2020 届高三第一学期
第二次阶段 数学（理）考试
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答
题纸的指定位置上.
1.设集合 ，则 ___． .
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据集合的并集的运算，可得 ，得到答案.
【详解】由题意，集合 ，
根据集合的并集的运算，可得 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，其中解答中熟记集合并集的概念及运算是解答的
关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2.已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的模为__．
【答案】 .
【解析】
【分析】
由复数的运算法则，化简得 ，再由复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，复数满足 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数模的计算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，
以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
{ } { }2 0 , 1 1A x x B x x= − < < = − < < A B =
( )2,1−
{ | 2 1}A B x x= − < 2 或 0 >⇒> > < −或
3sin 4 5x
π + = sin2x
7
25
-
2
π
4
π
1−
3sin 4 5x
π + =
-
2
π
4
π
1− 18
25
7
25
−
7
25
x ( ) ln 3f x x kx= − + k =
2e
1( )f x kx
′ = − ( ) 0f x′ = 1x k= x ( )f x是函数的一个极值点，得到 ，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
令 ，即 ，解得 ，
因为 轴是曲线 的一条切线，所以 是函数的一个极值点，
则 ，即 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及函数的极值点的概念及其应用，其中
解答中把 轴是曲线 的一条切线，转化为 是函数的一个极值点是解答的关键，着
重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
6.已知双曲线 的右焦点为 若以 为圆心的圆
与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为_____.
【答案】 .
【解析】
【分析】
通过配方先求出圆心和半径，根据圆与此双曲线的渐近线相切，利用点到直线的距离公式，
得到 ，得出 ，再利用双曲线的离心率的公式，即可求解.
【详解】由题意，圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
以为 为圆心的圆 与此双曲线的渐近线 相切，
所以 ，整理得 ，即 ，
所以该双曲线的离心率 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，以及圆的标准方程，直线与圆的位置关系的应
1x k=
1ln 2k
= −
( ) ln 3f x x kx= − + 1( )f x kx
′ = −
( ) 0f x′ = 1 0kx
− = 1x k=
x ( ) ln 3f x x kx= − + 1x k=
1 1 1( ) ln 3 0f kk k k
= − × + = 1ln 2k
= − 2k e=
2e
x ( )f x 1x k=
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > ,F F 2 2 6 5 0x y x+ − + =
3 5
5
d r= 2 24 5a b=
2 2 6 5 0x y x+ − + = (3,0)F 2r =
F 2 2 6 5 0x y x+ − + = by xa
= ±
2 2
3b 2
a b
=
+
2 24 5a b=
2
2
4
5
b
a
=
2
2
3 51 5
c be a a
= = + =
3 5
5用，其中解答中根据双曲线的渐近线与圆相切，得到关于 的关系式是解答的关键，着重考
查了推理与运算能力，属于基础题.
7.已知函数 ，则不等式 的解集为____.
【答案】 .
【解析】
【分析】
由指数函数与一次函数的性质，得到函数 在 为单调递增函数，由 ，
可得 ，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，函数 ，
根据指数函数与一次函数的性质，可得函数 在 为单调递增函数，
又由 ，则 ，即 ，
解得 ，即不等式的解集为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了分段函数 单调性的应用，以及一元二次不等式的求解，其中解答
中根据指数函数与一次函数的性质，得到函数 的单调性是解答的关键，着重考查了推理
与运算能力，属于基础题.
8.如图，在扇形 AOB 中，OA=4，∠AOB=120°,P 为弧 AB 上的一点，OP 与 AB 相交于点 C,若
，则 的值为______.
【答案】4.
【解析】
的
,a b
( 0)( )
1 ( 0)
xe xf x
x x
≥= +
− >
<
>
< > ( 2,0)A −
1
2 A l E B C y
E
ABC C l
2 2
14 3
x y+ = 30, ( 2)4y y x= = ± +【解析】
试题分析：（1）根据条件列关于 a,b,c 方程组，解得 a,b（2）先设直线方程（点斜式），与
椭圆方程联立解得 B 点坐标，由 AC 与 BC 垂直，以及 AC=BC 解出 C 点纵坐标，得关于 k 的二
次方程，即得直线方程
试题解析：（1）由题意可得： ，即 ，
从而有 ，
所以椭圆 标准方程为： ．
（2）设直线 的方程为 ，代入 ，
得 ，
因为 为该方程的一个根，解得 ，
设 ,由 ,得： ，
即：
由 ,即 ，得 ，
即 ，
即 ，
所以 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，
当 时，代入 得 ，解得 ，
的
2
1
2
a
e
= =
2
1
2
a
c
a
= =
2 2 2 3b a c= − =
E
2 2
14 3
x y+ =
l ( )2y k x= + 2 2
14 3
x y+ =
( )2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k+ + + − =
2x = −
2
2 2
6 8 12,3 4 3 4
k kB k k
−
+ +
( )00,C y 1AC BCk k⋅ = − 020
2
2
12
3 4 16 82
3 4
k yy k
k
k
−+⋅ = −−
+
( ) ( )2 2 2
0 03 4 12 16 12 0k y ky k+ − + − = ( )*
AC BC= 2 2AC BC=
2 22
2
0 02 2
6 8 124 3 4 3 4
k ky yk k
− + = + − + +
2 22
02 2 2
6 8 12 244 3 4 3 4 3 4
k k k yk k k
− = + − + + +
( ) ( ) ( )2 22 2 2 2
04 3 4 6 8 144 24 3 4k k k k k y+ = − + − +
0k = 0 2
2
3 4
ky k
−= +
0k = l 0y =
0 2
2
3 4
ky k
−= +
( )* 4 216 7 9 0k k+ − = 3
4k = ±此时直线 的方程为 .
综上,直线 方程为 ， .
19.已知函数 （ ）， 是自然对数的底数．
（1）当 时，求 的单调增区间；
（2）若对任意 ， （ ），求 的最大值；
（3）若 的极大值为 ，求不等式 的解集．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）求出 并整理为 ，结合 即可求得函数 的单调增
区间.
（2）对 的取值分类，当 时，经检验，不合题意；当 时，即可利用（1）求得
的增减性，并求得 时， 最小值为 ，可将 转化为 ，不妨设
，则 ，利用导数即可求得 最大值为 ，问题得解．
（3）当 时， 无极大值，当 时，由 的极大值为 可求得 ，设
，对 范围分类，利用 可得：当 时，
，结合 即可得解．
【详解】（1） 的定义域为 ．
因为 ，
令 ，因为 ，得 ， 因为 ，
的
的
l ( )3 24y x= ± +
l 0y = ( )3 24y x= ± +
2
( ) 1 ln
axf x x
= + 0a ≠ e
0a > ( )f x
1
2x ≥ 1( ) 2ebf x −≥ b R∈ b
a
( )f x 2− ( ) e 0xf x + <
( )1
2e
− + ∞， 1
e
( )1e 1− ，
( )f x′ ( ) ( )2
12 ln2
1 ln
ax x
f x
x
+
=
+
′ 0a > ( )f x
a 0a < 0a > ( )f x
1
2x ≥ ( )f x 2
e
a ( ) 12ebf x −≥ eba≥
0b >
eb
b b
a≤
eb
b 1
e
0a > ( )f x 0a < ( )f x 2− a e= −
( ) ( ) exF x f x= + x e exx≤ ( )1ex −∈ + ∞，
( ) ( )
( )2
e 1 2lne 0
1 ln
x x xF x
x
+−
+
′ = ≥ ( )1 0F =
( )f x ( ) ( )1 10 e e− − + ∞， ，
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
11 2 ln2 1 ln 2
1 ln 1 ln
ax xax x ax xf x
x x
++ − ⋅
+ +
′ = =
( ) 0f x′ > 0a > 1
2ex
−> 1
12e e
− −> 所以 的单调增区间是 ．
（2）当 时， ，不合题意；当 时，令 ，得
或 ，
所以 在区间 和 上单调递减． 因为 ，且 在区间
上单调递增，
所以 在 处取极小值 ，即最小值为 ．若 ， ，则
，即 ．
不妨设 ，则 ．
设 （ ），则 ．当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增；在 上单调递减，所以 ，即 ，
所以 的最大值为 ．
（3）由（2）知，当 时， 无极大值，
当 时， 在 和 上单调递增；在 上单调递减，
所以 在 处取极大值，所以 ，即 ．
设 ，即 ，
当 ， ，所以 ；
当 ， ，
由（2）知， ，又 ，所以 ，且 不恒为零，
所以 在 上单调递增．不等式 ，即为 ，所以
，
即不等式的解集为 ．
( )f x ( )1
2e
− + ∞，
0a < ( ) 11 0 2ebf a −= < < 0a > ( ) 0f x′ < 10 ex −< <
1
1 2e ex
−− < <
( )f x ( )10 e−， ( )1
1 2e e
−− ， ( )1
1 21 e e2
−−∈ ， ( )f x
( )1
2e
− + ∞，
( )f x 1
2ex
−= 2
e
a 2
e
a 1
2x∀ ≥ ( ) 12ebf x −≥
12 2ee
ba −≥ eba≥
0b >
eb
b b
a≤
( )
eb
bg b = 0b > ( ) 1
eb
bg b =′ −
0 1b< < ( ) 0g b′ > 1b > ( ) 0g b′ <
( )g b ( )0 1， ( )1 + ∞， ( ) ( )1g b g≤ 1
eeb
b ≤
b
a
1
e
0a > ( )f x
0a < ( )f x ( )10 e−， ( )1
1 2e e
−− ， ( )1
2e
− + ∞，
( )f x 1
2ex
−=
1
2 2e 2e
af
− = = −
a e= −
( ) ( ) exF x f x= + ( ) 2ee 1 ln
x xF x x
= − +
( )10 ex −∈ ， 1 ln 0x+ < ( ) 0F x >
( )1ex −∈ + ∞， ( ) ( )
( )2
e 1 2lne
1 ln
x x xF x
x
+
+
′ = −
e exx≤ ( )21 2ln 1 lnx x+ ≤ + ( ) 0F x′ ≥ ( )F x
( )F x ( )1e− + ∞， ( ) e 0xf x + < ( ) ( )0 1F x F< =
1e 1x− < <
( )1e 1− ，【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，还考查了分类思想及转化思想，考查
化归能力及极值的判断，还考查了利用导数解不等式，考查计算能力，属于难题．
20.已知数列 ， 满足：对于任意正整数 n，当 n≥2 时， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ，且数列 的各项均为正数．
① 求数列 的通项公式；
② 是否存在 ，且 ，使得 为数列 中的项？若存在，求出所有
满足条件的 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）84；（2）① （ ）；② ，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）在已知数列递推公式分别取 为 ，累加可得 的值；
（2）① 利用累加法求得 ，开方后求得数列 的通项公式；
②由数列的通项公式求出 ，设 ，得到 ，列
出不等式组，即可求解.
【详解】（1）由题意，因为 ，且 ，
可得 ， ， ， ， ， ，各式
相加，可得 .
（2）由 ，且 ，
可得 ， ， ，…， .
将上面的式子相加，得 ，
所以 .
因为{an}的各项均为正数，故 .
因为 也适合上式，所以 （ ）.
{ }na { }nb 2 2
1 2 1n n na b a n−+ = +
( 1)n
nb = − 2 2 2 2
1 3 5 11a a a a+ + + +
1nb = − 1 2a = { }na
{ }na
*k N∈ 2k ≥ 2 1 2 2 19k ka a− − + { }na
k
1na n= + *n∈N 3k =
n 2,3, ,11 2 2 2 2
1 3 5 11a a a a+ + + +
2
na { }na
2 1 2 2k ka a− − 2 1 2 19k k ma a a− + = 22 (2 1) 19 ( 1)k k m− + = +
2 2
1 2 1n n na b a n−+ = + ( 1)n
nb = −
2 2
2 1 5a a+ = 2 2
3 2 7a a− = 2 2
6 5 13a a+ = 2 2
7 6 15a a− = 2 2
10 9 21a a+ = 2 2
11 10 23a a− =
2 2 2 2
1 3 5 11 84a a a a+ + + + =
2 2
1 2 1n n na b a n−+ = + 1nb = −
2 2
2 1 5a a− = 2 2
3 2 7a a− = 2 2
4 3 9a a− = 2 2
1 2 1n na a n−− = +
2 2
1
(2 1 5)( 1)
2n
n na a
+ + −− =
2 2(2 1 5)( 1) 4 ( 1) ( 2)2n
n na n n
+ + −= + = + ≥
1na n= + ( 2)n ≥
1 2a = 1na n= + *n∈N② 假设存在满足条件的 k ,不妨设 ，
所以 ， 平方得 ，（*）
所以 ，
所以 且 ，即
由（1）得， ，即 ，
若 ，代入（*）式，求得 不合，舍去；
若 ，结合（2）得 ，
所以 ，即 ，又 且 ，
所以 的可能取值为 2，3，4，代入（*）式逐一计算，可求得 .
【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及累加法求解数列的通项公式，同时
考查了数列的函数性特征性的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
数学附加题
(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟)
21.已知矩阵 的一个特征值为 2，其对应的一个特征向量为 ，求实数
的值.
【答案】2，4.
【解析】
【分析】
由已知条件得到 ，从而得到 ，即可求解 的值.
【详解】由题意，矩阵 的一个特征值为 2，其对应的一个特征向量为 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 解得
2 1 2 19k k ma a a− + =
2 (2 1) 19 1k k m− + = + 22 (2 1) 19 ( 1)k k m− + = +
2 2 2(2 1) 2 (2 1) ( 1) 19 (2 )k k k m k− < − = + − <
2 2( 1) (2 1) 19m k+ − − > 2 2( 1) (2 ) 19m k+ − < ( 2 )( 2 2 ) 19 1
( 1 2 )( 1 2 ) 19 2
m k m k
m k m k
+ + − >
+ + + − 1 2 19m k+ + ≤
2 1 19 2k m k< + −≤ 19
4k < *Nk ∈ 2k ≥
k 3k =
1
1
aA b
= −
2
1a
=
,a b
2Aα α= 2 4
2 2
a
b
+ = − + ,a b
1
1
aA b
= −
2
1a
=
2Aα α= 1 2 221 1 1
= −
a
b
2 4
2 2
a
b
+ = − +
2 4,
2 2,
a
b
+ =
− + =
2,
4.
a
b
=
=所以 的值分别为 ．
【点睛】本题主要考查了矩阵的运算，以及矩阵的特征向量的运算，其中解答中认真审题，
注意特征向量的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
22.在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线
，圆 C 的参数方程为 （ 为参数）．当圆心 C
到直线 的距离为 时，求 的值。
【答案】 或 .
【解析】
【分析】
根据曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化求出曲线的普通方程，利用点到直线的
距离公式进行求解，即可得到答案.
【详解】直线 的直角坐标方程为 ，
圆 的普通方程为 ，
圆心 到直线 的距离 ，解得 或 ．
【点睛】本题主要考查了主要考查了参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，其中解答中
结合点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
23.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D 是 BC 的中点．
(1) 求直线 DC1 与平面 A1B1D 所成角的正弦值；
(2) 求二面角 的余弦值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
,a b 2,4
x
: 2 sin( ) ( )4l m m R
πρ θ − = ∈ 1 3cos
2 3sin
x t
y t
= +
= − + t
l 2 m
1m = − 5m = −
l 0x y m− + =
C 2 2( 1) ( 2) 9x y− + + =
C l 1 ( 2) 2
2
m− − + = 1m = − 5m = −
1 1 1B DC A− −
6 182
91
3 2
5(1)以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面 A1B1D 的法向
量的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；
(2)由(1)知 ＝(－1，2，3)， ＝(－2，4，0)，求得平面 B1DC1 的法向量，利用下向
量的夹角公式，即可求解.
【详解】(1) 在直三棱柱 中，有 AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，
故可以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为 AB＝2，AC＝4，AA1＝3，
所以 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3)．
因为 D 是 BC 的中点，所以 D(1，2，0)，所以 ．
设 (x1，y1，z1)为平面 A1B1D 的法向量，
因为 ，
所以 ，即 ，
令 y1＝3，则 x1＝0，z1＝2，所以平面 A1B1D 的一个法向量为 (0，3，2)．
设直线 DC1 与平面 A1B1D 所成的角为 θ，
则 ，
所以直线 DC1 与平面 A1B1D 所成角的正弦值为 .
(2) 由(1)知 ＝(－1，2，3)， ＝(－2，4，0)，
设 ＝(x2，y2，z2)为平面 B1DC1 的法向量，则 ，即 ,
令 x2＝2，则 y2＝1，z2＝0，所以平面 B1DC1 的一个法向量为 ＝(2，1，0)．
同理可以求得平面 A1DC1 的一个法向量 n3＝(3，0，1)，
所以 ，
1{ , , }AB AC AA
1DC
1 1B C
1 1 1ABC A B C−
1{ , , }AB AC AA
1 ( 1,2,3)DC = −
1n =
1 1 1(2,0,0), ( 1,2, 3)A B B D= = − −
1 1
1
0
0
A B n
B D n
⋅ = ⋅ =
1
1 1 1
2 0
2 3 0
x
x y z
=
− + − =
1n =
1 1
12 6 182sin cos , 9113 14
DC nθ = = =
×
6 182
91
1DC
1 1B C
2n 1 2
1 1 2
0
0
DC n
B C n
⋅ = ⋅ =
2 2 2
2 2
2 3 0
2 4 0
x y z
x y
− + + =
− + =
2n
1 2
6 3 2cos , 510 5
n n = =
×
由图可知二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题主要考查了空间角的求解，其中解答中建立空间直角坐标系，利用向量的夹角
公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
24.已知 为整数，且 ， ， 为正整数， ，
，记 .
(1)试用 分别表示 ；
(2)用数学归纳法证明：对一切正整数 ， 均为整数．
【答案】(1) ； (2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）令 ，结合条件，即可求解 ；
（2）运用数学归纳法和两角和差的公式，结合条件，即可得到证明.
【详解】(1)由题意，令 ，可得 ，
所以
(2) ①当 n＝1 时，由(1)得 A1＝x2－y2，B1＝2xy.
因为 x，y 为整数，
所以 A1，B1 均为整数，所以结论成立；
②当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，假设 Ak，Bk 均为整数，
则当 n＝k＋1 时，Ak＋1＝(x2＋y2)k＋1cos (k＋1)θ
＝(x2＋y2)(x2＋y2)k(cos kθcos θ－sin kθsin θ)
1 1 1B DC A− − 3 2
5
,x y 0x y> > (0, )2
πθ ∈ n
2 2
2 2cos x y
x y
θ −= +
2 2
2sin xy
x y
θ = +
2 2 2 2( ) cos , ( ) sinn n
n nA x y n B x y nθ θ= + = +
,x y 1 1,A B
n nA
2 2
1 1, 2A x y B xy= − =
1n = 1 1,A B
1n = 2 2 2 2
1 1( )cos , ( )sinA x y B x yθ θ= + = +
2 2
2 2 2 2 2 2
1 12 2 2 2
2( ) , ( ) 2x y xyA x y x y B x y xyx y x y
−= + ⋅ = − = + =+ +＝(x2＋y2)cos θ·(x2＋y2)kcos kθ－(x2＋y2)ksin kθ·(x2＋y2)sinθ
＝A1·Ak－B1·Bk.
因为 A1，B1，均为整数，所以 Ak＋1 也为整数，
即当 n＝k＋1 时，结论也成立．
综合①②得，对一切正整数 n，An 均为整数．
【点睛】本题主要考查了新定义的应用，以及数学归纳法证明，其中解答中认真审题，准确
理解和应用新定义，以及熟记数学归纳法的证明，合理运算是解答的关键，着重考查了推理
与论证能力，属于中档试题.
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