重庆市渝中区巴蜀中学2020届高三数学（文）一诊模拟试卷（附解析Word版）

巴蜀中学 2020 级“一诊”模拟测试卷 文数 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1.已知复数 ，则其共轭复数 的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数乘法、除法运算化简 ，由此求得 的共轭复数 ，进而求得 的虚部. 【详解】依题意 ，故 ，其虚部为 1. 故选 B. 【点睛】本小题主要考查复数乘法、除法的运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部，属 于基础题. 2.已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解分式不等式求得集合 ，求函数定义求得集合 ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由 解得 ，由 解得 ，故 ， 故选 C. 【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查分式不等式的解法，考查对数函数的定义 域，属于基础题. ( )1 3 1 i iz i −= + z z z z z ( )( ) ( )( ) 3 13 4 2 21 1 1 2 i ii iz ii i i + −+ −= = = = −+ + − 2z i= + 1| 0xA x x − = ≥   ( ){ }| lg 2 1B x y x= = − A B = ( ]0,1 10, 2      1 ,12      1 ,2  +∞   A B 1 0x x − ≥ 0 1x< ≤ 2 1 0x - > 1 2x > 1 ,12A B  =   3.已知等差数列{an}满足 4a3＝3a2，则{an}中一定为零的项是（　　 ） A. a6 B. a7 C. a8 D. a9 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式即可得到结果. 【详解】由 4a3＝3a2 得，4(a1+2d)=3(a1+d)，解得：a1+5d=0，所以，a6=a1+5d=0. 故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属基础题. 4.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择 考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面 分数，由高到低进行排序，评定为 、 、 、 、 五个等级.某试点高中 2018 年参加“选 择考”总人数是 2016 年参加“选择考”总人数的 2 倍，为了更好地分析该校学生“选择考” 的水平情况，统计了该校 2016 年和 2018 年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表： 针对该校“选择考”情况，2018 年与 2016 年比较，下列说法正确的是（ ） A. 获得 A 等级的人数减少了 B. 获得 B 等级的人数增加了 1.5 倍 C. 获得 D 等级的人数减少了一半 D. 获得 E 等级的人数相同 【答案】B 【解析】 【分析】 设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为 A,B,C,D,E 的人数，由此判断出正 确选项. 【详解】设 年参加考试 人，则 年参加考试 人，根据图表得出两年各个等级的 人数如下图所示： A B C D E 2016 x 2018 2x年份 A B C D E 2016 2018 由图可知 A,C,D 选项错误，B 选项正确，故本小题选 B. 【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题. 5.“更相减损术”是《九章算术》中介绍的一种用于求两个正整数的最大公约数的方法，该 方法的算法流程如图所示，根据程序框图计算，当 a＝35，b＝28 时，该程序框图运行的结果 是（　 　） A. a＝6，b＝7 B. a＝7，b＝7 C. a＝7，b＝6 D. a＝8，b＝ 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，该程序将输入的 a、b 值加以比较，若 a>b 成立则用 a-b 的值替换 a，并进入下一 轮比较；若 a>b 不成立则用 b-a 的值替换 b，并进入下一轮比较.直到使得 a、b 值相等时，终 止运算并输出 a、b 值，由此结合题意进行运算可得本题答案. 【详解】第一步，由于 a=35 且 b=28，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框 “a>b”的回答为“是"，将 a-b 的值赋给 a，得 a=7； 第二步，此时 a=7 且 b=28，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a>b”的回答 为“否"，将 b-a 的值赋给 b 得 b=21； 0.28x 0.32x 0.30x 0.08x 0.02x 0.48x 0.8x 0.56x 0.12x 0.04x第三步，此时 a=7 且 b=21，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a>b”的回答 为“否”，将b-a 的值赋给 b，得 b=14； 第四步，此时 a=7 且 b=14，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a>b”的回答 为“否”，将b-a 的值赋给 b 得 b=7； 第五步，此时 a=7 且 b=7，对判断框“a≠b”的回答为“否”，结束循环体并输出a、b 的值. 综上所述，可得最后输出的值为 a=7，b=7. 故选：B. 【点睛】本题考查程序框图，要求学生掌握根据程序框图，求出输出结果，解题的关键是先 根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决，属中 档题. 6.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 E、F、G 分别为棱 A1D1、A1A、A1B1 的中点，给出下列四个命 题：①EF⊥B1C；②BC1∥平面 EFG；③A1C⊥平面 EFG；④异面直线 FG、B1C 所成角的大小为 ．其中正确命题的序号为（　　 ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】 画出正方体的直观图，结合线面平行与垂直的判定定理和性质定理逐项判断即可得到正确选 项. 【详解】如图， 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，A1D//B1C，又 A1D⊥EF，故 B1C⊥EF，即①正确； 又 BC1∥AD1，AD1//EF，故 BC1//EF，又 EF⸦平面 EFG，故 BC1∥平面 EFG，即②正确； 因为 EF⊥A1D，EF⊥A1B1，所以 EF⊥平面 A1B1CD，又 A1C⸦平面 A1B1CD，所以 EF⊥A1C，同理可 证 EG⊥A1C，又 EF∩EG=E，EF⸦平面 EFG，EG⸦平面 EFG，故 A1C⊥平面 EFG，即③正确； 4 π连接 AB1，则 AB1//FG，故∠AB1C 为异面直线 FG 与 B1C 所成角，且∠AB1C= ，即④错误. 故所有正确命题的序号为①②③. 故选：C. 【点睛】本题考查线面平行与垂直 判定定理和性质定理，也考查学生的逻辑推理能力和直 观想象能力，熟练掌握点、线、面位置关系中的判定定理和性质定理是解题的关键，属中档 题. 7.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模版”，它是：由五块等腰直角三角 形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个七巧板拼成的平行四边形 ABCD， E 为 AB 边的中点，若在四边形 ABCD 中任取一点，则此点落在阴影部分的概率为（　　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 分别求出平行四边形和阴影部分的面积，根据几何概型的公式计算即可得到结果. 【详解】由图象可知， ， ， 则此点落在阴影部分的概率为： . 故选：C. 【点睛】本题考查几何概型的计算，正确求解阴影部分面积是解题的关键，属中档题. 8.函数 的图象大致为（ ） 的 3 π 1 4 5 16 3 8 1 2 2ABCD BCDS S=   1 1 3 2 4 4BCD ABD BCDS S S S= + =   阴影 3 34 2 8 BCD ABCD BCD SSP S S = = =   阴影 ( ) 2 2lnx xf x x =A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由 得： ，故其为偶函数，图象关于 轴对称，故排除 D； ，故排除 A；当 时， ， ， 可 得 时 ， 函 数 单 调 递 减 ， 当 时 ， ，函数单调递增，故排除 C，故选 B. 点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题； 已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排 出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处 所对应的函数值或其符号，其中包括 等. 9.过点 P(3,﹣4)作圆(x﹣1)2+y2＝2 的切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为（　　 ） A. x+2y﹣2＝0 B. x﹣2y﹣1＝0 C. x﹣2y﹣2＝0 D. x+2y+2＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 画出图象，以 P 为圆心，以 PB 长度为半径可得到圆 P，则圆(x﹣1)2+y2＝2 与圆 P 的公共弦所 在直线即为直线 AB，利用两点间的距离公式和勾股定理可求出圆 P 的方程，然后两个方程相 减即可得到直线 AB 的方程. 【详解】如图，圆 P 为以 P 为圆心，以 PB 长度为半径的圆，则圆(x﹣1)2+y2＝2 与圆 P 的公共 ( ) 2 2lnx xf x x = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2ln lnx x x xf x f xx x − −− = = =− y ( )2 2ln 4 0f = > 0 1x< < ( ) 2 lnf x x x= ( ) ( )2 1 lnf x x=′ + 10, ex  ∈   ( ) 0f x′ < 1 ,1x e  ∈   ( ) 0f x′ > , , 0 , 0x x x x+ −→ +∞ → −∞ → →弦所在直线即为直线 AB， 在 中， ，则 ， 所以圆 P 的方程为： ，又圆 C 的方程为：(x﹣1)2+y2＝2， 以上两个等式相减可得， ，化简得， . 故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及两圆的公共弦问题，着重考查学生数形结合的思 想和转化问题的能力，属中档题. 10.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体外接球 的半径为（　 　） A. B. C. 2 D. 2 【答案】B 【解析】 Rt PBC∆ 2 2(1 3) (0 4) 2 5PC = − + + = 20 2 3 2PB = − = 2 2( 3) ( 4) 18x y− + + = 4 8 8 0x y− − = 2 2 0x y− − = 3 2 3 2【分析】 首先根据三视图得到该几何体是一个三条棱两两垂直的三棱锥，由此可得其外接球即为以三 条棱为长宽高的长方体的外接球，从而计算得到外接球半径. 【详解】该几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥，如图， 其中，PA，PB，PC 两两垂直， 故三棱锥所在 外接球即为以 PA，PB，PC 为长宽高的长方体的外接球， 又 PA= ，PB=2，PC= ，则外接球半径 . 故选：B. 【点睛】本题考查三视图和三棱锥的外接球问题，考查学生的空间想象能力，将三棱锥的外 接球问题转化为长方体的外接球问题是解本题的关键，属中档题. 11.已知函数 在区间 上是增函数， 且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则 ω 的取值范围是（　　 ） A. [ ） B. [ ] C. [ ） D. [ ] 【答案】D 【解析】 【分析】 化 简 可 得 ， 由 是 函 数 含 原 点 的 递 增 区 间 ， 又 因 为 函 数 在 上递增， ，可列出不等式组 ， 的 2 2 2 2 2( 2) 2 ( 2) 22R + += = ( ) ( )2 22 02 4 xf x sin xsin sin x ω πω ω ω = + −   ＞ 3 4 4 π π −  ， 1 2 2 3 ， 1 2 3 3 ， 1 2 3 3 ， 1 2 2 3 ， ( ) sinf x xω= ,2 2 π π ω ω  −   3,4 4 π π −   3, ,2 2 4 4 π π π π ω ω    ∴ − ⊇ −       3,2 4 4 2 π π π π ω ω− − 求解得到 ，又函数在区间 上恰好取得一次最大值，可得到不等式 ， 由此求出 ，综上即可得到结果. 【详解】 ， 即 ， 是函数含原点的递增区间， 又因为函数在 上递增， ， 得不等式组： ， 又 ， 又函数在区间 上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知 ， 即函数在 处取得最大值， 可得 ， ，综上，可得 . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换化简，根据题中条件列出不等式 组是解本题的关键，属难题. 12.已知函数 f（x）＝x3+ax2﹣9x+1（a∈R），当 x≠1 时，曲线 y＝f（x）在点（x0，f（x0） 和点（2﹣x0，f（2﹣x0））处的切线总是平行，现过点（﹣2a，a﹣2）作曲线 y＝f（x）的切 线，则可作切线的条数为（　　 ） A. .3 B. .2 C. 1 D. .0 【答案】A 2 3 ω [0, ]π 0 2 π πω≤ ≤ 1 2 ω ≥ 2( ) 2sin sin 2 4 xf x x ω πω  = ⋅ +   2sin xω− 2 1 cos 22sin sin2 x x x πω ω ω  − +  = ⋅ − 2sin (1 sin ) sinx x xω ω ω= + − = sin xω ( ) sinf x xω= ,2 2 π π ω ω  ∴ −   3,4 4 π π −   3, ,2 2 4 4 π π π π ω ω    ∴ − ⊇ −       3,2 4 4 2 π π π π ω ω− −  20, 0 3 ω ω> ∴ 0 两种情况讨论，然后根据导数与单调区间的关系 确定函数的单调区间； （2）首先利用导数求出 g(x)的值域为[0，1]，根据（1）可排除 a≤0 和 0＜a 的情况，由 函数 f(x)的单调性和图象分析可知，a 满足以下条件 时符合题意，结合构造函数 求解不等式即可得到结果. 【详解】（1）f(x)＝a(x﹣1)﹣lnx，x＞0，则 f′(x)＝a ， ①当 a≤0 时，f′(x)＜0，函数 f(x)在(0，+∞)上为减函数， ②当 a>0 时，令 f′(x)＞0 得 x ，令 f′(x)＜0 得 0＜x . 故 f(x)的单调递减区间为(0， )，单调递增区间为( ，+∞)， 综上所述，当 a≤0 时，函数 f(x)在(0，+∞)上为减函数， 当 a>0 时，f(x)在(0， )上为减函数，在( ，+∞)为增函数； （2）∵g(x)＝(1﹣x)ex，∴g′(x)＝﹣xex， 当 x∈[﹣1，0)时，g′(x)>0，当 x∈(0，1]时，g′(x) ( ) 4 2f x x> − [ ]3, 1x∈ − − a 5| 1 3xx x > < −  或 ( )5,+∞ ( ) 4f x > ( ) 4f x > ( ) 4 2f x x> − 2x a+ > 2a x> − 2a x< − − a 1a = ( ) 1 2 1f x x x= + + − ( ) 4f x > 1 3 1 4 x x ≤ − − + > 1 1 3 4 x x − < ≤ − + > 1 3 1 4 x x >  − > 1x < − 5 3x > ( ) 4f x > 5| 1 3xx x > < −  或 [ ]3, 1x∈ − − ( ) 4 2f x x> − 2 2 2 4 0x a x x+ + − + − > 2x a+ > 2a x> − 2a x< − − [ ]3, 1x∈ − − ( )max2 5x− = ( )min2 1x− − = − a ( ) ( ), 1 5,−∞ − +∞ 0a > 5a > a ( )5,+∞策略，属于中档题.