北京市2019-2020高一数学下学期期末模拟试题（Word版含答案）

2019-2020 学年度第二学期检测试题 高一数学 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）在复平面内，复数 对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案：B 2．向量 ，向量 ， ，若向量 ，且 ，则 的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ 且 ， ∴ ①， ∵ ， ∴ ②， 由①②得 ， ， ∴ ， ∴ ． 3．某正方体的外接球体积 ，则此正方体的棱长为（ ）． A． B． C． D． i(1+i) ( , )a m n= (1,2)b = (1,1)c = ( )a c b+  ∥ a c ⊥ a 1 3 2 3 2 9 1 9 ( 1, 1)a c m n+ = + +  ( )a c b+  ∥ 2( 1) 1m n+ = + a c ⊥ 0m n+ = 1 3m = − 1 3n = 1 1,3 3a  = −    2 21 1 2| | 3 3 3a    = − + =        36π 6 3 3 2 3【答案】D 【解析】∵外接球体积为 ，设半径为 ， 则 ， ， 又∵正方体的外接球直径为其体对角线， ∴设正方体的棱长为 ，则有 ，即 ． 4．在 中，若 ， ， ，则 为（　　）． A． B． 或 C． D． 或 【考点】HP：正弦定理． 【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得 B． 【解答】解：由正弦定理可知 ， ∴ ， ∵ ， ∴ 或 ． 故选 ． 5．在下列函数中，最小值是 的是（　　）． A． B． C． ， D． 36π R 24 π 36π3 R = 3R = a 3 2 6a R= = 2 3a = ABC△ 2a = 2 3b = 30A = ° B 60° 60° 120° 30° 30° 150° sin sin a b A B = 12 3sin 32sin 2 2 b AB a × = = = (0,180 )B∈ ° 60B∠ = ° 120° B 2 2 2 xy x = + 2 ( 0) 1 xy x x += > + 1sin siny x x = + π0, 2x  ∈   7 7x xy −= +【考点】7F：基本不等式． 【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得． 【解答】解：选项 ， 正负不定，不能满足最小值是 ，故错误； 选项 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号，但 ，故错误； 选项 ，∵ ，∴ ， ∴ ，当且仅当 ，即 时 取等号， 但 ，取不到 ，故错误； 选项 ， ，当且仅当 即 时取等号，故正确． 故选： ． 6 ． 在 中 ， 内 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 是 ， ， ． 已 知 ， ， 则 （　　）． A． B． C． D． 【 考点】HQ：正弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用． A x 2 B 2 1 1 11 2 1 1 1 x xy x x x x + + += = = + + + + + ≥ 11 1 x x + = + 0x = 0x > C π0, 2x  ∈   sin (0,1)x∈ 1sin 2siny x x = + ≥ 1sin sinx x = sin 1x = sin (0,1)x∈ 1 D 17 7 7 27 x x x xy −= + = + ≥ 17 7 x x = 0x = D ABC△ A B C a b c 8 5b c= 2C B= cosC = 7 25 7 25 − 7 25 ± 24 25【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出 ， ，然后利用平方关系式求出 的值即 可． 【解答】解：因为在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ．已知 ， ， 所以 ，所以 ， 为三角形内角，所以 ． ． 所以 ． 所 以 ， ． 故选： ． 7．如图所示， 、 、 三点在同一水平线上， 是塔的中轴线，在 、 两处测得塔顶部 处的仰角 分别是 和 ，如果 、 间的距离是 ，测角仪高为 ，则塔高为（　　）． βα D1C1 A1 DC B A sin B cosB cosC ABC△ A B C a b c 8 5b c= 2C B= 8sin 5sin 5sin2 10sin cosB C B B B= = = 4cos 5B = B π0, 4B  ∈   π 2C < 2 3sin 1 cos 5B B= − = 4 3 24sin sin2 2 5 5 25C B= = × × = 2 7cos 1 sin 25C C= − = A C D A AB C D B α β C D a bA. B． C． D． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【分析】分别在 、 这两 个三角形中运用正弦定理，即可求解． 【解答】解：在 中， ， ∴ ， 即 ， 在 中， ， ∴ ， 即 ， 则塔高为 ， 故选： ． 8．设 ， 是两个非零向量，且 ，则 与 夹角的大小为（ ） ba aa +− )sin( sinsin β β cos cos cos( ) a α β β α− cos cos cos( ) a b α β β α +− sin sin sin( ) a α β β α− BCD△ ABD△ BCD△ sin sin CD BD CBD C =∠ ∠ sin( ) sin BDα β α α=− sin sin( ) aBD α β α= − ABD△ sin sin AB BD ADB A =∠ ∠ sin sin90 AB BD β = ° sinsin sin sin( ) aAB BD α β β αβ= = −⋅ ba aa +− )sin( sinsin β β A a b + = −a b a b a bA B C D 答案：B 9．在△ 中，若 ，则△ 的形状一定是（ ） A 等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形 答案： B 10.如图,正方体 的棱长为2，点 为底面 的中心，点 在侧面 的边界及其 内部运动. 若 ，则△ 面积的最大值为 （A） （B） （C） （D） 答案 C 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 1．在 中， 则 等于________． 【考点】HR：余弦定理． 120° 90° 60° 30° ABC sin sina A b B= ABC 1 1 1 1ABCD ABC D− O ABCD P 1 1BB C C 1D O OP⊥ 1 1D C P 2 5 5 4 5 5 5 2 5 ABC△ 2 2 2a b c bc= + − A【分析】利用余弦定理即可得出． 【解答】解：∵ ，∴ ， ∴ ． ， ∴ ． 2．球的直径扩大到原来的 2 倍，则球的表面积变为原来的___倍． 答案 4 3．在 中， 为 中点， 在线段 上，且 ， ，则 的值是 __________． 【答案】 【解析】如图所示在 中， ． ∴ ， ， 2 2 2a b c bc= + − 2 2 2bc b c a= + − 2 2 2 1cos 2 2 2 b c a bcA bc bc + −= = = ,(0 1 )80A∈ ° ° 60A = ° ABC△ E AB F AC 3AF FC = EF xAC yBC= +   x y+ 3 4 ABC△ EF EA AF= +   1 3 2 4BA AC= +  1 3( )2 4BC CA AC= + +   1 1 4 2AC BC= +  1 4x = 1 2y =∴ ． 4. 设 是三个不同的平面， 是两条不同的直线，给出下列三个结论： ①若 ， ，则 ； ②若 ， ，则 ； ③若 ， ，则 . 其中，正确结论的序号为 ． 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分。 答案：①② 5.已知点 ， ， ， ， 为坐标原点，则 _______， 与 夹角 的取值范围是_______. 答案： ， 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 3 4x y+ = , ,α β γ m n， m α⊥ n α⊥ m n∥ m α⊥ m β⊥ α β∥ α γ⊥ β γ⊥ α β∥ (2,0)A (1,2)B (2,2)C | | | |AP AB AC= −   O | |AP = OP OA 1 [0, ]6 π1．从某校高一年级随机抽取 n 名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到 数据分组及频数分布表： 组号 分组 频数 频率 1 [5，6） 2 0.04 2 [6，7） 0.20 3 [7，8） a 4 [8，9） b 5 [9，10） 0.16 （I）求 n 的值； （Ⅱ）若 a=10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图； 1（I）解：n= 1 分 （II）解：补全数据见下表（3 分）； 组号 分组 频数 频率 1 [5，6） 2 0.04 2 [6，7） 10 0.20 3 [7，8） 10 0.20 4 [8，9） 20 0.40 5 [9，10） 8 0.16 频率分布直方图见下图： 5 分 5004.0 2 =2． 中， ， ，且 ． （ ）求 的长． （ ）求 的大小． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【分析】（ ）由已知利用正弦定理即可得解 的值． （ ）由已知利用余弦定理可求 的值，结 合 的范围，根据特殊角的三角函数值即可得解． 【解答】解：（ ）由正弦定理 ，可得： ，可得： ． （ ）由余弦定理可得： ， 由于 ， 可得： ． 3．已知 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ． （Ⅰ）若 ，求 ． （Ⅱ）若 的面积为 ，求 的值． ABC△ 7BC = 3AB = sin 3 sin 5 C B = 1 AC 2 A∠ 1 AC 2 cos A A 1 sin sin AC AB B C = sin sin AB C AC B = 5 3 53AC ×= = 2 2 2 2 9 25 49 1cos 2 2 3 5 2 AB AC BCA AB AC + − + −= = = −⋅ × × (0 ,180 )A∈ ° ° 120A = ° ABC△ A∠ B∠ C∠ a b c π 3B∠ = 2a = 3b = A∠ ABC△ 3 3 2 b【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）∵ ， ， ， ∴由正弦定理得 即 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． （Ⅱ）∵ ， ∴ ， 再由余弦定理得 ， ∴ ． 4．已知向量 与 共线，其中 是 的内角． （ ）求角 的大小． （ ）若 ，求 面积 的最大值，并判断 取得最大值时 的形状． 【考点】9C：向量的共线定理；7F：基本不等式；GQ：两角和与差的正弦函数；HP：正弦定理． 【分析】（ ）根据向量平行得出角 的等式，然后根据两角和差的正弦公式和 为三角形内角这个条件得 到 ． （ ）根据余弦定理代入三角形的面积公式，判断等号成立的条件． 【解答】解：（ ）因为 ，所以 ； 45° 14 2a = 3b = π 3B∠ = sin sin a b A B = 2 3 πsin sin 2 A = 2sin 2A = a b< (0,π)A∈ 45A = ° 1 1 3 3 3sin 22 2 2 2ABCS a c B c= ⋅ ⋅ ⋅ = × × × =△ 3 2c = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ⋅ 14b = 1π sin , 2A =    r (3,sin 3cos )n A A= +r A ABC△ 1 A 2 2BC = ABC△ S S ABC△ 1 2A A A 2 1 π n r r ∥ 3sin (sin 3cos ) 02A A A⋅ + − =所以 ， 即 ， 即 ． 因为 ，所以 ． 故 ， ； （ ）由余弦定理，得 ． 又 ， 而 ，（当且仅当 时等号成立） 所以 ； 当 的面积取最大值时， ．又 ； 故此时 为等边三角形． 5.如图， 矩形 所在平面， ， 分别是 和 的中点. （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求证： . 某同学用综合法证明第（Ⅰ）问，用分析法证明第（Ⅱ）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适 的内容. 证明：（Ⅰ）取 的中点 ，连结 . 在 中，因为 ， 分别为所在边的中点， 1 cos2 3 3sin2 02 2 2 A A − + − = 3 1sin2 cos2 12 2A A− = πsin 2 16A − =   (0,π)A∈ π π 11π2 ,6 6 6A  − ∈ −   π π2 6 2A − = π 3A = 2 2 24 b c bc= + − 1 3sin2 4ABCS bc A bc= =△ 2 2 2 4 2 4b c bc bc bc bc+ ⇒ + ⇒≥ ≥ ≤ b c= 1 3 3sin 4 32 4 4ABCS bc A bc= = × =△ ≤ ABC△ b c= π 3A = ABC△ PA ⊥ ABCD M N AB PC MN  PAD MN CD⊥ PD E ,EN AE PCD△ E N E N M P D CB A 所以___________________, 又 ， 所以______________________， 又 ， 所以四边形 是平行四边形， 所以_________________. 又 平面 ， 所以 平面 ． （Ⅱ）要证 ，由（Ⅰ）知， 只需证明 , 只需证明 只需证明_________________， _________________， 而由矩形 ，得_______________， 又 ， 所以_______________， 所以 成立. 16. 证明：（Ⅰ）取 的中点 ，连结 . 在 中，因为 ， 分别为所在边的中点， 所以 且 ………………..2 分 （说明：这里只写 平行关系，没写 数量关系的给 1 分） 又 ， AM CD 1 1 2 2EN CD AB AM= = = AMNE AE ⊂ PAD MN PAD⊄ 平面 ， MN  PAD MN CD⊥ AE CD⊥ CD PAD⊥ 平面 ， ABCD CDPA ABCD ABCD⊥ ⊂平面 ， 平面 MN CD⊥ PD E ,EN AE PCD△ E N EN CD∥ 1 2EN CD= ,EN CD ,EN CD AM CD 所以 ， ………………..4 分 又 ， 所以四边形 是平行四边形， 所以 ………………..6 分 又 平面 ， ， 所以 平面 ． （Ⅱ）要证 ，由（Ⅰ）知, 只需证明 , 只需证明 只需证明 而由矩形 ，得 又 ，所以 ， 所以 成立. ……………..14 分 AM EN 1 1 2 2EN CD AB AM= = = AMNE AE MN AE ⊂ PAD MN PAD⊄ 平面 MN  PAD MN CD⊥ AE CD⊥ CD PAD⊥ 平面 ， CD AD⊥ ， CD PA⊥ ， ABCD CD AD⊥ ， CDPA ABCD ABCD⊥ ⊂平面 ， 平面 CD PA⊥ MN CD⊥6．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且 m·n＝－3 5. (1)求 sin A 的值； (2)若 a＝4 2，b＝5，求角 B 的大小及向量BA→ 在BC→ 方向上的投影. 解　(1)由 m·n＝－3 5 ， 得 cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－3 5 ， 所以 cos A＝－3 5.因为 0B，且 B 是△ABC 一内角，则 B＝π 4. 由余弦定理得(4 2)2＝52＋c2－2×5c×(－3 5 )， 解得 c＝1，c＝－7 舍去， 故向量BA→ 在BC→ 方向上的投影为|BA→ |cos B＝ccos B＝1× 2 2 ＝ 2 2 .