湖南省岳阳市2019-2020高一数学下学期质量监测试卷（Word版含答案）

岳阳市 2020 年高中教学质量监测试卷 高一 数学 一、单项选择题. 1. 已知全集 ，集合 ， ，则 A. B. C. D . 2. 已知 ， ， 则 的大小关系是 A. B. C. D. 3.函数 的零点 所在的区间为 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 4.已知直线 与直线 垂直，则 a 的值为 A.0 B.1 C. D. 5.方程 表示一个圆，则 r 的取值范围是 A. B. C. D. 6.将函数 y=sin x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，在把所得个点向 右平移 个单位，所得图像函数解析式是 A. B. C. D. 7.正方体 中，异面直线 与 所成角的余弦值是 A. B. C. D. 8.下列函数中，最小正周期为 的是 A. B. C. D. 9. 中，若 ，则 一定为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D. U R= {1,2,3}A = { | 2}B x x= ≥ A B = {1,2,3} {2} {1,3} {2,3} 0.22a = 2log 0.2b = 20.2c = , ,a b c a b c> > a c b> > c a b> > b a c> > 6( ) 2 1 xf x x = − + 0x 2 1 0x ay+ − = (3 1) 1 0a x y− − − = 1 6 1 3 2 2 0x y x y r+ − + + = 1( , )2 −∞ 1( , ]2 −∞ ( ,2]−∞ ( ,2)−∞ 3 π sin(2 )3y x π= + sin(2 )6y x π= − 1sin( )2 6y x π= − 1sin( )2 6y x π= + 1 1 1 1ABCD A B C D− AB 1AC 3 3 3 2 6 3 π 1sin( )2 6y x π= + cos(2 )3y x π= + tan(2 )4y x π= + sin cosy x x= + ABC∆ cos cos sin sinA B A B> ABC∆钝角三角形 10.1614 年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数；1637 年笛卡尔开始使用 对数运算；1770 年欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先 于指数，称为数学史上的珍闻.若 ， ，则 x 的值约为 A. 1.322 B. 1.410 C. 1.507 D. 1.669 二、多项选择题：每小题 5 分.每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全 部选对得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错或不选的得 0 分。 11. 四边形 ABCD 为梯形，其中 AB∥CD，AB=2CD，点 M、N 分别为线段 AB、CD 的中点， 则下列结论正确的是 A. B. C. D. 12. 对于函数 ，选取 的一组值去计算 和 ，所得出的正确结果一定不可能的是 A.2 或 5 B.3 或 8 C.4 或 12 D.5 或 16 三、填空题. 13. 的值是 . 14.函数 的图像恒过定点 P，则点 P 的坐标为 . 15.已知圆锥的母线长为 1，则侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为 . 16.已知直角坐标系 中， ， ， (1)若 ， ，则 y= . (2)若 的周长为 2，则向量 与 的夹角为 . 四、解答题. 17.(10 分)已知 , (1)求 ； 52 2 x = lg 2 0.3010= 1 2AC AD AB= +   1 4MN AD AB= +   1 1 2 2MC AC BC= +   1 2BC AD AB= −   3( ) sinf x ax b x c= + + ( , , )a b R c Z∈ ∈ , ,a b c ( 1)f − (1)f sin15 cos15° ° 1 1( 0, 1)xy a a a−= + > ≠ xOy (1,1)P A( ,0)( 0)x x > B(0, )( 0)y y > 1 4x = PB AB⊥  OAB∆ PA PB 5sin cos 2 α α+ = ( , )4 2 π πα ∈ tan 2α(2)若 ，求 . 18. (12 分)已知函数 在定义域[5,20] 内是单调的. (1)求实数 k 的取值范围； (2)若 的最小值为 ，求 k 的值. 19. (12 分)已知圆 E 经过点 (1)求圆 E 的方程； (2)若 P 为圆 E 上的一动点，求 面积的最大值. 15tan( ) 5 π β− = − tan(2 )α β+ 2( ) 4 8f x x kx= − − ( )f x 8− (0,0), B(1,1) , C(2,0)A ABP∆20. (12 分)如图，四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的棱形，PD⊥底面 ABCD. (1)证明：AC⊥平面 PBD； (2)若 PD=AD，直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,四棱锥 P—ABCD 的体积为 ，求 a 的值. 21. (12 分) 根据市场调查，某种商品一年内内余额的价格满足函数关系： 其中 为月份，已知 3 月份，该商 品的价格首次达到最高 9 万元，7 月份，该商品的价格首次达到最低 5 万元. (1)求 的解析式； (2)求此商品的价格超过 8 万元的月份. 22. (12 分)若函数 对其定义域内任意 都有 成立，则称 为“类对数型”函数. (1)证明： 为“类对数型”函数； (2)若 为“类对数型”函数， 4 3 3 ( ) sin( )f x A x Bω ϕ= + + ( 0, 0,| | )2A πω ϕ> > < ( )x x N∗∈ ( )f x ( )f x 1 2,x x 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 1f x x f x f x⋅ = + − ( )f x 3( ) log 1g x x= + ( )h x求 的值. 岳阳市 2020 年高中教学质量检测 高一数学·参考答案 一、 单项选择题： 1. D 2. B 3. C 4. B 5.A 6. C 7. A 8. B 9.D 10.A 二、 多项选择题： 11. ACD 12. ABD 三 、 填空题： 13. 14. 15. 16.（1） ；（2） 四、 解答题： 17. （1）因为 ， 所以 ，即 ，....................2 分 因为 ，所以 ，所以 ，......................4 分 故 ，..........................6 分 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) (1) (2) (3) (2020)2020 2019 3 2h h h h h h h h+ + + + + + + + +  4 1 ( )2,1 π 24 3 2 1 4 π 5cos sin 2 α α+ = 2 2 5cos sin2 sin 1 sin2 4 α α α α+ + = + = 1sin2 4 α = ,4 2  ∈   π πα 2 ,2 πα π ∈   15cos2 4 α = − sin2 15tan2 cos2 15 αα α= = −（2）因为 ，所以 ，......................8 分 所以 .................10 分 18. （1）由题意，可知 的对称轴为 .........1 分 而函数 是单调函数， 或 ............................................3 分 即 或 ....................................................4 分 （2）当 时， ....................................6 分 ；..............................................................8 分 当 时， .........................10 分 （舍去）；..............................................11 分 综上， ..............................................................12 分 19.（1）设圆 的方程为： ............................................................1 分 由题意： ........................................ ……………………….4 分 ∴圆 的方程为 即 ........................................................5 分 （2）∵ ∴ 的方程： ，且 ..............7 分 ∴圆心 到直线 的距离为 ..........................9 分 ∴点 到直线 的距离的最大值为 ....................................11 分 15tan( ) 5 π β− = − 15tan 5 β = 15 15 tan 2 tan 1515 5tan(2 ) 1 tan 2 tan 915 151 15 5 α βα β α β − +++ = = =− + × ( ) 84 2 −−= kxxxf 8 kx = 2( ) 4 8 , [5,20]f x x kx x= − − ∈ 58 ≤∴ k 208 ≥k 40≤k 160≥k 40≤k ( ) ( ) 885545 2 min −=−−×== kfxf 20=k 160≥k ( ) ( ) 882020420 2 min −=−−×== kfxf 80=k 20=k E 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 0 2 2 0 0 4 2 0 0 F D D E F E D F F  = = −  + + + = ⇒ =   + + = = E 2 2 2 0x y x+ − = 2 2( 1) 1x y− + = (0,0), (1,1)A B AB 0x y− = | | 2AB = (1,0)E AB |1| 2 22 d = = P AB 2 12 +∴ ................12 分 20. 解：（1）因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC BD，................. 2 分 又因为 PD 平面 ABCD， 平面 ABCD，所以 PD AC，................4 分 又 ，故 AC 平面 PBD；.....................6 分 （2）因为 PD 平面 ABCD， 所以∠PBD 是直线 PB 与平面 ABCD 所成的角，............................7 分 于是∠PBD=45°，...................................................8 分 因此 BD=PD= ,又 AB= AD= ， 所以菱形 ABCD 的面积为 ，...............................................10 分 故 四 棱 锥 P- ABCD 的 体 积 , ................................................12 分 21.解：（1）由题可知 ， ， .....................1 分 又 ， ，.........................................3 分 .（*）...............................4 分 又 过点 ，代入（*）式得 ， ， ， .............................6 分 又 ， ，...........................7 分 ................8 分 1 2 1 2 1 2| | 1 2 12 2 2 2 2ABPS AB     +≤ × × + = × × + =         △ ⊥ ⊥ AC ⊂ ⊥ PD BD D∩ = ⊥ ⊥ a a 2 2 360sin aADABS =°⋅⋅= 3 34 6 3 3 1 3 ==⋅= aPDSV 2=∴a 7 3 42 T = − = 8T∴ = 2 4T ω π π∴ = = 5 9 2 9 5 2 B A + = − = 2 7 A B =∴ = ( ) 2sin 74f x x π ϕ ∴ = + +   ( )f x ( )3,9 32sin 7 94 ϕπ + + =   3sin 14 ϕπ ∴ + =   3 24 2 kϕπ π∴ + = + π k Z∈ 2 πϕ < 4 πϕ∴ = − ( ) ( )*2sin 7 1 12, N4 4f x x x x π π ∴ = − + ≤ ≤ ∈  （ 2 ） 令 ， ， ， ，.........................10 分 可得 ， ...................................11 分 又 ， ， ， 故 2 月份、3 月份、4 月份、10 月份、11 月份、12 月份此商品的价格超过 8 万元…….12 分 22. 解：(1)证明： 成立， 所以 为 “类对数型”函数； .......................4 分 （2） 令 ，有 ∴ ........................7 分 令 ，则有 , ................10 分 . .....12 分 ( ) 2sin 7 84 4f x x π π = − + >   1sin 4 4 2x π π ∴ − >   52 26 4 4 6k x k π π π π∴ + π < − < + π k Z∈ 5 138 83 3k x k+ < < + k Z∈ 1 12x≤ ≤ *x∈N 2,3,4,10,11,12x∴ = ( ) 1loglog1)(log 231321321 ++=+⋅=⋅ xxxxxxg ( ) ( ) 1loglog11log1log1 2313231321 ++=−+++=−+ xxxxxgxg ( ) ( ) ( ) 12121 −+=⋅∴ xgxgxxg ( ) 1log3 += xxg ( ) ( ) ( ) 12121 −+=⋅ xhxhxxh 121 == xx ( ) ( ) ( ) 1111 −+= hhh ( ) 11 =h 121 =⋅ xx ( ) ( ) ( ) 11 21 −+= xhxhh ( ) ( ) 221 =+∴ xhxh ( ) ( ) ( ) ( )20203212 1 3 1 2019 1 2020 1 hhhhhhhh +++++    +    ++    +      ( ) ( ) ( ) ( ) 403922019120202020 133 122 11 =×+=+    +++    ++    += hhhhhhh 