江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二数学下学期期末模拟（二）试题（Word版附答案）

南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期 高二数学期末模拟检测试卷（二） 2020-06-22 时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．已知集合 ， ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．设 ，其中 ， 是实数，则 （ ） A．1 B． C． D．2 3．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系 统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成 一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3．那么近似公式 相当于将 圆锥体积公式中的 近似取为（ ） A． B． C． D． 5．函数 与 的图象如图所示，则 的部分图象可能是（ ） A． B． C． D． }032|{ 2 ≤−−= xxxA 12|{ a 0>b 1F 2F C 1F H P HFPF 11 4= 15 3 21 3 5 3 7 3 ( ) ( )22 3 2 1 0f x cos x sin xω ω ω= + − > π 2ω = 3x π= ( )y f x= ( )f x [0, ]6 π )0,12 5( π ( )y f x= 2 2 16 x y+ = ( )2 2 11 5x y+ + = 5 30 6 PQ 2 5 5C. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1)，若 P(ξ>1)＝p，则 P(－1 > 2 1 a b + P 2 4y x= P y M A ( )2,3 PA PM+ 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA 1DD 1AC 1 DG DD = 1 AH HC =四、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10 分）已知各项均不相等的等差数列 的前 项和为 ，且 是等比数列 的前 项． (1)求 ； (2)设 ，求 的前 项和 ． 18．（12 分）如图，在平面直角坐标系 中，以 轴正半轴为始边的锐角 和钝角 的终 边分别与单位圆交于点 ， ．若点 的横坐标是 ，点 B 的纵坐标是 ． （1）求 的值；（2）求 的值． { }na 4 10 1 2 4, ,a a a { }nb 3 ,n na b ( ) 1 1n n n n c b a a = + + { }nc n nS xOy x α β A B A 10 103 5 52 )cos( βα − βα +19．（12 分）如图，在直三棱柱 中，点 ， 分别为线段 ， 的中 点． （1）求证： 平面 ； （2）若 在边 上， ，求证： ． 20．（12 分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文 化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随 机抽取了 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频 率分布直方图，将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读 书时间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星”：已知抽取的样本中日均课余读书时间低 111 CBAABC − M N BA1 1AC //MN CCBB 11 D BC 1DCAD ⊥ ADMN ⊥ n xO y A B A B CD M N A1 B1 C1于 10 分钟的有 10 人． (1)求 , 的值； (2)根据已知条件完成下面的 列联表，并判断是否有 95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关? (3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取 名学生，每 次抽取 名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变 量 ，求 的分布列和期望 ． 附： ，其中 ． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21．（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分 非读书之 星 读书之星 总计 男 女 总计 n p 2 2× 3 1 X X ( )E X ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + )( 0 2 kKP ≥ 0k 10 55别为 F1，F2，P 为椭圆上一点（在 x 轴上方），连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q，设PF1→ ＝λF1Q→ ． （1）若点 P 的坐标为 (1，3 2)，且△PQF2 的周长为 8，求椭圆 C 的方程； （2）若 PF2 垂直于 x 轴，且椭圆 C 的离心率 e∈[1 2 ， 2 2 ]，求实数 λ 的取值范围． 22．（12 分）已知函数 f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R． （1）当 a＝b＝1 时，求曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程； （2）当 b＝2a＋1 时，讨论函数 f(x)的单调性； x O y P F1 F2Q南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期 高二数学期末模拟检测试卷（二）答案 2020-06-22 一、选择题：（1）B （2）B （3）C （4）B （5）A （6）B （7）A （8）C 二、多项选择：（9）CD （10）BC （11） BCD（12）BD. 三、填空题：（13） （14）9 （15） （16） ， 四、解答题： 17、解:(1)设数列 的公差为 ， 由题意知: ① 又因为 成等比数列， 所以 ， ， ， 又因为 ， 所以 . ② 由①②得 ， 所以 ， ， ， ， . (2)因为 ， 所以 2± 110 − 4 1 5 2 { }na d ( ) 1 2 3 4 1 1 4 4 14 + 4 6 102a a a a a d a d × −+ + + = = + = 1 2 4, ,a a a 2 2 1 4a a a= ⋅ ( ) ( )2 1 1 1 3a d a a d+ = ⋅ + 2 1d a d= 0d ≠ 1a d= 1 1, 1a d= = na n= 1 1 1b a= = 2 2 2b a= = 2 1 2bq b = = 12n nb −∴ = ( )1 11 1 12 21 1 n n nc n n n n − −  = + = + − + +  0 1 1 1 1 1 1 12 2 ... 2 1 2 2 3 1 n nS n n −  = + + + + − + − +⋅⋅⋅+ − + 所以数列 的前 项和 . 18．解： 因为锐角 α 的终边与单位圆交于 A，且点 A 的横坐标是 3 10 ， 所以，由任意角的三角函数的定义可知，cosα＝ 3 10 ， 从而 sinα＝ 1－cos2α＝10． …………………… 2 分 因为钝角 β 的终边与单位圆交于点 B，且点 B 的纵坐标是2 5 ， 所以 sinβ＝2 5 ，从而 cosβ＝－ 1－sin2β＝－5． …………………… 3 分 （1）cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ＝ 3 10 ×(－5)＋10×2 5 ＝－10． …………………… 6 分 （2）sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝10×(－5)＋ 3 10 ×2 5 ＝ 2 ． …………………… 11 分 因为 α 为锐角，β 为钝角，故 α＋β∈(π 2 ，3π 2 )， 所以 α＋β＝3π 4 ． …………………… 12 分 19．证明：（1）如图，连结 A1C． 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧面 AA1C1C 为平行四边形． 又因为 N 为线段 AC1 的中点， 所以 A1C 与 AC1 相交于点 N， 即 A1C 经过点 N，且 N 为线段 A1C 的中点． ……………… 2 分 因为 M 为线段 A1B 的中点， 所以 MN∥BC． ……………… 4 分 又 MN⊄平面 BB1C1C，BC⊂平面 BB1C1C， 所以 MN∥平面 BB1C1C． …………………… 6 分 1 2 111 2 1 n n −= + −− + 12 1 n n = − + { }nc n 12 1 n nS n = − + A B CD M N A1 B1 C1 （第 16 题）（2）在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，CC1⊥平面 ABC． 又 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD． …………………… 6 分 因为 AD⊥DC1，DC1⊂平面 BB1C1C，CC1⊂平面 BB1C1C，CC1∩DC1＝C1， 所以 AD⊥平面 BB1C1C． …………………… 8 分 又 BC⊂平面 BB1C1C，所以 AD⊥BC． …………………… 10 分 又由（1）知，MN∥BC，所以 MN⊥AD． …………………… 12 分 20．【详解】（1） 解得： ， 所以 . (2)因为 ，所以“读书之星”有 从而 列联表如下图所示: 非读书之星 读书之星 总计 男 女 总计 将 列联表中的数据代入公式计算得 因为 ，所以没有 以上的把握认为“读书之星”与性别有关 (3)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为 . 由题意可知 ( )0.005 0.018 0.020 0.022 0.025 10 1P+ + + + + × = 0.01P = 10 0. 101 0n = = 100n = 100 0.25 25× = 2 2× 30 15 45 45 10 55 75 25 100 2 2× ( )2 2 100 30 10 15 45 100 3.03045 55 75 25 33K × × − ×= = ≈× × × 3.030 3.841< 95% 1 4 1~ 3, 4X B    所以 ， 所以 的分布列为 故 . 21． 解：（1）因为 F1，F2 为椭圆 C 的两焦点，且 P，Q 为椭圆上的点， 所以 PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2 的周长为 4a． 由题意，得 4a＝8，解得 a＝2． …………………… 2 分 因为点 P 的坐标为 (1，3 2)，所以 1 a2＋ 9 4b2＝1， 解得 b2＝3． 所以椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1． …………………… 5 分 （2）方法一：因为 PF2⊥x 轴，且 P 在 x 轴上方，故设 P(c，y0)，y0＞0．设 Q(x1，y1)． 因为 P 在椭圆上，所以c2 a2＋ y b2＝1，解得 y0＝b2 a ，即 P(c，b2 a )． …………………… 7 分 因为 F1(－c，0)，所以PF1→ ＝(－2c，－b2 a )，F1Q→ ＝(x1＋c，y1)． 由PF1→ ＝λF1Q→ ，得－2c＝λ(x1＋c)，－b2 a ＝λy1， ( ) 3 0 3 0 1 1 270 4 1 4 64P X C    ×     − =   = = ( ) 3 2 1 1 271 1 4 64 1 4P X C = = − =×   ( ) 2 2 3 1 92 1 4 64 1 4P X C    ×       = = − = ( ) 3 3 3 4 13 64 1P X C     =  = = X X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 ( ) 1 33 4 4E X = × =解得 x1＝－λ＋2 λ c，y1＝－b2 λa，所以 Q(－λ＋2 λ c，－b2 λa)． …………………… 11 分 因为点 Q 在椭圆上，所以(λ＋2 λ )2e2＋ b2 λ2a2＝1， 即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1， 因为 λ＋1≠0， 所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而 λ＝3e2＋1 1－e2 ＝ 4 1－e2－3． …………………… 14 分 因为 e∈[1 2 ， 2 2 ]，所以1 4≤e2≤1 2，即7 3≤λ≤5． 所以 λ 的取值范围为[ 7 3，5]． …………………… 16 分 方法二：因为 PF2⊥x 轴，且 P 在 x 轴上方，故设 P(c，y0)，y0＞0． 因为 P 在椭圆上，所以c2 a2＋ y b2＝1，解得 y0＝b2 a ，即 P(c，b2 a )． …………………… 7 分 因为 F1(－c，0)，故直线 PF1 的方程为 y＝ b2 2ac(x＋c)． 由{y＝(x＋c)， ＋＝1， 得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0． 因为直线 PF1 与椭圆有一个交点为 P(c，b2 a )．设 Q(x1，y1)， 则 x1＋c＝－ 2b2c 4c2＋b2，即－c－x1＝ 2b2c 4c2＋b2． …………………… 11 分 因为PF1→ ＝λF1Q→ ， 所 以 λ ＝ 2c －c－x1＝ 4c2＋b2 b2 ＝ 3c2＋a2 a2－c2 ＝ ＝ 3e2＋1 1－e2 ＝ 4 1－e2－ 3． …………………… 14 分 因为 e∈[1 2 ， 2 2 ]，所以1 4≤e2≤1 2，即7 3≤λ≤5． 所以 λ 的取值范围为[ 7 3，5]． …………………… 16 分 22．解：（1）因为 a＝b＝1，所以 f(x)＝x 2－x＋lnx，从而 f ′(x)＝2x －1＋1 x ． 因为 f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程为 y－0＝2(x－1)， 即 2x－y－2＝0． …………………… 3 分 （2）因为 b＝2a＋1，所以 f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx， 从而 f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋1 x＝2ax2－(2a＋1)x＋1 x ＝(2ax－1)(x－1) x ，x＞0． ………… 5 分 当 a≤0 时， x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0， 所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………………… 7 分 当 0＜a＜1 2 时， 由 f ′(x)＞0 得 0＜x＜1 或 x＞ 1 2a，由 f ′(x)＜0 得 1＜x＜ 1 2a， 所以 f(x)在区间(0，1)和区间( 1 2a，＋∞)上单调递增，在区间(1， 1 2a)上单调递减． 当 a＝1 2 时， 因为 f ′(x)≥0（当且仅当 x＝1 时取等号）， 所以 f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． 当 a＞1 2 时， 由 f ′(x)＞0 得 0＜x＜ 1 2a或 x＞1，由 f ′(x)＜0 得 1 2a＜x＜1， 所以 f(x)在区间(0， 1 2a)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间( 1 2a，1)上单调递减． …………………… 10 分