高 2022 届数学周练(6. 23)
一、选择题 (共 12 小题)
1.函数푓(푥) = 푙푛(푥2 − 푥)的定义城为( )
A. (0,1) B.,0,1- C.(−∞, 0) ∪ (1, +∞) D.(−∞, 0- ∪ ,1, +∞)
2.已知 a0 时，不等式푥2 − 푚푥 + 9 > 0恒成立,则实数 m 的取值范围是( )
A. (−∞，6) B.(−∞, 6- C.,6, +∞) D.(6, +∞)
5.圆푥2 + 푦2 + 4푦 = 0与直线3푥 + 4푦 + 2 = 0相交于 A、B 两点，则线段 AB 的垂直平分线的方程是
( )
A. 4푥 − 3푦 − 6 = 0 B. 4푥 + 3푦 + 6 = 0 C. 3푥 + 4푦 + 8 = 0 D. 4푥 − 3푦 − 2 = 0
6.已知数列*푎푛+ 满足푎푛푎푛+1 = 3푛,且푎1 = 1,则数列*푎푛+的前 9 项和푆9 = ( )
A.160 B.241 C.243 D. 484
7.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, B=45°，푐 = √2,푎 = 3,则 sinA=( )
A. √10
10 B. √10
5 C. 3√10
10 D. 2√5
5
8. 퐹1、퐹2分别是双曲线푥2
푎2 − 푦2
푏2 = 1(푎 > 0, 푏 > 0)的左、右焦点，过点
퐹1的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于 A、B 两点，若△AB퐹2是等边
三角形，则该双曲线的离心率为( )
A.√2 B. √3 C. √5 D. √7
9. 已知双曲线푥2
4 − 푦2
푏2 = 1(푏 > 0),以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条
渐近线相交于 A,B,C,D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b.则双曲线的方程为( )
A. 푥2
4 − 3푦2
4 = 1 B. 푥2
4 − 4푦2
3 = 1 C. 푥2
4 − 푦2
4 = 1 D. 푥2
4 − 푦2
12 = 1
10.已知双曲线 C: 푥2
푎2 − 푦2
푏2 = 1(푎 > 0, 푏 > 0)的左、右焦点分别为퐹1，퐹2,点 P 是 C 的右支上一点，
连接 P퐹1所与 y 轴交于点 M，若|퐹1푂| = 2|푂푀|(O 为坐标原点), P퐹1⊥P퐹2.则双曲线 C 的渐近线方程
为( )
A. 푦 = ±3푥 B.푦 = ±√3푥 C.푦 = ±2푥 D.푦 = ±√2푥
11. 在如图的平面图形中，已知
OM=1,ON=2, ∠푀푂푁 =120°, 퐵푀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2푀퐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 퐶푁⃗⃗⃗⃗⃗ = 2푁퐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 则
퐵퐶⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 푂푀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )
A.−15 B. −9 C. −6 D. 0
12. 如右图퐹1，퐹2是双曲线푥2
푎2 − 푦2
푏2 = 1(푎 > 0, 푏 > 0)的左右焦点，
且|퐹1퐹2|=2.若双曲线的右支上存在点 P 使得 P퐹1⊥P퐹2.设直线 P퐹2与
y 轴交于点 A，且 Rt△AP퐹1的内切圆半径为1
2
，则双曲线的离心率为
( )
A. √3 B. √2 + 1 C. 2 D. √3 + 1
二.填空题(共 4 小题)
13. 设等比数列*푎푛+ 满足푎1 + 푎2 = −1, 푎1 − 푎3 = −3,则푞 = .
14. 已知푎 ，푏⃗ 为单位向量，且푎 ∙ 푏⃗ =0，若푐 = 2푎 − √5푏⃗ ,则cos〈푎 ，푐 〉 =_ .
15. 已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，点 M(0,√5)在圆 C 上，且圆心到直线2푥 − 푦 = 0的距离为4√5
5
,
则圆 C 的方程为 .
16.已知 M，N 为直线3푥 + 4푦 − 10 = 0上两点，O 为坐标原点，若∠MON=휋
3
,则△MON 的周长最小
值为_ .
三.解答题(共 3 小题)
17.设*푎푛+是等差数列，푎1 = −10.且푎2 + 10, 푎3 + 8, 푎4 + 6成等比数列.
(1)求*푎푛+的通项公式;
(2)记*푎푛+的前项和为푆푛,求푆푛的最小值.
18.已知双曲线 C: 푥2
푎2 − 푦2
푏2 = 1(푎 > 0, 푏 > 0)与双曲线푥2
6 − 푦2
2 = 1的渐近线相同，且经过点(2,3).
(1)求双曲线 C 的方程;
(2)已知双曲线 C 的左右焦点分别为퐹1，퐹2,直线 l 经过퐹2,倾斜角为3
4 π, l 与双曲线 C 交于 A，B 两点,
求△퐹1AB 的面积.
19.已知椭圆푥2
푎2 + 푦2
푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的离心率为√3
2
,其短轴的端点分别为 A、B, |퐴퐵| = 2,且直线 AM、
BM 分别与椭圆 C 交于 E、F 两点，其中点 M(m, 1
2)，满足 m≠0 且 m≠±√3.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)若△BME 面积是△AMF 面积的 5 倍,求实数 m 的值.
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