2019-2020 学年 高一年下学期 4 月月考
数学试卷
(考试时间:120分钟 总分:150分)
一、选择题(每题 5 分共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1. 的值是( )
A. B. C. D.
2.给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;
③若 λa=0 (λ 为实数),则 λ 必为零;
④已知 λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线.
其中错误命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若 ,且 为第四象限角,则 的值等于( )
A. B. C. D.
4.已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则 m=( )
A.-8 B.-6 C.6 D.8
5.在△ABC 中,若 ,则△ABC 是 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
6.已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
7.设向量 a,b 满足 a=(1,2),|b|=5,a·b=5,且 a,b 的夹角为 θ,则 cosθ=( )
A. B. C. D.
5sin 13
α = − α tanα
12
5
12
5
− 5
12
5
12
−
Bac cos2=
5
5
2 5
5
10
5
15
58.已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
9.已知平面向量 , 满足 , , 则向量 在向量 方向上的
投影为( )
A.2 B. C. D.
10.在 中,角 , , 的对边分别为 , , .若 , , ,则满足
此条件的三角形( )
A.不存在 B.有两个 C.有一个 D.个数不确定
11.已知锐角三角形的边长分别为 , , ,则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12.已知两个不相等的非零向量 , ,满足 ,且 与 的夹角为 60°,则 的取
值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13.若 2 弧度的圆心角所对的弧长是 4 cm,则这个圆心角所在的扇形面积________ .
14.已知向量 ,若 且方向相反,则 __________.
15.在 中, , ,则 ________.
16.在 中, , , ,则 __________.
三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,推理过程或演算步骤)
17.(10 分)已知向量 , 的夹角为 , 且 , , 若 , , 求
1cos 12 3
π θ − =
5sin 12
π θ + =
2 2
3
− 1
3
− 1
3
2 2
3
a b | | 4a = (1,2)b = ( ) 10a b b+ ⋅ = a b
5
4
5
2 5
ABC∆ A B C a b c 3a = 4b =
3A
π=
2 4 x x
1 5x< < 5 13x< <
1 2 5x< < 2 3 2 5x< <
a b 1a = a ab − b
30, 2
3 ,12
3 ,2
+∞
( )1,+∞
2cm
)4,3(),2,1( +=−= mbma / /a b m =
ABC 60A = ° 3a = 2
sin 2sin
b c
B C
+ =+
ABC∆ 4a = 5b = 6c = sin2
sin
A
C
=
a b 60 | | 2a = | | 1b = 4c a b= − 2d a b= + (1) · ;
(2) .
18.(12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, .
(1)求 B 的大小.
(2)若 , ,求 b.
19.(12 分)已知函数 , .
(1)求 的最小正周期;
(2)将 图像上所有点向左平行移动 个单位长度,得到 的图像,求函数
的单调递增区间.
20.(12 分)在 中,内角 所对的边分别为 ,若 ,
.
(1)求 ;
(2)若 边的中线 长为 ,求 的面积.
(1)当 时,求函数 在 上的最大值和最小值;
(2)若 在区间 上不单调,求 的取值范围.
22.(12 分)在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ,向量
, ,且 .
(1)求 的值;
(2)若 , 的面积为 ,求 的值.
参考答案
1-5 、BCDDB 6-10、AACDA 11-12、DD
13.4 14.-5 15. 16.
17.【解析】(1)1 …………………………4 分
(2) ……………………6 分
a b
| |c d+
2 sina b A=
3 3a = 5c =
( ) sin(2 ) cos(2 )3 6f x x x
π π= + + − x∈R
( )f x
( )y f x=
6
π ( )y g x=
( )y g x=
ABC∆ A B C, , a b c, , 2a =
cos cos 2 cos 0a C c A b B+ + =
B
BC AM 5 ABC∆
[ ]ππθθ ,,,函数分)已知、( -1)()cos4,(),,1(1221 2 ∈−⋅==−= baxfxbxa
2
3
θ π= ( )f x [ 2,2]−
( )f x [1, 2] θ
ABC∆ A B C a b c
( cos cos , 1)p b C c B= + (3, 5 sin )q a A= − 0p q⋅ =
sin A
2b = ABC∆ 3 a
2 1
2 2| | ( )c d c d+ = +
................9 分
故 ………………………10 分
18.解:(1)由 ,根据正弦定理得 ,............3 分
又因 B 为锐角,解得 ....................6 分.
(2) 由余弦定理 ...........................9 分
得 .............11 分
解得 .........................12 分.
19.解:(1)
..............2 分
,............................4 分
故 的最小正周期 .........................6 分
【法二:由于 ,故 ,
,故 的最小正周期为
(2) ,..............8 分
由 ,....................10 分
2
2
2 2
( 4 2 )
(2 2 )
4 8 4
4 4 8 1 4 1
12
a b a b
a b
a a b b
= − + +
= −
= − +
= × − × + ×
=
| | 12 2 3c d+ = =
2 sina b A= sin 2sin sinA B A=
6B
π=
Baccab cos2222 −+=
2 2 2 32 cos 27 25 2 3 3 5 52 45 72b a c ac B= + − = + − × × × = − =
7b =
( ) sin 2 cos 23 6f x x x
π π = + + −
sin2 cos cos2 sin cos2 cos sin2 sin3 3 6 6x x x x
π π π π= + + +
sin2 3cos2x x= +
2sin 2 3x
π = +
( )f x 2
2T
π π= =
2 26 3 2x x
π π π− = + − cos 2 sin 26 3x x
π π − = +
( ) sin 2 cos 2 2sin 23 6 3f x x x x
π π π = + + − = +
( )f x π
( ) 22sin 26 3g x f x x
π π = + = +
22 2 22 3 2k x k
π π ππ π− + ≤ + ≤ +解得 ....................11 分
故 的单调递增区间为 , .....................12 分
20.解:(1)在 中, ,
且 ,
∴ ,....................2 分
∴ ,....................4 分
又∵ ,∴ .
∵ 是三角形的内角,∴ . ....................6 分
(2)在 中, ,
由余弦定理得 ,....................8 分
∴ .即 , ,
∵ ,∴ .....................10 分
在 中, , , ,
∴ 的面积 ....................12 分
21.解:(1) , ....................2 分
当 时, , ....................3 分
函数 在 上的最大值 ,....................5 分
最小值 .....................7 分
若 在区间 上不单调,则 ,
7
12 12k x k
π ππ π− + ≤ ≤ − +
( )g x 7 ,12 12k k
π ππ π − + − + k Z∈
ABC∆
sin sin sin
a b c
A B C
= =
cos cos 2 cos 0a C c A b B+ + =
sin cos sin cos 2 sin cos 0A C C A B B+ + =
( )sin( ) 2 sin cos sin 2 sin cos sin 1 2 cos 0A C B B B B B B B+ + = + = ⋅ + =
sin 0B ≠ 2cos 2B = −
B 3
4B
π=
ABM∆ 31 5 4BM AM B AB c
π= = = =, , ,
( )22 2 2 cosAM c BM c BM B= + − ⋅ ⋅
2 25 1 2 ( )2c c= + − × − 2 2 4 0c c+ − = ( 2)( 2 2) 0c c− + =
0c > 2c =
ABC∆ 2a = 2c = 3
4B
π=
ABC∆ 1 1 3sin 2 2 sin 12 2 4S ac B
π= = × × =
( ) 2 4 cos 1f x x x θ= − −
2
3
θ π= ( ) ( )22 2 1 1 2f x x x x= + − = + −
[ ]2,2− ( ) ( )max 2 7f x f= =
( ) ( )min 1 2f x f= − = −
1, 2 1 2cos 2θ<