重庆市2020届高三数学(文)上学期第二次质检试卷(附解析Word版)
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重庆市2020届高三数学(文)上学期第二次质检试卷(附解析Word版)

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资料简介
重庆 2020 级高三第二次教学质量检测考试数学(文科) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的。 1.若向量 , ,则与 共线的向量是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求 ,根据共线向量的坐标表示求满足条件的向量. 【详解】 设与 平行的向量是 , 则 即 , 满足条件的只有 . 故选:C 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示,主要考查基本公式,属于基础题型. 2.若定义形如“132”这样中间大于两边的数叫凸数,现从用 2、3、7 三个数组成没有重复数 字的三位数中任取一个,则该数为凸数的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求由 2、3、7 组成没有重复数字的三位数,和凸数的个数,然后求古典概型表示的概率. 【详解】由 2、3、7 组成没有重复数字的三位数有 种方法, 其中凸数有 种方法, ( )1, 2a = − ( )3, 1b = − a b+  ( )1,1− ( )3, 4− − ( )4,3− ( )2, 3− ( )4, 3a b+ = − ( )4, 3a b+ = − a b+  ( ),c x y= ( )4 3 0y x− − = 3 4 0x y+ = ( )4,3− 1 6 1 4 1 3 1 2 3 3 6A = 2 2 2A =则该数为凸数的概率为 . 故选:C 【点睛】本题主要考查古典概型,属于简单题型. 3.能使得复数 位于第三象限的是( ) A. 为纯虚数 B. 模长为 3 C. 与 互为共轭复数 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分析四个选项中的参数 ,判断是否能满足复数 是第三象限的点. 【详解】 由题意可知,若复数在第三象限, 需满足 ,解得: , A. 是纯虚数,则 ,满足条件; B. ,解得: ,当 不满足条件; C. 与 互为共轭复数,则 ,不满足条件; D. 不能满足复数 在第三象限,不满足条件. 故选:A 【点睛】本题考查复数的运算和几何意义,主要考查基本概念和计算,属于基础题型. 4.已知集合 , ,若 ,则实数 的取 值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 2 1 6 3P = = ( )32z a ai a R= − + ∈ 2 1 2a i− + 1 2ai+ 3 ai+ 3 2i+ 0a > a ( )32z a ai a R= − + ∈ 32 2z a ai a ai= − + = − − 2 0 0 a a − 0x > ( )f x 0x = O ABC∆ A B C a b c 3a = 2BO AC⋅ =  C ABC∆ 5 2 5 10 2 3 ( )BO AC BO BC BA BO BC BO BA⋅ = ⋅ − = ⋅ − ⋅         5c = 90A =  sinC 5sin 3C = ( )BO AC BO BC BA BO BC BO BA⋅ = ⋅ − = ⋅ − ⋅         , , , ,且 , 当 时, 时, 也取得最大值 , 此时, , . 故选:A 【点睛】本题考查向量数量积和面积公式,意在考查转化与变形和分析问题,解决问题的能 力,本题的关键是根据正弦定理 ,且 ,说明 时, 也取得 最大值,后面的问题迎刃而解. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.幂函数 在 上为减函数,则实数 的值为______. 【答案】-3 【解析】 【分析】 由已知可知, ,然后依次验证是否满足条件. 【详解】由已知可知, 解得: 或 , 当 时, ,在 上是增函数,故不成立; 当 时, ,在 上为减函数,成立 故答案为:-3 【点睛】本题考查根据幂函数的性质求参数,属于简单题型. cos cosBO BC OBC BO BA OBA= × × ∠ − × × ∠    2 2 2 21 1 1 1 22 2 2 2BC BA a c= − = − =  3a = 2 5 5c c∴ = ⇒ = sin 3 sin 5 a A c C = = A C> sin 1A = 90A =  sinC 5sin 3C = 2 2 2b a c= − = 1 1 2 5 52 2ABCS bc∆ = = × × = sin 3 sin 5 a A c C = = A C> 90A =  sinC ( ) ( )2 2 2 mm mf xx = + − ( )0, ∞+ m 2 2 2 1m m+ − = 2 2 2 1m m+ − = 1m = 3m = − 1m = ( )f x x= ( )0, ∞+ 3m = − ( ) 3f x x−= ( )0, ∞+14.已知等差数列 满足 ,则 值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 等差数列的性质可知求 ,再根据 求值. 【详解】由等差数列的性质可知 , , , . 【点睛】本题考查等差数列的性质求值,意在考查转化与变形,属于基础题型. 15.已知 ,且 , , ,则 , , 的大小关系是______. 【答案】 【解析】 【分析】 依次做出 , , 三个函数的图象,由图象可知 , , 的大小关系. 【详解】 , , 依次做出 , , 三个函数的图象, 的{ }na 1 6 11 2a a a π+ + = ( )3 9cos a a+ 1 2 − 6 2 3a π= 3 9 62a a a+ = 1 6 11 63 2a a a a π+ + = = 6 2 3a π∴ = 3 9 6 42 3a a a π+ = = ( )3 9 4 1cos cos 3 2a a π∴ + = = − , ,a b c R+∈ ln 1a a= − ln 1b b = 1cce = a b c c a b< < lny x= 1y x= − 1y x = a b c ln 1a a= − 1lnb b = 1ce c = lny x= 1y x= − 1y x =由图象可知 , , , . 故答案为: 【点睛】本题考查求函数零点并比较大小,主要考查了数形结合和转化与化归,本题的关键 是首先将函数变形为 , ,然后再通过图象求零点大小. 16.已知夹角为 的向量 , 满足 , ,若 , , 则 的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据提示,可建立如图表示的坐标系,表示向量模的几何意义,再根据数形结合表示向量模 的最小值. 【详解】根据已知可建立如图坐标系, , , , , 则 , ,, 设 , , , 点 的轨迹是以 为圆心, 的圆, , , , 即点 的轨迹方程是 , 表示 两点间距离,如图, 的最小值是圆心到直线的距离减半径, 0 1c< < 1a = 1b > c a b∴ < < c a b< < 1lnb b = 1ce c = 60° a b 4a = 2b = 1p b+ =  ( )q a b Rλ λ= + ∈   p q−  2 3 1− OA a=  OB b=  OP p=  OQ q=  ( )4,0A ( )1, 3B ( ),p x y= 1p b+ = ( ) ( )221 3 1x y∴ + + + = ∴ P ( )1, 3− − 1r =  ( )4 , 3q a bλ λ λ= + = +  4 3 x y λ λ = +∴ = 3 4 3x y∴ − = Q 3 4 3 0x y− − = p q−  PQ p q− 圆心到直线的距离是 , 的最小值是 . 故答案为: 【点睛】本题考查向量模最小值,意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力,属于中档 题型,本题的关键是将向量的模转化为直线与圆的位置关系. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知数列 的前 项和为 ,且 , . (1)求证: 为等比数列,并求 的通项公式; (2)若 ,求 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 ( 1 ) 当 时 , 构 造 , 两 式 相 减 得 到 , 再 通 过 构 造 得 到 ,并且验证 满足; (2)根据(1)可知 ,由数列形式可知用分组转化法求和. 【详解】(1)由 得: ,两式相减得: 3 3 4 3 2 3 3 1 d − + − = = + ∴ p q−  2 3 1− 2 3 1− { }na n nS 1 1a = ( )* 1 1n na S n n N+ = + + ∈ { }1na + { }na 2n nb a n= + { }nb n nT ( )*2 1n na n N= − ∈ 1 22 2n n+ − + 2n ≥ 1n na S n−= + 1 2 1n na a+ = + ( )( )1 1 2 1 2n na a n+ + = + ≥ ( )2 11 2 1a a+ = + 2 2 1n nb n= + − 1 1n na S n+ = + + ( )1 2n na S n n−= + ≥,即 ,∴ , 由 ,令 得 ,而 ,故 , 所以 为首项是 2,公比是 2 的等比数列,故 , . (2) , ∴ . 【点睛】本题考查已知数列的前 项和 ,求 ,和数列求和,本题属于基础题型,但第一 问需注意 的取值范围, 只能说明数列 从第 2 项起是等 比数列,还需验证首项满足,这点需注意. 18.已知向量 , ,设函数 . (1)求 的单调增区间; (2)设函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象,求函数 的值域. 【答案】(1) , .(2) 【解析】 【分析】 (1)首先化简函数 ,然后令 , 求函数的单调递增区间; (2)首先化简 ,然后求 的范围,再求 的值域. 【详解】(1)由题 , ,∴ , ∴ , ( )1 1 2n n na a a n+ − = + ≥ 1 2 1n na a+ = + ( )( )1 1 2 1 2n na a n+ + = + ≥ 1 1n na S n+ = + + 1n = 2 3a = 1 1a = ( )2 11 2 1a a+ = + { }1na + 1 2n na + = ( )*2 1n na n N= − ∈ 2 2 2 1n n nb a n n= + = + − ( ) ( )22 2 2 1 3 5 2 1n nT n= + + + + + + + + −  1 22 2n n+= − + n nS na n ( )( )1 1 2 1 2n na a n+ + = + ≥ { }1na + ( )( )cos ,sina x xπ= − sin ,cos 2b x x π  = +      ( ) 1 2f x a b= − ⋅  ( )f x ( )f x 4 π ( )g x ( ) ( ) ( ) ,6 3h x f x g x x π π  = − ∈     3,8 8k k π ππ π − + +   k Z∈ ( ) [ ]1,1h x ∈ − ( ) 2 sin 2 24f x x π = − +   2 2 22 4 2k x k π π ππ π− + ≤ − ≤ + ( ) 2cos2h x x= − 2x ( )h x ( )cos ,sina x x= − ( )sin , sinb x x= − 2sin cos sina b x x x⋅ = − −  ( ) 21 2sin cos 2sin 2 sin 2 cos2x x x xf x x= + + = + − 2 sin 2 24x π = − +  令 ,∴ , 所以函数 的单调增区间为 , . (2)由题可得 , 故 , 因为 ,∴ ,∴ ,∴ . 【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质,意在考查转化与化归和计算能力,本题 的关键利用降幂公式和辅助角公式恒等变形,所以需熟练掌握三角函数的变形公式. 19.如图所示,正三棱柱 中, , , 分别为 , 的中点. (1)求证: 平面 ; (2)若三棱锥 的体积为 ,求该三棱柱底面边长. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)要证明线面平行,需证明线线平行,分别取 , 中点 , ,连接 , , ,证明四边形 是平行四边形,即可证明 ; (2)因为 是 的中点,所以 ,利用体积转化求底面边长. 【详解】(1)法 1:分别取 , 中点 , ,连接 , , , 2 2 22 4 2k x k π π ππ π− + ≤ − ≤ + 3 8 8k x k π ππ π− + ≤ ≤ + ( )f x 3,8 8k k π ππ π − + +   k Z∈ ( ) 2 sin 2 24g x x π = + +   ( ) ( ) ( )h x f x g x= − 2 sin 2 2 2 sin 2 2 2cos24 4x x x π π    = − + − + + = −         ,6 3x π π ∈   22 ,3 3x π π ∈   1 1cos2 ,2 2x  ∈ −   ( ) [ ]1,1h x ∈ − 1 1 1A B C ABC− 1 4A A = D E 1 1AC 1BC / /DE 1 1A ABB E ACD− 2 3 2 3a = 1 1A B 1B B M N DM MN EN DMNE / /DE MN E 1BC 1 1 2 2E ACD B ACD D ABCV V V− − −= = 1 1A B 1B B M N DM MN EN则 , ,∴ ,且 , ∴ 为平行四边形,∴ 且 平面 , 平面 ,所以 平面 ; 法 2:取 中点 ,连接 , ,则可得 , ,从而可证得:平面 平面 ,且 平面 , 所以 平面 ; (2)设该三棱柱底面边长为 ,由正三棱柱可知,点 到平面 的距离为 , 而 , , ∴ ,所以三棱柱底面边长为 . 【点睛】本题考查线面平行的判断和根据体积求边长,证明线面平行的关键是线线平行,一 般可根据条件构造平行四边形,或是中位线证明证明线线平行,第二问不管是求体积还是根 据体积求参数,一般都需要体积转化. 20.已知 , 为椭圆 : 的左、右焦点,离心率为 ,且椭圆 的上顶点到左、右顶点的距离之和为 . (1)求椭圆 的标准方程; (2)过点 的直线 交椭圆于 , 两点,若以 为直径的圆过 ,求直线 的方程. 【答案】(1) (2) : . 1 1/ /DM B C 1 1/ /EN B C / /EN DM 1 1 1 2EN DM B C= = DMNE / /DE MN MN ⊂ 1 1A ABB DE ⊄ 1 1A ABB / /DE 1 1A ABB 1 1B C F DF EF 1 1/ /DF A B 1/ /FE B B / /DEF 1 1A ABB DE ⊂ DEF / /DE 1 1A ABB a B 1 1A ACC 3 2h a= 1 1 22ACDS AC A A a∆ = ⋅ = 1 1 1 2 2 3E ACD B ACD ACDV V S h− − ∆= = ⋅ ⋅ 1 32 2 36 2a a= ⋅ ⋅ = 2 12a = 2 3a = 1F 2F C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1 2 C 2 7 C 1F l A B AB 2F l 2 2 14 3 x y+ = l 7 13 y x± = +【解析】 【分析】 (1)由已知可知 和 ,再根据 ,求椭圆方程; (2)分斜率 和 两种情况讨论,当 时,设直线 : ,与椭圆方程联 立,得到根与系数的关系, , ,若满足条件有 ,写成坐标表示的形式,求 . 【详解】(1)设椭圆 的焦距为 ,椭圆 的离心率为 ,所以 ,即 ,又 ,所以 ,由椭圆 的上顶点到椭圆 的左、右顶点的距离之和为 ,所以 ,即 ,解得 ,所以 ,故椭 圆 的标准方程为 . (2)由(1)知 , .设 , . 若直线 斜率为 0 时,弦 为椭圆长轴,故以 为直径的圆不可能过 ,所以不成立; 若直线 斜率不为 0 时,设直线 : ,代入椭圆方程 得: ,易知 且 , . 故以 为直径的圆过 ,则有 , ∴ ,∴ . 综上可知, : . 1 2 c a = 2 22 2 7a b+ = 2 2 2a b c= + 0k = 0k ≠ 0k ≠ l 1my x= + 1 2 2 6 3 4 my y m + = + 1 2 2 9 3 4y y m −= + 2 2 0F A F B⋅ =  m C 2c C 1 2 1 2 c a = 1 2c a= 2 2 2a b c= + 3 2b a= C C 2 7 2 22 2 7a b+ = 2 2 3 72a a  + =    2a = 3b = C 2 2 14 3 x y+ = ( )1 1,0F − ( )2 1,0F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l AB AB 2F l l 1my x= + 2 23 4 12x y+ = ( )2 23 4 6 9 0m y my+ − − = > 0∆ 1 2 2 6 3 4 my y m + = + 1 2 2 9 3 4y y m −= + AB 2F 2 2 0F A F B⋅ =  ( )( )2 2 1 2 1 21 1F A F B x x y y⋅ = − − +  ( )( )1 2 1 22 2my my y y= − − + ( ) ( )2 1 2 1 21 2 4m y y m y y= + − + + ( )2 2 2 2 9 1 12 4 03 4 3 4 m m m m − + = − + =+ + 2 7 9m = l 7 13 y x± = +【点睛】本题考查椭圆方程和直线与椭圆位置关系的综合问题,第二问中设而不求的基本方 法也使得求解过程变得简单,在解决圆锥曲线与动直线问题中,韦达定理,弦长公式都是解 题的基本工具. 21.已知函数 , . (1)若函数 存在单调增区间,求实数 的取值范围; (2)若 , 为函数 的两个不同极值点,证明: . 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 【分析】 ( 1 ) 由 已 知 可 知 , 若 满 足 条 件 , 即 有 解 , 转 化 为 有 解 , 即 ,设 ,利用导数求函数的最大值; (2)由已知可知 ,整理为 ,再通过分析法将需要证明的 式子转化为 ,若 ,可变形为 ,设 ,即证 成立, 若 ,即证 . 【详解】(1)由题函数存在增区间,即需 有解,即 有 解, 令 , ,且当 时, , 当 时, , 如图得到函数 大致图象,故当 ,的 ( ) 2lnf x x x ax= − a R∈ ( )f x a 1x 2x ( )f x 2 1 1 2x x e−> 1 2a < ( ) 0f x′ > 1 ln2 xa x +< max 1 ln2 xa x + <    ( ) 1 ln xg x x += 1 1 2 2 1 ln 2 1 ln 2 x ax x ax + =  + = 1 2 1 2 ln ln2 x xa x x −= − ( )1 2 1 2 1 2 ln ln 2 2x x x xx x − + >− 1 2 0x x> > ( ) 1 1 2 21 12 1 2 2 2 12ln 2 2 1 x x x xx xx x x x  − −  > =+ + 1 2 xt x = ( ) ( ) ( )2 1ln 0 12 1 tt t tt ϕ −= − > >+ 1 20 x x< < ( ) ( )2 1ln 02 1 tt t t ϕ −= − > + + + ( ) ( )2 1ln 2 1 t tt tϕ −= − + ( )0,t ∈ +∞ ( )1,t ∈ +∞ ( ) ( ) ( )2 1ln 1 02 1t tt t ϕ ϕ−= − > =+若 ,则③等价于 ,令 , , ,显然 成立. 法 2:要证 ,又由(1)知 , , 当 时,要证上式成立,即证 ,易知显然成立; 当 时, ,故只需 ,即证 ,也即证 , 由于 时 单调递增,故即证 ,而 , 只需证 , 成立,令 , 只需证 在 时成立, 而 ,故 在 单调递增, 所以 ,故原不等式得证. 【点睛】本题考查了导数研究函数性质,不等式的综合性问题,意在考查化归和转化和分类 讨论的思想,属于难题,本题的难点是第二问极值点偏移问题,利用分析法将所需要证明的 式子转化,再根据已知条件代入参数,转化为证明 ,再通过构造为 的不等式恒成立的问题. 22.已知曲线 的极坐标方程为 ,以极点 为原点,极轴所在直线为 轴建立直 角坐标系.过点 作倾斜角为 的直线 交曲线 于 , 两点. (1)求曲线 的直角坐标方程,并写出直线 的参数方程; 2 1 0x x> > ( ) 1 1 2 21 12 1 2 2 2 12ln 2 2 1 x x x xx xx x x x  − −  < =+ + 1 2 xt x = 0 1t< < ( ) ( )2 1ln 02 1 tt t t ϕ −= − 1 2 1, ,x x e  ∈ +∞   10 2a< < 1 1x > 1 2ln 0x ax+ > 1 1 1xe < < 11 ln 0x+ > 1 2ln ln 0x x+ > 1 2 1x x > 1 2 11 0x x > > > ( )0,1x∈ ( )g x ( )1 2 1g g xx      1x > ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ln 11 1' ' ' 0 1 x x p x g x g xx x x − = + ⋅ = > >   ( )p x 1x > ( ) ( )1 0p x p> = ( )1 2 1 2 1 2 ln ln 2 2x x x xx x − + >− 1 2 xt x = E 4tan cos θρ θ= O x ( )1,1M ( )( )0,α α πÎ l E A B E l(2)过点 的另一条直线 与 关于直线 对称,且与曲线 交于 , 两点,求 证: . 【答案】(1) , ( 为参数)(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)根据转化公式 , 直接转化,并且根据公式直接写成直线 的参数 方程; (2)直线 的参数方程代入(1)的曲线方程;利用 的几何意义表示 再根据对称求 的参数方程,同理可得 ,再证明结论. 【详解】(1)由 得 ,∴ 为曲线 的直角坐标方程, 由 作倾斜角为 的直线 的参数方程为 ( 为参数). (2)将直线 的参数方程代入 的直角坐标方程 得: ,显然 ,设 , 两点对应的参数分别为 , , 则 ,∴ , 由于直线 与 关于 对称,可设直线 的参数方程为 ( 为参数) 与曲线 的直角坐标方程联立同理可得: , ∴ ,故 得证. 【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程的转化,以及用直线参数方程解决 直线与圆锥曲线相交的线段长度问题,意在考查转化与化归和计算能力,属于中档题型. 23.已知函数 , . (1)若函数 的最小值为 ,求实数 的值; ( )1,1M 'l l 1x = E C D : :MA MD MC MB= 2 4x y= 1 cos 1 x t y tsin α α = +  = + t cos xρ θ = sin yρ θ = l l t 1 2MA MB t t= l′ MC MD 4tan cos θρ θ= 2 2cos 4 sinρ θ ρ θ= 2 4x y= E ( )1,1M α l 1 cos 1 x t y tsin α α = +  = + t l E 2 4x y= ( )2 2cos 2cos 4sin 3 0t tα α α+ − − = cos 0α ≠ A B 1t 2t 1 2 2 3 cost t α −= 1 2 2 3 cosMA MB t t α⋅ = = 'l l 1x = 'l ( ) ( ) 1 1 x tcos y tsin π α π α  = + − = + − t E 2 3 cosMC MD α⋅ = MA MB MC MD⋅ = ⋅ : :MA MD MC MB= ( ) 1f x x x a= + + − ( ) 2 2g x x x= − − + ( )f x 22a a(2)当 时,函数 图象恒在函数 图象的上方,求 的取值范 围. 【答案】(1) 或者 .(2) 或 . 【解析】 【分析】 (1) ,再根据最小值相等,求参数 的值; ( 2 ) 由 题 意 可 知 不 等 式 等 价 于 , 转 化 为 或 恒成立的问题,求参数 的取值范围. 【详解】(1)由 (当且仅当 介于-1 与 之 间时取等号) ∴ ,∴ 或者 . (2)由题意,等价于 ,当 时恒成立,即 , ,∴ 或 ,当 时恒成立, 由 ,∴ ,∴ , 由 ,∴ ,∴ , 综上,实数 的取值范围是 或 . 【点睛】本题考查不等式含绝对值三角形不等式求最值,恒成立问题求参数范围,意在考查 转化与变形,第二问的关键是分离出 或 恒成立,即转化为函数 最值问题. [ )1,x∈ − +∞ ( )y f x= ( )y g x= a 1a = 1 2a = − 3a < − 5 4a > ( ) ( )1 1 1f x x x a x x a a= + + − ≥ + − − = + a 21 2x x a x x+ + − > − − + 2 1a x x> − − + 2 3 1a x x< + − a ( ) ( )1 1 1f x x x a x x a a= + + − ≥ + − − = + x a 21 2a a+ = 1a = 1 2a = − ( ) ( )f x g x> 1x ≥ − 21 2x x a x x+ + − > − − + 2 2 1a x x x− > − − + 2 1a x x> − − + 2 3 1a x x< + − 1x ≥ − ( )2 max 1a x x> − − + 2 max 1 5 2 4a x   > − + +      5 4a > ( )2 min 3 1a x x< + − ( )2 min 3 13 12 4a x x   < + − ≥ −      3a < − a 3a < − 5 4a > 2 1a x x> − − + 2 3 1a x x< + −

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