效实中学 2019 学年第二学期高二数学阶段测试（数理班）
一． 选择题（每题 3 分，共 30 分）
1、若集合 ，则
A． B. C. D.
2、袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球.从袋中任取 2 个球，
所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为
A. B. C. D.
3．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，
隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函
数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数 的图象大致是
4、已知函数 的图像与 轴有 3 个公共点，求 的范围
A． B. C. D.
5、设 都是不等于 的正数，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要又不充分条件
6、已知 ，则
A． B． C． D．
7、已知函数 （其中 为自然对数的底数），则使 成立
的 的取值范围是
A． B. C. D.
( ) 2 1cos2 1
x
xf x x
+= −
{ } { }2 , lg 1A x x x B x x= = = ≤ =A B
[ ]0,10 ( ]0,10 [ )0,10 [ )10 +∞，
5
21
10
21
11
21 1
3 3y x x c= − + x c
[ ]2,2− ( ]2,1− ( )2,2− ( ) ( )2 2 +−∞ − ∞， ，
,a b 1 3 3 3a b> > log 3 log 3 0b a
> >
2 6 2 3 12
0 1 2 3 12(3 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )x x a a x a x a x a x+ − = + − + − + − +⋅⋅⋅+ −
0 2 4 6 8 10 12a a a a a a a+ + + + + + =
364 364− 365 365−
1 2( ) ( 1)xf x e x−= + − e (2 ) ( 1)f x f x> −
x
( 1,1)− ( , 1) (1, )−∞ − +∞
1( , 1) ( , )3
−∞ − +∞
1 1( , ) ( , )3 3
−∞ − +∞8、设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
9 、 已 知 随 机 变 量 满 足 ， ， 其 中 ， 令 随 机 变 量
，则
A． B． C、 D．
10、若存在实数 ，使不等式 对一切正数 都成立（其中 为自然
对数的底数），则实数 的最大值是
A． B． C． D．
二．填空题（单空每题 3 分，多空每题 4 分，共 23 分）
11、 ▲
12、 的展开式中，含 项的系数是 ▲
13、已知函数 单调递增区间为 ▲ ；若函数
的取值范围为 ▲
14、已知函数 ，则 ▲ ；不等式
的解集为 ▲
15、学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅 6 种水果，西梅数量不多，只够
一人购买．甲、乙、丙、丁 4 位同学前去购买，每人只选择其中一种，这 4 位同学购买后，
恰好买了其中 3 种水果，则他们购买水果的可能情况有 ▲ 种．
16、有如下命题：①函数 与 的图象恰有三个交点；②函数 与
的图象恰有一个交点；③函数 与 的图象恰有两个交点；④函数 与
的图象恰有三个交点，其中真命题为__ ▲ ___
( )f x R 2 ( 1) ( )f x f x+ = (0,1]x∈
( ) ( 1)f x x x= − − [ , )x m∈ +∞ 8( ) 9f x ≤ m
7[ , )6
− +∞ 5[ , )3
− +∞ 5[ , )4
− +∞ 4[ , )3
− +∞
siny x= y x= siny x= y x=
siny x= 2y x= siny x=
3y x=
ξ ( )0 1P pξ = = − ( )1P pξ = = 0 1p< <
( )Eη ξ ξ= −
( ) ( )E Eη ξ> ( ) ( )E Eη ξ< ( ) ( )D Dη ξ> ( ) ( )D Dη ξ<
,a b 212 ln 2e x ax b x e≤ + ≤ + x e
a
e 2e 2 e 2
1 0
2
2
1 1 14( 3) log3 4 8
−
− − − + − =
( )621 xx −+ 10x
2
1
2
( ) log ( 2 3 (f x x x f x= − − ），则 ）
( )y f x= 在 ,2 3)a a a+区间（ 上单调，则
2log 0( ) 3 0x
x xf x x
>= ≤
，
， 3
1( (log ))2f f = ( ( )) 0f f x ≥17、集合 的 4 元子集 中，任意两个元素差的绝对值都不
为 2，这样的 4 元子集 的个数有__▲___个
三．解答题（18 题 8 分，19 题 8 分，19 题 9 分，20 题 10 分，21 题 12 分，共 47 分）
18、已知 的展开式中，各项系数和与二项式系数和的差为 992．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
19、(1)由 0，1，2，…，9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字
之差的绝对值等于 7 的四位数的个数共有几种？
(2)我校高三学习雷锋志愿小组共有 16 人，其中一班、二班、三班、四班各 4 人，现在从中
任选 3 人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选 1 人，求不同的选取法的
种数。
20、超市为了防止转基因产品影响民众的身体健康，要求产品在进入超市前必须进行两轮转
基因检测，只有两轮都合格才能销售，否则不能销售。已知某产品第一轮检测不合格的概率
为 ，第二轮检测不合格的概率为 ，两轮检测是否合格相互没有影响。
（1）求该产品不能销售的概率；
（2）如果产品可以销售，则每件产品可获利 50 元；如果产品不能销售，则每件产品亏损
60 元。已知一箱中有产品 4 件，记一箱产品获利 元，求 的分布列，并求出均值 .
21、已知函数
（1）若 ，求函数 的单调递增区间；
（2）若 求函数 在区间 上的值域；
22、已知函数 （ 为自然对数的底数， ）
（1）求函数 在点 处的切线方程；
{ }1,2,3, ,14S = { }1 2 3 4, , ,T a a a a=
T
2
23( 3 )nx x+
4
1
9
1
X X )(XE
( ) ( 3) ,( )f x x x a a R= − − ∈
2a = )f x（
3a > ， ( )f x [ ]5,5−
( ) ln 1, ( ) 4xf x x x g x ae= − − = − e a R∈
( )f x (2, (2))f（2）若对于任意 ，存在 ，使得 ，求 的取值范围；
（3）若 恒成立，求 的取值范围。
( ]1 0,1x ∈ ( ]2 0,1x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≤ a
( ) 2 ( ) 0f x x x g x− − ⋅ ≤ a1-10:
11、 12、9 13、 14、
15、600 16、234 17、367
18、 令 ，展开式各项系数之和为
所以 ， ，得 ，
（1） 、
（2） ，
19、（1）由十位数字与千位数字之差的绝对值等于 7 可得千位数字和十位数字的组合有
五种，每种组合中百位和个位的数共有 种组合，所以符合
条件的四位数共有 种。
（2）情形一：不选三班的同学，从 12 个人中选出 3 人,有 种选取方法,其中来自同一个班
级的情况有 种，则此时有 种选取方法
情形二：选三班的一位同学，三班的这一位同学的选取方法有 4 种，剩下的两位同学从剩下
的 12 人中任选 2 人，有 种选取方法，则此时有 种选取方法,
根据分类计数原理,共有 种选取方法,
20、（1）记“该产品不能销售”为事件 ,则 ,
所以，该产品不能销售的概率为
（2）依据题意的， 的取值为-240，-130，-20,90,200，
所以 的分布列为
ABBCCCBDDC
59
9
( , 1); 3a−∞ − ≥ 1;[0,1] [2, )− +∞
1x = 4n
4 2 992n n− = (2 32)(2 31) 0n n− + = 2 32n = 5n =
2 10 4
5 23 3
1 5 5( ) (3 ) 3
r
r r r r r
rT C x x C x
+
−
+ = =
18
2 2 63
3 53 =90T C x x=
22 22
3 3 3 3
4 53 =270T C x x=
4k = 26 26
4 4 3 3
5 53 =405T C x x=
(1,8)(2,9)(7,0)(8,1)(9,2) 2
8 56A =
2
85 280A =
3
12C
3
43C 3 3
12 43 208C C− =
2
12C 2
124 264C =
208 364 472+ =
A 3
1)4
91()4
11(1)( =−×−−=AP
3
1
X
81
1)3
1()240( 4 ==−=XP 81
8
3
2)3
1()130( 31
4 ==−= CXP
81
24)3
2()3
1()20( 222
4 ==−= CXP 81
32)3
2()3
1()90( 313
4 === CXP
81
16)3
2()200( 4 ===XP
X-240 -130 -20 90 200X
P
81
1
81
8
81
24
81
32
81
16
3
153)( =XE
( )
[ ]
[ ]
2
51 ,2 ,( , )2
2 7, 40 8 ,2 10 ;
( 3)4 2 1 7, 40 8 , ;4
3 4 2 1, 40 8 ,10 2
a y a a
aa y a
a y a a
−∞ +∞
≥ ∈ − − −
−− ≤ < ∈ − −
< < − ∈ − − −
21. （） 单调递增；
（ ）
max 1 max 2 max 1
2
122.(1) 2 ln 2;2
(2) ( ) ( ), ( ) (1) 2
( ) 2
2
(3) ln 1 2 ( 4) 0
ln 1
ln 1 ( 1)( 2 ln )( ) , ( )
x
x
x x
y x
f x g x f x f
g x
a e
x x x x ae
x xa x e
x x x x xm x m xx e x e
= − − +
≤ = = −
∴ ≥ −
∴ ≥
− − − − − ≤
+ −∴ ≥ ⋅
+ − + − + −′= =⋅ ⋅
有解；
恒成立
令
0 0 0 0
0 0 max 0 2
2
(0, ), ( ) 0,(0, ) ( , )
12 ln , ( ) ( )
1
x m x x x
x x m x m x e
a e
′∃ ∈ +∞ = +∞
− + = ∴ = =
∴ ≥
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