广东省深圳市第二高级中学2019-2020高一数学下学期第四学段试题（Word版含答案）

深圳市第二高级中学 2019-2020 学年度第四学段考试 高一数学试卷 时间：120 分钟 满分：150 分 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 2．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置。 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。考试结束后，将答题卡交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分．在每小题给出的四个选项中，有且 只有一项是符合题目要求的． 1．已知平面向量 ， ，则向量 （ ） A． B． C． D． 2．设向量 ， ，若 ，则实数 （ ） A．2 或－4 B．2 C． 或 D．－4 3．在△ 中， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 4．如下图的矩形长为 5，宽为 2，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆 数为 138 颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为（ ） A． B． C．10 D．不能估计 5．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ） A． B． C． D． 6．若 a，b 是异面直线，b，c 是异面直线，则直线 a，c 的位置关系为（ ） A．相交、平行或异面 B．相交或平行 C．异面 D．平行或异面 ( 1,2)a = − (1,0)b = 3a b+ = ( 2, 6)− − ( )2,6− (2,6) (2, 6)− ( )2,a m= ( )3, 1b = − ( )2a a b⊥ −   m = 1 4 − 1 2 ABC 3c = 45B = ° 60C = ° b = 2 2 3 2 3 2 2 2 23 5 23 507．关于某设备的使用年限 （单位：年）和所支出的维修费用 （单位：万元）有如下统计 数据表： 使用年限 维修费用 根据上表可得回归直线方程 ，据此估计，该设备使用年限为 年时所支出的维 修费用约是（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 8．设非零向量 ， 满足 ，则（ ） A． B． C． // D． 9．在△ABC 中，如果 ，那么 cosC =（ ） A． B． C． D． 10．设 是直线， ， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 11．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则向量 （ ） A． B． C． D． 12．设 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ．已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．已知向量 ，且 ，则 ________. 14．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为 ，则该圆柱的侧面积为________. 15．若向量 ，则向量 与 的夹角等于________． x y x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0  1.23y x a= + 10 12.08 12.28 12.38 12.58 a b a b a b+ = −   a b ⊥ a b=  a b a b>  sin :sin :sin 2:3: 4A B C = 2 3 2 3 − 1 3 − 1 4 − l α β / /l α l β/ / / /α β / /l α l β⊥ α β⊥ α β⊥ l α⊥ l β⊥ α β⊥ / /l α l β⊥ ABC AD BC E AD EB = 3 1 4 4AB AC−  1 3 4 4AB AC−  3 1 4 4 +AB AC  1 3 4 4 +AB AC  ABC∆ A B C a b c 2 cos 0b a C− = sin 3sin( )A A C= + 2 bc a = 7 4 14 9 2 3 6 9 ( ,4), (3, 2)a m b= = − a b∥ m = 54π , 2, 2,( )a b a b a b a= = − ⊥     满足 a b16．在四面体 中， ， .球 是四面体 的外接球，过点 作球 的截面，若最大的截面面积为 ，则四面体 的体积是____. 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分 10 分） 在某中学举行的物理知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩在进行整理后分成 5 组，绘制 出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组.已 知第三小组的频数是 15. （1）求成绩在 50-70 分的频率； （2）求这三个年级参赛学生的总人数； （3）求成绩在 80-100 分的学生人数. 18．（本小题满分 12 分） 某班共有学生 45 人，其中女生 18 人，现用分层抽样的方法，从男、女学生中各抽取若干学 生进行演讲比赛，有关数据见下表（单位：人） 性别 学生人数 抽取人数 女生 18 男生 3 （1）求 和 ； （2）若从抽取的学生中再选 2 人做专题演讲，求这 2 人都是男生的概率． 19．（本小题满分 12 分） 已知 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 . （1）若 ，求 的值； （2）若 ,求 b,c 的值. ABCD AD AC BC BD= = = 4 2AB CD= = O ABCD A O 9π ABCD y x x y ABC∆ 32,cos 5a B= = 4b = sin A 4ABCS∆ =20．（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 . （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求点 到平面 的距离. 21．（本小题满分 12 分） 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ， （1）求角 B 的大小； （2）若 a=c=2，求△ABC 的面积； （3）求 sinA＋sinC 的取值范围. 22.（本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥 的底面 是平行四边形， 平面 ， 是 的中点， 是 的中点． （1）求证： ； （2）若平面 ，求证： . 高一数学第四学段考试参考答案 P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD BD ⊥ PAC 2, 2 3AB PA= = A PCD 2 2 2b a c ac= + − P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD M AD N PC / /MN PAB平面 PMC PAD⊥ 平面 CM AD⊥1-12 BADACA CADBAD 13. -6 14. 15. 450 16. 17.（1）成绩在 50-70 分的频率为： . （2）第三小组的频率为： . 这三个年级参赛学生的总人数（总数=频数/频率）为： （人） （3）成绩在 80-100 分的频率为： 则成绩在 80-100 分的人数为： （人）. 18.解：（1）由题意可得， ，又 ，所以 ； （2）记从女生中抽取的 2 人为 ， ，从男生中抽取的 3 人为 ， ， ， 则从抽取的 5 人中再选 2 人做专题演讲的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种． 设选中的 2 人都是男生的事件为 ， 则 包含的基本事件有 ， ， 共 3 种． 因此 ． 故 2 人都是男生的概率为 ． 19.(1)∵ ,且 ， ∴ ， 由正弦定理得 ， ∴ ； (2)∵ ， ∴ ， ∴ ， 36π 32 3 0.03 10 0.04 10 0.7× + × = 0.015 10 0.15× = 15 / 0.15 100= 0.01 10 0.005 10 0.15× + × = 100 0.15 15× = 45 18 27x = − = 3 18 27 y = 2y = 1a 2a 1b 2b 3b ( )1 2,a a ( )1 1,a b ( )1 2,a b ( )1 3,a b ( )2 1,a b ( )2 2,a b ( )2 3,a b ( )1 2,b b ( )1 3,b b ( )2 3,b b A A ( )1 2,b b ( )1 3,b b ( )2 3,b b ( ) 3 10P A = 3 10 3cos 05B = > 0 B π< < 2 4sin 1 cos 5B B= − = sin sin a b A B = 42sin 25sin 4 5 a BA b × = = = 1 sin 42ABCS ac B∆ = = 1 42 c 42 5 × × × = 5c =由余弦定理得 ， ∴ . 20.（1）因为底面 是正方形，所以 , 因为 底面 ，所以 , 又因为 ，所以 平面 . （2）设点 到平面 的距离为 因为 底面 ，所以 ， 又 , ，所以 平面 ， 所以 ,由已知得 所以三角形 的面积为： ， 所以 依题 为三棱锥 的高，所以三棱锥 的体积为： , 又因为 ，所以 ，解得 所以点 到平面 的距离为点 21.（Ⅰ）由. ，得 ， 所以 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得 . （Ⅲ）由题意得 . 2 2 2 2 2 32 cos 2 5 2 2 5 175b a c ac B= + − = + − × × × = 17b = ABCD AC BD⊥ PA ⊥ ABCD PA BD⊥ PA AC A= BD ⊥ PAC A PCD h PA ⊥ ABCD PA CD⊥ AD CD⊥ PA AD A∩ = CD ⊥ PAD CD PD⊥ 2 2 4 12 4PD PA AD= + = + = PCD 1 1S 4 2 42 = × × = 1 1 4 3 3A PCDV S h h− = = PA P ACD− P ACD− 1 1 1 42 3 2 2 33 3 2 3P ACD ACDV PA S− ∆= ⋅ = × × × × = P ACD A PCDV V− −= 4 4 33 3h = 3h = A PCD 3 2 2 2 2 a c bcosB ac + −= 1 2cosB = 3B π＝ 1 602ABCS acsin= °  3= 2 3sinA sinC sinA sin A π + = + −   3 3 2 2sinA cosA= + 3 6sin A π = +  因为 0＜A＜ ， 所以 . 故所求的取值范围是 . 22.（1）取 PB 的中点 E，连接 EA，EN， 在△PBC 中，EN//BC 且 ， 又 ，AD//BC，AD＝BC 所以 EN//AM，，EN＝AM. 所以四边形 ENMA 是平行四边形， 所以 MN//AE. 又 ， ， 所以 MN//平面 PAB. （2）过点 A 作 PM 的垂线，垂足为 H， 因为平面 PMC⊥平面 PAD，平面 PMC∩平面 PAD＝PM，AH⊥PM， 所以 AH⊥平面 PMC，又 所以 AH⊥CM. 因为 PA⊥平面 ABCD， 所以 PA⊥CM. 因为 PA∩AH＝A， 所以 CM⊥平面 PAD. 又 所以 CM⊥AD. 2 3 π 3 3 32 6sin A π < + ≤   3 32      ，