江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二数学下学期期末模拟（一）试题（Word版附答案）

南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期 高二数学期末模拟检测试卷（一） 时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 1.“x 2 1a b− = 0a b c− + = 5a b< 97 100 162700C = 3 2 3 9 9 10C C C+ = 1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8C C C C C C C 254+ + + + + + = 10(1 2 )x+ 51 3 5 7 9 (4 )5! x × × × ×12. 已知两点 A(－1,0)，B(1,0)以及圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)，若圆 C 上存在点 P，满足 AP → ·PB → ＝0，则 r 的取值可以是下列选项中的(　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．已知函数 f (x)＝ex 在点(0，f (0))处的切线为 l，动点(a，b)在直线 l 上，则 2a＋2－b 的最小 值是__________________ 14.设椭圆 的两个焦点分别为 ，点 在椭圆上，且 ， ，则该椭圆的离心率为 ． 15.从 1、3、5、7 中任取 2 个数字，从 0、2、4、6 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的四 位数，其中能被 5 整除的四位数共有________个.（用数字作答） 16.已知函数 ，若函数 存在唯一零点 ，且 ，则实数 a 的取值范 围是________. 四、解答题：共 6 小题，共 70 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.（10 分）已知在等比数列{an}中，a1＝1，且 a1，a2，a3－1 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 bn＝2n－1＋an(n∈N*)，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，试比较 Sn 与 n2＋2n 的大 小. 18．（12 分）已知向量 ， ． 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2,F F 1 2 0PF PF⋅ =  1 2 3tan 3PF F∠ = 3 2( ) 6 2f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x < (sin ,cos 2sin )a α α α= − (1,3)b =（1）若 ，求 的值；（2）若 ，求 的值． 19.（12 分）如图,已知 AE⊥平面 CDE,四边形 ABCD 为正方形,M,N 分别是线段 BE,DE 的 中点.(1)求证:MN∥平面 ABCD;( 2)若 求 EC 与平面 ADE 所成角的正弦值. 20..某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在 A，B 实验地分别用甲、乙方法培 育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各 50 株，对每株进行综合评分， 将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为 80 及以上的花苗为优 质花苗． （1）求图中 a 的值； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在 A，B 两块试验地随机抽取 3 棵花苗，求所抽 取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望． a b   tanα | | | |a b a b+ = −   cos2α 2 1= EC AE21 已知椭圆 的离心率为 ，直线 经过椭圆 的左焦点.（1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线 与 轴交于点 ， 、 是椭圆 上的两个动点，且它们在 轴的两侧， 的平分线在 轴上， 则直 线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 22.已知函数 ，其中 . （1）当 时，求不等式 在 上的解； （2）设 ， 关于直线 对称的函数为 ，求证：当 时， ； （3）若函数 恰好在 和 两处取得极值，求证： . ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 2 0bx y a− + = C C 4 0bx y− + = y P A B C y APB∠ y PA PB≠ AB ( ) 2 2 x af x e x ax= − − 0a > 1a = ( ) 2 4f x e> − ( )0, ∞+ ( ) ( )g x f x′= ( )y g x= lnx a= ( )y h x= lnx a< ( ) ( )g x h x< ( )y f x= 1x x= 2x x= 1 2 ln2 x x a + ( ) 0f x′ > 0x < 4x a > ( )f x (−∞ 0] ( 1) 6 1 5 0f a a− = − − + = − − < (0) 1 0= >f ( )f x ( 1,0)− 2 4 32( ) 2 0f a a = − > 2 16a > 4a < - 4a > 0a > 4a∴ > 0a = 2( ) 2 6f x x= − 3 3x = ± 0a < ( )f x 4[ ,0]a 4, a  −∞   ( )0, ∞+ (0) 2f = 4( ) 0f a > 4( ) 0f a < 4( )f a (4, )a∈ +∞ (4, )+∞四、解答题：共 6 小题，共 70 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.（10 分）已知在等比数列{an}中，a1＝1，且 a1，a2，a3－1 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 bn＝2n－1＋an(n∈N*)，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，试比较 Sn 与 n2＋2n 的大小. 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为 q， ∵a1，a2，a3－1 成等差数列，∴2a2＝a1＋(a3－1)＝a3，∴q＝a3 a2 ＝2， ∴{an}的通项公式为 an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*). (2)由(1)知 bn＝2n－1＋an＝2n－1＋2n－1， ∴Sn＝(1＋1)＋(3＋2)＋(5＋22)＋…＋(2n－1＋2n－1) ＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(1＋2＋22＋…＋2n－1) ＝1＋（2n－1） 2 ·n＋1－2n 1－2 ＝n2＋2n－1. ∵Sn－(n2＋2n)＝－1 2 2 2 0bx y a− + = C C 4 0bx y− + = y P A B C y APB∠ y PA PB≠ AB（1）在直线方程 中令 ，则 ， 故 ，又 ，故 ，所以 ，所以椭圆标准方程为： . （2）因为 、 在在 轴的两侧，故 的斜率必存在， 设 的方程为 ， ， ， 因为 在 轴上且 在直线 ，故 . 因为 的平分线在 轴上，所以 ，而 ， 代入整理得到： . 由 可得 ， 所以 ， 所以 ，化简得到 ， 所以对任意的 ，总有 ，故直线 过定点 . 22.已知函数 ，其中 . （1）当 时，求不等式 在 上的解； （2）设 ， 关于直线 对称的函数为 ，求证：当 2 0bx y a− + = 0y = 2ax b = − 2ac b = 2 2 c a = 2b = 4a = 2 2 18 4 x y+ = A B y AB AB y kx b= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y P y P 2 4 0x y− + = ( )0,4P APB∠ y 1 2 1 2 4 4 0y y x x − −+ = 1 1 2 2,y kx b y kx b= + = + ( )( )1 2 1 22 4 0kx x b x x+ − + = 2 22 8 y kx b x y = +  + = ( )2 2 21+2 4 2 8 0k x kbx b+ + − = 2 1 2 1 22 2 4 2 8,1+2 1+2 kb bx x x xk k −+ = − = ( )2 2 2 2 8 42 4 01+2 1+2 b kbk bk k −  × + − − =   ( )1 0k b − = k 1b = AB ( )0,1 ( ) 2 2 x af x e x ax= − − 0a > 1a = ( ) 2 4f x e> − ( )0, ∞+ ( ) ( )g x f x′= ( )y g x= lnx a= ( )y h x=时， ； （3）若函数 恰好在 和 两处取得极值，求证： . 【答案】（1） （2）证明见解析；（3）证明见解析； 【解析】（1）当 时， ， ， ， ∴ 在 上单调递增，∴ ， ∴ 在 上单调递增，又 ，∴ 的解集为 ； （2） ， ∵ 关于直线 对称的函数为 ， ∴ ∴ 令 ， ，当且仅当 时取“＝”， ∵ ，故上式取不到“＝”，即 ， ∴ 在 上单调递增， 故 ，即 ， ∴当 时， ， （3）证明：由已知 ， 由 ， 是函数 两个不同极值点（不妨设 ）. 即 ， 是函数 的两个不同实根. 即 ， ∴ ， ， 两式相减得： ，于是要证明 ，即证明 ， 的 lnx a< ( ) ( )g x h x< ( )y f x= 1x x= 2x x= 1 2 ln2 x x a + < ( )2,+∞ 1a = ( ) 21 2 xf x e x x= − − ( ) 1xf x e x′ = − − ( ) 1 0xf x e ′ ′ = − >  ( ) 1xf x e x′ = − − ( )0, ∞+ ( ) ( )0 0f x f′ ′> = ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 22 4f e= − ( ) 2 4f x e> − ( )2,+∞ ( ) ( ) xg x f x e ax a′= = − − ( )y g x= lnx a= ( )y h x= ( ) ( ) 2 2ln 2 lnx ah x g a x ax a a ae = − = + − − ( ) ( ) 2 2 2 lnx x ag x h x e ax a ae − = − − + ( ) 2 2 2 lnx x ap x e ax a ae = − − + ( ) 2 2 2 2 0x x ap x e a a ae ′ = + − ≥ − = lnx a= lnx a< ( ) 0p x′ > ( )p x ( ),ln a−∞ ( ) ( )ln 2 ln 2 ln 0p x p a a a a a a a< = − − + = ( ) ( ) 0g x h x− < lnx a< ( ) ( )g x h x< ( ) ( ) xg x f x e ax a′= = − − ( ) xg x e a′ = − 1x 2x ( )f x 1 2x x< 1x 2x ( ) 0g x = ( )1 0g x = ( )2 0g x = 1 1 0xe ax a− − = 2 2 0xe ax a− − = 1 2 1 2 x xe ea x x −= − 1 2 ln2 x x a + < 1 2 1 2 2 1 2 x x x xe ee x x + −< −两边同除以 ，即证 ，即证 ， 即证 令 即证不等式 当 时恒成立. 设 ，∴ 而 ，即 ，∴ ， ∴ 在 上是减函数,又 ∴ 恒成立.则 . 2xe 1 2 1 2 2 1 2 1x x x xee x x − − −< − ( ) 1 2 1 22 1 2 1 x x x xx x e e − −− > − ( ) 1 2 1 22 1 2 1 0 x x x xx x e e − −− − + > ( )1 2 0x x t t− = < 2 1 0 t tte e− + > 0t < ( ) 2 1t t t te eφ = − + ( ) 2 2 2 2 21' 1 12 2 2 t t t t t t tt tt e t e e e e e eφ     = + ⋅ ⋅ − = + − = − − +         2 12 t te > + 2 1 02 t te  − + >   ( ) 0tφ′ < ( )tφ ( ),0−∞ ( )0 0φ = ( ) 0tφ > 1 2 ln2 x x a +