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成都外国语学校 2019-2020 下半期高 2018 级
高二理科数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．设全集 = 0 1 2 3U ，，， ，集合 1 3 0A x x x N ，则集合 ACU 中元素的个数是（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
2．若复数 i
1i
az
(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D． 2
3．如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是( )
A.甲所得分数的极差为 22 B.乙所得分数的中位数为 18
C.两人所得分数的众数相等 D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
4. 已知实数 ln22a ， 2 2ln 2b ， 2ln 2c ，则 ,,abc的大小关系是（ ）
A．c a b B．c b a C．bac D． a c b
5.在如图的程序框图中， ()ifx 为 ()ifx的导函数，若 0 ( ) sinf x x ，
则输出的结果是（ ）
A． sin x B．cos x C． sin x D． cos x
6.在 ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc，则“ 2 cosa b C ”是
“ 是等腰三角形”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若等差数列{}na 和等比数列{}nb 满足 1 1 4 41, 8,a b a b 则 2
2
a
b （ ）
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
8. 直角坐标系中，O 是原点， ( 2 cos , 2 sin )OQ （ R ），动点 P 在直线 3x 上运动，若从动点 向
Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值是（ ）
A. 26 B. 4 C. 5 D. 26
9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周脾算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方
图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形
再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所
示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等
边三角形，设 22DF AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小
等边三角形的概率是( )
A. 4
13
B． 2 13
13
C． 9
26
D． 3 13
26
10 在平行四边形 中， ， ，若将其沿 折成直二面角 ，
则三棱锥 的外接球的表面积为( )
11. 直线푙过抛物线푦2 = 4푥的焦点퐹且与抛物线交于퐴, 퐵两点，若线段퐴퐹, 퐵퐹的长分别为푚, 푛，则 4푚 + 푛的最小值
是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
12．已知函数 ( ) ln( ) ( 0)xf x e a ax a a a ，若关于 x 的不等式 ( ) 0fx 恒成立，则实数 a 的取值范围为
（ ）
A.． 2(0, ]e B． 2(0, )e C． 2[1, ]e D． 2(1, )e
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在题后横线上.
13.已知菱形 ABCD的边长为 2 ， 60ABC , 则 _______CDBC
14. 已知实数 x ， y 满足
2
1
yx
x y a
x
，其中
3 2
0
( 1)a x dx ，则实数
1
y
x
的最小值为
.________________0)(
,0)4(,0)()(0)(.15
的解集为则不等式
且时，上的偶函数，当是定义在若函数
xfx
fxfxxfxRxf
16.过点 (1,1)P 的直线l 与椭圆
22
143
xy交于点 A 和 B ，且 AP PB .点Q 满足 AQ QB ，若 O 为坐标
原点，则||OQ 的最小值为 ．
ABCD 0AB BD 22
2 4 0AB BD BD A BD C
A BDC
.A 4 .B 8 .C 16 .D 2
开始
输入 f0(x)
i=0
i = i+1
1( ) ( )iif x f x
i >2017?
输出 ()ifx
结束
否
是
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三、解答题：共 70 分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分）已知函数 321( ) 43f x x ax ，且 2x 是函数 ()fx的一个极小值点.
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）求 在区间[ 1,3] 上的最大值和最小值.
18． （本小题满分 12 分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会
主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏
的热门 APP，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取 2000 名人员进行调
查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
（1）根据下图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数（精确到小数点后一位）；
（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从[8,10)和[10,12) 组中抽取
50 人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的 50 人中选 5 人参加一个座谈会．现从参加座谈
会的 5 人中随机抽取两人发言，求[10,12) 小组中至少有 1 人发言的概率？
19.（本小题满分 12 分）如图，在四面体 ABCD中， E 是线段 AD 的中点，
90ABD BCD ， AB BD ， BC DC EC.
（Ⅰ）证明： BD EC ；
（Ⅱ）求平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值.
20. (本小题满分 12 分)已知椭圆
22
22: 1( 0)xyM a bab 的右顶点 (2,0)C ，且点 3( 1, )2 在椭圆上， 1F 、 2F
分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆 M 的标准方程；
（2）过原点的直线交圆 222 ayx 于 A 、B ，直线 AC 、BC 分别交椭圆 于 D 、E ，求 CDE 与 ABC
的面积之比的取值范围。
21．(本小题满分 12 分)已知函数 1( ) ln ( 1),f x x a a Rx ,
(1)若 ( ) 0fx ,求实数 a 取值的集合；
（2）证明： xexxxe x )2(ln21 2
22． （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 041 yxC : ，曲线 为参数）
(sin1
cos:2
y
xC ，
以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（I）求曲线 21 CC , 的极坐标方程；
（II）射线 ),(:
200 l 分别交 21 CC , 于 NM, 两点，求 ||
||
OM
ON 的最大值．
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