2020届北京一零一中高二数学下学期期末试题

北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试 高 二 数 学 (本试卷满分 120 分, 考试时间 100 分钟) 命题：高二数学组 审稿：张燕菱 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1. 已知集合 A = {x | x2 − x − 2 > 0}, 则 {RA = (　　　) (A) {x | −1 < x < 2} (B) {x | −1 6 x 6 2} (C) {x | x < −1} ∪ {x | x > 2} (D) {x | x 6 −1} ∪ {x | x > 2} 2. a = 60:7, b = 0:76, c = log0:7 6 的大小顺序是 (　　　) (A) b < c < a (B) b < a < c (C) c < a < b (D) c < b < a 3. 设 x ∈ R, 则 “0 < x < 5” 是 “|x − 1| < 1” 的 (　　　) (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4. 某班由 24 名男生和 16 名女生组成, 现按分层抽样的方法选取 10 名同学参加志愿者服 务, 某男同学必须参加, 则志愿者人员组成的不同方法种数为 (　　　) (A) C6 24C4 16 (B) C4 24C6 16 (C) C5 23C4 16 (D) C6 24C3 15 5. 若对于任意实数 x, 有 x3 = a0 + a1(x − 2) + a2(x − 2)2 + a3(x − 2)3, 则 a2 的值为 (　　　) (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 6. 下列函数 f(x) 图像中, 满足 f( 1 4 ) > f(3) > f(2) 的只可能是 (　　　) (A) (B) (C) (D) 7. 如图所示, 1, 2, 3 表示三个开关, 若在某段时间内它们 每个正常工作的概率都是 0:9, 那么此系统的可靠性 是 (　　　) (A) 0:999 (B) 0:981 (C) 0:980 (D) 0:729 北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试高二数学　第 1 页（共 4 页）8. 设函数 f(x) (x ∈ R) 为奇函数, f(−1) = − 1 2 , f(x + 2) = f(x) + f(2), 则 f(5) = (　　　) (A) 0 (B) 1 (C) 5 2 (D) 5 9. 已知函数 f(x) = (x2 + a)ex 有最小值, 则函数 y = f ′(x) 的零点个数为 (　　　) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不确定 10. 设直线 l1, l2 分别是函数 f(x) =  − ln x; 0 < x < 1; ln x; x > 1 图像上点 P1, P2 处的切线, l1 与 l2 垂 直相交于点 P, 且 l1, l2 分别与 y 轴相交于点 A, B, 则 △PAB 的面积的取值范围是 (　　　) (A) (0; 1) (B) (0; 2) (C) (0; +∞) (D) (1; +∞) 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11. 函数 f(x) = √ x − 1 x + 1 的定义域是 ＿＿＿＿＿ . 12. 函数 f(x) = ln x + x + √ 2 的零点个数是 ＿＿＿＿＿ . 13. 已知 log5 x + log5 y = 2, 则 x + 4y 的最小值为 ＿＿＿＿＿ . 14. 设函数 f(x) = x|x − 2|, 则 f(x) 的极小值是 ＿＿＿＿＿ . 15. 定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x) =  log2(1 − x); x 6 0; f(x − 1 2 ) − f(x − 1); x > 0; 则 f(2020) 的值 是 ＿＿＿＿＿ . 三、解答题共 5 小题，共 55 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16. (本小题 10 分) 设 A = {x ∈ R | y = log2 x}, B = {x ∈ R | 2x − 21−x > 1}, 则求 A ∩ B. 北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试高二数学　第 2 页（共 4 页）17. (本小题 10 分) 已知关于 x 的不等式 kx2 − 2x + 6k < 0 (k , 0). (1) 若不等式的解集是 {x | x > −2 或 x < −3}, 求 k 的值; (2) 若不等式的解集为 R, 求 k 的取值范围. 18. (本小题 11 分) 已知函数 f(x) = x2 + a x (x , 0, 常数 a ∈ R). (1) 讨论函数 f(x) 的奇偶性, 并说明理由; (2) 若函数 f(x) 在 [2; +∞) 上为增函数, 求 a 的取值范围. 北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试高二数学　第 3 页（共 4 页）19. (本小题 12 分) 某中学参加一次社会公益活动 (以下简称活动). 该校合 唱团共有 100 名学生, 他们参加活动的次数统计如图所 示. (1) 求合唱团学生参加活动的人均次数; (2) 从合唱团中任意选两名学生, 求他们参加活动次数恰 好相等的概率; (3) 从合唱团中任选两名学生, 用 表示这两人参加活动 次数之差的绝对值, 求随机变量 的分布列及数学期望 E. 20. (本小题 12 分) 对于函数 y = H(x), 若在定义域内存在 x0, 使得 x0 · H(x0) = 1, 则称 x0 为函数 H(x) 的 “倒 数点”. 已知函数 f(x) = ln x, g(x) = 1 2 (x + 1)2 − 1. (1) 求证: 函数 f(x) 有 “倒数点”, 并讨论函数 f(x) 的 “倒数点” 的个数; (2) 若当 x > 1 时, 不等式 x f(x) 6 m[g(x) − x] 恒成立, 试求实数 m 的取值范围. 北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试高二数学　第 4 页（共 4 页）