2019-2020 学年高一下学期第二次月考
数学试卷
一、单选题(每题 5 分,合计 60 分)
1.在 中,已知 ,则 =( )
A. B. C. D.
2.不等式 的解集为 ,则 的值( )
A. , B. ,
C. , D. ,
3.不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
4.在等差数列 中,已知 ,则该数列前 9 项和 ( )
A.18 B.27 C.36 D.45
5.若两个正实数 x,y 满足 ,且不等式 有解,则实数 m 的取值范围
是
A. B. C. D.
6.设变量 、 满足约束条件 ,则 的最小值为( )
A.-3 B.-2 C.0 D.6
7.在 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 , ,为使此
三角形有两个,则 满足的条件是( )
A. B. C. D. 或
8.等差数列 中, 为它的前 项和,若 , , ,则当 ( )
时, 最大.
ABC∆ 2 2 2 2a b c ba+ = + C
30° 150° 45° 135°
2 5 0cx x a+ + > 1 1| 3 2x x < 20 0S > 21 0S < n =
nSA. B. C. D.
9.若不等式 对于一切 恒成立,则 的最小值是 ( )
A.0 B. C. D.
10.在 中, 则 的值等于( )
A. B. C. D.
11. 的内角 , , 所对的边长分别为 , , ,已知角 ,角 为锐角,
, 周长的取值范围( )
A. B.
C. D.
12.如果数列 满足 , ,且 ,则这个数列的第 10
项等于( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题 5 分,合计 20 分)
13.在 中,若 , ,则 等于__________.
14.已知 中,三边与面积的关系为 ,则 的值为_____.
15.在函数① ,② ,③ ,④
,⑤ 中,最小值为 2 的函数的序号是______.
16.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长
三尺;莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自
倍.问几何日而长等?”意思是:今有蒲生长 1 日,长为 3 尺;莞生长 1 日,长为 1
尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加 1 倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间
约为_____日.
(结果保留一位小数,参考数据: , )
8 9 10 11
2 1 0x ax+ + ≥ 10, 2x ∈ a
2− 5
2
− 3−
ABC∆ 60 1 3ABCA b S∆∠ = ° = =, , , 2
sin 2sin sin
a b c
A B C
− +
− +
2 39
3
26 33
8 33 2 3
ABC A B C a b c 60A = ° B
2 3a = ABC
(2 3,4 3 (4 3,6 3
2 3 4,2 3 4 − + ( ]36,32
{ }na 1 2a = 2 1a = ( )1 1
1 1
2n n n n
n n n n
a a a a na a a a
− +
− +
− −= ≥
10
1
2 9
1
2
1
10
1
5
ABC△ 2 2 3a b bc− = sin 2 3sinC B= A
ABC∆
2 2 2
4
a b cS
+ −= cosC
1y x x
= + sin 2 (0 )2 sin
xy xx
π= + < < 4 2x
xy e e
= + −
2
2
3
2
xy
x
+=
+
1y x x
= +
lg2 0.30≈ lg3 0.48≈三、解答题(17 题 10 分,其余每题 12 分,合计 70 分)
17.已知数列 的前 项和为 ,若 ,且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ,数列 的前 项和为 ,求 .
18.已知 的内角分别为 ,其对应边分别是 ,且满足
.
(Ⅰ)求角 的大小;
(Ⅱ)若 ,求 的最大值.
19.已知数列 满足 .
(1)证明数列 为等差数列;
(2)若 ,求数列 的前 项和 .
20.如图,在 中,内角 , , 的对边分别为 , ,
,已知 , , , , 分别为线段 上
的点,且 , .
(1)求线段 的长;
(2)求 的面积.
21.某玩具所需成本费用为 P 元,且 P=1 000+5x+ x2,而每套售出的价格为 Q 元,其中
Q(x)=a+ (a,b∈R),
(1) 问:玩具厂生产多少套时,使得每套所需成本费用最少?
{ }na n nS ( ) 14 2 1 1n nS n a += − + 1 1a =
{ }na
( )
1
2n
n n
c a a
= + { }nc n nT nT
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
cos cos 2 cosb C c B a B+ =
B
3b = 2a c+
{ }na ( )2 *
1 2 32 3 4 Nna a a na n n n+ + + + = + ∈
{ }nna
2n
n nb na= ⋅ { }nb n nT
ABC∆ A B C a b
c 4c = 2b = 2 cosc C b= D E BC
BD CD= BAE CAE∠ = ∠
AD
ADE∆
1
10
x
b(2)若生产出的玩具能全部售出,且当产量为 150 套时利润最大,此时每套价格为 30 元,求 a,
b 的值.(利润=销售收入-成本).
22.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足:对任意实数 x,都有 f(x) ≥ x,且当
x∈(1,3) 时,有 f(x)≤ (x+2)2 成立.
(1)证明:f(2)=2;
(2)若 f (-2)=0,求 f(x)的表达式;
(3)设 g(x)=f (x)- x,x∈[0,+∞),若 g(x) 图象上的点都位于直线 y= 的上方,求实数 m
的取值范围.
1
8
2
m 1
4数学月考答案
1-5 CDADD 6-10 CCCCA 11-12 BD
13. 14. 15.③⑤ 16.2.6
三、解答题
17.已知数列 的前 项和为 ,若 ,且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ,数列 的前 项和为 ,求 .
解:(1) ①,
当 时, ,解得
当 时, ②,
①减去②得 ,
整理得 ,
即 ,
, , ,
以上各式相乘得 ,又 ,
所以 ,
(2)由(1)得 ,
6
π 2
2
{ }na n nS ( ) 14 2 1 1n nS n a += − + 1 1a =
{ }na
( )
1
2n
n n
c a a
= + { }nc n nT nT
14 (2 1) 1n nS n a += − +
1n = 1 24 1S a= + 2 3a =
2n 14 (2 3) 1n nS n a− = − +
14 (2 1) (2 3)n n na n a n a+= − − −
1(2 1) (2 1)n nn a n a ++ = −
1 2 1
2 1
n
n
a n
a n
+ += −
∴ 2
1
3a
a
= 3
2
5
3
a
a
= …
1
2 1
2 3
n
n
a n
a n−
−= −
1
2 1na na
= −
1 1a =
2 1na n= −
1 1 1 1 1
( 2) (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n
n n
c a a n n n n
= = = − + − + − +
1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 3 5 2 2 1 2 1nT n n
∴ = − + − + + − − +
1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1n n
= − + − +…+ − − + ,
18.(Ⅰ) ,由正弦定理得: ,
即 ,于是 ,
从而 ;
(Ⅱ)由正弦定理得: , , ,
,(其中 ,
所以当 时, 的最大值是 .
19.(1)当 时, ;
当 时,由 ①;
得 ②,
①-②得 ,
当 时符合,即 ,
则 ,所以数列 为等差数列.
(2)由题可知 .
所以 ③,
④,
③-④得 ,
1 112 2 1n
= − +
2 1
n
n
= +
2 1n
nT n
∴ = +
cos cos 2 cosb C c B a B+ = sin cos sin cos 2sin cosB C C B A B+ =
( )sin sin 2sin cosB C A A B+ = = 1cos 2B =
3B
π=
3 2sin sin sin 3
2
a c b
A C B
= = = =
2sina A∴ = sinc C=
∴ ( )22 2sin 4sin 2sin 4sin 2 2sin 3cos3a c A C A A A A
π + = + = + − = + =
( )2 7sin A φ+ 3tan , 0, )2 2
πφ φ = ∈
2A
π φ= − 2a c+ 2 7
1n = 1 5a =
2n
2
1 2 32 3 4na a a na n n+ + + + = +
2
1 2 3 12 3 ( 1) ( 1) 4( 1)na a a n a n n−+ + + + − = − + −
2 3nna n= +
1n = 2 3nna n= +
1( 1) 2n nn a na++ − = { }nna
(2 3) 2n
nb n= + ⋅
1 2 35 2 7 2 9 2 (2 3) 2n
nT n= × + × + × + + + ×
2 3 4 12 5 2 7 2 9 2 (2 3) 2n
nT n += × + × + × + + + ×
( )2 3 4 1 110 2 2 2 2 2 (2 3) 2 2 (2 1) 2n n n
nT n n+ +− = + × + + + + − + × = − + ×所以 .
20.(1)因为 , ,所以 .
由余弦定理得 ,
所以 ,即 ,
在 中, , ,
所以 ,所以 .
(2)因为 是 的平分线,
所以 ,
又 ,所以 ,
所以 , ,
又因为 ,所以 ,
所以 .
21.解:(1)每套玩具所需成本费用为 =
= x+ +5≥2 +5=25,
当 x= ,即 x=100 时等号成立,
故该玩具厂生产 100 套时每套所需成本最少.
(2)设售出利润为 w,则 w=x·Q(x)-P
=x -
1(2 1) 2 2n
nT n += + × −
4c = 2b = 1cos 2 4
bC c
= =
2 2 2 2 4 16 1cos 2 4 4
a b c aC ab a
+ − + −= = =
4a = 4BC =
ACD∆ 2CD = 2AC =
2 2 2 2 cos 6AD AC CD AC CD ACD= + − ⋅ ⋅ ∠ = 6AD =
AE BAC∠
1 sin2 21 sin2
ABE
ACE
AB AE BAES AB
S ACAC AE CAE
∆
∆
⋅ ⋅ ∠
= = =
⋅ ⋅ ∠
ABE
ACE
S BE
S EC
∆
∆
= 2BE
EC
=
1 4
3 3CE BC= = 4 22 3 3DE = − =
1cos 4C = 2 15sin 1 cos 4C C= − =
1 15sin2 6ADES DE AC C∆ = × × × == x2+(a-5)x-1 000,
由题意得 解得 a=25,b=30.
22.(1)证明:由条件知:
f(2)=4a+2b+c≥2 恒成立.
又因取 x=2 时,f(2)=4a+2b+c≤ (2+2)2=2 恒成立,∴f(2)=2.
(2)因 ,
∴4a+c=2b=1.
∴b= ,c=1-4a.
又 f(x)≥x 恒成立,即 ax2+(b-1)x+c≥0 恒成立.
∴a>0.Δ=( -1)2-4a(1-4a)≤0,
解出:a= ,b= ,c= .
∴f(x)= x2+ x+ .
(3)g(x)= x2+( - )x+ > 在 x∈[0,+∞)必须恒成立.
即 x2+4(1-m)x+2>0 在 x∈[0,+∞)恒成立,
①Δ