2019-2020 学年度南宫中学高一年级 6 月月考卷
数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．请将答案正确填写在答题卡上。
第 I 卷（选择题)
一、单选题（本题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。）
1．已知 、 、 ，且 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若直线 与直线 互相垂直,则 等于( )
A．1 B．-1 C．±1 D．-2
3．在 中， ，则∠ 等于( )
A．30°或 150° B．60° C．60°或 120° D．30°
4．若向量 ， 满足 ， ，则向量 ， 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．等差数列 的前 n 项和为 ,且满足 ,则下列数中恒为常数的是( )
A． B． C． D．
a b Rc∈ a b>
2 2a b> a b> a c b c+ > + ac bc>
( 2) (1 ) 3a x a y+ + − = ( 1) (2 3) 2 0a x a y− + + + = a
ABC∆ 2 3, 2 2, 45a b B °= = ∠ = A
a b
1== ba ( ) 3
2a a b⋅ − = a b
30 60 120 150
{ }na nS 5 4 82 13 5 10S a a− + =
8a 9S 17a 17S6．一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为 2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点 P 出发，绕圆
锥表面爬行一周后回到 P 点，蚂蚁爬行的最短路径为 ，则圆锥的底面圆半径为（ ）
A．1m B． C． D．
7．已知 中， ，E 为 BD 中点，若 ，则 的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
8．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， .若 ，
则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
9．正项等比数列 中，存在两项 使得 ，且 ，则 的最小
值是( )
A． B．2 C． D．
10．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着
一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马
后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，若
将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即
回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知正四棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，若 ，且 的体
积为 ，则球 的表面积为（ ）
2 3m
2
3 m 4
3 m 3
2 m
ABC∆ 2AD DC= BC AE ABλ µ= + 2λ µ−
ABC∆ A B C a b c ( )cos cos cos cosa A a C c A B= +
ABC∆
{ }na ,m na a 14m na a a= 6 5 42a a a= + 1 4
m n
+
3
2
7
3
25
6
2 2 1x y+ ≤
( )3,0A 4x y+ =
17 1− 17 2− 17 3 2−
P ABCD− O 2 2AB = P ABCD−
32
3 OA． B． C． D．
12．在平面直角坐标系 中，已知 ， 是圆 上两个动点，且满足
（ ），设 ， 到直线 的距离之和的最大值为 ，若数列 的前
项和 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题)
二、填空题（本大题共 4 小题,，每小题 5 分，共 20 分。）
13．已知点 ， ， 为坐标原点，则 外接圆的标准方程是__________.
14．已知不等式 的解集是 ,则不等式 的解集是
________.
15．记 为数列 的前 项和，若 ，则 _____________．
16．山顶上有一座信号发射塔，塔高 0.2 千米，山脚下有 ， ， 三个观测点，它们两两之间的
距离分别为 千米， 千米， 千米，从这三个观测点望塔尖的仰角均为 60°，
则山高为______千米.
三、解答题（本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列 满足 ，且 .
（1）设 ，证明数列 为等差数列；
25π 25
3
π 25
4
π
5π
xOy nA nB 2 2 2x y n+ =
2
2n n
nOA OB⋅ = −
*Nn∈ nA nB 3 ( 1) 0x y n n+ + + = na 1{ }
na
n nS m< m
3( , )4
+∞ 3[ , )4
+∞ 3( , )2
+∞ 3[ , )2
+∞
( )2,0A ( )0,4B O AOB∆
2 1 0ax bx− − > 1 1| 2 3x x − < < −
2 0x bx a− − ≥
nS { }na n 2 1n nS a= + 6S =
A B C
3AB = 4AC = 2BC =
{ }na ( )*
1 3 3n
n na a n N+ − = ∈ 1 1a =
13
n
n n
ab −= { }nb（2）设 ，求数列 的前 n 项和 .
18．在 中， ， ，且 的面积为 ．
（1）求 a 的值；
（2）若 D 为 BC 上一点，且 ，求 的值．
从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
19．如图四边形 ABCD 为梯形， ，求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的
几何体的表面积和体积．
20．已知 的内角 ， ， 的对边 ， ， 分别满足 ，
，又点 满足 ．
（1）求 及角 的大小；
（2）求 的值．
n
n
nc a
= { }nc nS
ABC∆ 1c = 2π
3A = ABC∆ 3
2
sin ADB∠
1AD = π
6CAD∠ =
/ / 90AD BC ABC∠ °， ＝
ABC∆ A B C a b c 2 2c b= =
2 cos cos cos 0b A a C c A+ + = D 1 2
3 3AD AB AC= +
a A
AD21．已知直线 ： ，半径为 2 的圆 与 相切，圆心 在 轴上且在直线 的右上方.
（1）求圆 的方程；
（2）过点 的直线与圆 交于 ， 两点（ 在 轴
上方），问在 轴正半轴上是否存在定点 ，使得 轴平分
？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
22．已知数列 满足： ，
Ⅰ 求数列 的通项公式；
Ⅱ 设 ，数列 的前 n 项和为 ，试比较 与 的大小.
2019-2020 学年度南宫中学高一年级 6 月月考卷
数学试卷参考答案
1．C 取 ， ，则 ， ，A、B 选项错误；
， ，由不等式的基本性质可得 ，C 选项正确；
l 4 3 10 0x y+ + = C l C x l
C
( )1,0M C A B A x
x N x
ANB∠ N
{ }na 2 1
1 2 3
13 3 3 3
n
n
na a a a− ++ + …+ = ( )*n N∈
( ) { }na
( ) ( )( )1
1
1
3 1 1n n
n n
b a a+
+
= − − { }nb nS nS 7
16
2a = − 3b = − 2 2a b< a b<
a b> Rc∈ a c b c+ > +当 时， ，则 ，D 选项错误.
2．C 解：①当 时，利用直线的方程分别化为： ， ，此时两条直线相互垂
直．
②如果 ，两条直线的方程分别为 与 ，不垂直，故 ；
③ ，当 时，此两条直线的斜率分别为 ， ．
两条直线相互垂直，
，化为 ，
综上可知： ．
3．C 根据正弦定理 ，
可得 ，解得 ，故可得 为 60°或 120°；
又 ，则 ，显然两个结果都满足题意.
4．C ， ，得 ，即 ，
解得 ，又 ，所以 .
5．D 解：在等差数列中，
∵ ，
∴（10a1+20d）-13（a1+3d）+5（a1+7d）=10，
2a1+16d=10，a1+8d=5，a9=5，所以，S17=17× （a1+a17）=17a9=85 为定值，故选 D．
6．B 将圆锥侧面展开得半径为 2m 的一扇形，蚂蚁 从
0c < a b> ac bc<
1a = 1x = 5 2 0y + =
3
2a = − 5 6 0x y+ − = 5 4x = 3
2a ≠ −
0a > 1a ≠ 2
1
a
a
+− −
1
2 3
a
a
−− +
∴ 2 1( )·( ) 11 2 3
a a
a a
+ −− − = −− + 1a = −
1a = ±
a b
sinA sinB
=
2 3 2 2
45sinA sin
= °
3
2sinA = A
a b> A B>
1a b= = ( ) 3
2a a b⋅ − = 2 3
2a a b− ⋅ = 31 1 1 cos , 2a b− × × < >=
1cos , 2a b< >= − , [0, ]a b π< >∈ , 120a b< >=
5 4 82 13 5 10S a a− + =
1
2爬行一周后回到 （记作 ），作 ，如下图所示：
由最短路径为 ，即 ，
由圆的性质可得 ，即扇形所对的圆心角为 ，
则圆锥底面圆的周长为 ，则底面圆的半径为 ，
7．C 由 得 ，即
，即
，故 ，解得
，故 .
8．D 因为 ，所以 ，
所以 ，
从而 .因为 ， ,
所以 或 ，即 或 ，
故 是等腰三角形或直角三角形.选 D.
9．A 试题分析：由 得 解得 ，再由 得
，所以 ，所以
.
P P 1P 1OM PP⊥
2 3m 1 2 3, 2PP OP= =
1 3POM POM
π∠ = ∠ = 2
3
π
2 423 3l
π π= × =
4
23
2 2 3
lr
π
π π= = =
BC AE ABλ µ= + ( )1
2AC AB AD AB ABλ µ− = ⋅ + +
1 2
2 3AC AB AC AB ABλ µ − = + +
1 1
3 2AC AB AC ABλ λ µ − = + +
1 13
11 2
λ
λ µ
=
− = +
53, 2
λ µ= = − 2 3 5 8λ µ− = + =
( )cos cos cos cosa A a C c A B= + ( )sin cos sin cos sin cos cosA A A C C A B= +
( )sin cos sin cos sin cosA A A C B B B= + =
sin2 sin2A B= 0 A π< < 0 B π< <
2 2A B= 2 2A B π+ = A B=
2A B
π+ =
ABC∆
6 5 42a a a= + 5 4 32q q q= + 2q = 14m na a a=
2 416 2m nq + − = = 6m n+ =
( )1 4 1 1 4 1 4 1 35 96 6 6 2
n mm nm n m n m n
+ = + + = + + ≥ ⋅ = 10．A【详解】设点 关于直线 的对称点 ，设军营所在区域为的圆心为 ，
根据题意， 为最短距离，先求出 的坐标，
的中点为 ，直线 的斜率为 1，故直线 为 ，
由 ，解得 ， ，所以 ，故 ，
11．A【详解】设正四棱锥底面的中心为 ，则有
，可得 ，
设外接球的半径为 ，在直角三角形 中，
，则有 ，解得 ，
所以球 的表面积为 .
12．B 由 ，得 ，所以 ，设线段
的中点为 ，则 ，所以 在圆 上，
， 到直线 的距离之和等于点 到该直线的距离的两倍.点 到直线
距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，
而圆 的圆心 到直线 的距离为
，
A 4x y+ = ( ),A a b′ C
1A C′ − A′
AA′ 3,2 2
a b+
AA′ AA′ 3y x= −
3 42 2
3
a b
b a
+ + =
= −
4a = 1b = 2 24 1 17A C′ = + = 1 17 1A C′ − = −
1O
( )2
1
1 322 23 3PO× × = 1 4PO =
R 1OO A
1 14 2，OO R O A= − = ( )2 2 24 2− + =R R 5
2R =
O
2
2 54 4 252Rπ π π = × =
2
2n n
nOA OB⋅ = − 2
cos 2n n
nn n A OB⋅ ⋅ ∠ = − 120n nA OB∠ =
n nA B
nC
2n
nOC = nC
2
2 2
4
nx y+ =
nA nB 3 ( 1) 0x y n n+ + + = nC nC
2
2 2
4
nx y+ = ( )0,0 3 ( 1) 0x y n n+ + + =
( )
( )
( )
22
1 1
21 3
n n n nd
+ += =
+， ，
，
,
13．
由题知 ，故 外接圆的圆心为 的中点 ，半径为 ，
所以 外接圆的标准方程为 .
14． 不等式 的解集是
是方程 的两个根,且 ,
根据韦达定理可得:
解得:
不等式: 为
故不等式 的解集: .
15． 根据 ，可得 ，
两式相减得 ，即 ，
2( +12[ ] 22 2n
n n na n n∴ = + = +）
2
1 1 1 1 1( )2 2 2na n n n n
∴ = = −+ +
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 (1 )2 3 2 4 3 5 2 2 2 1 2 4n
n
S a a a a n n n n
∴ = + + + + = − + − + − + + − = + − − 1 1| 2 3x x − < < −
∴ 1 1,2 3
− − 2 1 0ax bx− − = 0a <
∴
1 1
2 3
1 1 1
2 3
b
a
a
− + − = − − × − =
6
5
a
b
= −
=
∴ 2 0x bx a− − ≥ 2 5 6 0x x− + ≥
2 0x bx a− − ≥ { | 2 3}x x x≤ ≥或
63− 2 1n nS a= + 1 12 1n nS a+ += +
1 12 2n n na a a+ += − 1 2n na a+ =当 时， ，解得 ，
所以数列 是以-1 为首项，以 2 为公比的等比数列，
所以 ，故答案是 .
16． 设塔顶的垂直高度为 千米，则 ，
所以 、 、 均在以 为圆心，半径为 的圆上，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得： ∴ ，
由正弦定理得 ，∴ ，∴ ，解得 ，
∴山高为 千米.
17．1）由已知得 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列
（2）由（1）知， ，所以 ，
1n = 1 1 12 1S a a= = + 1 1a = −
{ }na
6
6
(1 2 ) 631 2S
− −= = −− 63−
8 5 1
5
− PO x= 3
3AO BO CO x= = =
A B C O 3
3 x
ABC 3AB = 4AC = 2BC =
2 2 24 2 3 11cos 2 4 2 16ACB
+ −∠ = =× ×
2 3 15sin 1 cos 16ACB ACB∠ = − ∠ =
16 152 sin 15
ABR ACB
= =∠
8 15
15R = 3 8 15
3 15x = 8 5
5x =
8 5 1
5
−
1 3 3n
n na a+ = + 1
1 1
3 3 1 13 3 3
n
n n n
n nn n n
a a ab b+
+ −
+= = = + = +
1 1n nb b+ − = 1 1a = 1 1b =
{ }nb
13
n
n n
ab n−= = 13n
na n −= ⋅ 1
1
3n nc −=
1
11 1 3 1 3 13 11 2 3 2 2 31 3
n
n n nS −
− = = − = − ⋅ −18．（1） 由于 ， ， ，
所以 ，
由余弦定理 ，解得 ．
（2）①当 时，在 中，由正弦定理 ，
即 ，所以 ．
因为 ，所以 ． 所以 ，
即 ．
②当 时，
在 中，由余弦定理知，
．
因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，
即 ．
19．圆中阴影部分是一个圆台，从上面挖出一个半球
S 半球= ×4π×22=8π S 圆台侧=π×(2+5)×5=35π S 圆台底=25π
故所求几何体的表面积 S 表＝8π+35π+25π＝68π
V 圆台=
V 半球= .
1c = 2π
3A = 1 sin2ABCS bc A∆ =
2b =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 7a =
1AD = ABC∆
sin sin
b BC
B BAC
= ∠
2 7
sin 3
2
B
= 21sin 7B =
1AD AB= = ADB B∠ = ∠ sin sinADB B∠ =
21sin 7ADB∠ =
30°∠ =CAD
ABC∆
2 2 2 7 1 4 2 7cos 2 72 7 1
AB BC ACB AB BC
+ − + −= = =⋅ ×
120A °= 90DAB °∠ = π
2B ADB∠ + ∠ = sin cosADB B∠ =
2 7sin 7ADB∠ =故所求几何体的体积 V＝V 圆台－V 半球= .
20．试题解析：（1）由 及正弦定理得
，
即 ，
在 中， ，所以 ．又 ，所以 ．
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ．
（2）由 ，得 ，
所以 ．
21．【详解】（1）设圆心 ，
∵直线 ： ，半径为 2 的圆 与 相切，∴ ，即 ，
解得： 或 （舍去），则圆 方程为 ；
（2）当直线 轴，则 轴必平分 ，此时 可以为 轴上任一点，
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ， ， ，
，由 得 ，经检验 ，
∴ ， ，
2 cos cos cos 0b A a C c A+ + =
2sin cos sin cos cos sinB A A C A C− = +
( )2sin cos sin sinB A A C B− = + =
ABC∆ sin 0B > 1cos 2A = − ( )0,A π∈ 2
3A
π=
ABC∆ 2 2 2 2 22 cos 7a b c bc A b c bc= + − = + + =
7a =
1 2
3 3AD AB AC= + 2
2 1 2
3 3AD AB AC = +
4 4 4 1 42 19 9 9 2 9
= + + × × × − =
2
3AD =
( ) 5,0 2C a a > −
l 4 3 10 0x y+ + = C l d r= 4 10 25
a + =
0a = 5a = − C 2 2 4x y+ =
AB x⊥ x ANB∠ N x
AB x AB ( )( )1 0y k x k= − ≠ ( ),0N t ( )1 1,A x y
( )2 2,B x y ( )
2 2 4
1
x y
y k x
+ = = −
( )2 2 2 21 2 4 0k x k x k+ − + − = > 0∆
2
1 2 2
2
1
kx x k
+ = +
2
1 2 2
4
1
kx x k
−= +若 轴平分 ，设 为 ，
则 ，即 ，
整理得： ，即 ，
解得： ，
综上，当点 ，使得 轴平分 .
22． 解：数列 满足 ，
时， ，
相减可得： ， ．
时， 综上可得： ．
证明： ，
，
时， ．
，
x ANB∠ N ( ),0t
AN BNk k= − ( ) ( )1 2
1 2
1 1 0k x k x
x t x t
− −+ =− −
( )1 2 1 22 ( 1) 2 0x x t x x t− + + + = ( )2 2
2 2
2 4 2 ( 1) 2 01 1
k k t tk k
− +− + =+ +
4t =
( )4,0N x ANB∠
( )I { }na 2 n 1
1 2 3 n
n 1a 3a 3 a 3 a 3
− ++ + …+ = ( )n N .+∈
n 2∴ ≥ n 2
1 2 n 1
na 3a 3 a 3
−
−+ +…+ =
n 1
n
13 a 3
− = n n
1a 3
∴ =
n 1= 1
2a .3
=
( )
( )n
n
2 n 13a 1 n 23
==
≥
( )II ( )( )n n 1
n n 1
1b 3 1 a 1 a+
+
= − −
1
2
2
1 8b 2 1 33 1 13 3
∴ = = ⋅ − ⋅ −
n 2≥ n n n 1
n 1
n n 1
1 1 1 1b 1 1 2 3 1 3 13 1 13 3
+
+
+
= = ⋅ − − − − −
n 2 3 3 4 n n 1
8 1 1 1 1 1 1 1S 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1+
∴ = + − + − +…+ − − − − − − − ．n 1
8 1 1 1 7
3 2 8 3 1 16+
= + −
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