2019—2020 学年度下学期第二次月考
高一考数学试卷
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1．一元二次不等式 的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
2．设等差数列 的前 项为 ，若 ，则 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．已知非零向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
4．在△ABC 中，若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列 ，满足 ,且 ，则数列 的公比为（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．若不等式 对于一切 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 是 和 的等比中项，则
（ ）
A．1 B． C． D．
8．若点 是 的重心， 分别是 ， ， 的对边，且
.则 等于（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
9．数列 满足 ，则数列 的前 20 项的和为( )
A．100 B．-100 C．-110 D．110
10．在锐角 中，若 ，则 的范围（ ）
A． B． C． D．
11．如图，点 是半径为 1 的扇形圆弧 上一点， ， ，若
，则 的最大值是（ ）
2 2019 2020 0x x− − <
( 1,2020)− ( 2020,1)−
( , 1) (2020, )−∞ − +∞ ( , 2020) (1, )−∞ − +∞
{ }na n nS 5 37, 3a S= = 6a =
a b 30° 1b = 2 1a b− = a =
3
2 3
( )( ) ( )a c a c b b c+ − = + A∠
090 060 0120 0150
{ }na 2 3 2 10log log 1a a+ = 3 6 8 11 16a a a a = { }na
2± 4±
2 1 0x ax+ + ≥ 1(0, )2x∈ a
0a ≥ 2a ≤ − 5
2a ≥ − 3a ≤ −
ABC∆ A B C a b c a b c
sin sin
tan tan
A A
B C
+ =
1
2
2
3
3
4
G ABC , ,a b c BAC∠ ABC∠ ACB∠
3 03aGA bGB cGC+ + = BAC∠
{ }na ( )1 1 n
n na a n++ = − ⋅ { }na
ABC∆ 2C B= c
b
( )2, 3 ( )3,2 ( )0,2 ( )2,2
C AB 0OA OB⋅ = 1OA OB= =
OC OA OBx y= + 2x y+A． B． C． D．
12．若正实数 、 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．已知向量 且 则实数 _______.
14．一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°，与灯塔 S 相距 20 海里，随后货轮继
续沿正西方向航行 30 分钟到达 N 处后，又测得灯塔在货轮的北偏东 45°，则货轮的速度为
______海里/时．
15．已知 ， ， 为直线 上的不同三点， 为 外一点，存在实数 ，使
得 成立，则 的最小值为__________．
16．我们把一系列向量 按次序排成一列，称之为向量列，记作 ，已知向量
列 满足 ，设 表示向量
与 的夹角，若 ，对任意正整数 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
已知 ， 为单位向量， ．
（1）求 ；
（2）求 与 的夹角 的余弦值．
2 5 2 2 3
x y 1x y+ =
2 2
2 4
x y
x y
++ +
1
6
1
7
1
8
1
4
( ) ( )21 , 2a b m= = − ， ， ， a b⊥ ， m =
A B C l O l ( ), 0, 0m n m n> >
4OC mOA nOB= + 1 4
m n
+
( 1,2, , )ia i n=
{ }ia
{ }ia ( ) ( )1 1 1 1 1
1(1,1), , , ( 2)2n n n n n n na a x y x y x y n− − − −= = = − + ≥
n
θ
na
1na −
2
n n
nb θπ= n
1 2 2
1 1 1 log (1 2 )a
n n n
ab b b+ +
+ + + > − a
a b 1
2a b⋅ =
2a b+
2a b+ b θ18．（本小题满分 12 分）
已知等差数列 ,等比数列 满足
．
（1）求 ， 的通项公式；
（2）求 的前 项和．
19．（本小题满分 12 分）
在 中 , 角 所 对 的 边 分 别 为 , 的 面 积 为 ， 若
．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值．
20．（本小题满分 12 分）
如图，在△ABC 中，∠ACB＝ ，AC＝3， BC＝2，P 是△ABC 内的一点．
（1）若△BPC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，求 PA 长；
（2）若∠BPC＝ ，求△PBC 面积的最大值．
{ }na { }nb 0, 0,n na b> >
5 1 2 3 3 213, 6, 31, 21a b a b a b= = + = + =
{ }na { }nb
{ }n na b+ n
ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ S
2 2 2 4 3
3a b c S+ − =
C
3c = 3
2S = a b+
2
π
2
3
π21．（本小题满分 12 分）
已知正项数列 的前 n 项和 满足
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 （n∈N*），求数列 的前 n 项和 ;
（3）是否存在实数 使得 对 恒成立，若存在，求实数 的取值范围，
若不存在说明理由．
22．（本小题满分 12 分）
在 中，满足： ，M 是 的中点.
（1）若 O 是线段 上任意一点，且 ，求 的最小值：
（2）若点 P 是 内一点，且 ， ， ，
求 的最小值.
{ }na nS 22 2.n n nS a a= + −
{ }na
( )2 1n
n
n
nb na
−= { }nb nT
λ 2n nT Sλ+ > n N +∈ λ
ABC∆ AB AC⊥ BC
AM 2AB AC= = ⋅ + ⋅ OA OB OC OA
BAC∠ 2AP = 2AP AC⋅ = 1AP AB⋅ =
AB AC AP+ + 高一第二次月考数学参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
ADAC BCAD BABB
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．1 14． 15．16 16．
三、解答题（本大题共 6 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【解析】
（1）由题意得 .
（2）由题意得 与 的夹角 的余弦值为 .
18．【解析】
（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ；
（2）记 前 项和为
.
所以
19．【解析】
（Ⅰ）因为 ，所以
化简得： ，又 ， ．
（Ⅱ） ， ， ， ①
又 ， ，即 ②
联立①②可得 ，又 ， ．
20．【解析】
（1）由题设，∠PCA＝ ，PC＝ ，在△PAC 中，由余弦定理得
PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos ＝5，于是 PA＝ ．
（2）解法一：
∠BPC＝ ，设∠PCB＝θ，则 θ∈(0， )．
tan 3C =
20 2 1(0, )3
2 2 14 4 5 4| 2 | 72a b ab ba = + + ⋅ =+ = + ×
2a b+ b θ ( ) 2 1 2 2cos 77| | 7 1 7
2
2
b ab
a b
b
b
aθ +
+
⋅ ⋅ += = = =
×
‖
{ }na d { }nb q
5 1 2 3 3 20, 0, 13, 6, 31, 21n na b a b a b a b> > = = + = + =
213 3 6 31
13 2 6 21
0
0
d q
d q
d
q
− + =
− + = >
>
2
2
d
q
=
=
2 3, 3 2n
n na n b= + = ⋅
{ }n na b+ n
( ) ( ) 2 1
1 2 1 2 4 6 3 2n
n n nS a a a b b b n n += + +⋅⋅⋅+ + + +⋅⋅⋅+ = + − + ⋅
2 14 6 3 2n
nS n n += + − + ⋅
2 2 2 4 3
3a b c S+ − = 4 3 12 cos sin3 2ab C ab C= × ×
0 C π< 3a b+ =∴
4
π
2
4
π
5
2
3
π
3
π在△PBC 中，∠PBC＝ －θ．由正弦定理得 ＝ ＝ ，
得 PB＝ sinθ，PC＝ sin( －θ)．
所以△PBC 面积 S＝ PB·PCsin ＝ sin ( －θ)sinθ＝ sin(2θ＋ )－ ．
当 θ＝ ∈(0， )时，△PBC 面积的最大值为 ．
解法二：
在 中，设 ， ，
由余弦定理有： ，
即 （当且仅当 时等号成立），
所以 ，
从而 （当且仅当 时等号成立）
21．【解析】
（1）当 n=1 时，a1=2 或-1（舍去）．
当 n≥2 时， ，
整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，可得 an-an-1=1，
∴{an}是以 a1=2 为首项，d=1 为公差的等差数列．∴ ．
（2）由（1）得 an=n+1，∴ ．
∴ ．
（3）假设存在实数 λ，使得 对一切正整数恒成立，
即 对一切正整数恒成立，只需满足 即可，
令 ，则
当
故 f（1）=1，f（2）= ，f（3）= ， ＞f（5）＞f（6）＞…
当 n=3 时有最小值 ，所以 ．
3
π 2
2sin 3
π
sin
PB
θ sin 3
PC
π θ −
4 3
3
4 3
3 3
π
1
2
2
3
π 4 3
3 3
π 2 3
3 6
π 3
3
6
π
3
π 3
3
PBC∆ PC b= PB c=
2 2 2 22 cos 3BC b c bc
π= + −
2 24 3b c bc bc= + + ≥ 2 3
3b c= =
4
3bc ≤
1 2 1 4 3 3sin2 3 2 3 2 3BCPS bc
π
∆ = ≤ × × = 2 3
3b c= =
( ) ( ) ( )2 2
1 1 12 2 2 2n n n n n n na S S a a a a− − −
= − = + − − + −
( ) ( )*2 1 1 1na n n n N= + − × = + ∈
( )
( )
12 1 2 2
1 1
n n n
n
nb n n n n
+−= = −+ +
2 3 2 1 12 2 2 2 2 22 22 3 2 1 1
n n n
nT n n n
+ + = − + − +…+ − = − + +
( )1 32
1 2
n n n
n
λ
+ +
+ ＞
( )( )
22
1 3
n
n n n
λ
+
+ +＜ ( )( )
22( )1 3
n
minn n n
λ
+
+ +＜
( ) ( )( )
22
1 3
n
f n n n n
+
= + + ( ) ( ) ( )
( )( )( )( )
2 22 8
1 1 2 +3 4
n n
f n f n n n n n n
+ −
+ − = + + +
( ) ( ) ( ) ( )3, +1 ;1 2, +1n f n f n n f n f n≥ > ≤ ≤ <
8
15
4
9
( ) 164 35f =
( ) 43 9f = 4
9
λ＜22．【解析】
（1） ， ，
设 ，则 ，而 ，
，
当且仅当 时， 的最小值是 .
（2）设 ，
， ， ，
，
同理： ，
当且仅当 时， 所以 .
2AB AC= =
1AM∴ =
OA x= 1OM x= − 2OB OC OM+ =
( ) 2 2 cosOA OB OC OA OA OB OC OA OM OA OM π∴ ⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅ =
( ) 2
2 1 12 1 2 2 2 2 2x x x x x = − − = − = − −
1
2x = ⋅ + ⋅ OA OB OC OA
1
2
−
2CAP BAP
πα α∠ = ⇒ ∠ = −
2AP AC⋅ =
1AP AB⋅ = 2AP =
12 cos 2 cosAC ACα α∴ ⋅ = ⇒ =
12 cos 12 2sinAB AB
π α α
⋅ − = ⇒ =
2
AB AC AP∴ + +
2 2 2
2 2 2AB AC AP AB AC AC AP AB AP= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅
2 2
1 1 4 2 4cos 4sinα α= + + + +
2 2 2 2
2 2
sin cos sin cos 10cos 4sin
α α α α
α α
+ += + +
2 2 2 2
2 2 2 2
sin cos 45 sin cos 45 45 492 1cos 4sin 4 cos 4sin 4 4 4
α α α α
α α α α= + + ≥ + = + =
2 2
2 2
sin cos 2tancos 4sin 2
α α αα α= ⇒ =
min
7
2AB AC AP+ + =
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