5
=设平面 PCD 的一个法向量为 （x，y，z），
（2，2，0）， （0，﹣2，2），
∴ ，取 x＝1，得 （1，﹣1，﹣1），
∴cos ，
∵二面角 A﹣PC﹣D 的平面角是锐角，
∴二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值为 ．
【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真
审题，注意向量法的合理运用．
20.已知函数 为自然对数的底数.
(1)当 时,试求 的单调区间;
(2)若函数 在 上有三个不同的极值点,求实数 的取值范围.
【答案】（1）单调增区间为 ,单调减区间为 ；（2）
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）依据题设运用导数的有关知识进
n =
DC = DP =
2 2 0
2 2 0
n DC x y
n DP y z
⋅ = + = ⋅ = − + =
n =
3 15
53 5
n DE = =
⋅
＜ ， ＞
15
5
( ) ( )e ln ,e
x
f x a x xx
= + −
0a > ( )f x
( )f x 1 ,22x ∈ a
( )1, ∞+ ( )0,1 ( )2 e, e− −行分析探求.
试题解析：
（1）函数的定义域为
, .当
时，对于
恒成立，所以，若 ，若 ，所以
的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（2）由条件可知 ，在 上有三个不同的根，即 在
上有两个不同的根，且 ，令 ，则 ，当
单调递增， 单调递减， 的最大值为
，而
.
考点：导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数
解析式 为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调
性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数
的单调区间,求解时运用求导法则借助 的范围及导数与函数的单调
性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数 ,运用求导法则
及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出 ,使得问题获解.
21.已知函数 ．
( )0,x∈ +∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2
11 1 11' 1
xx x e ax xe x e x ax xf x ax x x x
+ −− − + − = + − = =
0a >
( )0, , 0xx e ax∀ ∈ +∞ + > ( )1, ' 0x f x> > ( )0 1, ' 0x f x< < <
( )f x ( )1,+¥ ( )0,1
( )' 0f x = 1 ,22x ∈ 0xe ax+ = 1 ,22x ∈
a e≠ − ( ) xeg x a x
= = − ( ) ( )1'
xe xg x x
−= − 1 ,12x ∈
( )1,2x∈ ( )g x∴
( ) ( ) 21 11 , 2 , 22 2g e g e g e = − = − = −
2 21 12 2 0, 22 2e e e e e a e − − − = − > ∴− < < −
( ) ( )ln
xef x a x xx
= + −
( ) ( )ln
xef x a x xx
= + −
( ) xeg x a x
= = −
( ) 2 lnf x x bx a x= + −（1）当函数 在点 处的切线方程为 ，求函数 的解析式；
（2）在（1）的条件下，若 是函数 的零点，且 ，求 的值；
（3）当 时，函数 有两个零点 ，且 ，求证：
．
【答案】（1） （2） （3）详见解析
【解析】
试题分析：（1）先求出 的导函数，再根据 且 可以
求得 的值进而得函数 的解析式；（2）先根据导数研究函数 的单调性，再根
据零点定理判定出零点 所在区间即可求得 的值；（3）根据 做差先将
表示成关于 的函数 ，然后证明 即可．
试题解析： （1） ，所以 ，
∴函数 的解析式为 ；
（2） ，
因为函数 的定义域为 ，
令 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
且函数 的定义域为 ，
令 ，
且 时， 单调递减，
( )f x ( )( )1, 1f 5 5 0y x+ − = ( )f x
0x ( )f x ( ) *
0 , 1 ,x n n n N∈ + ∈ n
1a = ( )f x ( )1 2 1 2,x x x x< 1 2
0 2
x xx
+=
( )0 0f x′ >
( ) ( )2 6ln 0f x x x x x= − − > 3n =
( ) 2 lnf x x bx a x= + − ( )' 1 5f = ( )1 0f =
,a b ( )f x ( )f x
0x n ( ) ( )1 2,f x f x
( )0'f x 1
2
x tx
= ( ) ( )0'f x h t= ( ) 0h t >
( ) 2 af x x b x
′ = + − ( )
( )
1 2 5 1{ {1 1 0 6
f b a b
f b a
= + − = − = −⇒= + = =
′
( )f x ( ) ( )2 6ln 0f x x x x x= − − >
( ) ( ) 2
2 6 2 66ln 2 1 x xf x x x x f x x x x
− −= − − ⇒ = − − =′
( )f x 0x >
( ) ( )( )2 3 2 30 22
x xf x x xx
+ −= = = −′ ⇒ =或
( )0,2x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
( )2,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x 0x >
( ) ( )( )2 3 2 30 22
x xf x x xx
+ −= = = −′ ⇒ =或
( )0,2x∈ ( ) ( )0,f x f x′ ( )f x
( )f x ( )1 0f =
( ) ( ) ( ) ( ) 2
3 6 1 ln3 0, 4 6 2 ln 4 6ln 04
ef f= − = − =
( )0 3,4x ∈ 3n =
1a = ( ) 2 lnf x x bx x= + −
( ) ( )2 2
1 1 1 1 2 2 2 2ln 0, ln 0f x x bx x f x x bx x= + − = = + − =
( ) ( )2 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
ln lnln ln 0, x xx x b x x x x b x xx x
−− + − − + = = − +−
( ) ( )0 0
0
1 12 , 2f x x b f x x bx x
= + − + −′ =′ 1 2
0 2
x xx
+=
( ) ( )1 2 1 2
0 1 2
1 2 1 2
ln ln 22 2
x x x xf x x xx x x x
+ −= × + − + −− +
′
( )2 12 1
2 1
2 1 1 2 2 1 1 2
2
12
22 1 1
1
2ln ln 2 1 ln ln
2 1
1 ln
1
x xx x x xx x x x x x x x
x
xx
xx x x
x
−−= − = − − − + − +
− = − − +
( ) ( )2
1
2 11, ln 1
tx t h t tx t
−= > = − +
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2
1 4 11 4 0
1 1 1
t t th t t t t t t t
+ − −= − = = >
+ + +
′
( )h t ( )1,+∞ ( )1 0h =
( ) 0h t >
2 1
1 0x x
>− ( )0 0f x′ >题．涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研
究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、
交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找
到解题的思路．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分
22.在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为
．
（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值．
【答案】（1）曲线 的普通方程得 ，曲线 的直角坐标方程为 ；
（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 消去参数 得，即可得到曲线 的普通方程；利用 ，代
入即可求解曲线 的直角坐标方程；
（2）设 ，利用两点间的距离公式求得点 到曲线 的距离为
，即可求解.
【详解】（1）由 消去参数 得，曲线 的普通方程得 ．
xOy O x
1C 2 2 cos
2sin
x
y
θ
θ
= =
θ 2C
cos 2 sin 5 0ρ θ ρ θ− − =
1C 2C
P 1C Q 2C PQ
1C
2 2
18 4
x y+ = 2C 2 5 0x y− − =
3
3
2 2
2
x cos
y sin
θ
θ
= =
θ 1C x cos
y sin
ρ θ
ρ θ
=
=
2C
( )2 2cos ,2sinP θ θ P 2C
5 4cos 4
3
d
πθ − + =
2 2
2
x cos
y sin
θ
θ
= =
θ 1C
2 2
18 4
x y+ =将 代入曲线 的极坐标方程为 ，得曲线 的直角坐
标方程为 ．
（2）设 ，则点 到曲线 的距离为
．
当 时， 有最小值 ，所以 的最小值为
【点睛】本题主要靠考查了参数方程与极坐标方程的互化，其中数据曲线的参数方程和普通
方程的互化，以及极坐标与直角坐标的互化公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理
与运算能力.
23.选修 4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）设关于 的不等式 的解集为 ，且 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）当 时，由零点分段法，求不等式 的解集，最后取并集即可；
（2）由题设条件可得 在 上恒成立，然后分类讨论去绝对值，
即可求得 的取值范围.
试题解析：（1）当 时， ， ，即
或 或 .
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= 2C cos 2 sin 5 0ρ θ ρ θ− − = 2C
2 5 0x y− − =
( )2 2cos ,2sinP θ θ P 2C
4cos 5 5 4cos2 2cos 2 2sin 5 4 4
1 2 3 3
d
π πθ θθ θ
+ − − + − − = = =
+
cos 14
πθ + = d 3
3
PQ 3
3
( ) ( )3 1f x x a x a R= + + − ∈
1a = − ( ) 1f x ≤
x ( ) 3 1f x x≤ + M 1 ,14 M ⊆ a
1 1
4 2x x ≤ ≤
7 13 a− ≤ ≤
1a = − ( ) 1f x ≤
3 1 3 1x a x x+ + − ≤ + 1 ,14
a
1a = − ( ) 1 3 1f x x x= − + − ( ) 1 1 3 1 1f x x x≤ ⇒ − + − ≤
1
3
1 1 3 1
x
x x
≤
− + − ≤
1 13
1 3 1 1
x
x x
<
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