2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（二）
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
C
B
A
D
C
C
B
B
D
【解析】
1．结合图象易知与有两个交点，所以的元素个数为2，故选B．
2．设，由题意知，，，所以，故选A．
3．湖北最新确诊人数有增有减，A错误；全国最新确诊人数呈先增加后减少的趋势，B错误；2月4号全国新增确诊人数达到最多，并非患病人数最多，C错误；非湖北地区1月20日至2月10日这几天内新增确诊人数相较于湖北地区新增确诊人数的波动性较小，变化比较平稳，方差更小，D正确，故选D．
4．圆化为标准方程为，由题意到直线的距离，解得，故选C．
5．双曲线中，令，得，所以，由题意，化简得，所以，解得，（舍去），所以，故选B．
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6．，，，所以为奇函数，排除C，D；当时，，，所以，故选A．
7．令，则因为在上单调递增，结合图象可知解得，故选D．
8．因为，所以，又因为，所以，所以，的夹角的最小值为，故选C．
9．，则，并且则时，，当且仅当时，“=”成立，所以为在上单增，在上单减的偶函数，，，，
，所以，故选C．
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10．由程序框图可知时，，；时，，；时，，；时，
由以上规律可知时，
，故选B．
图1
11．如图1所示，线段在平面上的投影随着点的变化而变化，故①错；为定值，②正确；因为，，分别为棱，，的中点，所以，，，所以平面，所以平面，③正确；因为不垂直于，所以一定不存在点，使得平面，④错误，故选B．
12．，设，，所以在上为增函数，不妨设，则等价于
即，设，则证明
即证明在上恒成立，化简得，，设，则，，因为
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在上单调递增，所以，所以，故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
24
【解析】
13．展开式的通项公式为，令，得，所以展开式的常数项为．
14．因为，所以时，，不满足题意，时，，满足题意，所以，又因为，所以
．
15．设，，联立方程得，显然，由韦达定理得，所以，，则，，则，又因为为的中点，且，所以所以，解得．
16．由，化简得，所以．
法一：，，且满足解得，由余弦定理得
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，又因为，所以
，所以，则
法二：因为，，所以顶点的轨迹为以和为焦点的椭圆，由图形可知当，即为等边三角形时面积最大，此时，又因为可以趋近，所以．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（1）为等差数列，因为
所以，，解得，，
所以．………………………………………………………………………………（3分）
因为，
所以当时，；
……………………………………………………………………（5分）
当时，，
综上，，．…………………………………………………………………（6分）
（2），…………………………………………（8分）
所以
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所以………………………………………………………………（10分）
因为，当时，为关于的递增数列，
，，
所以的最大值为．…………………………………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）应选择模型①，因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．（言之有理即可）
………………………………………………………………………………………（4分）
（2）由（1）知，需剔除第一组数据，得到下表
6
7
8
9
10
3.5
5.2
7.0
8.6
10.7
则上表的数据中，，，
，，
所以，
………………………………………………………………………………………（10分）
，得模型①的回归方程为，
则时，，
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故光照时间为11h时，该植物的平均增长高度为．
………………………………………………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：如图2，连接因为，，为的中点，
所以，………………………………………（1分）
图2
又因为，所以所以
……………………………………………………（3分）
所以平面而平面所以．
………………………………………………………………………………………（4分）
（2）解：取的中点为的中点为连接则
因为所以
又因为为的中点，所以
由（1）知平面，平面
所以
又所以平面
以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示坐标系，
………………………………………………………………………………………（6分）
由题意知
则
设平面的向量为，
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则令，得为平面的一个法向量，
………………………………………………………………………………………（8分）
假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设则
所以
所以化简得
解得，（舍去），所以存在这样的点
……………………………………………………………………………………（11分）
此时．…………………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
（1）解：由得到
又因为在圆上，
所以①，把，带入①，得，
所以曲线的标准方程为．…………………………………………………（4分）
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（2）证明：设直线的方程为，，
联立直线和椭圆方程化简得，易知，
由韦达定理…………………………………………（6分）
由题意：直线，所以，
所以，所以
所以，令得
………………………………………………………………………………………（8分）
因为，，所以，
因为
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所以与共线，所以三点共线．……………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1）当时，，
………………………………………………………………………………………（1分）
设，，且在任意子区间上不恒成立，
所以在上单增，
又因为，所以时，，即
时，，即，………………………………………………（3分）
所以的单调减区间为，单调增区间为．
………………………………………………………………………………………（4分）
（2）因为在上为单调递增函数，
在的任意子区间内不恒为0，
所以在上恒成立，
令，……………………………………………（5分）
①当时，显然成立，满足题意；
………………………………………………………………………………………（6分）
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②当时，，
（ⅰ）当时，
所以在上单增，所以，满足题意；
………………………………………………………………………………………（8分）
（ⅱ）当时，
所以在上单增，
因为，
所以，使得，
又因为在上单增，所以时，，时，，
所以为在上唯一的极小值点，所以，
又因为所以，
所以时，，不满足题意．
………………………………………………………………………………………（11分）
综上所述，．……………………………………………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）联立和，得到（舍去），，
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所以则．………………………………………………………（4分）
（2）由（1）知，为边长为的等边三角形，
则外接圆的直径，得
将化为直角坐标为，
所以内接圆的圆心坐标为，
所以圆的标准方程为，化为普通方程为，
所以圆的极坐标方程为，化简得．
………………………………………………………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
（1）解：因为，所以
所以，所以．……………………………………………………（5分）
（2）证明：由（1）知，，且为正实数，
故有
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，
所以．…………………………………………………（10分）
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