高 2020 级第四次月考
数学试题（理）
一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求集合 ，再求 .
【详解】
解得： ， ，
，解得： ，
，
.
故选：D
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题型.
2.已知复数 满足 ，则 的共轭复数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先化简 ，然后求 .
【详解】
{ }2 2 3 0M x x x= + − ≤ 2
1log 2N x x
= 2q∴ =
1 1 12 4 7a a a+ + = 1 1a =
2 1 2a a q= =
2 2: 2 2 2 0C x y x y+ − − − = : 0l x y b− + = l A B，
ABC∆ b
6± 6 2± 2
ABC∆ 3 32d r= = b
( ) ( )2 2: 1 1 4C x y− + − =
( )1,1 2r =
ABC∆
∴ 3 32d r= =
1 1 3
2
b− + =
6b∴ = ±
2( ) sin( )f x x x=A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，和 的正负，排除选项，得到正确答案.
【详解】 是奇函数， 是偶函数
是奇函数，故排除 B,C
，故排除 D.
故选：A
【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数
的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.
7.在中国足球超级联赛某一季的收官阶段中，广州恒大淘宝、北京中赫国安、上海上港、山
东鲁能泰山分别积分 59 分、58 分、56 分、50 分，四家俱乐部都有机会夺冠．A，B，C 三个
球迷依据四支球队之前比赛中的表现，结合自已的判断，对本次联赛的冠军进行如下猜测：
猜测冠军是北京中赫国安或山东鲁能泰山； 猜测冠军一定不是上海上港和山东鲁能泰山；
猜测冠军是广州恒大淘宝或北京中赫国安.联赛结束后，发现 A，B，C 三人中只有一人的猜
测是正确的，则冠军是（ ）
A. 广州恒大淘宝 B. 北京中赫国安 C. 上海上港 D. 山东鲁能
泰山
【答案】D
2f
π
y x= ( )2siny x=
( ) ( )2sinf x x x∴ =
2
2 4
π π π< <
∴
2
sin 02 2 4f
π π π = ⋅ >
A
B
C【解析】
【分析】
根据选项将冠军分成 4 种可能，分别判断 的猜测是否满足条件，从而得到答案.
【详解】如果冠军是广州恒大淘宝，那么 A 不正确，但 B 和 C 都正确，不满足条件；
如果冠军是北京中赫国安，那么 A，B，C 都正确了，不满足条件；
如果冠军是上海上港，那么 A，B，C 都不正确，也不满足条件；
如果冠军是山东鲁能，那么 A 正确，B,C 不正确，满足条件.
故选：D
【点睛】本题考查了合情推理的应用，属于基础题型.
8.已知椭圆 ， 分别是椭圆的左、右焦点，点 为椭圆上的任意一点，则
的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设 ， ， 并 且 根 据 椭 圆 定 义 和 焦 半 径 的 范 围 可 知 ， 且
，所求式子变形为 ，再根
据 的范围求值域.
【详解】由题意可知 ，
设 ， ， ，且
，
， ，
, ,A B C
2
2 14
x y+ = 1 2F F， P
1 2
1 1
PF PF
+
[1 2 ]， [ 2 3 ]，
[ 2 4 ]， [1 4 ]，
1PF x= 2PF y= 4x y+ =
2 3 2 3x− ≤ ≤ + ( )1 2
1 2 1 2
1 1 4 4
4
PF PF
PF PF PF PF xy x x
++ = = = −
x
2 24, 1a b= = 2 3c∴ =
1PF x= 2PF y= 4x y+ = 2 3 2 3x− ≤ ≤ +
( )1 2
1 2 1 2
1 1 4 4
4
PF PF
PF PF PF PF xy x x
++ = = = −
( ) ( )224 4 2 4y x x x x x= − = − + = − − + 2 3 2 3x− ≤ ≤ + ，
的范围是 .
故选：D
【点睛】本题考查椭圆的定义和与焦半径有关范围的计算，意在考查转化与化归和计算能力，
属于基础题型.
9.如图，过抛物线 的右焦点 的直线 交抛物线于点 A，B，交其准线于点
C，若 ，且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
如图作辅助线，根据抛物线的定义可知 ， ， ，根
据 和 ，可得 和 ，解出 值.
【详解】过点 作准线的垂线交于 ，过点 作准线的垂线，交于 ，准线与 轴交于点
，根据抛物线的定义可知， ， ，
，
，解得： ，①
，
1 4y∴ ≤ ≤
( )
4
4x x
∴ − [ ]1,4
2 2 ( 0)y px p= > F l
3BC BF= 6AF = p =
2 3
4 6
'BF BB x= = ' 6AF AA= = MF p=
'/ /BB MF '/ /AA MF 3
4x p= 4
6 4 6
p x
x
= + p
A 'A B 'B x
M 'BF BB x= = ' 6AF AA= = MF p=
'/ /BB MF
3
3
x x
p x x
∴ = +
3
4x p=
'/ /AA MF，②
由①②解得： .
故选：C
【点睛】本题考查抛物线的定义和应用，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力和转
化与化归的思想，属于中档题型.
10.已知平面四边形 的两条对角线互相垂直， ， ，
点 在四边形 上运动，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面图形的对称性，只需讨论点 在边 上的运动情况，当点 在边 上运动
时 ， 利 用 共 线 向 量 和 向 量 的 加 减 运 算 ， 化 简 为
，再求最
小值，同理可得到当点 在边 上运动时， 的最小值，
【详解】由题意可知，四边形 是关于直线 对称的图形，故点 在四边形 的
四条边上运动时，仅需考虑点 在边 上的运动情况，
易知 ，所以 ，
①当点 在边 上运动时，
4
6 4 6
p x
x
∴ = +
4p =
ABCD 22
BDAB BC= = = 2 3AD CD= =
E ABCD EB ED
4− 3− 1− 3
E ,BC CD E BC
( )EB ED EB EC CD EB EC EB CD⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ ( ) ( ) 2
1 1CB CB CBλ λ λ λ= ⋅ − = −
E DC EB ED⋅
ABCD BD E ABCD
E ,BC CD
2 2 2BC CD BD+ = BC CD⊥
E BC设 ， 则 ，
,
当 时， 取得最小值-1；
②当点 在边 上运动时，
设 ，则 ，
，
当 时， 取得最小值-3,
综上： 的最小值是-3.
故选：B
【点睛】本题考查向量数量积的运算，本题以四边形为载体，将向量知识迁移到几何情景中
考查，突出考查了直观想象和运算能力，本题的难点是转化向量，即
，后面的问题迎刃而解.
11.设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 的直线分别交双曲线
左右两支于点 M，N.若以 MN 为直径的圆经过点 且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得△MNF2 为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN| m，运用双曲线的定
义，求得|MN|＝4a，可得 m，再由勾股定理可得 a，c 的关系，即可得到所求离心率．
【详解】若以 MN 为直径的圆经过右焦点 F2，
则 ，又|MF2|＝|NF2|，
EB CBλ= ( )0 1λ≤ ≤ ( )1EC CBλ= −
∴ ( )EB ED EB EC CD EB EC EB CD⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( ) 2
2 11 1 4 1 4 12CB CB CBλ λ λ λ λ λ λ = ⋅ − = − = − = − −
1
2
λ = EB ED⋅
E DC
( )0 1ED kCD k= ≤ ≤ ( )1EC k CD= −
( ) ( ) ( ) 211 0 12 1 12 32EB ED EC CB ED k CD kCD k k k ∴ ⋅ = + ⋅ = − ⋅ + = − = − −
1
2k = EB ED⋅
EB ED⋅
( )EB ED EB EC CD EB EC EB CD⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅
2 2
2 2 1x y
a b
− = ( )0, 0a b> > 1 2,F F 1F
2F 2 2MF NF=
6 5 3 2
2=
1 2 0MF NF⋅ = 可得△MNF2 为等腰直角三角形，
设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN| m，
由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，
两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，
即有 m＝2 a，
在直角三角形 HF1F2 中可得
4c2＝4a2+（2a+2 a﹣2a）2，
化为 c2＝3a2，
即 e ．
故选 C．
【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三
角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．
12.已知定义在 R 上的奇函数 满足 ，且对任意的
，都有 ．又 ，则关于 的不等式 在区间
上的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
2=
2
2
3c
a
= =
( )f x (1 ) ( )f x f x+ = − 1 2
1[ 0 ]2x x ∈， ，
1 2( )x x≠ 1 2
1 2
( ) ( )f x f x
x x
π− >− ( ) sing x xπ= x ( ) ( )f x g x≥
3 3[ ]2 2
− ，
3[ ] [ 0 ]2 4 4
π π− − ， ， 3[ ]2 4
π− −，
3[ 1] [ 0 1]2
− − ， ， 3[ 0 ]2
− ，由 题 意 可 知 ， 函 数 在 是 增 函 数 ， 故 恒 成 立 ， 设
， 可 判 断 函 数 是 单 调 递 减 函 数 ， 所 以 当 时 ，
，可推出 ，又根据函数 的性质画出函数 和
的函数图象，根据图象解不等式.
【详解】 是奇函数，
设 ，
由 ，可知 ，
整理为： ，
是增函数，
当 时， ，
即
设 ，
，
是单调递减函数，
当 时，
，
即 ，
当 时， 恒成立，即 ，
又 ，
关于 对称，
又有 ，
( )y f x xπ= − 10, 2
( ) 0f x xπ− ≥
( ) siny g x x x xπ π π= − = − 10, 2
( ) 0g x xπ− ≤ ( ) ( )f x g x≥ ( )y f x= ( )y f x=
( )y g x=
( )f x ( )0 0f∴ =
1 2
10 2x x≤ < ≤
1 2
1 2
( ) ( )f x f x
x x
π− >− ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x x xπ− < −
( ) ( )1 1 2 2f x x f x xπ π− < −
( )y f x xπ∴ = −
10, 2x ∈
( ) ( )0 0 0f x x fπ π− ≥ − × =
( ) 0f x xπ− ≥
( ) siny g x x x xπ π π= − = −
cos 0y xπ π π′ = − ≤
( )y g x xπ∴ = −
10, 2x ∈
( ) ( )0 0 sin 0 0 0g x x gπ π− ≤ − × = − =
( ) 0g x xπ− ≤
∴ 10, 2x ∈
( ) ( )f x x g x xπ π− ≥ − ( ) ( )f x g x≥
( ) ( )1f x f x+ = −
( )f x∴ 1
2x =
( ) ( )f x f x− = − ，
，
是周期为 的函数，
综上可画出 和 的函数图象，
由图象可知不等式的解集是 .
故选：C
【点睛】本题考查函数的性质和解不等式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力 ，
以及变形计算能力，旨在培养逻辑思维能力，本题的一个关键点是不等式转化为
，确定函数 是增函数，另一个是判断
的单调性，这样当 时，不等式 转化为
的解集.
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．
13.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________．
【答案】6
【解析】
【分析】
首 先 根 据 题 中 所 给 约 束 条 件 ， 画 出 相 应 的 可 行 域 ， 再 将 目 标 函 数 化 成 斜 截 式的
( ) ( )1f x f x∴ + = −
( ) ( ) ( )2 1f x f x f x∴ + = − + =
( )f x∴ 2T =
( )y g x= ( )y f x=
[ ]3 , 1 0,12
− −
( ) ( )1 1 2 2f x x f x xπ π− < − ( )y f x xπ= −
( )y g x xπ= − 10, 2x ∈
( ) ( )f x g x≥
( ) ( )f x x g x xπ π− ≥ −
x y
2 2 0
1 0
0
x y
x y
y
− − ≤
− + ≥
≤
3 2z x y= +，之后在图中画出直线 ，在上下移动的过程中，结合 的几何意
义，可以发现直线 过 B 点时取得最大值，联立方程组，求得点 B 的坐标代入目
标函数解析式，求得最大值.
【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由 ，可得 ，
画出直线 ，将其上下移动，
结合 的几何意义，可知当直线 在 y 轴截距最大时，z 取得最大值，
由 ，解得 ，
此时 ，故答案为 6.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对
应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断 z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，
判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的
形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
14.曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 ________.
3 1
2 2y x z= − + 3
2y x= − 1
2 z
3 1
2 2y x z= − +
3 2z x y= + 3 1
2 2y x z= − +
3
2y x= −
2
z 3 1
2 2y x z= − +
2 2 0
0
x y
y
− − =
= (2,0)B
max 3 2 0 6z = × + =
21( ) ln2f x x x x= + (1 (1))f， 1 0ax y− − = a =【答案】 ．
【解析】
【分析】
先对函数 求导，求出其在点 处的切线斜率，进而可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
因此，曲线 在点 处的切线斜率为 ；
又该切线与直线 垂直，所以 .
故答案为
【点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考
题型.
15.已知数列 满足 ，且 ．记数列 的前 项和为 ，若对一切的
，都有 恒成立，则实数 能取到的最大整数是____________．
【答案】9
【解析】
【分析】
首先由数列 的递推公式求通项公式， ，再求 ，并判断数列 单
调性，最后转化为 ，根据数列 的单调性求最小值.
【详解】由已知可知， ，
数列 是等差数列，并且首项 ，公差 ，
， ，
，
1
2
−
21( ) ln2f x x x x= + (1 (1))f，
21( ) ln2f x x x x= + ( ) ln 1f x x x′ = + +
21( ) ln2f x x x x= + (1 (1))f， (1) 1 1 2k f ′= = + =
1 0ax y− − = 1
2a = −
1
2
−
{ }na 1 1
n
n
n
aa a+ = + 1 1a = { }na n nS
n ∗∈N 2 20n n
mS S− > m
{ }na 1
na n
= 2n nS S− { }2n nS S−
( )2 min20 n n
m S S< − { }2n nS S−
1 1
11 1 1 1n
n n n n
a
a a a a+ +
+= ⇒ − =
∴ 1
na
1
1 1a = 1d =
1
n
na
∴ = 1
na n
=
1 2 ...n nS a a a= + + + ，
，
，
数列 是单调递增数列，
若对一切的 ，都有 恒成立，
，
当 时， 的最小值是 ，
即
，
能取到的最大整数是 9.
故答案为：9
【点睛】本题考查数列的的递推公式求通项公式，以及数列求和，数列与函数结合的综合应
用问题，意在考查转化与化归和分析问题解决问题的能力，本题的关键步骤是需要判断数列
的单调性，根据数列的单调性求最小值.
16.在平面四边形 中， ， ， ，则 的取值范
围是___________．
【答案】
【解析】
分析】
首先补全平面四边形，成为等腰直角三角形 ，在 内平移直线 都能满足条
件，通过数形结合，分析 的两个临界点得到 的取值范围.
【
2 1 2 1 2... ...n n n nS a a a a a+= + + + + + +
2 1 2 2
1 1 1... ...1 2 2n n n n nS S a a a n n n+ +∴ − = + + + = + + ++ +
( ) ( )2 2 1 2n n n nS S S S+ +− − −
1 1 1 1 1 1 1 1... ...2 3 2 2 1 2 2 1 2 2n n n n n n n n
= + + + + + − + + + + + + + + +
1 1 1
1 2 1 2 2n n n
= − + ++ + +
( )( )
1 02 1 2 2n n
= >+ +
∴ { }2n nS S−
n ∗∈N 2 20n n
mS S− >
( )2 min20 n n
m S S< −
1n = 2n nS S− 2 1 2
1
2S S a− = =
1
20 2
m <
10m∴ <
m∴
{ }2n nS S−
ABCD 45A D∠ = ∠ = ° 150B∠ = ° 2AD = CD
3 3 13
−（ ， ）
ADM∆ ADM∆ BC
CD CD【详解】如图 1，延长 和 交于点 ，由已知可知 是等腰直角三角形，
直线 向下平移，当点 和点 重合时，如图 2，
此时 ， ， ，
中，根据正弦定理可知 ，
，
解得： ,
图 1 的 向上平移，当 重合于点 时，此时 ,
的取值范围是 .
,
故答案为：
【点睛】本题考查求几何图形中的长度计算，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，
本题的关键是通过平行移动 ，根据临界点分析出 的长度.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
17.已知函数 .
(1)求函数 的周期和对称轴方程；
(2)将 的图像向右平移 个单位长度，得到 的图像，求函数 在
上的值域.
AB DC M ADM∆
BC B A
15CAD∠ = 45D∠ = 2AD = 120ACD∠ =
ACD∆
sin sin
CD AD
CAD ACD
=∠ ∠
sin 2 sin15
sin sin120
AD CADCD ACD
× ∠ ×= =∠
3 3
3CD
−=
BC ,B C M 1CD CM= =
CD∴ 3 3 ,13
−
3 3 ,13
−
BC CD
( ) 4sin sin ( )4f x x x
π= +
( )y f x=
( )y f x=
4
π
( )y g x= ( )y g x=
[ 0 ]2x
π∈ ，【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（ 1 ） 首 先 根 据 三 角 恒 等 变 换 可 得 ， 根 据 公 式 和
， 求函数的周期和对称轴方程；
（2） ，先求 的范围，再求函数的值域.
【详解】（1）
；
所以 的周期 ,
令 ，则对称轴 .
（2） ，
当 ， ， ,
.
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换和三角函数的性质，意在考查转化与化简和计算能力，
属于基础题型.
18.已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ， ，
.
(1)证明数列 为等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和记为 ,证明： .
【答案】（1）证明见解析， ；（2）见解析
为
T π= 3 ,8 2
kx k Z
π π= + ∈ ( ) [ 2 2 2 2]g x ∈ − + ，
( ) 2sin 2 24f x x
π = − +
2T
π
ω=
2 4 2x k
π π π− = + k Z∈
( ) 32sin 2 24g x x π = − +
32 4x π−
22 2( ) 4sin ( sin cos ) 2 2 sin 2 2 sin cos2 2f x x x x x x x= ⋅ + = +
2(1 cos2 ) 2 sin 2x x= − +
=2sin(2 ) 24x
π− +
( )y f x= T π=
2 4 2x k
π π π− = + 3 ,8 2
kx k Z
π π= + ∈
3( ) 2sin(2 ) 24g x x
π= − +
[0, ]2x
π∈ 3 32 [ , ]4 4 4x
π π π− ∈ − 3 2sin(2 ) [ 1, ]4 2x
π− ∈ −
( ) [ 2 2 2 2]g x ∈ − + ，
{ }na n nS 2
1 2n n na S S −= + + ( 2 *)n n N≥ ∈，
1 2a =
{ }na { }na
3
2n
n
b S
= { }nb n nT 11
6nT <
1na n= +【解析】
【分析】
（1）当 时， ，两式相减变形为 ，
验证 后，判断数列 是等差数列；（2）根据（1）的结果求 和
，利用裂项相消法求数列的前 项和，并证明不等式.
【详解】（1）由已知： ①,
得 ②
①－②可得 .
因为 ，所以
检验：由已知 ， ，所以 ，
那么 ，也满足式子 .所以 .
所以 为等差数列，首项为 ，公差为 .于是 .
（2）由 ，所以 .
所以 .
则
.
【点睛】本题考查已知 求通项公式和裂项相消法求和，意在考查转化与化归和计算能力，
从形式看此题不难，但有两个地方需注意，第一问，如果忽略 的条件，就会忘记验证
，第二问 ，采用裂项相消法求和，消项时注意不要丢掉某些项.
19. 中， ， ， 为线段 上一点，且满足 .
3n ≥ 2
1 1 2 2n n na S S− − −= + + ( )1 1 3n na a n−− = ≥
2 1a a− { }na nS
( )
3 3 1 1
2 3 3n
n
b S n n n n
= = = −+ + n
2
1 2( 2, )n n na S S n n N ∗
−= + + ≥ ∈
2
1 1 2 2( 3, )n n na S S n n N ∗
− − −= + + ≥ ∈
2 2
1 1( 3, )n n n na a a a n n N ∗
− −− = + ≥ ∈
0na > 1 1( 3)n na a n−− = ≥
2
2 1 2 1( ) 2a a a a= + + + 1 2a = 2 3a =
2 1 1a a− = 1 1n na a −− = 1 1( 2)n na a n−− = ≥
{ }na 2 1 1na n= +
1na n= + (2 1) ( 3)
2 2n
n n n nS
+ + ⋅ += =
3 3 1 1
2 ( 3) 3n
n
b S n n n n
= = = −+ +
1 2 3n nT b b b b= + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 5 3 6 4 7 2 1 1 2 3n n n n n n
= − + − + − + − + + − + − + −− + − + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( )2 3 4 4 5 6 1 2 3n n n n
= + + + + + − + + + + + ++ + +
1 1 1 1 1(1 ) ( )2 3 1 2 3n n n
= + + − + ++ + +
11 1 1 1 11( )6 1 2 3 6n n n
= − + + > 1 2F F， M
1 2MF F∆ 3 2F l PQ l x⊥．
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 上任取两点 A，B，以 ， 为邻边作平行四边形 ．若 ，则
是否为定值？若是，求出定值；如不是，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）是定值，10
【解析】
【分析】
（1）由已知条件可知 ， ，再结合 ，求椭圆方程；
（2）设 ， ，由平行四边形法则 ，所以 .
所以 ，再变形为
，再根据已知条件转化坐标间的关系，求得定值.
【详解】（1）由题意： 的最大面积 ， .
又 ，联立方程可解得 ，所以椭圆 的方程为： .
（2）设 ， ，由平行四边形法则 ，所以 .
所以 .
又因为 ，即 ，即 .
又因为点 A，B 在椭圆 上，则 ， ，
可得 ①， ②，
①×②可得 即 ，
又 ，所以 ,即 .
又①＋②可得 ，可得 .
1PQ =
C
C OA OB OACB 1
4OA OBk k = −
2 2OC AB+
2 2
14 1
x y+ =
3bc =
22 1b
a
= 2 2 2a b c= +
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y OC OA OB= +
1 2 1 2( , )C x x y y+ +
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2=( ) ( ) ( ) ( )OC AB x x y y x x y y+ + + + + − + −
( )2 2 2 2 2 2
1 2 1 22OC AB x x y y+ = + + +
1 2MF F∆ 3S bc= =
22 1bPQ a
= =
2 2 2a b c= + 2, 1a b= = C
2 2
14 1
x y+ =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y OC OA OB= +
1 2 1 2( , )C x x y y+ +
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2=( ) ( ) ( ) ( )OC AB x x y y x x y y+ + + + + − + −
2 2 2 2
1 2 1 22( )x x y y= + + +
1
4OA OBk k⋅ = − 1 2
1 2
1
4
y y
x x
⋅ = −
1 2 1 24x x y y= −
C 2 2
1 14 4x y+ = 2 2
2 24 4x y+ =
2 2
1 14 4x y− = − 2 2
2 24 4x y− = −
2 2 2 2
1 2 1 2( 4) ( 4) 16x x y y− ⋅ − = 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 24( ) 16 16x x x x y y− + + =
1 2 1 24x x y y= − 2 2
1 24( ) 16x x+ = 2 2
1 2( ) 4x x+ =
2 2 2 2
1 2 1 28 4( )x x y y+ − = − + 2 2
1 2 1y y+ =所以 .
【点睛】本题考查椭圆方程以及几何中的定值问题，属于中档题型，本题的第二问比较有特
色，利用四边形 是平行四边形，则 ，然后巧妙的将长度
转化为 ，转化为坐标的运算求解.
21.已知函数 ．
(1)若 ，求证： 在区间 是增函数；
(2)设 ，若对任意的 ，恒有 ，求实数
的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）当 时， ，求函数 导数并判断单调性，说明
在区间 是增函数；
（2）首先判断函数 的单调性，并且判断函数 只有最小值，无最大值，若满足条件，
即 ，转化为求 的最小值，并且用 表示.
【详解】（1）当 ， ．则 .
当 ，由函数单调性的性质可知， 为 上的增函数.
所以，当 时， .
所以 在区间 是增函数.
（2）由题 ，则
令 ，则 为 上的增函数.
当 ；当 ；
所以必然存在 ，使得 ，即 .
当 ， ，即 ，所以 减函数.
的
为
2 2 2 2 2 2
1 2 1 22( ) 10OC AB x x y y+ = + + + =
OACB 1 2 1 2( , )C x x y y+ + 2 2OC AB+
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2=( ) ( ) ( ) ( )OC AB x x y y x x y y+ + + + + − + −
2( ) ( ) ln 1xf x x e m x= − − −
0m = ( )f x 1[ )2
+ ∞，
( )( ) f xg x x
= 1 2 ( 0 )x x ∈ + ∞， ， 1 2[ ( ) 1] [ ( ) 1] 0g x g x− − >
m
1m <
0m = ( ) 2 ln 1xf x x e x= ⋅ − − ( )0x > ( )f x
1[ )2
+ ∞，
( )g x ( )g x
( )min 1g x > ( )g x m
0m = 2( ) ln 1( 0)xf x xe x x= − − > ' 2 1( ) (2 1) xf x x e x
= + −
0x > ' 2 1( ) (2 1) xf x x e x
= + − (0, )+∞
1[ )2x∈ + ∞， ' ' 1( ) ( )=2 2 02f x f e≥ − >
( )f x 1[ )2
+ ∞，
2( ) ln 1( ) xf x xg x e mx x
+= = − −
2 2
' 2
2 2
1 (ln 1) 2 ln( ) 2
x
x x x e xg x e x x
− + += − =
2 2( ) 2 lnxh x x e x= + ( )h x (0, )+∞
0, ( )x h x→ → −∞ , ( )x h x→ +∞ → +∞
0 (0, )x ∈ +∞ 022
0 0 0( ) 2 ln =0xh x x e x= + 02 0
0
0
ln2 x xx e x
= −
0(0, )x x∈ ( ) 0h x < ' ( ) 0g x < ( )g x当 ， ，即 ，所以 为增函数.
所以 ， 无最大值.
此外，因为 ，所以 .
令 ，则就有 .
又 ，当 ， ，所以 为 上的增函数.
因为 ，且 ， .所以必然有 .
此时， .
又任意的 ，恒有 ，
所以 ，即 .
【点睛】本题考查导数与函数的单调性，极值和最值的综合运用，意在考查转化与化归和分
析问题解决问题的能力，属于难题，本题第二问的难点是求 的最小值并且用 表示，用
到构造函数 ， ，判断 的单调性，从
而得出 ，从而得到函数 的最小值并且用 表示.
22.已知曲线 ，点 是曲线 上的动点，以坐标原点 为极点， 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，以极点 为中心，将点 绕点 逆时针旋转 得到点 ，设点
的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 与曲线 的极坐标方程；
(2)射线 与曲线 相交于 两点，已知定点 M（– 2，0），求
的面积．
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据转化公式 ， ， ，代入求 的极坐标方程，再
0( , )x x∈ +∞ ( ) 0h x > ' ( ) 0g x > ( )g x
02 0
min 0
0
ln 1( ) ( ) x xg x g x e mx
+= = − − ( )g x
2(1) 2 0h e= > 0 (0,1)x ∈
( ) xT x xe= 02 0
0 0 0
0
ln(2 ) 2 ( ln )x xT x x e T xx
−= = = −
'( ) ( 1) xT x x e= + (0, )x∈ +∞ '( ) 0T x > ( ) xT x xe= (0, )+∞
0 0(2 ) ( ln )T x T x= − 02 0x > 0ln 0x− > 0 02 lnx x= −
02 0
min
0
ln 1( ) 2x xg x e m mx
+= − − = −
1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2[ ( ) 1] [ ( ) 1] 0g x g x− ⋅ − >
min ( ) 2 1g x m= − > 1m <
( )g x m
( ) xT x xe= ( ) ( )02 0
0 0 0
0
ln2 2 lnx xT x x e T xx
−= = = − ( )T x
0 02 lnx x= − ( )g x m
2 2
1 : ( 3) 9C x y+ − = A 1C O x
O A O 90° B B
2C
1C 2C
2 ( 0 )3
θ π ρ= > 1 2C C， P Q， MPQ∆
1 : 6sinC ρ θ= 6cosρ θ= − 9 3 3
2
−
cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2x y ρ+ = 1C用代入法求曲线 的极坐标方程；
（2） 分别和曲线 联立方程求点 ， 的坐标，并根据几何关系求点
到直线 的距离 ，最后代入面积公式 .
【详解】（1）曲线 ，化简则有： .
将 代入可得曲线 .
设 ，则 ,
由点 在曲线 上，则 .
所以曲线 的极坐标方程为 .
（2）点 到射线 的距离 .
射线 与曲线 的交点 的坐标为 ，
射线 与曲线 的交点 的坐标为 ，
所以 ,故 .
【点睛】本题考查直角坐标和极坐标方程的转化，重点考查了极角和极径的几何意义，属于
基础题型，注意当过极点的直线与曲线相交时， .
23.已知函数 ．
(1)解不等式 ；
(2)设函数 的最小值为 t，实数 满足 ，且 ．
求证： ．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）不等式为 ，利用零点分段法解不等式；
（2） ，所以 ，构造柯西不等式
2C
( )2 03
θ π ρ= > 1 2,C C P Q
M PQ d 1
2MPQS PQ d∆ = × ×
2 2
1 : ( 3) 9C x y+ − = 2 2 6 0x y y+ − =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= 1 : 6sinC ρ θ=
( , )B ρ θ ( , )2A
πρ θ −
A 1C 6sin( ) 6cos2
πρ θ θ= − = −
2C 6cosρ θ= −
( 2,0)M − 2
3
θ π= 2sin 33d
π= =
2 ( 0)3
θ π ρ= > 1C P 2(3 3, )3
π
2 ( 0)3
θ π ρ= > 2C Q 2(3, )3
π
3 3 3PQ = − 1 1 9 3 3(3 3 3) 32 2 2S PQ d
−= × × = × − × =
1 2AB ρ ρ= −
( ) 1 3f x x x= + + −
( ) 2f x x≤ +
( )f x a b， 0 0a b> >， a b t+ =
2 2 8
1 1 3
a b
a b
+ ≥+ +
[2,4]
1 3 2x x x+ + − ≤ −
( ) ( )1 3 1 3 4x x x x+ + − ≥ + − − = 4a b+ =，证明不等式.
【详解】（1） ，即 .
则不等式等价于 或 或
可解得 或 或 无解.
所以原不等式的解集为 .
（2）因为 ，当且仅当 取等号，
所以函数 的最小值为 即 .
由柯西不等式： ，
所以 ，即 ，当且仅当
即 时取等号.
又 ，所以 当且仅当 时等号成立.
【点睛】本题考查零点分段法解不等式和利用柯西不等式证明意在考查转化与化归和计算能
力，属于中档题型，柯西不等式在使用时经常会变形使用，所以需熟练掌握柯西不等式的形
式，注意构造.
2 2
2[( 1) ( 1)]( ) ( )1 1
a ba b a ba b
+ + + + ≥ ++ +
( ) 2f x x≤ + 1 3 2x x x+ + − ≤ +
2 2 2
3
x x
x
− ≤ +
≥
4 2
1 3
x
x
≤ +
− <
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