中考必会几何模型：三垂直全等模型解析

1 三垂直全等模型 模型 三垂直全等模型 如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC. 结论：Rt△BCD≌Rt△CAE. 模型分析 说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多 利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图 ①和图②就是我们经常会见到的两种弦图. 三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的. 例 1 如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC. 证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°. ∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°. ∴∠BAE＝∠CED. 在△ABE 和△ECD 中， ∴△ABE≌△ECD. ∴AB＝EC，BE＝CD. ∴AB＋CD＝EC＋BE＝BC. 例 2 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE 于 D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，则 DE 的 长为多少？ 解答：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90° . ∴∠EBC＋∠BCE＝90°. ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA. 在△CEB 和△ADC 中， ∴△CEB≌△ADC ∴BE＝DC＝0.8cm，CE＝AD＝2.5cm. ∴DE＝CE－CD＝2.5－0.8＝1.7cm. 图① 图② 图③ A B CD E 图④ D E A B C B C A CED AE ED ∠ = ∠ ∠ = ∠  = E ADC EBC DCA BC AC ∠ = ∠ ∠ = ∠  = A B CD E D A EB C E D A B C2 例 3 如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标. 解答：（1）如图③，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D. ∴∠BCD＋∠DBC＝90°. 由等腰 Rt△ABC 可知，BC＝AC，∠ACB＝90°， ∴∠BCD＋∠ACO＝90°. ∴∠DBC＝∠ACO. 在△BCD 和△CAO 中， ∴△BCD≌△CAO. ∴CD＝OA，BD＝OC. ∵OA＝3，OC＝2. ∴CD＝3，BD＝2. ∴OD＝5. ∴B（－5，2）. （2）如图④，过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D. 在△ACD 和△CBO 中， ∴△ACD≌△CBO. ∴CD＝OB，AD＝CO. ∵B（－1，0），C（0，3） ∴OB＝1，OC＝3. ∴AD＝3，OD＝2. ∴OD＝5. ∴A（3，2）. x y 图① B A(0,3) C(-2,0) O BDC AOC DBC ACO BC AC ∠ = ∠ ∠ = ∠  = ADC COB DAC OCB AC CB ∠ = ∠ ∠ = ∠  = x y 图③ B A(0,3) C(-2,0) OD x y 图④ C(0，3) A OB(-1,0) D3 跟踪练习 1．如图，正方形 ABCD，BE＝CF.求证：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF. 证明： （1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BD，∠ABC＝∠BCD＝90°. 在△ABE 和△BCF 中， ∴△ABE≌△BCF. ∴AE＝BF. （2）∵△ABE≌△BCF. ∴∠BAE＝∠CBF. ∵∠ABE＝90°， ∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BGE＝90°， ∴AE⊥BF. 2．直线 l 上有三个正方形 a、b、c，若 a、c 的面积分别是 5 和 11，则 b 的面积是_____. 解答：∵a、b、c 都是正方形， ∴AC＝CD，∠ACD＝90°. ∵∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠DCE. 在△ABC 和△CBE 中， ∴△ACB≌△CDE. ∴AB＝CE，BC＝DE. 在 Rt△ABC 中， ＝ ＋ ＝ ＋ 即 ＝ ＋ ＝5＋11＝16. 3．已知，△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 P 为 BC 上一动点（BP