雅安中学高二下期半期考试数学试卷（文科）
一．选择题（共 12 小题）
1．若集合 A＝{1，2，3，4，5}，集合 B＝{x|0＜x＜4}，则图中阴影部分表示（ ）
A．{1.2，3，4} B．{1，2，3} C．{4，5} D．{1，4}
2．已知集合 ，则（ ）
A．∁RQ＝{x|x＞1} B．P∩Q＝∅ C．P∪Q＝R D．P∩Q＝{x|x≥1}
3．已知集合 ，Q＝{y|y＝x2}，则 P∩Q＝（ ）
A． B． C．{1} D．{﹣1，1}
4．已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f（x）单调递增，则（ ）
A．f（log94）＞f（1）＞f（log34） B．f（log94）＜f（1）＜f（log34）
C．f（1）＞f（log94）＞f（log34） D．f（1）＜f（log94）＜f（log34）
5．复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
6．下列求导数运算正确的是（ ）
A．（cosx）′＝sinx B．（3x）′＝3xln3
C．（xlnx）′＝lnx﹣1 D．
7. 下列说法正确的是（ ）A．“若 a＞2，则 2a＞4”的否命题为“若 a＞2，则 2a≤4”
B．命题 p∨q 与￢（p∨q）至少有一个为真命题
C．“∀x＞0，x2﹣2x+2≥0”的否定为“∀x＞0，x2﹣2x+2＜0”
D．“这次数学考试的题目真难”是一个命题
8．下列命题中的真命题是（ ）
A．∀x∈N，x2≥1
B．命题“∃a，b∈R， ”的否定
C．“直线 l1 与直线 l2 垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于﹣1”
D．“m＞﹣1”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件
9．函数 y＝ 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数 f（x）＝ ，若 f（x）的最小值为 f（1），则实数 a 的值不
可能是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
11．定义在 R 上的奇函数 f（x）满足：f（ +x）＝f（ ﹣x），且当 x∈（0， ）时，f（x）＝
log2（x+1）+m，若 f（100）＝log23，则实数 m 的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
12．定义在 R 上的函数 f（x）的导函数为 f'（x），且 ﹣2＜f（x），若 f（0）＝﹣1，则
不等式 e2x﹣f（x）＜2 的解集为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣1，+∞）
二．填空题（共 4 小题）
13．命题 p：∃x0∈（0，+∞），tanx0＞0 的否定为 ．
14．若曲线 y＝mx2 在点（1，m）处的切线与直线 x﹣4y+5＝0 垂直，则 m＝ ．
15．半径为 2 的球 O 内内置一圆锥，则此圆锥的体积最大值为 ．
16．设函数 给出下列四个结论：
①对∀a＞0，∃t∈R，使得 f（x）＝t 无解；
②对∀t＞0，∃a∈R，使得 f（x）＝t 有两解；
③当 a＜0 时，∀t＞0，使得 f（x）＝t 有解；
④当 a＞2 时，∃t∈R，使得 f（x）＝t 有三解．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三．解答题（共 6 小题）
17．已知函数 f（x）＝ x3﹣4x+4，
（1）求 f（x）的单调区间；
（2）求 f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．
18．若关于 x 的不等式 x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0 的解集为 A，不等式
的解集为 B．
（1）求集合 A；（2）已知 B 是 A 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．
19．若二次函数满足 f（x+1）﹣f（x）＝2x 且 f（0）＝1．
（1）求 f（x）的解析式；
（2）是否存在实数 λ，使函数 g（x）＝f（x）﹣（2λ﹣1）x+2，x∈[﹣1，2]的最小值为 2？
若存在，求出 λ 的值；若不存在，说明理由．
20．已知函数 f（x）＝ 是定义域（﹣1，1）上的奇函数，
（1）确定 f（x）的解析式；
（2）解不等式 f（t﹣1）+f（t）＜0．
21．已知函数 f（x）为 R 上的偶函数，g（x）为 R 上的奇函数，且 f（x）+g（x）＝2x+1．
（1）求 f（x）和 g（x）的表达式；
（2）判断并证明 g（x）的单调性；
（3）若存在 x∈[ ，1]使得不等式 g（x）﹣af（2x）≥0 成立，求实数 a 的取值范围．
22．已知函数 f（x）＝x（lnx+a）+b，曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为
2x﹣y﹣1＝0．
（1）求 a，b 的值；
（2）若对任意的 x∈（1，+∞），f（x）≥m（x﹣1）恒成立，求正整数 m 的最大值．参考答案
一． 选择题：
CBBBA BBDBD BA
二． 填空题：
13．∀x∈（0，+∞），tanx≤0．
14. m＝ ﹣2
15．
16. ③④．
三．解答题
17. 解：（1）因为 ，所以 f'（x）＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
由 f'（x）＞0 得 x＜﹣2 或 x＞2
故函数 f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（2，+∞）；
由 f'（x）＜0 得﹣2＜x＜2，故函数 f（x）的单调递减区间为（﹣2，2）
（2）令 f'（x）＝x2﹣4＝0 得 x＝±2
由（1）可知，在[0，3]上 f（x）有极小值
而 f（0）＝4，f（3）＝1，
因为 所以 f（x）在[0，3]上的最大值为 4，最小值为 ．
18. 解：（1）若关于 x 的不等式 x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0，即（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0，
解得 a≤x≤a+1， 即集合 A 为[a，a+1]，
（2）不等式 的解集 B 为[ ，2），∵B 是 A 的必要不充分条件，
∴ ，即 ≤a＜1．19. 解：（1）根据题意，设 f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），由 f（0）＝1，
∴c＝1，∴f（x）＝ax2+bx+1
∵f（x+1）﹣f（x）＝2ax+a+b＝2x，必有 ，解可得 ；
∴f（x）＝x2﹣x+1
（2）由（1）可得 g（x）＝x2﹣x+1﹣（2λ﹣1）x+2＝x2﹣2λx+3，x∈[﹣1，2]
①当 λ≤﹣1 时，g（x）在[﹣1，2]上单增，g（x）min＝g（﹣1）＝4+2λ＝2⇒λ＝﹣1；
② 当 ﹣ 1 ＜ λ ＜ 2 时 ， g （ x ） 在 [ ﹣ 1 ， λ] 上 单 减 ， 在 [λ ， 2] 上 单 增 ，
，
解得 λ±1，又﹣1＜λ＜2，故 λ＝1
③当 λ≥2 时，g（x）在[﹣1，2]上单减，g（x）min＝g（2）＝4﹣4λ+3＝2，
解得 ，不合题意．
综上，存在实数 λ＝±1 符合题意．
20. 解：（1）根据题意，函数 f（x）＝ 是定义域（﹣1，1）上的奇函数，
则有 f（0）＝ ＝0，则 b＝0；
此时 f（x）＝ ，为奇函数，符合题意，
故 f（x）＝ ，
（2）先证单调性：设﹣1＜x1＜x2＜1，
f （ x1 ） ﹣ f （ x2 ） ＝ ﹣ ＝ ＝
，
又由﹣1＜x1＜x2＜1，则（x1﹣x2）＜0，1﹣x1x2＞0，
则有 f（x1）﹣f（x2）＜0，即函数 f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
f（t﹣1）+f（t）＜0⇒f（t﹣1）＜﹣f（t）⇒f（t﹣1）＜f（﹣t）⇒ ，解可得：0＜t＜ ，即不等式的解集为（0， ）．
21. 解：（1）f（x）+g（x）＝2x+1，①，
将 x 换为﹣x，代入上式得 f（﹣x）+g（﹣x）＝2﹣x+1，
因为 f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，所以 f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），
所以 f（x）﹣g（x）＝2x+1，②，
所以由①②可得 f（x）＝2x+2﹣x，g（x）＝2x﹣2﹣x；
（2）g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，证明如下：
任取 x1，x2∈（﹣∞，+∞）且 x2＞x1，
g（x2）﹣g（x 1）＝2x2﹣2﹣x2﹣（2x1﹣2﹣x1）＝2x2﹣2x1+ ＝（2x2﹣2x1）（1+
），
因为当 x2＞x1 时，2x2＞2x1＞0，所以 g（x2）﹣g（x1）＞0，
所以 g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
（3）由题意可得（2x﹣2﹣x）﹣a（22x+2﹣2x）≥0，
令 t＝2x﹣2﹣x，由 x∈[ ，1]可得 t∈[ ， ]，则 22x+2﹣2x＝t2+2，
原式等价于存在 t∈[ ， ]使得 t﹣a（2+t2）≥0 成立，
分离参变量得 a≤ ＝ ，只需 a≤（ ）max 即可．
又因为 ＜ ＜ ，所以（t+ ）min＝2 ，
所以（ ）max＝ ，
所以 a≤ ．
22. 解：（1）由 f（x）＝x（lnx+a）+b，得 f'（x）＝lnx+a+1．
曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为 2x﹣y﹣1＝0，所以 f'（1）＝a+1＝2，f（1）＝a+b＝1，解得 a＝1，b＝0．
（2）由（1）知 f（x）＝x（lnx+1），则 x∈（1，+∞）时，f（x）≥m（x﹣1）恒成立，等
价于 x∈（1，+∞）时， 恒成立．
令 ，x＞1，则 ．
令 h（x）＝x﹣lnx﹣2，则 ，所以 x＞1，h'（x）＞0，h（x）单调递
增．
因为 h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣2ln2＞0，所以存在 x0∈（3，4）使 h（x0）＝0．
且 x∈ （ 1 ， x0 ） 时 ， g' （ x ） ＜ 0 ； x∈ （ x0 ， + ∞ ） 时 ， g' （ x ） ＞ 0 ， 所 以
，
因 为 x0 ﹣ lnx0 ﹣ 2 ＝ 0 ， 所 以 lnx0 ＝ x0 ﹣ 2 ， 所 以
，
所以 m≤x0∈（3，4），即正整数 m 的最大值为 3．
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