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播州区泮水中学 2019～2020 学年度中考 30 天抓分强化训练卷
九 年 级 数 学 学 科
（第七天）
（全卷总分 120 分，考试时间 100 分钟）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1．﹣2020 的绝对值是（ B ）
A．﹣2020 B．2020 C．﹣ D．
2．下列算式中，正确的是（ D ）
A．a4•a4＝2a4 B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣3a2b）2＝9a4b2
3．为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至 2 月 29 日，全国口罩日产量达到
116000000 只．将 116000000 用科学记数法表示应为（ D ）
A．116×106 B．11.6×107 C．1.16×107 D．1.16×108
4．如图，∠BCD＝95°，AB∥DE，则∠α 与∠β 满足（ D ）
A．∠α+∠β＝95° B．∠β﹣∠α＝95° C．∠α+∠β＝85° D．∠β﹣∠α＝85°
5．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（﹣2，3）关于点 O 中心对称的点的坐标是（
C ）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
6．某校男子篮球队 10 名队员进行定点投篮练习，每人投篮 10 次，他们投中的次
数统计如表：
投中次数 3 5 6 7 9
人数 1 3 2 2 2
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ A ）
A．5，6，6.2 B．2，6，6 C．5，5，6 D．5，6，5
7．已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m﹣1＝0 的两个根分别是 x1，x2，
且满足 x12+x22＝3，则 m 的值是（ C ）
A．0 B．﹣2 C．0 或﹣ D．﹣2 或 0
8．代数式 有意义的 x 的取值范围是（ A ）
A．x≥﹣1 且 x≠0 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 且 x≠0
9．早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本
落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返
班级 姓名 考场 考号
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（密 封 装 订 线 内 不 得 答 题）第 二 页 共 六 页
回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途的时间为 x，两人之间的距离
为 y，则下列选项中的图象能大致反映 y 与 x 之间关系的是（ B ）
A． B．
C． D．
10．四条直线 y＝﹣x﹣6，y＝﹣x+6，y＝x﹣6，y＝x+6 围成正方形 ABCD．现掷一个均匀
且各面上标有 1，2，3，4，5，6 的立方体，每个面朝上的机会是均等的．连掷两次，
以面朝上的数为点 P 的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），
则点 P 落在正方形面上（含边界）的概率是（ D ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
11．因式分解：2xm2﹣12xm+18x＝ 2x（m﹣3）2 ．
12．如图⊙O 中，∠BAC＝74°，则∠BOC＝ 148° ．
13．已知点 A（﹣2，y1），B（1，y2）在直线 y＝kx+b 上，且直线经过第一、三，四象限，
则 y1 ＜ y2．（用“＞”，＜”或“＝”连接）
14．已知关于 x，y 的方程组 的解满足不等式 2x+y＞8，则 m 的取值范围是 m
＜﹣6．
三、解答题（共 64 分）
15.（6 分）计算：
解：原式＝ ．
16.（8 分）先化简，再求值：（2﹣ ）÷ ，其中 x＝2．
解：（2﹣ ）÷
＝
＝
＝
＝ ，
当 x＝2 时，原式＝ ．第 三 页 共 六 页
17.（10 分）如图，我市某景区内有一条自西向东的笔直林荫路经过景点 A、B，现市政决
定开发景点 C，经考察人员测量，景点 A 位于景点 C 的在南偏西 60°方向，景点 B 位于
景点 C 的西南方向，A、B 两景点之间相距 380 米，现准备由景点 C 向该林萌路修建一
条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长？（结果精确到 0.1，参考数
据： ≈1.732）
解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
由题意可知：
∠DCA＝60°，∠DCB＝45°，AB＝380，
∴在 Rt△BCD 中，CD＝BD，
在 Rt△ACD 中，tan∠DCA＝ ，
∴tan60°＝ ＝ ，
∴CD＝190 +190≈519.1（米）．
答：这条公路的长约为 519.1 米．
18．（12 分）某校教务处为了解九年级学生“居家学习”的学习能力，随机抽取
该年级部分学生，对他们的学习能力进行了统计，其结果如表，并绘制了如图
所示的两幅不完整的统计图（其中学习能力指数级别“1”级，代表学习能力很
强；“2”级，代表学习能力较强；“3”级，代表学习能力一般；“4“级，代
表学习能力较弱）请结合图中相关数据回答问题．
（1）本次抽查的学生人数 人，并将条形统计图补充完整；
（2）本次抽查学生“居家学习”能力指数级别的众数为 级，中位数为
级．
（3）已知学习能力很强的学生中只有 1 名女生，现从中随机抽取两人写有关“
居家学习”的报告，请用列表或画树状图的方法求所抽查的两位学生中恰好是
一男一女的概率．
解：（1）本次抽查的学生人数为 12÷24%＝50 人，
故答案为：50，
“1”级的学生数为 50×8%＝4（人），将条形统计图补充完整如图所示；第 四 页 共 六 页
（2）本次抽查学生“居家学习”能力指数级别的众数为 3 级，中位数为 3 级，
故答案为：3，3；
（3）画树状图：
共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到 2 名男的结果数为 6，
所以恰好抽到 2 名男的概率＝ ＝ ．
19．（12 分）某微商销售的某商品每袋成本 20 元，设销售价格为 x（单位：元/袋），该
微商发现销售量 y 与销售价格 x 之间的关系如表：
销售价格 x（元/袋） 25 30 35 40
销售件数 y 275 250 225 200
（1）求 y 关于 x 的函数表达式；
（2）根据物价部门的规定，商品的利润率不能超过 100%，该微商应该如何定
价，才能使获得的利润最大，最大利润是多少？
解：（1）有表中数据可知，y 是 x 的一次函数，
设 y 关于 x 的函数表达式为：y＝kx+b，
把（30，250）和（40，200）代入得， ，
解得： ，
∴y 关于 x 的函数表达式为 y＝﹣5x+400；
（2）设销售利润为 w 元，
根据题意得，w＝（x﹣20）（﹣5x+400）＝﹣5x2+500x﹣8000，
∵二次函数的对称轴为 x＝50，商品的利润率不能超过 100%，
∴20≤x≤40 时，y 随 x 的增大而增大，
∴当 x＝40 时，获得的利润最大，最大利润是 4000 元．
20．（12 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，直径 AC 与弦 BD 的交点为 E，OB
∥CD，BH⊥AC，垂足为 H，且∠BFA＝∠DBC．
（1）求证：BF 是⊙O 的切线；第 五 页 共 六 页
（2）若 BH＝3，求 AD 的长度；
（3）若 sin∠DAC＝ ，求△OBH 的面积与四边形 OBCD 的面积之比．
解：（1）证明：∵∠BFA＝∠BDC，∠BDC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠BFA，
∵OB∥CD，
∴∠BOF＝∠ACD，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠BOF+∠F＝90°，
∴∠OBF＝90°，
∴OB⊥BF，
∴BF 是⊙O 的切线；
（2）∵BH⊥AC，
∴∠OHB＝90°，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠OHB，
∵∠BOC＝∠ACD，
∴△ACD∽△BOH，
∴ ，
∵BH＝3，
∴AD＝6；
（3）∵△ACD∽△BOH，
∴∠DAC＝∠OBH，
∵sin∠DAC＝ ＝ ，
∴sin∠OBH＝ ，设 OH＝4a，OB＝7a，
∴AC＝2OB＝14a，
∴DC＝8a，
∴BH＝ ＝ a，
过 C 作 CM⊥OB 于 M，
∵OB＝OC，
∴CM＝BH＝ a，
∵OB∥CD，CM⊥OB，第 六 页 共 六 页
∴CM⊥CD，
∴S 四边形 OBCD＝S△OCD+S△OCB
＝ CD•CM+ OB•CM
＝ （8a+7a）× a
＝ ，
S△OBH＝ OH×BH＝ 4a× a＝2 a2，
∴ ＝ ．
答：△OBH 的面积与四边形 OBCD 的面积之比为 ．
21．（4 分）已知在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2+3x﹣a2+a+2（a＞1）的图象
交 x 轴于点 A 和点 B（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 E．
（1）如图 1，求线段 AB 的长度（用含 a 的式子表示）及抛物线的对称轴；
解：（1）当 y＝0 时，x2+3x﹣a2+a+2＝0，
∴[x﹣（a﹣2）][x+（a+1）]＝0，
∴x＝a﹣2，或 x＝﹣a﹣1，
∵点 A 在点 B 左侧，
∴A（﹣a﹣1，0），B（a﹣2，0），
∴AB＝a﹣2﹣（﹣a﹣1）＝2a﹣1，
抛物线的对称轴为 x＝ ＝﹣ ，即抛物线的对称轴为 x＝﹣ ；
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