安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题.pdf

高二下学期期中考试数学试卷（理科） 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 一、选择题（本题共 12 题，每题 5 分，共 60 分，并把正确答案填答题卡中） 1．设复数 z 满足 (1 ) 2i z i+=（i 为虚数单位），则 =z （ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 2 D． 2 2．设曲线 : ( ) ( 1) xC f x x e=+ ，则曲线C 在( )1, (1)f 的切线的斜率（ ） A．1 B． 2 C．3 e+ D． 3e 3．函数 3 () e1= +x xfx 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 4．5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共 有（ ） A．10种 B． 20 种 C． 25 种 D． 32种 5．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若 , .,a b c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则 2 2 2+=a b c ，称这个定理为勾股定理．现将 这一定理推广到立体几何中： 在四面体O ABC− 中， 90AOB BOC AOC =  =  = ， S 为顶点O 所对面的面积， 1 2 3,,S S S 分别为侧面 OAB OAC OBC  ， ， 的面积，则下列选项中对于 满足的关 系描述正确的为（ ） A． 1 2 3S S S S= + + B． 2 222 1 2 3 111S SSS= + + C． 2 2 2 2 1 2 3S S S S= + + D． 1 2 3 1 1 1S S S S= + + 6．用数学归纳法证明 42 21 2 3 2 nnn ++ + + + = 则当 1nk=+时，左端应在nk= 的基础上加 上（ ） A． 2 1k + B．( )21k + C．( ) ( ) ( )2221 2 1k k k+ + + + + + D． ( )4 21 ( 1) 2 kk+ + + 7．设动直线 xm= 与函数 2()f x x= ， ( ) lng x x= 的图像分别交于 ,MN，则 ||MN 的最小值为 （ ） A． 11ln 222+ B． 11ln 222− C．1 ln 2+ D．ln 2 1− 8．函数 ( ) ln xf x x e=−的零点个数为（ ） A． 0 B． C． D．3 9．若函数 ( ) 33=−f x x x 在区间( )5,2 1aa−+上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A．( 1,4− B．( )1,4− C． 11, 2 −  D． 11, 2 − 10．若函数 ( )2( ) 2 4 xf x x mx e= − + 在区间 2,3 上不是单调函数，则实数m 的取值范围是 （ ） A． 20 17,32   B． 20 17,32   C． 205 3   ， D． 205, 3   11．已知 ()fx 是定义在R 上的函数 ()fx的导函数，且 2(1 ) (1 ) xf x f x e+ = − ，当 1x  时 ( ) ( )f x f x  恒成立，则下列判断正确的是（ ） A． 5 ( 2) (3)e f f− B． 5( 2) (3)f e f− C． 5 (2) ( 3)e f f− D． 5(2) ( 3)f e f− 12．已知不等式 ( )1 lnxxe a x x− +  对任意正数 x 恒成立，则实数a 的最大值是（ ） A． 1 2 B． C． 2 D． 2 e 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，并把正确答案填答题卡中). 13．若 0( ) 3fx =− ，则 00 0 ( ) ( )lim h f x h f x h h→ + − − = . 14．抛物线 2 2xy= 和直线 4yx=+所围成的封闭图形的面积是 . 15．已知复数 z 满足等式 1 i 1z − − = （i 为虚数单位），则 3z − 的最大值为______. 16．学校艺术节对同一类的 , , ,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙， 丙，丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或 D 作品获得一等奖” 乙说：“ B 作品获得一等奖” 丙说：“ ,AD两项作品未获得一等奖” 丁说：“是 作品获得一等奖”. 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 . 三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 17.（10 分）已知数列 ( ) ( ) 1 1 1 1, , , , ,1 4 4 7 7 10 3 2 3 1nn   −  + ，记数列的前 n 项和 nS 。 （1）计算 1 2 3 4, , ,S S S S ； （2）猜想 的表达式，并证明. 18.（12 分）用 n 种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在 , , ,A B C D 四个 区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色. （1）若 6n = ,则为甲图着色时共有多少种不同的方法； （2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求 . 19.（12 分）一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产 万件需要再投入2 万元.设该公司一个月内生产该小型产品 x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为4 x− 万 元，且每万件国家给予补助 2 ln 12 exe xx−−万元. （e 为自然对数的底数， 是一个常数.） （1）写出月利润 ()fx（万元）关于月产量 （万件）的函数解析式； （2）当月生产量在[1 ]2e, 万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万 元）及此时的月生产量值（万件）. （注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）. 20.（12 分）已知椭圆 22 221( 0)xy abab+ =   的离心率为 2 2 ,且过点( )0, 3 . （1）求椭圆的方程； （2）已知点 ( ) ( )2,1 , 3,0AB−−,过点 B 的直线l 交椭圆于 ,PQ两点,直线 ,AP AQ 的斜率分别 为 12,kk,求证: 12kk+ 为定值. 21.（12 分）已知函数 3( ) sin ( , , 1)1 xf x a b a b R ax= + −  + 的图象过点( )0, 1− 。 求证：（1）函数 ()fx在 ( 1, )− + 上为增函数； （2）函数 ()fx没有负零点. 22.（12 分）已知aR ，函数 ( ) ln xaef x a x x −=+ . （1）讨论函数 ( )fx的单调性； （2）若 1a = ，且 ( ) ( ) ( )2 111 xeF x x mx f x x −= − + − − 在 ( )0,2m 时有极大值点 ( )001xx ，求证： ( )0 1Fx  .